GIÁO ÁN CASIO HAY CÓ BỔ SUNG CHỈ CẦN IN RA DẠY

Dạng 7: TÌM SỐ DƯ TRONG PHÉP CHIA HAI SỐ TỰ NHIÊNI/ KHI ĐỀ CHO SỐ NHỎ HƠN 10 CHỮ SỐ: A/ PHƯƠNG PHÁP: Sử dụng chức năng phím ÷Rđể tìm thương và số dư trong phép chia... Tìm số dư phần đầu

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP.

−+

149

17

11

27

29

23

22:343

449

47

44

27

19

13

11

−

+++

−+

−

++

+

×

b) N =

515151434343611

3243

323

33

611

10243

1023

1010:113

1189

1117

1111

113

589

517

55129

+

−+

+

−++

−++

×

Ấn: SHIFT SOLVEMáy hiện: A? ấn ALPHA A X? ấn (bỏ qua)

B? ấn ALPHA B C? ấn ALPHA C D? ấn ALPHA D D? ấn

X? ấn SHIFT SOLVE , Kết quả: x = - 1,4492

Bài 2: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình:

342

12:4

315,3

4:8,125,1x5

47

31

12:75,03,05,0:5

37

25

,

12

5

43

24

32

,4x3:35,015

135

2288,1

2

1120

33,05

1:465,220

1

3

003,0:2

14

x

=+

Ấn dấu = liên tiếp đến X = 29 thì dừng Kết quả: A ≈166498,7738

Tương tự: Tính giá trị gần đúng (chính xác đến 4 chữ số thập phân) biểu thức sau:

3 1

1

(2 1)( 1)

n

x

3/ 12 + 32 + 52 +72 +….+ (2n – 1)2 =

2

2 1

(4 1)

(2 1)3

X

∑ Ấn dấu = Kết quả Sn = 216225.Cách 2: Sn =

2

( 1)

(1 2 3 )4

Dạng 6: DÃY PHÂN SỐ THEO QUI LUẬT A/ GHI NHỚ:

4 28 70 130+ + + + + 4038088Hướng dẫn

Bài 2: Tính M = 1 1 1 1

1.2.3 2.3.4 3.4.5+ + + + 2001.2002.2003Hướng dẫn

k + )2Suy ra: 1 12 1 2

b) Tính S(10); S(12) với 6 chữ số ở phần thập phân

KQ: S(10) = 10,416667; S(12) = 12, 428571

Áp dụng công thức trên giản ước ta được: M = 8116421

Bài 10: Tính giá trị của biểu thức:

( 1) ( 1)( 2)

Dạng 7: TÌM SỐ DƯ TRONG PHÉP CHIA HAI SỐ TỰ NHIÊN

I/ KHI ĐỀ CHO SỐ NHỎ HƠN 10 CHỮ SỐ:

A/ PHƯƠNG PHÁP:

Sử dụng chức năng phím ÷Rđể tìm thương và số dư trong phép chia

Ví dụ: Tính thương và số dư của phép chia 8 3÷

Kết quả: Thương là: 7 và số dư R = 2227962

Tương tự: Tìm thương và số dư trong phép chia:

1/ 3523127 cho 2047 KQ: q=1721 và R = 240

2/ 123456789 cho 23456 KQ: q = 5263 và R = 7861

3/ 987654321 cho 123456789 KQ: q = 8, R= 9

Bài 2: Tìm thương và số dư trong phép chia 815 cho 2004

Hướng dẫn

Ta có: 815 = 88.87

Thực hiện phép chia 88 cho 2004 được số dư là: r1 = 1732

Thực hiện phép chia 87 cho 2004 được số dư là: r2 = 968

Số dư trong phép chia 815 cho 2004 chính là số dư trong phép chia 1732 968 cho 2004

Vậy: Số dư của phép chia 88 cho 2004 là: R = 1232

II/ KHI ĐỀ CHO SỐ LỚN HƠN 10 CHỮ SỐ :

A/ PHƯƠNG PHÁP:

1/ Cách 1: Tìm số dư của A khi chia cho B ( A là số có nhiều hơn 10 chữ số)

Cắt ra thành từng nhóm , nhóm đầu có chín chữ số (kể từ bên trái) Tìm số dư phần đầu khi chia cho B.Viết liên tiếp sau số dư phần còn lại (tối đa đủ 9 chữ số) rồi tìm số

dư lần hai Nếu còn nữa tính liên tiếp như vậy

2/ Cách 2: Giải trên máy FX 570vn plus

Tìm số dư trong phép chia 1234567890987654321 cho 207207 (Trích kì thi chọn học sinh giỏi toán trên máy tính Casio Quận 12 năm học 2014-2015)

Số dư của phép chia 234567890 cho 4567là : 2203

Số dư của phép chia 22031234 cho 4567 là: 26

Kết quả số dư cuối cùng là 26

Bài 2: Tìm số dư trong phép chia

+ Một số tính chất: Với mọi a, b, c thuộc Z+

Vậy: số dư của phép chia 126 cho 19 là 1

Bài 2: Tìm số dư của 199140 cho 2008

Vậy số dư khi chia số 182008 + 82009 cho 49 là 19

Bài 4: Tìm số dư khi chia 15972008 cho 49

Vậy: Vậy số dư khi chia số 15972008 cho 49 là 22.

Với p là số nguyên tố ta có: ap ≡ a (mod p)

Đặc biệt nếu (a,p) = 1 thì ap-1 ≡1 (mod p)

a) Tìm một chữ số tận cùng của an

Nếu a có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 thì an lần lượt có chữ số tận cùng là 0, 1, 5 , 6.Nếu a có chữ số tận cùng là 2, 3, 7 ta có nhận xét sau

Vậy 17 172000 2 ≡1.9(mod10) Chữ số tận cùng của 172002 là 9

Bài 2: Tìm chữ số hàng đơn vị của số: N = 1032006

Hướng dẫn

3 4 5

2006 2 (mod 4)≡ , nên 1032006 có chữ số tận cùng là 9.

Bài 3: Tìm chữ số tận cùng của 6195 và 21000

Hướng dẫn

Ta có : 62 = 36 ≡ 6 mod 10 suy ra 6n ≡6 mod 10

Suy ra: 6195+ ≡6 (mod 10) Vậy chữ số tận cùng của 6195 là 6

b Ta có: 1997 ≡ 7 (mod 10) suy ra 19972 ≡ 49 ≡ 9 (mod 10)

Suy ra 19974 ≡ 1 (mod 10) suy ra (19974)409 ≡ 1 (mod 10)

Bài 6: Tìm chữ số tận cùng của tổng: S = 21 +35 +49 + +5052013

Hướng dẫn

Trước tiên, ta nhận xét rằng: n5 − =n n n( −1) (n+1) (n2 +1) là số chẵn và chia hết cho

5 nên có tận cùng bằng 0 (với mọi số tự nhiên n)

2

Vậy chữ số tận cùng của tổng S là 4

Bài 7: Tìm chữ số tận cùng của số:

Vậy chữ số hàng chục của số 232005 là 4, hai chữ số tận cùng của số 232005 là 43.

Bài 9: a/ Tìm chữ số hang chục của số 232008

Suy ra: A ≡88.7 (mod 100) => A ≡616 (mod 100)

Vậy hai chữ số cuối của A là 16

Bài 12 Tìm hai chữ số cuối cùng của tổng A = 22001 + 22002 + 22003

Hướng dẩn

Bài toán này được đưa về bài toán tìm số dư trong phép chia A cho 100 Phải thực hiện thuật giải sau :

Vậy chữ số hàng trăm của số 232005 là số 3, ba chữ số tận cùng của số 232005 là số 343.

Bài 16: Tìm hai chữ số tận cùng của số 2999 và tìm 6 chữ số tận cùng của số 521

2490017

77

7

)1000(mod

001

7

)1000(mod001001

)001(249)

249(249

7

)1000(mod

249

7

10 3400

3411

3400

2 2

2 4 10

7 3411 ≡ 11 ≡ KQ: : 743

Bài 18: Tìm hai chữ số tận cùng của tổng S = 1! + 2! + 3! +…………+ 2014!

Hướng dẫn

Với n là số tự nhiên tứ 10 trở đi thì n! có hai chữ số tận cùng là 00

Suy ra hai chữ só tận cùng của S là hai chữ số tận cùng của 1!+ 2! +3! +…+9!

Kết quả: Hai chữ số tận cùng của S là 13

Định lí: (Dấu hiệu nhận biết một phân số đổi được ra số thập phân hữu hạn)

Điều kiện cần và đủ để một phân số tối giản có thể viết được thành ra số thập phân hữu hạn là mẫu số của nó không chứa những thừa số nguyên tố ngoài 2 và 5

1/ Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số tối giản:

a/ Muốn viết phần thập phân của số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn dưới dạng phân

số, ta lấy chu kỳ làm tử, còn mẫu là một số gồm các chữ số 9, số chữ số 9 bằng số chữ

số của chu kỳ

Ví dụ: 0,(31) = 31

99; 1,(3) =

31

9 =

113b/ Muốn viết phần thập phân của số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp dưới dạng phân

số, ta lấy số gồm phần bất thường và chu kỳ trừ đi phần bất thường làm tử, còn mẫu là một số gồm các chữ số 9 kèm theo các chữ số 0, số chữ số 9 bằng số chữ số của chu

1 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3

( ), ( ) ,

Dạng 1: ĐỔI SỐ THẬP PHÂN VÔ HẠN TUẦN HOÀN RA PHÂN SỐ

Bài 1: Đổi các số thập phân sang phân số:

1998 =

Bài 4: Cho M = [0,(153846)]3 + [0,0(153846)]3 Hãy so sánh M với 1

2011Hướng dẫn

Ta có 0,(153846) = 153846 2

999999 13= ; 0,0(153846) = 1 153846 2

10 999999 130=Bấm máy

Bài 5: Tìm chữ số thập phân thứ 2013 sau dấu phẩy của số

A = 2,(085) + 1,2(915) đề thi học sinh giỏi trên máy tính Casio cấp TPHCM

Hướng dẫn

Ta có: A = 2,(085) + 1,2(915) = 2083 4301 3,3766766

999 +3330 =Vậy chữ số thập phân thứ 2013 sau dấu phẩy là 6

Dạng 2: TÌM CHỮ SỐ THẬP PHÂN THỨ n ∈ N SAU DẤU PHẨY

CỦA SỐ THẬP PHÂN VÔ HẠN TUẦN HOÀN Bài 1: Tìm chữ số lẻ thập phân thứ 105 của phép chia 17 : 13

Mười một chữ số ở hàng thập phân tiếp theo là: 07692307692

Ta đã tìm được 18 chữ số đầu tiên ở hàng thập phân sau dấu phẩy là:

Ta có 2011≡ 11(mod 16) Vậy chữ số thập phân thứ 2011 sau dấu phấy trong phép

Tổng các hệ số của đa thức P(x) là giá trị của đa thức tại x = 1

Tổng các hệ số ứng với lũy thừa bậc chẳn là: (1) ( 1)

Tổng các hệ số của đa thức P(x) là giá trị của đa thức tại x = 1

Gọi tổng các hệ số của đa thức là A, ta có A = P(1) = ( 3 + 2 - 7)64 = 264

Ta cã: 264 = ( )32 2

2 = 4294967296 Đặt 42949 = X, 67296 = Y,2

Khi đó : A = ( X.105 +Y)2 = X2.1010 + 2XY.105 + Y2

X2.1010 = 1 8 4 4 6 1 6 6 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Tương tự:

0 1 2 3 50

a +a x a x+ +a x + +a x Tính : S = a1+ + +a2 a3 +a50

 Phương pháp 1: Tính nhờ vào biến nhớ Ans

Ấn phím: 1 . 8165 =

2 2

( 3 Ans ^ 5 2 Ans ^ 4 3 Ans x Ans 1 )

( 4 Ans ^ 3 Ans x 3 Ans 5 )

Kquả: 1.498465582

 Phương pháp 2: Tính nhờ vào biến nhớ X

Ấn phím: 1 .8165 SHIFT STO X

2 2

( 3 ALPHA X ^ 5 2 ALPHA X ^ 4 3 ALPHA X x ALPHA X 1 )

( 4 ALPHA X ^ 3 ALPHA X x 3 ALPHA X 5 )

Bài 3: Cho biểu thức A = (4x5 + 4x4 - 5x3 + 5x - 2)2012 + 2013

a)Viết qui trình tính A khi x =1 2 1

+b)Bằng phép toán , tính giá trị của A khi x =1 2 1

−+Hướng dẫn

Ta có x = 1 2 1

−+ = 2

12

Vậy ước số nguyên tố lớn nhất của f(2011) là: 67

Bài 5: Cho biểu thức:

Hãy tính giá trị của M khi x = 2 , y = 26, z = 2013.

x x x

11

Thay x = 2 vào (*) ta có : Kết quả : A = 73 786 976 303 428 141 057.

Bài 9: Với a=1,15975328 Hãy tính:

Khi chia đa thức P(x) cho ax+b ta luôn được thương là Q(x) và dư là r

Vậy: Số dư của phép chia đa thức P(x) cho ax + b là r = P( b

a

−)

Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)

Ấn phím: 1 624 SHIFT STO X

ALPHA X ^ 14 ALPHA X ^ 9 ALPHA X ^ 5

ALPHA X ^ 4 ALPHA X ^ 2 ALPHA X 723 Kết quả: r = 85,92136979

Bài 2: Tìm số dư trong phép chia sau:

a b c

Khi chia đa thức P(x) + m cho nhị thức ax + b ta luôn được :

Bài 3: Cho đa thức f(x) = x4 + 9x3 + 2x2 + 11x

a/ Tim giá trị của m để f(x) + m chia hết cho x+6

b/ Với m vừa tìm được ở câu a Tính giá trị của đa thức P(x) = f(x) + m khi cho: x =

Bài 4:Cho đa thức:P x( )= −x4 8x3−41x2 +228x+260

a/ Hãy tìm số dư trong phép chia P(x) cho đa thức 2x + 5

P(x) = (x+1)(x3-9x2-32x+260) Dùng máy tính ta tính được các nghiệm còn lại của P(x) là x1= -1 x2= 5 x3= 9,48331 x4= -5,48331

Dạng 5: TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ ĐA THỨC P(x)

THỎA ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Bài 1: Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c

a/ Tìm a, b, c biết rằng khi x lần lượt nhận các giá trị 1,2 ; 2,5 ; 3,7 thì P(x) có giá trị tương ứng là 1994,728 ; 2060,625 ; 2173,653

b/ Tìm số dư r của phép chia đa thức P(x) cho 12x – 1

c/ Tìm giá trị của x khi P(x) có giá trị là 1989

Hướng dẫn

a/ Thay lần lượt các giá trị x=1,2; x=2,5; x=3,7 vào đa thức P(x) = x3+ax2+ bx + c

Ta được hệ

1,44 1,2 19936,25 2,5 204513,69 3,7 2123

b/ Số dư của phép chia P(x) =x3+10x2+3x+1975 cho 2x+5 chính là giá trị P(-2,5) của

b = –110,6192807 ≈ –110,62

c = 968,2814519 ≈ 968,28

Dạng 6 TÌM ĐA THỨC THƯƠNG KHI CHIA ĐA THỨC P(X)

Giả sử: Khi chia đa thức Pn(x) cho nhị thức x – m ta được đa thức Qn-1(x) và số dư là r

(-118) (590) (-2950) (14751) (-73756)

Vậy: Đa thức thương là: x6 – 5x5 + 23x4 – 118x3 + 590x2 – 2590x + 14751

Dạng 7: XÁC ĐỊNH ĐA THỨC Bài 1 Cho đa thức f(x) = 2x5 + x3 + bx2 + cx + d Biết f(1)=-18; f(2) = 49; f(3) = 480

1 Tìm các hệ số b , c, d , của f(x)

2 Tìm hệ số của x2 trong phép chia f(x) cho x + 3

Vậy f(x) = 2x5 + x3 - 3x2 - 2x - 15

2 Dùng lược đồ hoocne chia f(x) cho x+3 ta được:

F(x) = (x+3)(2x4 - x3 + x2 - 60x + 182) - 561

Vậy hệ số của x2 trong phép chia trên là 1

Bài 2: Cho Q(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q Biết Q(1) = 5, Q(2) = 7, Q(3) = 9, Q(4) = 11 Tính các giá trị của Q(10) , Q(11) , Q(12) , Q(13)

Bài 4: Đa thức P(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e có giá trị bằng 5, 4, 3, 1, -2 lần lược tại các giá trị x bằng 1, 2, 3, 4, 5 Tính giá trị của a, b, c, d, e và tính gần đúng các nghiệm của đa thức đó.

Hướng dẫn

Thay các giá trị của x lần lượt bằng 1, 2, 3, 4, 5 vào đa thức P(x) = ax4 + bx3 + cx2 +

dx + e, giải hệ phương trình ta được: 1 , 7, 59, 59, 8

a= b= − c= d = e=

Các nghiệm của đa thức là: x1 ≈ 4, 36150 ; x2 ≈ 8, 22722

Bài 5: Cho đa thức P(x)= x5+ax4+bx3+cx2+dx+e, biết P(1)=-4; P(2)=3; P(3)=14; P(4)= 239; P(5)=1224

a) Viết lời giải tìm đa thức P(x)

b) Tìm số nguyên dương nhỏ nhất sao cho P(x) -1814 là một số chính phương

3750

16 x−

Bài 7: Cho đa thức : Q(x) = x5 + ax4 – bx3 + cx2 + dx – 2010.Biết rằng khi x nhận các giá trị lần lượt 1, 2, 3, 4 thì Q(x) có các giá trị tương ứng là 9, 21, 33, 45

a Xác định các hệ số a, b, c, d và tính giá trị của đa thức

b Tại các giá trị của x = 1,15 ; 1,25 ; 1,35 ; 1,45

-14a+6b-2c=2034-78a+24b+6c=4248-252a+60b-12c=7032

m n a

Xét đa thức: H x( )=ax2 +bx c+ thỏa mãn ( )G x =P x( )+H x( )là đa thức có các nghiệm: 1; 2; 3 Tức là: G(1)=G(2)=G(3)=0.

⇔69 ≤ B ≤ 95

Mà: B = 4 22122010 6n+ ⇔n = 4 22122010

6

B −

Nên: B chia hết cho 2

Do đó lấy B từ 68 và bước nhảy là 2

Quy trình ấn phím trên máy VINACAL fx-570MS:

68 SHIFT STO B

ALPHA B + 2 SHIFT STO B

((ALPHA B4) – 22122010: 6 ) SHIFT STO C V SHIFT COPY

Tiếp tục ấn dấu khi nào trên màn hình hiện dòng lệnh B + 2 →B và đồng thời trên dòng kết quả hiện lên 94 thì ấn tiếp một dấu = nửa ta có kết quả cuối cùng biểu thức cần tính

Cách 2: Ghi vào màn hình: 4 22122010

6

B −

Sử dụng lệnh CALC với biến B là: 70; 72; 74; … ; 92; 94

Cách 3: Quy trình ấn phím trên máy FX-570 MS

1/ Tìm tất cả các số nguyên dương x sao cho x3 + x2 + 2025 là một số chính phương nhỏ hơn 10000.

Quy trình ấn phím :

Gán A = 1

Ghi vào màn hình: A = A + 1 32+ + +33 35 37 +311+3A

Ấn dấu = liên tục nhận kết quả nguyên đầu tiên Kết quả n = 32

Bài 6: Tìm số có ba chữ số abc lớn nhất, biết rằng 151 abc64 là số chính phương Hãy viết qui trình ấn phím để giải

Ấn phím CALC nhập 6 ấn dấu = liên tục đến khi được kết quả B là số nguyên.

Không có số nguyên nào thỏa

Vậy: các chữ số a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7 có giá trị lần lượt là:8;4;2;9;4;3;4

Bài 9: Tìm tất cả các số tự nhiên có năm chữ số abcde sao cho 3 abcde ab=

Ghi vào màn hình X=X+1 X3 ấn tiếp CALC 21 …

Cho P = 346 0 4a b Tìm a và b biết rằng P là số chính phương và a + b = 11.

( Đề thi HSG thị xã Cai Lậy) Kết quả: a = 7; b = 4

Bài 12: Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng 2n + 1 và 3n + 1 đều là số chính

phương ( Đề thi HSG máy tính tỉnh Hậu Giang)

Ấn dấu liên tục chỉ nhận các gá trị là số nguyên Kết quả: n = 40

Bài 13: Tìm một số tự nhiên có 4 chữ số biết rằng nó là một số chính phương và nếu

ta thêm vào mỗi chữ số của nó một đơn vị thì cũng được một số chính phương

Ghi vào màn hình: X X + 1 x+1111 CALC (máy hiện) X? nhập 31

Ấn dấu = liên tục chỉ nhận kết quả số nguyên Kết quả: x = 45 số cần tìm 2025

Bài14: Số tự nhiên n được gọi là số chính phương nếu n = q2 với q ∈ N Tìm tất cả các số chính phương có 3 chữ số chia hết cho 14

Ấn dấu liên tục đến X = 32 thì dừng, chỉ nhận giá trị nguyên.

Bài 15 Tìm các chữ số x và y sao cho chia xxxxx cho yyyy có thương là 16 và số dư

là r, còn chia xxxx cho yyy có thương là 16 và số dư là r – 2000.

Hướng dẫn

Điều kiện: x,y ∈N ; 0<x y, ≤9

Theo đề bài ta có: xxxxx = 16 yyyy + r (1)

Ta được a = 3, b = 8 là phù hợp Số cấn tìm là aabb = 3388

Bài 17: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất và số tự nhiên m lớn nhất gồm 12 chữ số, biết rằng

m và n chia cho các số 1256; 3568 và 4184 đều cho số dư là 973.

342 ≤ m ≤ 3413

Vậy n =342A+973 = 100196441389 và m = 3413A+973 = 999913600797

Bài 18: Tìm tất cả các số tự nhiên x thoả mãn: 10000 < x < 15000 và khi chia x cho

393 cũng như 655 đều có số dư là 210

Bài 19: Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất chia hết cho 2013 và bốn chữ số cuối cùng

của số này giống nhau

Hướng dẫn

Gọi số nhỏ nhất cần tìm là A.10000+aaaa

Vì số đã cho chia hết cho 2013, 2013 chia hết cho 11,

Nên A chia hết cho 11

Đặt A =11m, và tìm ĐK m, a để số đã cho chia hết cho 3 và 61

Bài 21: Tìm số nhỏ nhất có 10 chữ số biết rằng số đó khi chia cho 17 thì dư 2 và khi

chia cho 29 thì dư 5

Bài 22: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất có 10 chữ số biết n khi chia cho 5 thì dư 3 và khi

chia cho 619 thì dư 273

Chia số 1000000000 cho 619 được thương là: 1615508 và có dư

Số cần tìm có dạng: 619.A + 273 và chia cho 5 dư 3

Quy trình ấn phím:

Gán: A = 1615508

Ghi vào màn hình: A A+1 B 619.A + 273 C (B-3):5

Ấn dấu liên tục nhận kết quả C là số nguyên đầu tiên thì dừng

Số phải tìm là 13A + 3 = 29B + 4 = 37C + 3 ( trong đó A,B, C là các số nguyên dương

và C có giá trị nhỏ nhất cho nên ta dò từ C)

Vì 37C + 3 nhỏ nhất và lớn hơn 1010 nên C nhỏ nhất và lớn hơn

10

10

270270270,2

37 =Nên ta dò từ C từ 270270271 trở lên