Phương pháp giải toán trắc nghiệm các vấn đề chủ yếu giải tích (NXB Đại học quốc gia 2010) Trần Bá Hà, 352 trang

Loi noi dau Nhăm giúp học sinh phương pháp giai các bài tập trác nghiệm ve các vân de co Kìn cua môn giai tích 12. Chúng toi biên soạn tập sách: Phương pháp giai toái trắc nghiệm ve các vân đỏ chu yêu giai tích 12. Sách dược trinh bav theo tung vun đe. môi vân đế bao gom: Phán tom tất lv thuvót Cúc dạng toán co ban Rai tập tụ luận (co huóng dan giai) minh hoạ các dạng toán cơ bản Bài tàp trác nghiệm (co huong dân giai) Cuối mỗi chucng còn co phan bai tập trăc nghiệm tỏng họp (có đáp án) đê học sinh tụ rèr luyện. Tàp sách n.ìv bao gốm 5 chuông trong đó chúng tỏi chọn 350 bài tập co ban giai bãng tụ luận vù 650 bài tạp trắc nghiệm có hướng dần giai. Học sinh nên dọc kv phẩn tóm tắt ly thuyết Phương pháp giai Một số bài tập co ban băng phương pháp tụ luận trước khi làm phần toán trắc nghiệm. lỉv vong ráng tập sách nàv giúp ích cho học sinh ôn thi tôt nghiệp IỊ 1PI v à tuyến sinh Dại hoe Cao đăng Mong sụ gìp ý cua dộc gia và đdng nghiệp đê lần xucYt ban sau cuốn sách được tốt hơn. Mọi gop ý xin goi ve: Trung tâm sách Giáo dục Alpha 225c Nguyền Tri Phương Phường 9 Q.5 Tp.HCM. ĐT: 08.8107718 8547464. Fmail: alphjbookcenter(«Viìhoo.com Chân thành cám ơn. Trần Bá Hả Tu nghiệp tại: Institut de Recherche Pour 1 enseignement des Mathé matiques ParisFrance

T r o u li i l à

Giùo viên ch u 3 ê n Tón

Tu n g h têp ỵai Institut d e R ech erch e

Pour L 'en seig n em en t d e s M athém atiques

Paris-France

Phương pháp giải

CAC VAN ĐE CHU YEU

• Dành cho 9S tĩhõl 12

• Dn tập vả ren luyện kỉ nỉng giải c ic dạng ĩo ín tPắc nghiệm

• Chuấn b| cho các ki thl lốt nghiệp, tuyến sinh BO-CO 2008-2009

hẩng phướng pháp trắc nghiệm khách quan CÙI 09 GD&BĨ

NHÒ XUẤT BÀN ĐỌI HỌC ọuốc Gin Hồ NỘI• • •

16 Hàng Chuối - Hai Bà Trưng - Hà Nội

Loi noi dau

Nhăm giúp học* sinh phương pháp giai các bài tập trác nghiệm ve các vân de co Kìn cua môn giai tích 12 Chúng toi biên soạn tập sách: "Phương pháp giai toái' trắc nghiệm ve các vân đỏ chu yêu giai tích 12" Sách dư ợc trinh bav theo tung vun đe môi vân đế bao gom:

co ban băng phương pháp tụ luận trước khi làm phần toán trắc nghiệm.

I Ị 1PI v à tuyến sinh Dại hoe - Cao đăng

Chương I: ĐẠO HẢM-KHẢO SÁT HÀM SÒ

3 '1.3 Bài tập T ự Luyện:

Sài 3: Tinh các giới hạn sau đây:

c) lim 2sin" x + sinx-1

Nếu f ( x ) có đạo hàm tại X = x 0thì f(x> liên tục tại X =

Xo-Hệ số góc tiếp tuyến tại điểm (x 0,f ( x 0))bàng giá trị đạo hàm của h à n số

h) ( 'hứng minh rang ham so \ liên tục tại X - 0 nhưng không có

v-o* A.X A»-»o A.V

Do đó không tồn tại lim — - tại X = 0 nên không có đạo hàm tại X = 0.

,\\ -*0 A\

c) Tacó: / ' ’(0 )= lim

Air-*0 — o í — = lim — Ị— ĩ

1 4 Av J Av À*-*0 1 4 |Ar|= 1Vậy f ( 0 ) = 1

a) Ta có: lim ^ = lun (0+A jt)!~ <0>; = Um Ar = 0

&X-+QT Ax Ai-*o* Ax At->0*

Đế hàm số liên tục tại x = x0ỉa phải có: = ax0 + /> (1)

Ạ>’ ư(x0+ Ar) + />-(ax0 +/>) Av

b) Hàm số f có đạo hàm tại các diêm nào? Tinh dạo hàm tại các điểm đó.

b) Dê ý răng tại Vx * 0 , ham số có dạo hàm là:

13

A í *0 y \ y At -»O

Ax.cos

Ax = lim eosAr-»0 V(Ax) y

váy / ( x ) khóng có dao hám tai x = 0

a) Tính dao hám cüa hám só f tren R

b) Chúng minh / '( * ) khóng lien tuc tai x = 0

lim cos 1 ■- 1, lim cos 1

Tinh dao hàm mot ben cùa hàm sô trên tai x = 0 Hàm sô cô dao hàm tai

Tính giá trị đạo hàm của hàm số tại X = 0.

H ướng dẫn giải:

, Ạ)’ _ ln(cosx) _• [ln (l+ cosAx) - 1] (c’osA.v-1)

Ax (Ax)3 ~ (cosA x-1) (Ax):

Bài 11: Tìm m đê đồ thị hàm số V - 4.v' - 3x tiếp xúc với đường tháng: y =

mx - 1

4 V - 3.V,, = - 1f)ièu kiện tiếp xúc là: <!

Vậy khi m = 0 thi đồ thị tiếp xúc với đường thăng y = 1

g = (x2 + 2x + 3)sin ax tiếp xúc với nhau tại giao điểm cùa chủng a 0

Gọi X = x0là hoành độ giao diêm ta có:

x02 + 2x0+3 = (jc02 + 2x0 + 3)sinax <=> sinax0 = 1 <=> ax0 (1)

f (x) = X2 +2x + ĩ=>f \ x 0) = 2.vn + 2

g(x) = (x2 + 2x + 3)sinax =>g'(x0) = (2jc0 +2)sinax0 +«(x02 +2x0 +3)cosax0

Vì ax„ =-^- + Ả2n =>cos(ax0) = 0 d o đ ó :

Xác định góc tạo bởi hai tiếp tuyên (ở mồi phía) cùa đường cong tại X = 0

H ướng dẫn giải:

f { x ữ) = g0)Vậy ^

\ f ' ( x 0) = g '(x 0)=> Hai dường cong tiếp xúc với nhau tại

Hệ số góc tiếp tuyến bên trái X = 0 là = / '(0 ) = -1

17

Hệ số góc tiếp tuyến bên phái X = 0 là ' = / ’(0*) = 1

Vì k.k’ = - 1 nên góc tạo bởi hai tiếp tuyến tại X = 0 là góc vuông

III Đ ạ o hàm củ a h à m số h ọ p - Đ ạ o h à m c ấ p c a o

3.1 Tóm tắt lý thuyết:

Nếu: u = g(x) có đạo hàm l i'r và V = f { u ) có đạo hàm yu thì h.àr-1 -số hợp:

V = /( g ( x ) ) có đạo hàm theo X là: y ' x = y'„

Ta có: y(k +1) = k!

k+l( 1 - x )

Ta chứng minh: y(n> = (x2 + 2nx + n(n-l))ex

= K+ 1

Ciià sử công thức đúng đen N = k nghĩa là:

_ \

ln X - —

4 + ( l - 2 n ) \ / 2 x n 2.s i n ( l n x - —).4

Do đỏ: x2y " + ( l- 2 « ) x y '+ ( l + « 2)y = 0.đpc|Ti

ỉài 9: Cho f ( x ) = ( x 2 - 2 x + 2 ) s in ( x - l) Chứng minh hệ phương trình sau

/ ,2002’(*) + / <2002)y = 0 X2 + y 2 =10

đồ thị tại giao điểm cùa chúng và tính góc giữa 2 tiếp tuyến tr;n

Bài 8: Cho hàm số t'xác định boi: f( X' •! xc*nx khi X > 0

Ị 0 khi X = 0a) Chứng minh hàm số liên tục trên (0 x )

h) Xét sụ tôn tại đạo ham tại X = 0

Bài 9: Tim trên do thị hàm sô: \ X lnx các điểm mà tiếp tuyến tại đó song song với Ox

Bài 12: cho /(.t)x á c định bới f(x) =

kk’ = - 1 Hai tièp tuyến vuông góc nhau

Bài 5: Giao diêm 2 dường cong là nghiệm cùa: sinax = 1

)->'=('{ X) sin ax+acos( ax )1'( X)

23

ax= — + ¿ 2 n =c> >>2 ’ = / '( * ) = T l'( * ): Tại các giao điểm này các đ ì thị

D.00

2

25

C âu 14: Cho hàm số y = e x c o sx Mệnh đề nào dưới đây là đung:

A a h 1 B a h I c a = 3.b =

-3 D a = - b = 3 3Câu 18: Cho f(x ) = ax •+ bx t c .

A y \y " = l B y3.y " = -l c y3.y’+ l = 0 D y2.y’= x Câu 23: Cho y = ecosx Đẳng thức nào dưới đây là đúng :

c y 'sin x - y c o s x + y"= 0 1) y'(sinx+ cosx) = y"

Câu 25: Cho y = 2 £ sin X Giá trị của biểu thức: 2y - 2y'+y" là:

D i

2 A

Câu 26: Cho y = sinx Đạo hàm cấp n cùa y là:

Câu 28: Cho f(x ) = ( x - l ) 2, với g(x) = f(sinx)thì g ’(x) là:

Câu 29: Cho hàm sổ: y = x 2e~* Mệnh đề nào dưới đây là đủng.

giá trị của m là:

Câu 31: Cho hàm số y = XJ + 3 x 2 +1 (c) Để đường thẳng y = k x liếp

xúc với (c) thì giá trị cùa k lả:

đây là tiếp tuyến với (C) song song với đường y = 3x

là tiếp tuyến với dồ thị tại gốc o :

X ^sin -

Không tồn tại giá trị dạo hàm tại X = 0 Chọn câu D.

Câu 8: f'(0) = lim f(X- ~ f -0) = lim Æ Î

Câu 12: f ’(x) = -v 3 sin X + cos X 2

rhay các giá trị vào l '(x> thi được r m = 0 .

Câu 19: f"(x) = 4-1 6 co sx + 4cos2x => í "(H) = 24 Chọn càu B

C â u 20: P’(x) = - a : [Asin(ax + b) + Bcos(ax + b)] = - a2f(x ) Chọn câu c

C â u 21: y’=-2cosx.sinx = -sin2x:y"= -2cos2x ;

Câu 23: y'= - e cosx sin x; y"= ecosx sin2 X - ecosx cosx

Kiểm tra chọn đẳng thức A Chọn câu A

r A , [ / 2(s) + g 2( * ) ] : 2 [ f ( x ) f \ x ) + g ( x ) g \ x ) ]

2 y [ f \ x ) V g ü x ) V / '( * ) + £ 2(X)

Câu 25: y ' = 2 ỊV sin X + ex eos X J = 2e(sin X + cos x)

y " = 2 Ị^ex sin X + eos X + ex (eos X - sin x)J = 4ex eos X

Câu 29: y'= (-X 2 + 2 x )e ' ;y"= ( x 2 + 4x + 2)e‘ x

Kiểm tra thì: 2y’+y"+y = 2e-x Chọn câu c.

Câu 30: y '= e 2x(2sinx + cosx);y"= e2x(3sinx + 4cosx)

C âu 33: /'(( )) = - -— Tiếp tuyến uiông góc với trục Oy cỏ hệ số góc

Y nẹhĩa Nếu y = f ị x ) thoà điều kiện định lí Lagrange thì trên cung AB cua

dồ thị tồn tại ít nhất 1 diêm c mà tiếp tuyến tại đó song song với đường

thảng qua AB

pp Áp dụng tính chất: Nếu f ( x ) thoà điều kiện dịnh lí Lagrange trên [a.b|

và nếu f ( a ) = f ( b ) i h \ phương trình J 0 có nghiệm e ( a , b )

33

2) Chứng minh bất đảng thức bang định lí Laurange

pp Đối với các bất đảng thức có chứa dạng: thi tó thể xét

/( x ) tr ê n [a,b], dựa vào dẳng thức f ( b ) - f ( a ) = ( b - a ) j ' ( c ) với

c e (a, b)đề chúng minh bất đẳng thức.

3) Chứng minh phương trinh có nghiệm trên [a.bj

1.3 Bài tập áp dụng:

Bài 1: Tìm số c trong định lí Lagrange các các hàm số sau:

a) y = x - x itrên [ - 2 , 1 ] b) V = ln trên [ 1 ,e]

khi - 1 < 1

khi < x < 3trên [ - 1,3]

a) Xót /"(/) = sin/ trên [x.yj với 0 < X < y6 R

Bất đẳng thức tương đương: ln [(a + 1)2 +1J - ln(a2 + 1) < 1.

Xét f ( x ) = ln(x2 +1) trên [a,a + 1], theo định lí Lagrange thi

đồng biến trên (a,c) Chứng minh:

Bài 5: Cho hàm sò /Tv)có dạo ham trong (a.b) Chứng minh răng nêu

' , V la nghiệm cua plurưng trinh / ( V) 0 và < X, < X, < h thi phưomg

trinh / ’{.V) = 0 có ít nhai 1 nuhiộm • õ ( Yp.Y,) •

H ướng d à n g i ú i :

Áp dụng dinh li hamamte trên Ịx, X, ị c ( a ,ố ) Tồn tại ít nhất 1 giá trị

c €(Xp.Y, )sao cho: / '(c') = — -— ■ —- = 0 (vi |) = f ( x 2) = 0 )

Chứng minh phưomg trình /(.v ) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0,1)

a) Áp dụng định lí Lagrange trên [ - 4, - 2] ta có: 6 ( - 4 ,- 2 ) sao cho:

f'(c) = ¿ẢZ zh-/ ( —1 = 0 do đó: = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc

( -4, 2) Thực hiện tưorng tự trên các doạn [-2, - 1 ],[— 1,0] ta cũng có

pltưomg trình / '(.v) = 0 cũng có ít nhất 1 nghiệm trên mỗi khoáng

(-2 -1),( - 1,0) Vậy: / ’(*) = 0 c ó 3 nghiệm phân biệt

Bài 7: Chứng minh trong khoáng giữa 2 nghiệm của phương trinh:e'cosx=l có ít nhất 1 nghiệm của phưong trình e xs in x = l.

-g ( c ) = * ( * , ) - * ( * , ) = 0

x , - x ,

o c là nghiêm cùa g ‘(x) = 0

Mà g'(x)=0 <=> e x = s inx <=> e x s iax= 1

Vậy phưomg trình: e 's in x = l có ít nhất 1 nghiệm

b) a CO /• (()) = 0 / (I) I | \ ) ilioa dieu kiện cua định lí I.agrange nôn

Il l ) - 1(0) _ f'(c_) 1 tàn tại c e (0.1) dô cho: 1( c) ’ <=> - - = —

1 [I + 1(C)]2 2

<=> '(«-■) = - Ịl+ /(c )] =>dpcm

B à i'L Cho /(.V) liên tục trên ịo 11 thoa / (0) = 0 /(1 ) = 1.

( húnii minh tồn tại c/.Ae(() I) sao cho:

I t u ớ n g d a n giải:

Xét g(x) = / (X ) + V 1 là hàm sô liên tục trên [0.11 có g(0) = -1 và ÍZ( 1 )

= 1 nôn tồn tại ơ e (O l) dê g (ư ) = ()<=>

/ p dụng dinh lí Lagrange dôi vói hàm sô í trên [O.a]roi trên [ữ l|

1 nghiệm trên Ịa.b) thì /(.v) = 0 không thê có quá 2 nghiệm trên [a.b].

Ciá sư f ( x ) = 0 cỏ nhiều licrn 2 nghiệm trên Ịa.b].

Gọi V, < .V, < Y, là 3 nghiệm cua /(.v) = 0 Theo định lí Lagrange thì

ì ’, e(.Y,,x: )và c, e(.v, Y,) dê cho:

0= /( r ; ) - / ( x l ) = (.v: - V , ) Í V \ )

D) dó: J '(C| ) = f \ c \ ) = 0 nên C|,í\ là nghiệm của f \ x ) = 0 , vô lí Do

đe Ỵ( x) = 0 không thè có qua 2 nghiệm.

39

1.4 Bài tập T ự Luyện:

-Bài 2: Cho m > 0 và —- — + — — + — = 0

m + 2 m + 1 m

Chứng minh phưong trình: ax2 + bx + c = 0 có nghiệm trong ( 0,1)

3 a<a+b+c-\jcr +b2 +<? -(cù+bc+ai) +b2 +6': -(cb+bc+aì) <3c.

Nếu: Phưomg trình: ơ0x " + a Ịx"~'+ + all_Ịx = 01 nghiệm: x0 > ) thì

phưcmg trình: n.a0x"~' + (n-ỉ)x"~ĩ + + íjf(( l = 0 có 1 nghiệm dưcmi nhỏ

hon x0.

Bài 7: Chứng minh phưcrng trình: f ( x ) = = 0 Không thể co quá

2 nghiệm khi n chằn và không thể có quá 3 nghiệm khi n le

Bài 8: Tìm a để bất đãng thức: x - a x 2 < ln(l + luôn đúng Vx 0

Bài 9: Cho / ( x ) = (x- + l ) ( t - l ) ( x - '2 ) ( x - 3 ) Chứng minh: / '( x ) = 0 c ó 3

nghiệm phân biệt

Bài 10: Giải phưomg trình: 200r + 2003' = 2.2002"

f '( V ) = 0 O X = a + b + C + sịa' +b: + ~(ab+ đpcm.+ ca)

Bài 4: Xét f { x ) = tgx trên |a.b]

cos a COS'C cos

B ài5: Xét f ( x ) = \ [x + \+-ỉ - trên (0,oo)

Bài 7: Đe ý ràng: /'(.v ) = ()<=> n.xn~' +/7 = 0 có 1 nghiệm khi n chần, có 2

nghiệm khi n lè, Áp dụng kết quá bài số 10

Bài 9: Xem bài 6

Bài 10: Phương trình nrcmg dương: 2003x - 2002x =2002x - 2001 * 0 )

Giá sư a là 1 nghiệm của (*)

II.T ín h (Ion (liệu c u a hàm số2.1 T óm tắ t lý th u y ế t:

Dinh IJ:Cho hàm so V /(.Y)co đạo hàm trong (a,b)

Ncu: J '(.Y)>0 (hoặc: / '(.Y)< 0 ) và dăng thức chi xày ra tại một số hữu hạn

diêm trên (a.b) thì hàm sô done bien (hoặc nghịch biên) trên (a.b).

2.2 C ác á p d ụ n g co b a n :

1 Khao sát tính don diệu cua hàm sô l im diều kiện-dê hàm sô tăng, giam

trên mien I)

Ap dụng tam thức bậc 2 không dôi dâu trên mien D

2 Chứng minh bât dăng thức bang tính dơn diệu

pp - Dối với các bất dáng thức dạng f ( x ) ẹ(.r) Vx e thì có thổ

xét tính dơn điệu h(x) = / (.v) — g(.Y) trên D

Nếu: h' (x)>0 V.Y e I )và /í(.Ytl) = Othì:

-Y> Y„ =>li.x)>hixtl)^ 0 ^ > f(x )> g { x )

+ Nếu / ( x ) và g(x) là hàm số don diệu ngược chiều thì phưong trình

f ( x ) = g (x) có tối đa 1 nghiệm

Hàm số tăng trên (^ x> ,-2)u(0,oo) và giảm trên ( - 2,0)

d) / '( x ) = e"Jt( 2 x - x 2):H à m số tâng trên (0,2) và giảm trên

).-\U7T 5n 4* 4

Bài 2: Cho hàm số y = — x : + {m -1).Y + (/« + 3 ) x - 4

a) Tìm m đề hàm sô luôn luôn giam

b) Tìm m đê hàm số tăng trên (0,3)

H ướng dẫn giải:

a) Ta có: f \ x ) = - X 2+ 2(m - 1 ).Y + m + 3 Để hàm số luôn luôn giám ta

phải có A’ < 0 V.Y G R < => m 2 - + 4 < 0 : vô nghiệm

Vậy không có giá trị nào cùa m đê hàm số luôn luôn giám

b) Để hàm số tâng trên (0,3) Ta phái có: f \ x ) OVx e (0,3)

m < —

1

45

Bài 5: Chứng minh: ( 1 * \ • I t- </\ Vx > 0 a e (0 1 ) SUV ra các bất

Bài 6: Chứng minh với mọi số tụ nhiên lớn hom hoặc bằng 3 ta có

hàm sô luôn giám.

Do đó phương trình có nhiêu nhắt là 1 nghiệm

X — 1 là 1 nghiêm đặc biệt, do đó phương trình có 1 nghiệm duy nhất

Bài 9:

a) Chứng minh phương trình: x + cosx=a có duy nhất 1 nghiệm âm khi

a < I và duy nhất 1 nghiệm dương khi a > 1

b) Chứng minh phương trình: v.c = 2 Có 1 nghiệm duy nhất, 1 nghiêm

khi a< 1 => /"(0) > 0 hàm y - f( x ) tăng trên R , đồ thị cắt Oy tại điểm

ờ trên Ox do đó đồ thị chi cất Ox tại một điểm có hoành độ âm Vậy

phương trình có 1 nghiệm âm duy nhất

Khi a 1 => > f (0) < 0, li luận tương tự /(.x ) = Ocó 1 nghiệm dương duy

Xét g(t ) = ts in 2/ => g '( 0 = 1 -c o s2 t >()=> g(t) tăng

t >0 => g( x) > g(.v) = 0 => f \ hàm số tăng t< 0 => g{x) <g ( x ) = 0 / ’(/) < 0 :hàm sổ giam

Ta có: X = 0 hay y = 0 hav z = 0 không phái là nghiệm *

Khi X, y, z ị0, hệ tưcmg đưcmg:

Bât phươmi trình tươm: dương: <=> ,v> i

Vậy bât phương trình có rmhiệm là: I < .V < 4

dịnh và dồng biến trên (0, oc)

Bài 4: ('hứng minh các bất đăng thức sau:

a) ln(l + t)< jf V.v>0

b ) s í ã b < n 4 ã + nVơ /> > 0 /7 e N.

5 1

+ Tìm khoảng nghịch biến của hàm số là [X pX ,].

+ Giải x2-X | = 1 (x ,,x 2 là nghiệm cùa / ’(x) = 0 )

ải 3:

ị m - 1 < 0 , 2

Giải hê < Đáp số: ——

[ / > Vx > 0 y 3

Do đó g(x) = Ocó nghiệm duy nhất X = 1

Đ m ầ / / Fermat :(điều kiện cần)

Neu hàm số _v = / ( x ) có đạo hàm tại x = x0và đạt cực trị tại điênn ló thì

0

❖ Định lí điều kiện đủ:

Đ m ầ ỉ í / : Cho hàm số y = / ( x ) có dạo hàm trong 1 lân cận cua

: + Nếu f \xo) > 0 Vx e (Xq- e r0) và / ’(xo) < 0 Vx e (x0,x 0 + ¿;) hì lùm số iđạt cục đại tại (x0, / ( x0))

-H-Ncu f \ x 0)< 0V x e (x 0 - ¿ ;.x 0) và / ’(x0) > 0 V x e (x (l.x 0 -t-£T):hù him số

!

«2fKcạc tiêu tại (x0, / ( x 0))