Phương pháp giải bài tập trắc nghiệm đại số và giải tích 11 (NXB Đại học quốc gia 2007),Lê Hồng Đức, 172 trang

Ngoài ra, một lê thi môn toán được chấm hoàn toàn dựa trên kết quả trắc nghiệm chắc chắn sể chưa phù hợp với hiện trạng giáo dục của nước ta bởi nhiều lí do, từ đó dần tới việc tliông

H á MỌI NHÀ XUÂT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

LÊ BÍCH NGỌC - NGUYÊN VỈẾT HOA

LỜI NÓI ĐẦU

Sự ưi việt cùa phương pháp thi trắc nghiệm đã vả đa/ìiỊ được chứng minh từ những tước có nén giáo dục tiên tiến trên thế giới bởi những ưn điểm như tính

khách qian, tính bao quát và tính kinh tế.

Theo chù trương của BGD&DT các trường Đại học, Cao đảng và Trung học chuyên Ịghìệp sẽ chuyển sang hình thức tuyển sinh bằng phương pháp trắc nghiệm

Và dể cc dược thời gian chuẩn bị tốt nhất, các bài kiểm tra kiến thức trong chương

trình TH^S và THPT cũng sẽ có phần trắc nghiệm để các em học sinh làm quen.

Tuy nhiên, việc biên soạn các câu hỏi trắc nghiệm cần tuàn thủ một sô yêu cầu

cơ bản IỲ mật lí luận sư phạm và V nghĩa díclì thực của cúc sô liệu thống kẻ Ngoài

ra, một lê thi môn toán được chấm hoàn toàn dựa trên kết quả trắc nghiệm chắc

chắn sể chưa phù hợp với hiện trạng giáo dục của nước ta bởi nhiều lí do, từ đó dần

tới việc tliông đảm bảo dược tính khách quan trong việc đánh giá kết quá học tập

của học sinh Để khắc phục nhược điểm này Nhỏm Cự Môn chúng tôi dề xuất

hướng ĩlìtc hiện như sau:

1 \ ói mồi dế thi hoặc dê kiểm tra vấn tuán thủ dúng cấu trúc chung và điểm

tỉắc nghiệm không quá 3.5 điếm.

2 (d dáy, thông thường các em học sinh sẽ phải lựa chọn một trong bon dáp số và chì biết rầng số điểm a của cáu hói này dược chia làm đôi:

■ Nếu lưa chon đúng lời giải trắc nghiêm sè nhận được — điểm.

2.

Dây chím là yểu tô để đảm bảo tính khách quan

1 Vói những học sinh chỉ mò mầm đáp hoặc nhận được nó thông qua những vát tô xung quanh sẽ chi nhận dược toi da — với

■ Với X = 1, ta được:

v r = 2 — 1 = 1 đúng => X = 1 là nghiệm

Vậy, các em sẽ lựa chọn câu trả lời trắc nghiệm là X = 1.

Cách 2:Sử dụng máy tính fx - 570MS bàng cách lần lượt thực hiện:

Nhập phương trình Vx - 2 + X = 0 vào máy tính bằng cách ấn:

Vậy, các em sẽ lựa chọn câu trả lời trắc nghiệm là X = 1.

có thê thực hiện được một phẩn câu này dưới dạng tự nhận được

GIẢ I BÀI T Ậ P TRẮC NGHIỆM TOÁN T IIP T

Cuốn 1: Giải bài tập trắc nghiệm Đại số 10

Cuốn 2: Giải bài tập trắc nghiệm Hình học 10

Cuốn 3: Giải bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Cuốn 4: Giải bài tập trắc nghiệm Hình học 11

Cuốn 5: Giải bài tập trác nghiệm Đại số và Giải tích 12

Cuốn 6: Giải bài tập trắc nghiệm Hình học 12

Cuối cùng, cho dù dã rất cỏ gắng,nhưng thật khó tránh những sót

kiến đóng góp q u ý báu cùa bạn dọc gàn Mọi V đóng góp liên hệ

Địa chi: Nhóm tác giả Cự Môn do Th.s Toán học Lê Hổng Đức phụ trách

Số 20 - Ngõ 86 - Đường Tô Ngọc Vân - Quận Tây Hồ - Hà Nội Điện thoại: (04) 7196671 hoặc 0893046689

E-mail: cumon@hn.vnn.vn hoặc lehongduc39@vahoo.com

Hà Nội, ngày 10 tháng 8 năm 2007

NHÓM C ự MÔN

CHƯƠNG I - HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC V À

PHƯƠNG T R ÌN H LƯỢNG GIÁC

§1 CÁC HÀM SÔ LƯỢNG GIÁC

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 HÀM TUẦN HOÀN

Hàm số f(x) xác định trên tập hợp D gọi là hoàn nếu tồn tại một sô'

dương T sao cho với mọi X 6 D ta có:

Số nhò nhất (nếu có) trong các sô' T có các tính chất trên gọi là kỳ cơ

của hàm tuần hoàn f(x)

số f(x) không phái là hàm tuần hoàn khi một trong các điều kiện sau bị vi phạm:

1 Tập xác định của hàm số là tập hữu hạn

2 Tồn tại sô' a sao cho hàm sô' không xác định với X > a hoặc X < a

3 Phương trình f(x) = k có nghiệm nhưng sô' nghiệm hữu hạn

4 Phương trình f(x) = k có vô sô' nghiệm sắp thứ tự < xn < xn + 1 < mà

2 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC BIẾN s ố THựC

Các hàm sô' sau được gọi là các hàm lượng giác biến sô' thực (gọi tắt là

■ Hàm sô' y = sinx là hàm sô' lẻ trên R

■ Hàm sô' y = sinx tuần hoàn với chu kỳ 271

Do dó, muốn khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm sô' y = sinx trên R ta

chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị hàm sô' trên đoạn [0 ,7ĩ], sau đó lấy đối xứng đồ thị

qua gốc o , ta được đồ thị trên đoạn [ - Tt, 7t], cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa thu

được sang trái và sang phải theo trục hoành những đoạn có độ dài 271, 471,

x - T e D v à x + T e D f(x + T) = f(x)

( 1) (2)

x „ - x n + , |- * 0 hay 00

5

■ Hàm số y = cosx tuần hoàn với chu kỳ 2n.

Do đó, muốn khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số V = cosx trên R ta chỉ cần khảo sát và vẽ đo thị hàm số trên đoạn [0 ,7t], sau đó lấy đối xứng đồ thị qua trục Oy, ta được đổ thị trên đoạn [ - 7Ĩ, 7t], cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa thu được sang trái và sang phải theo trục hoành những đoạn có độ dài 271, 471, Xét hàm sô' y = cosx trên [0,71]

Chiều biến thiên: Dựa vào đường tròn lượng giác ta được:

■ Hàm sô' y = tanx là hàm số lẻ trên R\{ — + kTt, k z }

• Hàm số y = tanx tuần hoàn với chu kỳ TC

Do đó, muốn khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm sỏ y = tanx trên R ta chỉ cần

kháo sát và vẽ đồ thị hàm số trên đoạn [0 — ) sau đó lấy đối xứng đồ thị qua gốc o ,

z

ta được đổ thị trên đoạn cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa thu được sang trái và

sang phái theo trục hoành những đoạn có độ dài 7t, 27t,

7t

Xét hàm sô y = tanx trên [0 )

2Chiều biến thiên: Dựa vào đường tròn lượng giác ta được:

■ Hàm số y = cotx tuần hoàn với chu kỳ 7t

Do đó, muốn khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = cotx trên R ta chỉ

cần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trẽn đoạn (0, — ], sau đó lấy đối xứng đồ thị qua

gốc o , ta được đồ thị trên đoạn [“ , — ], cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa thu được

Đồ thi:

Chú ý: Trong hệ trục toạ độ Oxv các đường thảng có phương trình X = krt, k e

z được gọi là các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = cotx.

II BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm sỏ sau:

c V = cos (x - — ).

4 A Chan B Lẻ c Không chẵn, không lẻ

-A y Max = 4 î + 1 và y Mm ^ * c y Max := 4Ĩ và yMin =

Bài 10: Các khẳng định sau là đúng hay sai ?

a Các hàm số y = sinx, y = cosx cùng nghịch biến ưên khoảng n

§2 PHIÍONG TRÌNH LIÍỌMG GIÁC c o B M

I KĨẾN THỨC CẨN NHÓ

Phương pháp chung

Ta biện luận theo các bước sau:

Bước 1 :Nếu Ị m I > 1 phương trình vô nghiệm

Bước 2 :Nếu I m I < 1, khi đó đặt m = sina, ta được:

Ta biện luận theo các bước sau:

Bước ỉ Nếu I m I > 1 phương trình vỏ nghiệm.

Bước 2.Nếu I m I < 1, khi đó đật m = cosa, ta được:

Bài toán 3: Phương trình tanx = m.

Phương phấp chung

Xét hai khả năng:

Khả năng 1:Nếu m được biểu diễn qua tan của góc đặc biệt, giả sử a, khi

đó phương trình có dạng: tanx = tana <=> X = a + k7T, k e z

Khá năng 2 :Nếu m không biểu diễn được qua tan của góc đặc biệt, khi đó

từ: tanx = m o X = arctanm + kn, k e z.

Trong cả hai trường hợp ta đều kết luận phương trình có một họ nghiệm

Bài toán 4: Phương trinh cotx = m.

Phương phấp chung

Xét hai khả năng:

Khả năng 7 : Nếu m được biểu diẻn qua cot cua góc đặc biệt, giả sử a , khi đó

phương trình có dạng : cotx = cota <=> X = a + k7i, k e Z

Khả năng 2:Nếu m không biêu diên được qua cot của góc đặc biệt, khi đó

từ: cotx = m <=> X = arccotm + kft, k e Z Trong cả hai trường hợp ta đều kết luận phương trình có một họ nghiệm

II BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Bài 11: Giải các phương trình sau (với k e Z):

với k 6 z.

c tan(2x - 1) = yfĩ

Bài 20: Sô' giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A ở vĩ độ 40° bắc trong

ngày thứ t của một nãm không nhuận được cho bởi hàm số:

Đế giải phương trình (1) ta có thể lựa chọn một trong các cách sau:

Cách 1 :Thực hiện theo các bước:

Bước 1.Kiếm tra:

1 Nếu a2 + b2 < c2 phương trình vô nghiệm

2 Nếu a2 + b2 > c2, khi đó để tìm nghiệm của phương trình (1) ta thực hiện tiếp bước 2

bước 2.Chia hai vế phương trình (1) cho va + b2 ta được:

- - - r sinx + —= = = = rCOSX -■ ■= = = •

2 ,2/ ■> ,2 2 , 2

Đáy !à phương trình cơ bản của hàm số sin

Cách 2:Thực hiện theo các bước:

Bước !.Với co s— = 0 <=> X = 71 + 2krc, kiểm tra trưc nếp vào phương trình

Bước 2.Với cos — ? :0o x í i + 2k7T, đặt t = tan suy ra

Bước 3 Giải phương trình (2) theo t.

Cách 3; Với những yêu cầu biện luận tính chất nghiệm của phương trình trong

(<x; p) ta có thể lựa chọn phương pháp điều kiện cần và đủ

N hận xéí quan trọng:

1 Cách 1 thường được sử dung với các bải toán yêu cầu giải phương trinh

và tìm điều kiện cùa tham số đê phương 'ình có nghiệm, vô nghiệm hoặc giải và biện luận phương trình theo tham số

2 Cách 2 thường được sử dụng với các bài toán yêu cầu giải phương trình và tim điều kiện cùa tham sô’ đê’ phương trình có nghiệm thuộc tập D với D c [0 ,2 4

3 Cách 3 thường được sử dụng vái các bài toán yêu cầu biện luật! theo tham

sô đê phương trinh k có nghiệm thuộc tâp D với Dn[0, 2ti] 0

-V a2 + b2 < asinx + bcosx < Va2 + b2

17

kết quả đó gợi ý cho bài toán về giá trị lớn nhát và nhỏ nhât 'ủa các hàm

sổ dạng y = a.sinx + b.cosx, V = — -— - và phtrơng p h á p đanh

c sin X + d cos Xgiá cho một số phương trình lượng giác

Phương pháp áp dụng

Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx có dạng:

Để giải phương trình (1) ta có thể lựa chọn một trong các cách sau:

C á ch l: Thực hiện theo các bước:

Bước I Với cosx = 0 <=> X = - + k7T, k € z.

Khi đó phương trình (1) có dạng a = d

Nếu a = d, thì (1) nhận X = — + kíĩ làm nghiệm

Nếu a * d, thì (1) không nhận X = - + krt làm nghiệm.

Bước 2 Với cosx * 0 <=> X * — + kĩt, k e z.

2

Chia hai vế của phương trình (1) cho cos2x * 0, ta được

atan2x + btanx + c = d(l + tan2x)Đạt t = tanx, phương trình có dạng:

II BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Bài 21: Giii các phương trình sau:

Bài 25: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau:

a a.sinx + b.cosx (a, b là hằng số, a2 + b2 * 0).

B PMax = Va + b 2 và PMin = - Vã

P\1ax - V/a2 + b 2 vàPMin = -V a 2 + b2

20

b sin2x + sinx.cosx + 3cos2x

« ,V 5 _

2V3 ,

?Bài 26: Giải các phương trình sau:

a 2sin2x + 3 -/3 sinx.cosx - cos2x = 4

Bài 28: Giải các phương trình sau (với k 6 N):

a sin2x + sin4x = sinốx

Bài 29: Giải các phương trình sau (với k e N):

a sin24x + sin23x = sin22x + sin2x

Bài 3 1:Giài các phương trình sau (với k 6 N):

a (1 - tanx)(l + sin2x) = 1 + tanx

c. tan.x + cot2x = 2cot4x.

Bài 34: Giái các phương trình sau (với k 6 N):

a 3sir.:x - sin2x - cos2x = 0

b 3sirr2x - sin2x.cos2x - 4cos22x = 2.

Bài 35; Giải các phương trình sau (với k e N):

a slnx + sin2x + sin3x = cosx + cos2x + cos3x

3ài 3Ịl Ciiái ( ác phương trình sau (với k G N):

Bài 3*: Một vật nặng treo bởi một chiếc lò XO, chuyển động lên xuống qua vị

trí câr bằng (hình vẽ trong sgk) Khoảng cách h từ vật đó đến vị trí cân băng ởthời đem t giây được tính theo công thức h = I d I trong đó:

d = 5sin6t - 4cos6t,với d lược tính băng xentimet, ta quy ước rằng d > 0 khi vật ở phía trên vị trí càn bàig, d < 0 khi vật ở phía dưới vị trí cân bằng Hỏi

a ơ vào thời điểm nào trong 1 giây đầu tiên, vật ở vị trí cân băng ?

A t * 0,11 hoặc t ~ 0,64 c t * 0,11 hoặc t * 0,15

B t 0.15 hoặc t 0,64 D Vô nghiệm

25

b Ờ vào thời điểm nào trong 1 giây dầu tiên, vật ở xa vị trí cân bằng nhất ?(tính chính xác đến —Ị— giày).

100 •

A t 35 0,27 hoặc t =5 0,9 c 1 35 0,27 hoặc t 35 0,8

B t 35 0,37 hoặc 1 35 0,9 D t 35 0,37 hoặc t =5 0,8

Bài 40; Mùa xuân ở Hội Lim (tỉnh Bắc Ninh) thường có trò chơi đu Khi

người chơi nhún đều, cây đu sẽ đưa người chơi đu dao động qua ại vị trí cân bàng Nghiên cứu trò chơi này người ta thấy khoảng cách h (tính bằng mét)

từ người chơi đu đến vị trí càn bằng được biểu diễn qua thời gian t (t > 0

được tính bằng giây) bởi hệ thức h = ị d I với:

d = 3cosj — (2t - l) I

trong đó ta quy ước rằng d > 0 khi vị trí càn bằng ở về phía sau lưng người chơi

đu d < 0 trong trường hợp trái lại

a Tìm các thời điếm trong vòng 2 giãy đầu tiên mà người chơi đu ở xa vị trí cân bằng nhất

ĐÁP SỐ TRẮC NGHIỆM - LỜI GIẢI Tự LUẬN• • •

a Diều kiện: 3 -sin x > 0 Vi I sinx I < 1 nên 3 -sin x > 2 với mọi X.

Vậy, ta được tập xác định của hàm số là D = R

b Diều kiện: sinx * 0 X * k7ĩ, k e z

Vậy, ta được tập xác định của hàm số là D = R\{ krc, k z Ị

a Diều kiện: 1 + cosx * 0 <=> cosx * -1 X * 71 + 2kn, k e z

Vậy ta được tập xác định của hàm số là D = R\{ 7T + 2krt, k e Z Ị

Ta có: f(-x) = sin(-x) - cos(-x) = -sinx - cosx * ±f(x)

Vậy, hàm số y = sinx - cosx không lẻ, không chẩn

Bài 5: Đáp sỏ trắc nghiệm a) A; b) B; c) c.

a Nhận xét ràng: I cos(x + — ) I < 1 <=> -1 < cos(x + — ) < 1

<=> - 2 + 3 < 2cos(x + — ) + 3 < 2 + 3 <=> 1 < y 5

từ đó, suy ra y Max = 5 và yMin = 1

b Ta lần lượt có nhận xét:

V1 - sin(x: ) > 0 <=> y = yfĩ-sin (x : ) - 1 > - 1=> yMịn = -1*

sin(x2) > -1 <=> -sin(x:) < 1 <=> 1 - súi(x2) < 2 => i/l -sin (x 2) < V ĩ

<=> y = -Ịi — sin(x2 ) - I < V2 - I => yMax = V2 - l

c Nhận xét rằng: I sin Vx i < I <=>- I $ sin Vx < I <=>-4 < y = 4sin Vx <í 4

từ đó suy ra yMax = 4 và yMin = -4

Bài 6: Đáp so trắc nghiệm B.

Lời giải tự lu ậ :Ta có thể lựa chọn một trong hai cách:

Cách ì :Ta biến đổi:

P = sin4x + cos4x = (siirx + cos2x) - 2siirx.cos2x = I - — sin22x < I

kĩtsuy ra PM;ix= l, đạt được khi: siir2x = 0 o s in 2 x = 0 c=>2x = k7X<=> X - — , k € e z

Cách 2 : Vì I sinx I < I và I cosx I < I nên:

Bài 7: SÔ trắc nạhiệm c.

Lời £Ìcii tự luận: Ta biến đối:

p = sinx + sin X H— — 2t0 = 2sin'

Bài 8: Đáp s ổ trắc nghiệm a).D ; b) A; c) D.

a Ta biến đổi: y = 2sin2x + 3 « sin2x- — (y-3 ) 'Ị v (*)

Lm

Phương trinh (*) có nghiệm khi và chì khi:

I — Cy - 3) I < 1 <=> I y — 3 1 < 2 o - 2 < y - 3 < 2 o l < y < 5

Vậy, tập giá trị của hàm sô' là đoạn [1 ; 5]

b Ta biến đổi: y = 1 - 2 1 sin3x I <=> I sin3x I = — (1 - y) (*)

Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi:

0 < — (1 — y) < 1 <ĩ=í> 0 < 1 — y < 2 <=> —1 1

Vậy, tập giá trị của hàm sô' là đoạn [-1 ; 1]

c Ta biến đổi: y = 4cos2x - 3sin2x + 6 <=>4cos2x - 3sin2x = y - 6 (*)

Phương trình (*) có nghiệm khi và chi khi:

d Khẳng định này là sai, bởi hai hàm sô' y = sinx và y = cosx đều đồng biẽn

trên khoảng ( - —, 0) Chon B

2

e Khẳng định này là đung, bởi với phép biến dổi: y = cos2x = 1 - siirx

ta khẳng định được rằng trên mỗi khoảng hàm sô y = sin2x dồng biên thì hàm

sô' y = cos2jf nghịch biến Chọn A

n V • « 1 r \ ' ^ * 4 I • * > A I \ r>.

a Ta có biến đổi:

4x = 71+ 2kn X = — + —71 k7t5

<=> 20 /%2

kTt4x =Tí - — + 2k7itt X = — 71+

L 5Vậy, phương trình có hai họ nghiệm,

29

Vậy, phương trình có hai họ nghiệm.

Bài 13: Đáp sô trắc nghiệm a) B; b) A.

a Trước tiên, ta đi giải phương trình bằng phép biến đổi:

6

<=>

X = - — + kĩt

12_ 7tĩ

Vậy, phương trình có hai nghiệm X | = và x2 = —

b Trước tiên, ta đi giải phương trình bằng phép biến đổi:

Vậy phương trình có một họ nghiệm.

b Dặt 5 = tana, ta có biến đổi:

Vậy, phương trình có một họ nghiệm

a Ta có biến đổi: 2x = Ta có biến đổi: 2x = - ị + k7T + kĩi « • x = - — + — , k € z.X =

3Vậy, phương trình có một họ nghiệm

( x \

b Ta có biến đổi: cot — + 20" =

cot(-u = cot(-3ơ’) - + 20" = -30" + k 18Ơ4C>x = -20ơ’ + k720",k e z

Vậy, phương trình có một họ nghiệm

b Biến đổi phương trình về dạng:

tan(2x + 45") = cot( 18Ơ’ - J ) <=> tan(2x + 45°) = tan(90"- 180"+ * )

Vậy, phương trình có hai họ nghiệm

Bài 17: Đáp sô trắc n iệma) D; b) D

a Trước tiên, ta đi giải phương trình bằng phép biến đổi:

tan(2x - 15") = tan45" <=> 2x - 15" = 45" + kl80" <=> X = 30" + k 9 0 ", với k € = z

Với điều kiện -180" < X < 90", ta lần lượt c ó :

Trước tiên, ta đi giải plnrcmg trình bằne phép biến đổi:

-p; AH 1 sin c = — r =

Giá trị c « 145" không được chấp nhận vì khi đó B + c > 180" mâuthuẫn, do đó ta luôn có c « 35".

Khi đó:

■ Với B = 45" và C * 35" thì ta được A = 180" - B - C * 10Ơ’

• Với B = Ị 35" và C Ä 35" thì ta được a" = 180" - B - C * l ơ ’

a Điều kiện dể hàm sô xác định là:

2sinx + y ịĩ ^ 0 <=> sinx * = sin(—— ) » <

Vây, ta đươc tâp xác đinh của hàm số là D= R\{ + 2k7ĩ, — + 2krc Ị, với k z

V ậy, ta được tập xác định của hàm số là D = R\{ }, với k e z.

c Điều kiện đê hàm số xác định là:

Bài 21: Đáp số trắc n g iệma) A; b) B; c) D.

a Biến đổi phương trình về dạng:

b Biến (lổ! phương trình về dạng:

tan3x = —= = V3 = tan— <=> 3x = — +k7T <=> X = 3 + — , k € N

Vậy, phương trình có hai họ nghiệm

c Biến đổi phương trình về dạng:

Đặt t = COSX diều kiện

b Biến dổi phương trình về dạng:

2( 1 - sin2x) + sinx + 1 = 0 <=> 3 — 2sin2x + sinx = 0 o 2sin2x - sinx - 3 = 0

Đặt t = sinx điểu kiện 111 < 1, ta được:

t = - l2t 2 - t - 3 = 0 <=>

Vậy, phương trình có một họ nghiệm

Vậy, phương trình có hai họ nghiệm

Bài 23; Đáp số trắc n iệma), A; b) B; c) C: d) D

a Biến đổi phương trình về dạng:

3(1 -2 s in2x) + lOsinx + 1 = 0 <=> 3sin:x -5sinx - 2 = 0

Đặt t = sinx điểu kiện 111 < 1, ta được:

3t:> - 5t - 2 = 0 <=>

1

t = 3

-t = 2 lo ạ i

71 71 X€| - - ; -

<=> sinx = - — o X =s -0,34

3

b Biến đổi phương trình về dạng:

a Biến đổi phương trình về dạng:

Vậy, phương trình có một họ nghiệm

b Biến đổi phương trình vể dạng:

V2 = 2(sin2x - cos2x) = 2 V2 sin(2x - — ) o sin(2x - — ) =

X = — - + krc

24

,k 6 N

Vậy, phương trình có hai họ nghiệm,

c Biến đổi phương trình về dạng:

5sin2x - 3(1 + cos2x) = 13 «■ 5sin2x - 3cos2x = 16

nhận xét thấy ngay rằng: a2 + b2 = 25 + 9 = 34 < 16’

nên phương trình trên vô nghiệm

Bài 25: Đáp s ố trắc nghiệm a) D; b) D

tro n !» đ ó c o s a =

Va2 + b' v à s i n a = Va2 + b2Khi đó, ta có kết luận:

■ pMin = - V a2 + b2 đạt được khi sin(x + a ) = - 1

* PMax = Va2 + b2 đạt dược khi sin(x + a ) = 1

b Ta biến đổi: Q = sin2x + sinx.cosx + 3cos2x

= — (1 - cos2x) + — sin2x + Ậ (1 + cos2x) = — sin2x + cos2x + 2

■ QMax = 2 + — đạt được khi sin(2x + a ) = 1

Bài 26: Đáp sô'trắc nghiệm a) D; b) B; c) B.

a Ta có thể lựa chọn một trong hai cách giải sau:

Cách ì : Biến đổi phương trình về dạng:

UJ ■=> phương trình (1) vô nghiệm

Vậy, phươog trình vô nghiệm

' Cách 2: Xét hai trường hợp:

Trường hợp ỉ:V ó i c o s x = 0 <=> X = — + k7i, k e z.

2Khi đó, phương trình có dạng: 2 = 4, mâu thuẫn

Vậy, phương trình không nhận X = — +,kĩt làm nghiệm

2

37

Trường hợp 2: Với cosx * 0 <=> X * + k i, k e z.

Chia hai vế của phương trình cho cos2x * 0, ta được:

2tan2x + 3 73 tanx - 1 = — = 4(tan2x + 1) <=> 2tan2x - 3 V3 tanx + 5 = 0

cos2 XĐặt t = tanx, la biến đổi phương trình vé dạng: 2t2 - 3 c/3 t + 5 = c vô nghiệm Vậy, phương trình vô nghiệm,

b Xét hai trường hợp:

Trường hợp J: Với cosx = 0 <=> X = — + kít, k 6 z

2Khi đó, phương trình có dạng: 3 = 0, mâu thuẫn

Vậy, phương trình không nhận X = — + krc làm nghiệm

Trường hợp 2 :Với cosx * 0 <=> X * — + kn, k e z

Chia hai vế của phương trình cho C 0 S2X 0, ta dược:

g

X = arctan(V3 - - ) k7t

3Vậy, phương trình có hai họ nghiệm,

c Ta có thế lựa chọn một trong hai cách giải sau:

Cách 1:Biến đổi phương trình vể dạng:

— (1 - c o s2x) + sin2x - (1 + cos2x) = — <=> 2sin2x - 3cos2x = 2

<=>

X = — + krt4

X = — + 2a + kTC 4

,k € z.

Cách 2 :Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1 :Với cosx = 0 <=> X = — + k7t, k e z.

2Khi đó, phương trình có dang: 1 = —, mâu thuẫn

2

7t

Vậy, phương trình không nhận X = — + k7t làm nghiệm

Trường hợp 2 :Với cosx * 0 <=> X — k7t, k e z.

Chia hai vế của phương trình cho cos2x * 0, ta được:

tan2x + 2tanx - 2 = — (1 + tan2x) <=> tan2x + 4tanx - 5 = 0

2Đặt t = tanx, ta biến đổi phương trình về dạng: t2 + 4 t- 5 = 0<=> t = 1

Bài 27: Đáp sô trắc a) C; b) B

a Biến đổi phương trình về dạng:

Vậy, phương trình có hai họ nghiệm,

b Biến đổi phương trình về dạng:

— (sin9x - sinx) = — (sin5x - sinx) <=> sin9x = sin5x

Vậy, phương trình có hai họ nghiệm

Bài 28: Đáp so trắc n iệma) A; b) B

a Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách T.Biến đổi phương trình về dạng:

- sin4x = sinóx - sin2x <=> 2sin2x.cos2x = 2cos4x.sin2x

39

<=> (cos4x - cos2x).sin2x = 0 o sin2x = 0

Vậy, phương trình có haĩ họ nghiệm

Cách 2 :Biến đổi phương trình về dạng:

sin2x = sinóx - sin4x <=> 2sinx.cosx = 2cos5x.sinx

Vậy, phương trình có hai họ nghiệm,

b Biến đổi phương trình về dạng:

sin2x - Cơs2x = cosx - sinx <=> V2 sin(2x - — ) = V2 sin( — - x)

Vậy, phương trình có hai họ nghiêm

Bài 29: Đáp số trắc n iệma) B; b) D

a Biến đổi phương trình về dạng:

— ( 1 - Cơs8x) + — (1 - cosóx) = — (1 - cos4x) + — (1 - cos2x)

<=> cos8x + cosóx = cos4x + cos2x o 2cos7x.cosx = 2cos3x.cosx

c o s X = 0

<=> (cos7x - cos3x).cosx = 0 <=>

c o s 7 x = c o s 3 x