Tốc độ hội tụ của một số phép lặp trong không gian banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2PHẠM THỊ SEN TỐC ĐỘ HỘI TỤ CỦA MỘT SỐ PHÉP LẶP TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2016... BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

PHẠM THỊ SEN

TỐC ĐỘ HỘI TỤ CỦA MỘT SỐ PHÉP LẶP

TRONG KHÔNG GIAN BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

PHẠM THỊ SEN

TỐC ĐỘ HỘI TỤ CỦA MỘT SỐ PHÉP LẶP

TRONG KHÔNG GIAN BANACH

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Khải

HÀ NỘI, 2016

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Khải

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới TS Nguyễn Văn Khải,người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tác giả hoànthành luận văn này

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, cácthầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích, trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoànthành luận văn tốt nghiệp

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, ngườithân đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giảtrong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, 10 tháng 6 năm 2016

Tác giả

Phạm Thị Sen

LỜI CAM ĐOAN

Dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Khải luận văn Thạc sĩ chuyênngành Toán giải tích với đề tài “Tốc độ hội tụ của một số phép lặp trongkhông gian Banach” được hoàn thành bởi sự nhận thức của bản thân,không trùng với bất cứ luận văn nào khác

Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của cácnhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, 10 tháng 6 năm 2016

Tác giả

Phạm Thị Sen

Mục lục

1.1 Không gian metric 6

1.1.1 Sự hội tụ 6

1.1.2 Tập mở, tập đóng và ánh xạ liên tục 8

1.1.3 Không gian metric đầy đủ 10

1.2 Không gian định chuẩn 11

1.2.1 Định nghĩa 11

1.2.2 Sự hội tụ trong không gian định chuẩn 11

1.2.3 Không gian Banach 13

1.2.4 Chuỗi trong không gian định chuẩn 14

2 Sự hội tụ của một số dãy lặp 17 2.1 Ánh xạ co 17

2.1.1 Điểm bất động 17

2.1.2 Ánh xạ co 17

2.1.3 Nguyên lý ánh xạ co Banach 18

2.2 Dãy lặp Picard, Mann, Ishikawa, hai bước 19

2.2.1 Dãy lặp Picard 19

2.2.2 Dãy lặp Mann 19

2.2.3 Dãy lặp Ishikawa 19

2.2.4 Dãy lặp hai bước 20

2.3 Ánh xạ Zamfirescu và sự hội tụ của dãy lặp Picard, Mann, Ishikawa, hai bước 20

2.3.1 Ánh xạ Zamfirescu 20

2.3.2 Sự hội tụ của dãy lặp Picard 23

2.3.3 Sự hội tụ của dãy lặp Mann 25

2.3.4 Sự hội tụ của dãy lặp Ishikawa 26

2.3.5 Sự hội tụ của dãy lặp hai bước 27

2.3.6 Mối liên hệ về điểm bất động của các dãy lặp Picard, Mann, Ishikawa và dãy lặp hai bước 29

3 So sánh tốc độ hội tụ của một số dãy lặp 34 3.1 So sánh tốc độ hội tụ dãy lặp Picard và dãy lặp hai bước 34

3.2 So sánh tốc độ hội tụ dãy lặp hai bước và dãy lặp Mann 41

3.3 So sánh tốc độ hội tụ dãy lặp hai bước và dãy lặp Ishikawa 47 3.4 So sánh tốc độ hội tụ dãy lặp Picard và dãy lặp Mann 54

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Lý thuyết điểm bất động xuất hiện đã lôi cuốn sự quan tâm nghiên cứucủa nhiều nhà toán học trên thế giới không chỉ vì lý thuyết này đóng vaitrò quan trọng trong toán học mà còn vì những ứng dụng của nó ở nhiềulĩnh vực khác nhau Trong lý thuyết điểm bất động, phương pháp lặp xấp

xỉ các điểm bất động là một đề tài đang được đặt biệt chú ý Nhiều nămtrở lại đây, có rất nhiều công trình nghiên cứu về phương pháp lặp xấp

xỉ các điểm bất động trong không gian metric, một số lớp của không gianBanach, các không gian Hilbert được công bố

Với mong muốn nghiên cứu một số vấn đề về lý thuyết điểm bất động,dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Khải tôi đã hoàn thành luậnvăn với đề tài "Tốc độ hội tụ của một số phép lặp trong không gianBanach" Nội dung luận văn cơ bản dựa trên hai công trình: The com-parion of the convergence speed between Picard, Mann, Ishikawaand two-step iterations in Banach spaces Acta Mathematica Viet-namica, vol 37, Number 2, 2012, pp 243-249 của DuongVietThong; Pi-card iteration converges faster than Mann iteration for a class ofquasi-contraction operators O Popescu, (2007), Math Commun, 12,

pp 195-202

2 Mục đích nghiên cứu

So sánh tốc độ hội tụ của các phép lặp Picard, Mann, Ishikawa và lặphai bước trong không gian Banach

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về các phép lặp Picard, Mann, Ishikawa, lặp hai bước, toán

tử Zamfirescu và so sánh tốc độ hội tụ giữa các phép lặp đó trong khônggian Banach

Luận văn được chia làm ba chương:

Chương 1 : Kiến thức chuẩn bị Trình bày một số vấn đề về sự hội tụcủa dãy số, chuỗi số trong không gian metric, không gian định chuẩn vàkhông gian Banach

Chương 2 : Sự hội tụ của một số dãy lặp Trình bày các kết quả liênquan đến sự tồn tại điểm bất động với nguyên lý ánh xạ co Banach, ánh xạZamfirescu và sự hội tụ tới điểm bất động của các dãy lặp Picard, Mann,Ishikawa và dãy lặp hai bước

Chương 3 : So sánh tốc độ hội tụ của một số dãy lặp Trình bàycác kết quả so sánh tốc độ hội tụ của các dãy lặp Picard, Mann, Ishikawa

và dãy lặp hai bước

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu là các phép lặp Picard,Mann, Ishikawa, lặp hai bước và toán tử Zamfirescu trong không gianBanach

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu của giải tích hàm

6 Đóng góp của luận văn

Luận văn đã hệ thống hóa các vấn đề về tốc độ hội tụ của các phéplặp Picard, phép lặp Mann, phép lặp Ishikawa và phép lặp hai bước trongkhông gian Banach

(i) ρ(x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ X, ρ(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y;

(ii) ρ(x, y) = ρ(y, x) với mọi x, y ∈ X (tính đối xứng);

(iii) ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z) ∀x, y, z ∈ X (bất đẳng thức tam giác).Nếuρ là một metric trên X thì ta nói cặp(X, ρ)được gọi là một khônggian metric Để đơn giản ta có thể viết X là không gian metric

Khi đó ρ là một metric trên C, được gọi là metric thông thường trên C.Không gian C với metric thông thường được gọi là mặt phẳng phức.

Ví dụ 1.1.3 ([1]) Giả sử Rk là không gian vectơ thực k chiều

Với x = (x1, , xk), y = (y1, , yk) của Rk, ta định nghĩa

;

ρ∞(x, y) = max

1≤i≤k|xi− yi|

Khi đó có thể thấy ρ1, ρ2, ρ∞ là những metric trên Rk

Định nghĩa 1.1.2 ([1]) Giả sử {xn}∞n=1 là một dãy điểm trong khônggian metric (X, ρ) Ta nói dãy {xn}∞n=1 hội tụ đến điểm x ∈ X nếulim

n→∞ρ (xn, x) = 0, nghĩa là với mọi số ε > 0 tồn tại số tự nhiên nε sao cho

ρ (xn, x) < ε với mọi n ≥ nε

Khi đó, điểm x ∈ X được gọi là giới hạn của dãy {xn}∞n=1 và ta viết

lim

n→∞xn = x hoặc xn → x.Một dãy gọi là hội tụ nếu nó có một giới hạn nào đó

Nhận xét 1.1.1 ([1]) Trong một không gian metric, giới hạn của mỗidãy hội tụ là duy nhất

Chứng minh Thật vậy, giả sử dãy lim

n→∞xn trong không gian metric (X, ρ)hội tụ đến hai điểm phân biệt x, y ta có:

0 < ρ (x, y) ≤ ρ (x, xn) + ρ (xn, y) −→ 0 khi n −→ ∞

Suy ra ρ (x, y) = 0 hay x = y Điều này là vô lí

Ví dụ 1.1.4 ([1]) Sự hội tụ trên đường thẳng thực R và mặt phẳng phức

C là sự hội tụ của dãy số theo nghĩa thông thường

Ví dụ 1.1.5 ([1]) Trong không gian Rk, sự hội tụ của dãy

xn = (x(n)1 , , x(n)k ) đến điểm x = (x1, , xk) là sự hội tụ theo từng tọa độ

Định nghĩa 1.1.3 ([8]) Giả sử rằng dãy số thực {xn} hội tụ về số x, dãy

số thực {yn} hội tụ về số y thì {xn} gọi là hội tụ nhanh hơn {yn} nếu

lim

n→∞

xn − x

yn− y

Định nghĩa 1.1.6 ([1]) Tập A được gọi là tập mở nếu mọi điểm của Ađều là điểm trong của nó, tập A được gọi là tập đóng nếu phần bù X|Acủa A là mở.

Ví dụ 1.1.6 ([1]) Trên đường thẳng thực R với a, b ∈R, a < b, tập (a, b)

là mở, tập [a, b] là đóng, còn [a, b) hay (a, b] không mở cũng không đóng.Định lý 1.1.1 ([1]) Tập con A của không gian metric (X, ρ) là mở khi

và chỉ khi với mọi dãy {xn} trong X nếu xn −→ x ∈ A thì tồn tại số tựnhiên n0 sao cho xn ∈ A với mọi n ≥ n0

Chứng minh (⇒) Giả sử A mở, xn là một dãy hội tụ đến điểm x ∈ A

Do A là mở nên tồn tại số r > 0 sao cho B (x0, r) ⊂ A Lại do xn −→ xnên tồn tại số tự nhiên n0 sao cho ρ (xn, x) < r hay xn ∈ B (x0, r) với mọi

Định nghĩa 1.1.7 ([1]) Cho f : X −→ Y là một ánh xạ từ không gianmetric (X, ρ) vào không gian metric (Y, d) Ánh xạ f được gọi là liên tục

tai x0 ∈ X nếu với mọi số ε > 0 tồn tại số δ > 0 sao cho với mọi x ∈ X,

từ ρ (x, x0) < δ kéo theo d (f (x) , f (x0)) < ε Ta nói rằng ánh xạ f liêntục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm của x

Mệnh đề 1.1.1 ([1]) Ánh xạ f liên tục tại x0 khi và chỉ khi với mọi dãy{xn} ⊂ X, xn −→ x0 kéo theo f (xn) −→ f (x0)

Chứng minh (⇒)Giả sử ánh xạ f liên tục tạix0 ,{xn} ⊂ X vàxn −→ x0

Ta chứng minh f (xn) hội tụ đến f (x0) Lấy ε > 0 bất kì Vì f liên tụctại x0 nên tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x ∈ X, nếu ρ (x, x0) < δ thì

d (f (x) , f (x0)) < ε Mặt khác, do xn −→ x0 nên tồn tại n0 ∈ N saocho ρ (xn, x0) < δ với mọi n ≥ n0 Từ đó d (f (xn) , f (x0)) < ε với mọi

n ≥ n0 Vậy f (xn) −→ f (x0)

(⇐) Giả sử phản chứng rằng f không liên tục tại x0 Khi đó tồn tại

ε > 0 để với mọi δ > 0, tồn tại xδ ∈ X sao cho ρ (xδ, x0) < δ nhưng

d (f (xδ) , f (x0)) ≥ ε Với mỗi n ∈ N∗, chọn δ = 1

n ta có xn ∈ X để

ρ (xn, x0) < 1

n và d (f (xn) , f (x0)) ≥ ε Suy ra xn −→ x0 nhưng f (xn) 9

f (x0) Điều này trái với giả thiết, vậy f liên tục tại x0

1.1.3 Không gian metric đầy đủ

Giả sử (X, ρ) là một không gian metric

Định nghĩa 1.1.8 ([1]) Dãy {xn} ⊂ X được gọi là dãy Cauchy (hoặcdãy cơ bản) nếu lim

∀n ≥ n0, m ≥ n0 : ρ (xn, xm) ≤ ρ (xn, x0) + ρ (xm, x0) ≤ ε

2+ε

2 = ε.

Nhận xét 1.1.4 ([1]) Dãy Cauchy có thể không hội tụ Chẳng hạn, Q làkhông gian metric với metric:

Ví dụ 1.1.7 Không gian R,C là những không gian metric đầy đủ còn Qthì không phải là không gian metric đầy đủ

1.2 Không gian định chuẩn

1.2.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.2.1 ([2]) Cho X là không gian vectơ trên trường số thực

R Hàm số k.k : E −→ R+ được gọi là một chuẩn trên X nếu các tínhchất sau thỏa mãn:

(i) kxk ≥ 0 với mọi x ∈ X, kxk = 0 ⇔ x = 0;

(ii) kλxk = |λ|kxk với mọi λ ∈R và với mọi x ∈ X;

(iii) kx + yk ≤ kxk + kyk với mọi x, y ∈ X

Không gian vectơ X trên đó xác định một chuẩn được gọi là khônggian định chuẩn

1.2.2 Sự hội tụ trong không gian định chuẩn

Nhận xét 1.2.1 Từ định nghĩa suy ra nếu X là một không gian địnhchuẩn thì nó là một không gian metric, với metric được định nghĩa bởi

ρ (x, y) = kx − yk với mọi x, y ∈ X Khi đó ρ là một khoảng cách trong

X Vì vậy, lí thuyết các không gian metric áp dụng được cho các khônggian định chuẩn.

Định nghĩa 1.2.2 ([2]) Giả sử{xn}∞n=1 là một dãy trong không gian địnhchuẩnX Ta nói dãy{xn}∞n=1 hội tụ đến điểmx ∈ X nếu lim

n→∞kxn− xk = 0,nghĩa là, với moị số ε > 0 tồn tại số tự nhiên nε sao cho kxn − xk < ε vớimọi n ≥ nε

Khi đó, điểm x ∈ X được gọi là giới hạn của dãy {xn}∞n=1 và ta viết

lim

n→∞xn = x hoặc xn −→ x.Một dãy gọi là hội tụ nếu nó có một giới hạn nào đó

Mệnh đề 1.2.1 ([2]) Giả sử trong không gian định chuẩn X, xn −→ x0,

Ví dụ 1.2.2 Xét không gian C[a, b] các hàm liên tục trên đoạn [a, b] vớiphép cộng, phép nhân thông thường Xét f ∈ C[a, b], kf k =

q

Rb

a[f (x)]2dx,khi đó C[a, b] là không gian tuyến tính định chuẩn

Ví dụ 1.2.3 ([2]) (Không gian các dãy bị chặn) Kí hiệu l∞ là tập hợptất cả các dãy số bị chặn trên bởi S và kxk∞ = sup

n→∞

|xn| < ∞

1.2.3 Không gian Banach

Định nghĩa 1.2.4 ([2]) Nếu không gian định chuẩn X là một không gianmetric đầy đủ với khoảng cách d(x, y) = kx − yk thìX được gọi là khônggian Banach

Ví dụ 1.2.4 ([3]) (Không gian các dãy khả tổng bậc p) Với mỗi số thực

p ≥ 1 tùy ý, ta kí hiệu lp tập hợp tất cả các dãy số (thực hoặc phức) khảtổng bậc p bởi

Định nghĩa 1.2.5 ([2]) ChoX là không gian định chuẩn Giả sử {xn} ⊂

X, x ∈ X Dãy {xn} được gọi là hội tụ theo chuẩn tới x nếu {xn} hội

tụ tới x theo metric sinh bởi chuẩn trên X

Dãy {xn} hội tụ tới x theo chuẩn tương đương với kxn− xk −→ 0

Định nghĩa 1.2.6 ([2]) Tập con X trong không gian vectơ E gọi là tậplồi nếu

[a, b] = {ta + (1 − t)b : 0 ≤ t ≤ 1} ⊂ X với mọi a, b ∈ X

Ví dụ 1.2.5 Hình cầu B(0, 1) = {x ∈ X : kxk < 1} là một tập lồi.Chứng minh Thật vậy, giả sử x, y ∈ B, 0 ≤ s ≤ 1 Ta có

Từ đó suy ra sx + (1 − s)y ∈ C, vậy tập C là tập lồi.

1.2.4 Chuỗi trong không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.2.7 ([3]) Giả sử E là một không gian định chuẩn Tổnghình thức

Sn = x1 + x2 + + xn

ta được dãy {Sn}n∈N ⊂ E, Sn được gọi là tổng riêng thứ n của (1.1)

Định nghĩa 1.2.8 ([2]) Nếu dãy các tổng riêng {Sn} ⊂ E hội tụ tới

S ∈ E thì chuỗi (1.1) được gọi là hội tụ và S được gọi là tổng của nó

Mệnh đề 1.2.2 ([2]) (Điều kiện cần cho sự hội tụ)

Nếu chuỗi (1.1) hội tụ thì số hạng tổng quát dần tới 0, tức là lim

n→∞xn = 0Chứng minh Thật vậy, giả sử S =

xn trong không gian định chuẩn

E gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi S =

Mệnh đề 1.2.3 ([2]) Mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối là chuỗi hội tụ.

Chứng minh Từ giả thiết chuỗi

với n ≥ n0(ε) và với mọi p ≥ 1, ở đó ε > 0 là số cho trước

Từ đó: kan+1 + an+2 + + an+pk < ε với n ≥ n0(ε) và với mọi p ≥ 1nên chuỗi

∞

P

n=1

an hội tụ

Định nghĩa 2.1.1 ([1]) ChoX là một không gian metric vàT : X −→ X

là một ánh xạ liên tục Một điểm x ∈ X được gọi là điểm bất động với

T nếu x = T x

Có lẽ định lý điểm bất động đơn giản nhất và được sử dụng rộng rãinhất là nguyên lý ánh xạ co Banach Trước khi phát hiện nguyên lý nổitiếng này, chúng ta định nghĩa ánh xạ co

2.1.2 Ánh xạ co

Định nghĩa 2.1.2 ([4]) Ánh xạT từ không gian metric (X, d)vào khônggian metric (Z, d) được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số k ∈ [0, 1) sao chod(T x, T y) ≤ kd(x, y) với mọi x, y ∈ X

2.1.3 Nguyên lý ánh xạ co Banach

Định lý 2.1.1 ([4]) (Nguyên lý ánh xạ co Banach) Cho (X, d) làmột không gian metric đầy đủ và T : X −→ X là một ánh xạ co Khi đó,tồn tại duy nhất x∗ ∈ X mà T x∗ = x∗ Ngoài ra, với mọi x0 ∈ X ta có

Tnx0 −→ x∗ khi n −→ ∞

Chứng minh Giả sử (X, d) là không gian metric đầy đủ và T : X −→ X

là ánh xạ thỏa mãn: d(T x, T y) ≤ kd(x, y) với mọi x, y ∈ X, với hằng số

Vậy x∗ là điểm bất động duy nhất của T.

2.2 Dãy lặp Picard, Mann, Ishikawa, hai bước

Cho E là một không gian Banach, D là một tập con đóng, lồi của E và

T : D −→ D là một ánh xạ Cho p0, v0, u0, x0 tùy ý trong D Khi đó, tađịnh nghĩa một số dãy lặp như sau:

2.2.4 Dãy lặp hai bước

Định nghĩa 2.2.4 ([8]) Dãy {xn}∞n=0 ⊂ D được xác định bởi

2.3 Ánh xạ Zamfirescu và sự hội tụ của dãy lặp Picard, Mann,

Ishikawa, hai bước

Nhận xét 2.3.1 Từ định nghĩa trên thu được kết quả là mỗi ánh xạZamfirescu T đều thỏa mãn bất đẳng thức

kT x − T yk ≤ δkx − yk + 2δkx − T xk, ∀x, y ∈ X, (2.5)trong đó

δ = max{a, b

1 − b,

c

1 − c}, 0 < δ < 1

Chứng minh Thật vậy, ta cóT thỏa mãn điều kiện Zamfirescu nếu ít nhấtmột trong các điều kiện (i), (ii), (iii) được thỏa mãn.

(i) Nếu điều kiện (i) được thỏa mãn thì biểu thức (2.5) đúng với δ = a.(ii) Nếu điều kiện (ii) được thỏa mãn

12

 Ánh xạ T thỏa mãn:

3,

12

 Ánh xạ T thỏa mãn:

kT x − T yk ≤ b (kx − T xk + ky − T yk).Suy ra điều cần chứng minh

Nhận xét 2.3.2 Qua các ví dụ trên chứng tỏ lớp các ánh xạ Zamfirescu

là rộng hơn thực sự lớp ánh co

2.3.2 Sự hội tụ của dãy lặp Picard

Định lý 2.3.1 ([8,10]) Cho (X, d) là một không gian metric đầy đủ và

T : X −→ X là một ánh xạ Zamfirescu thì T có điểm bất động duy nhất

q và dãy lặp Picard hội tụ tới q

Chứng minh Lấy x0 ∈ X bất kì và n ≥ 0 Cho x = Tnx0, y = Tn+1(x0).Giả sử x 6= y, ngoài ra x là điểm bất động của T

(+) Nếu điều kiện Zamfirescu (i) được thỏa mãn, ta có

Từ đây, với mọi n, p ≥ 0, ta có

4d(q, T q) với mọi x ∈ X Khi đó tồn tại một

số N sao cho Tnx0 ∈ B với mọi n ≥ N

2.3.3 Sự hội tụ của dãy lặp Mann

Định lý 2.3.2 ([8]) Cho E là một không gian Banach, D là một tậpcon đóng, lồi của E và T : D −→ D là một ánh xạ thỏa mãn điều kiệnZamfirescu Cho {vn}∞n=0 là một dãy lặp Mann được xác định bởi (2.2),trong đó v0 ∈ D, dãy {an} ⊂ [0, 1] và thỏa mãn

∞

P

n=0

an = ∞ thì {vn}∞n=0

hội tụ tới điểm bất động của T

Chứng minh Giả sử T có điểm bất động là q Khi đó ta có T q = q

Vậy dãy lặp Mann hội tụ tới điểm bất động của T.

2.3.4 Sự hội tụ của dãy lặp Ishikawa

Định lý 2.3.3 ([8]) Cho E là một không gian Banach, D là một tậpcon đóng, lồi của E và T : D −→ D là một ánh xạ thỏa mãn điều kiệnZamfirescu Cho {un}∞n=0 là một dãy lặp Ishikawa được xác định bởi (2.3),trong đó u0 ∈ D, dãy {an} , {bn} ⊂ [0, 1] là dãy số dương và {an} thỏamãn

∞

P

n=0

an = ∞ thì {un}∞n=0 hội tụ tới điểm bất động của T

Chứng minh Giả sử T có điểm bất động là q Khi đó ta có T q = q

Từ (2.3), ta có:

kun+1− qk = k(1 − an)un+ anT zn − (1 − an + an)qk

Suy ra

kun+1 − qk ≤ (1 − an)kun − qk + ankT zn− qk (2.10)

Vậy dãy lặp Ishikawa hội tụ tới điểm bất động của T.

2.3.5 Sự hội tụ của dãy lặp hai bước

Định lý 2.3.4 ([8]) Cho E là một không gian Banach, D là một tậpcon đóng, lồi của E và T : D −→ D là một ánh xạ thỏa mãn điều kiện

Zamfirescu Cho {xn}∞n=0 là một dãy lặp hai bước được xác định bởi (2.4),trong đó x0 ∈ D, dãy {an} , {bn} ⊂ [0, 1] là dãy số dương và {an} thỏamãn

∞

P

n=0

an = ∞ thì {xn}∞n=0 hội tụ tới điểm bất động của T

Chứng minh Giả sử T có điểm bất động là q Khi đó ta có T q = q

Hay kxn+1 − qk ≤ [1 − an(1 − δ)]kxn− qk với mọi n ≥ 0.

Lặp lại quá trình trên ta được

Vậy dãy lặp hai bước hội tụ tới điểm bất động của T

2.3.6 Mối liên hệ về điểm bất động của các dãy lặp Picard, Mann, Ishikawa

và dãy lặp hai bước

Bổ đề 2.3.1 ([9]) Cho {an}, {bn} là hai dãy số không âm và 0 ≤ q < 1sao cho:

αn+1 ≤ q.αn + βn, n ∈ N (2.16)

Khi đó, nếu lim

n→∞βn = 0 thì lim

n→∞αn = 0.Định lý 2.3.5 ([9]) Cho E là một không gian Banach, K là một tậpcon khác rỗng, đóng, lồi của E và T : K −→ K là một ánh xạ thỏa mãnđiều kiện Zamfirescu Giả sử rằng T có một điểm bất động x∗ ∈ K Nếu

u0 = x0 ∈ K thì khẳng định sau là đúng:

(i) Nếu dãy lặp Mann hội tụ tới x∗ thì dãy lặp hai bước cũng lặp tới x∗.(ii) Nếu dãy lặp hai bước hội tụ tới x∗ thì dãy lặp Mann cũng lặp tới x∗.Trong đó, an ≥ A > 0 với mọi n ∈ N.