Giải toán bằng phương pháp đại lượng bất biến

Trên b ang ta viê´t ba sô´ nguyên... Nguyên l´ı bâ´t biê´n... Cuô´i c`ung ta.

NGUY˜ ÊN H˜ U , U ÐIÊ

, N

517

L ` O , I N ´ OI Ð ` ÂU

D˜ı bâ´t biê´n, ´ u , ng v an biê´n

Tôn t u , , (Binh ph´ ap)

Ta h˜ay tu,,o,ng tu,.o,ng c´o m ôt h.ê thô´ng trên ¯d´o ta th u,c hi ên nh˜u,ng thaot´ac kh´ac nhau Ta c´o thê,phân t´ıch tr ang th´ai cua h ê thô´ng ¯dê, ,x´ac ¯d.inh v.itr´ı (m uc ¯d´ıch) câ`n ¯d.at ¯du,.o,c t`u,nh˜u,ng v.i tr´ı kh´ac M ôt trong nh˜u,ng công c u

râ´t m anh cho vi.êc phân t´ıch h.ê thô´ng l`a t´ınh châ´t bâ´t biê´n cua m ôt sô´ ¯d.ai,

lu,.o,ng trong h ê thô´ng Nh˜u,ng ¯d ai lu,.o,ng n`ay không thay ¯dô,i du,´o,i nh˜u,ngthao t´ac kh´ac nhau trong h ê thô´ng S u,bâ´t biê´n c´o thê,d`ung ¯dê,ch,ı ra r`˘angt`u,m ôt câ´u h`ınh không thê,d at t´o¯ ,i m ôt câ´u h`ınh kh´ac Xuyên suô´t cuô´ns´ach n`ay l`a tu,tu,,o,ng bâ´t biê´n thông qua c´ac chu ¯, dê` trong sô´ h oc, ¯d.ai sô´,h`ınh h oc v`a tr`o cho,i to´an h oc,

Cuô´n s´ach ¯du,.o,c ¯d ˘at tên l`a Phu , o , ng ph´ ap ¯ d ai lu , o , ng bâ´t biê´n, ¯dây l`a mongmuô´n cua t´, ac gia muô´n biên so an m ôt lo.at c´ac phu, ,o,ng ph´ap to´an h oc trong

h oc t.âp v`a nghiên c´u,u Tru,´o,c ¯dây t´ac gia ¯,d˜a biên so an m ôt sô´phu,o,ng ph´ap

giai to´, an trong c´ac cuô´n s´ach [6], [7], [8], [9], [10], [11] Ngu,`o,i xu,a l`am

ra Binh ph´ap ¯dê,´ap d ung v`a giai quyê´t nh˜u, ,ng cu ôc chiê´n tranh, ¯diê,n h`ınhnhâ´t l`a b ô Binh ph´ap cua Tôn t, u,,v`a b ô Binh ph´ap cua Tôn T˜, ân trong t`u,ngth`o,i k`ı m`a hai so an gia trên ¯, d˜a trai nghi êm qua v`a ´ap d ung v`ao th u, ,c ti˜ên.Nhu,ta ¯d˜a biê´t Binh ph´ap ch,ı câ`n c´o 36 mu,u kê´ m`a ho´a giai ¯, du,.o,c hâ`u hê´tc´ac t`ınh thê´cua c´, ac cu ôc chiê´n tranh ¯d.˘at ra Ð.˘ac bi.êt ngu,`o,i n´˘am ¯du,.o,c Binhph´ap v`a ´ap d ung n´o v`ao th u,c tê´ nhu,thê´ n`ao l`a m ôt vâ´n ¯dê` s´ang t.ao cua,t`u,ng ngu,`o,i v`a t`u,ng th`o,i ¯d.ai C´o thê,n´oi c´ac phu,o,ng ph´ap giai to´, an l`a nh˜u,ng

3

4 Phu , o , ng ph´ ap ¯ d ai lu , o , ng bâ´t biê´n

mu , u kê´trong khi giai b`, ai t âp to´an T´ac gia cuô´n s´, ach m ao mu ôi biên so.annh˜u,ng phu,o,ng ph´ap giai to´, an v`a h oc to´an c˜ung hi v ong th`anh b ô To´an ph´ ap cho m`ınh v`a c´ac b an tham khao Râ´t nhiê`u vâ´n ¯, dê` trong c´ach giai,to´an v`a h oc to´an c´o thê,tô,ng kê´t l ai, t´ac gia ¯, d˜a su,u tâ`m v`a ch on l oc nh˜u,ngphu,o,ng ph´ap ¯d ˘ac tru,ng nhâ´t, nh˜u,ng b`ai t âp hay v`a c´o m´u,c kh´ai qu´at caomang n ôi dung to´an h oc co,ban v`, a sâu s´˘ac B an ¯d oc t`ım thâ´y phâ`n n`ao c´acphu,o,ng ph´ap h´ oa gi ai c´ , ac b`ai t âp ho.˘ac m ôt c´ach nh`ın trong h oc t.âp c˜ungnhu,th u,c h`anh t u,m`ınh giai b`, ai t âp

C`ung v´o,i nh˜u,ng cuô´n s´ach cua t´, ac gia ¯, d˜a ¯du,.o,c xuâ´t ban, cuô´n s´, ach n`ayquan tâm t´o,i 5 vâ´n ¯dê`, m˜ôi vâ´n ¯dê` ¯du,.o,c g´oi g on trong m ôt chu,o,ng v`a l`a

m ôt phu,o,ng ph´ap giai ´, ap d ung ¯d.ai lu,.o,ng bâ´t biê´n M˜ôi chu,o,ng tu,o,ng ¯dô´i

¯

d ôc l.âp v´o,i nhau, sau m˜ôi tiê´t nho trong ch, u ¯, dê` l`a m ôt vâ´n ¯dê` ¯du,.o,c ¯d ˘at rav`a c´o v´ı d u minh ho.a, sau ¯d´o l`a b`ai t.âp ´ap d ung nh˜u,ng tu,tu,,o,ng cua tiê´t.,M˜ôi chu,o,ng c´o nh˜u,ng tiê´t ¯d ˘ac tru,ng kh´ac nhau Ð ˘ac bi.êt phâ`n cuô´i m˜ôichu,o,ng l`a m ôt chuyên ¯dê` hay thê,hi ên su,,d ung phu,o,ng ph´ap cua chu, ,o,ng

¯

d´o, m˜ôi vâ´n ¯dê`o,,dây c´¯ o thê,ph´at triê,n th`anh n ôi dung m ôt buô,i n´oi chuy ênngo ai kh´oa Nh˜u,ng b`ai t âp ¯du,.o,c ´ap d ung c´ach giai c, ua c´, ac b`ai m˜âu nênkhông c´o giai chi tiê´t Ch, ,ı c´o hai chu,o,ng c´o hu,´o,ng d˜ân v`a g.o,

i ´y cua b`, ai t âptrong ca chuyên ¯, dê` N ôi dung cua m˜, ôi chuyên ¯dê` ¯du,.o,c t´om t´˘at nhu,sau:

Chu , o , ng 1: Nguyên l´ı bâ´t biê´n Nhiê`u b`ai to´an cho biê´t th u,c hi ên m ôt sô´thao t´ac trên m ôt h.ê ¯dô´i tu,.o,ng n`ao ¯d´o nhu,c´ac sô´, quân b`ai, quân c`o,ho ˘acnh˜u,ng biê´n ¯d˜a cho Tuy b`ai to´an c´o ph´u,c t ap nhu,ng â,n ch´u,a nh˜u,ng ¯d ai

lu,.o,ng bâ´t biê´n nhu,t´ınh ch˜˘an le ho ˘ac tô, ,ng, t´ıch cua c´, ac biê´n không thay

¯

dô,i Nh`o,ph´at hi ên ra ho.˘ac cô´t`ınh ¯du,a ra nh˜u,ng biê´n c´o t´ınh châ´t bâ´t biê´n

ho ˘ac ¯do,n ¯di êu bâ´t biê´n, nh`o,v`ao nh˜u,ng d˜u,ki ên bâ´t biê´n ¯du,a ta ¯dê´n kê´t

lu ân cua b`, ai to´an Nh˜u,ng b`ai to´an cua chu, ,o,ng n`ay l`a d u,a v`ao c´ac t´ınh châ´tsô´h oc, b`ai to´an c˜ung mang t´ınh c´ac b`ai t.âp sô´h oc Chuyên ¯dê` l`a thiê´t l.âpc´ac h`am bâ´t biê´n v`a ´u,ng d ung cua n´, o

Chu , o , ng 2: Ða th´ u , c ¯ dô´i x´ u , ng hai biê´n T´ınh bâ´t biê´n thê,hi ên r˜o vi.êc ¯d.inh

L` o , i n´ oi ¯ dâ`u 5

ngh˜ıa nh˜u,ng ¯da th´u,c ¯dô´i x´u,ng: M ôt ¯da th´u,c hai biê´n g oi l`a ¯dô´i x´u,ng nê´u tathay ¯dô,i vai tr`o v`a v.i tr´ı gi˜u,a hai biê´n cho nhau, gi´a tr.i cua ¯, da th´u,c khôngthay ¯dô,i T`u,d.inh ngh˜ıa trên ta ch´u¯ ,ng minh ¯du,.o,c m oi ¯da th´u,c ¯dô´i x´u,ng haibiê´n ¯dê`u biê,u di˜ên nhu,da th´¯ u,c cua c´, ac ¯da th´u,c ¯dô´i x´u,ng co,so,,, m`a c´ac

giai phu, ,o,ng tr`ınh v´o,i h ê sô´ ¯dô´i x´u,ng, Chuyên ¯dê` l`a m ôt l´o,p b`ai to´an ¯dath´u,c b âc cao c´o c´ac h.ê sô´ ¯dô´i x´u,ng, ´u,ng d ung chuyên ¯dê`giai phu, ,o,ng tr`ınh

b âc cao b`˘ang c´ach h.a b.âc

Chu , o , ng 3: Bâ´t ¯ d ang th´ ˘ , u , c c ua c´ , ac d˜ ay sô´ ¯ dô`ng th´ u , t u , Khi ch´u,ng minhbâ´t ¯d˘ang th´, u,c th`ı vai tr`o c´ac biê´n ho ˘ac c´ac biê´n sô´tham gia trong bâ´t ¯d˘ang,th´u,c ngang nhau Nhiê`u khi s u,chuyê,n ¯dô,i vai tr`o v`a v.i tr´ı gi˜u,a c´ac biê´ncho nhau th`ı bâ´t ¯d˘ang th´, u,c v˜ân không thay ¯dô,i, do ¯d´o ta cho r`˘ang nh˜u,ngbiê´n sô´ n`ay ¯du,.o,c xê´p theo m ôt th´u,t u,n`ao ¯d´o v`a nh`o,thêm ¯diê`u ki ên ¯du,.o,cs´˘ap m`a ch´u,ng minh ¯du,.o,c bâ´t ¯d˘ang th´, u,c d˜ê d`ang ho,n Trong chu ¯, dê` n`ay

ta x´et bâ´t ¯d˘ang th´, u,c ¯du,.o,c t ao bo,,i hai b ô sô´c´o s´˘ap xê´p theo m ôt th´u,t u,d˜¯abiê´t, ¯dây l`a bâ´t ¯d˘ang th´, u,c vê` tô,ng c´ac c ˘ap sô´trong hai b ô sô´ ¯du,.o,c s´˘ap xê´ptô´i u,u nhâ´t T`u,d.inh l´ı co¯ ,ban c, ua chuyên ¯, dê`, ta c´o thê,ch´u,ng minh bâ´t

¯

dang th´˘, u,c Cauchy2, Chebyshev3 v`a nhiê`u ´u,ng d ung kh´ac Chuyên ¯dê` l`a

m ôt bâ´t ¯d˘ang th´, u,c râ´t tô,ng qu´at, c´o thê,nh ân ¯du,.o,c c´ac bâ´t ¯d˘ang th´, u,c nô,itiê´ng kh´ac Kê´t qua c, ua chuyên ¯, dê` l`a c´ac b an c´o thê,s´ang t ao ra râ´t nhiê`ubâ´t ¯d˘ang th´, u,c m´o,i v`a râ´t ¯d ep

Chu , o , ng 4: Phu , o , ng tr`ınh h` am Ðê,giai m ôt phu, ,o,ng tr`ınh h`am, ngu,`o,i tathu,`o,ng thay ¯dô,i gi´a tr.i cua ¯, dô´i sô´ ¯dê,nh ân ¯du,.o,c nh˜u,ng phu,o,ng tr`ınh th´ıch

h o,p rô`i suy ra h`am phai t`ım V´, o,i nh˜u,ng gi´a tr.i kh´ac nhau, ¯d˘ang th´, u,c cua,

1 Francois Vi` ete (1540-1603): Nh` a to´ an h oc ngu ,`o,i Ph´ap.

2 Augustin Louis Cauchy (1789-1857): Nh` a to´ an h oc ngu ,`o,i дu,c.

3 Pafnuty Lvovich Chebyshev (1821-1894): Nh` a to´ an h oc ngu ,`o,i Nga.

6 Phu , o , ng ph´ ap ¯ d ai lu , o , ng bâ´t biê´n

phu,o,ng tr`ınh h`am không ¯dô,i, ho ˘ac bâ´t biê´n, ta ¯du,a ra phu,o,ng ph´ap thê´c´ac gi´a tr.i Phu,o,ng ph´ap th´u,hai ¯dê,giai phu, ,o,ng tr`ınh h`am l`a phu,o,ng ph´ap

Nhiê`u b`ai t âp ¯d˜a ¯du,.o,c l u,a ch on t`u,nhiê`u nguô`n kh´ac nhau, vi êc giai,v´ı d u v`a b`ai t.âp nh`˘am mô ta tô´t phu, ,o,ng ph´ap ¯d˜a ¯d ˘at ra, c`on nh˜u,ng c´achch´u,ng minh kh´ac c´o thê,c´o v`a hay ho,n t´ac gia ¯, d˜a bo qua (v´ı d u nhu, ,bâ´t

¯

dang th´˘, u,c Cauchy)

Cuô´n s´ach d`anh cho h oc sinh phô,thông yêu to´an, h oc sinh kh´a gioi,môn to´an, c´ac thâ`y cô gi´ao, sinh viên ¯d ai h oc ng`anh to´an, ng`anh tin h ocv`a nh˜u,ng ngu,`o,i yêu th´ıch to´an h.oc phô,thông Trong biên so an không thê,tr´anh khoi sai s´, ot v`a nhâ`m l˜ân mong b an ¯d oc cho ´y kiê´n M oi g´op ´y gu,,i vê`

¯

d.ia ch,ı: Nh`a xuâ´t ban Gi´, ao d uc, 81 Trâ`n Hu,ng Ð ao, H`a N ôi

H` a N ôi, th´ang 9 n˘am 2004

Nguy˜ên H˜u,u Ðiê,n

CHU , O , NG 1

1.1 Gi ´ o,i thi êu phu,o,ng ph ´ ap ¯ d ai lu,.o,ng bâ´t biê´n 7

1.2 Ph ´ at hi ên bâ´t biê´n trong b`ai to´an 9

1.3 Gi ai to ´, an b `˘ ang ¯ d ai lu,.o,ng bâ´t biê´n . 24

1.4 Bâ´t biê´n ¯ do,n ¯ di êu 27

1.5 Nh˜ u,ng b ` ai to ´ an nâng cao 43

1.6 Chuyên ¯ dê` vê` h ` am bâ´t biê´n 51

1.6.1.Ð.inh ngh˜ıa h`am bâ´t biê´n trên tr.ang th´ai 52

1.6.2.H ê thô´ng bâ´t biê´n ¯dâ`y ¯du, 58

1.1 Gi ´ o , i thi êu phu , o , ng ph ´ ap ¯ d ai lu , o , ng bâ´t biê´n

Cho a, b, c l`a nh˜u,ng sô´th u,c Ta x´et tô,ng S = a + b + c Nê´u ta ¯dô,i ch˜ô a cho b, b cho c v`a c cho a, th`ı tô,ng S luôn luôn ch,ı l`a m ôt Tô,ng n`ay không thay ¯dô,i ¯dô´i v´o,i th´u,t u,th u,c hi ên ph´ep c ông D`u a, b, c c´o thay ¯dô,i th´u,t u, nhu,thê´ n`ao ch˘ang n˜u,a S v˜ân không thay ¯dô,i, ngh˜ıa l`a S bâ´t biê´n ¯dô´i v´o,

vi êc thay ¯dô,i c´ac biê´n kh´ac Trong th u,c tê´ c˜ung nhu,trong to´an h oc, râ´t nhiê`u vâ´n ¯dê` liên quan ¯dê´n m ôt sô´ ¯dô´i tu,.o,ng nghiên c´u,u l ai bâ´t biê´n ¯dô´i v´o,i s u,thay ¯dô,i cua nhiê`u ¯, dô´i tu,.o,ng kh´ac V´ı d u, nê´u ta chuyê,n ch˜ô theo

hu,´o,ng m.ôt h`ınh khô´i n`ao ¯d´o trong m ôt m.˘at ph˘ang ho ˘ac trong không gian,,

8 Chu,o,ng 1 Nguyên l´ı bâ´t biê´nth`ı ¯d ô d`ai c´ac c.anh, ¯d ô l´o,n c´ac g´oc cua h`ınh, khô´i không thay ¯, dô,i

Ta c´o thê,hiê,u l`a : M oi ¯d ai lu , o , ng ¯ d.inh t´ınh hay t´ınh châ´t v`a quan h.ê gi˜u , a nh˜ u , ng phâ`n t u , , c ua m ôt ho ˘ac m.ôt sô´t âp h.o , , p m` a không thay ¯ dô , i v´ o , i m ôt biê´n

¯

dô , i n` ao ¯ d´ o ¯ du , .o , c g oi l`a bâ´t biê´n.

Nhiê`u v´ı d u ch,ı ra r`˘ang s u,bâ´t biê´n c´o trong môn sô´h oc, ¯d.ai sô´v`a h`ınh

h oc, Nh˜u,ng b`ai to´an c´o liên quan ¯dê´n bâ´t biê´n chia l`am hai lo ai :

1 Nh˜u,ng b`ai to´an lâ´y bâ´t biê´n l`am kê´t lu ân (ho.˘ac kê´t qua) ph, ai t`ım.,Nh˜u,ng b`ai to´an lo ai n`ay ¯du,.o,c li êt kê râ´t nhiê`u trong chu,o,ng 1 cua,cuô´n s´ach [11] Nh˜u,ng bâ´t biê´n cua b`, ai to´an l`a kê´t qua c, ua qu´, a tr`ınh

l ˘ap trong n ôi dung b`ai to´an

2 Nh˜u,ng b`ai to´an lâ´y t´ınh bâ´t biê´n l`am phu,o,ng ph´ap giai Trong cuô´n,s´ach [11] c´o m ôt phâ`n râ´t nho ¯, dê` c âp ¯dê´n vâ´n ¯dê` n`ay Chu,o,ng n`ay

ta ¯dê` c âp ¯dê´n c´ac kh´ıa c.anh cua lo ai b`ai to´an n`ay, c˜ung l`a tr`ınh b`ay,phu,o,ng ph´ap giai cho m ôt l´o, ,p b`ai to´an

B`ai to´an xuâ´t ph´at nhu,m ôt chuy.ên cô,t´ıch :

Ngu , ` o , i Nông dân trô`ng ¯ du , .o , c m ôt cây khê´ thâ`n c´o 99 qu a chu , , a ch´ın m` au xanh v` a 1000 qu a ¯ , d˜ a ch´ın m` au v` ang M ôt con Qu a ¯dê´n ˘an m˜ôi ng`ay hai qu a , khê´ v` a n´ oi v´ o , i ngu , ` o , i nông dân: "˘ An m ôt qu a tr , a c uc v`ang, may t´ui ba gang , mang ¯ di m` a ¯ d u , ng" Qu a ¯dê´n ˘an hai qu a khê´bâ´t k`ı không phân bi.êt qu , a xanh , v` a qu a v` , ang Nê´u Qu a ˘an m.ôt qu a v` , ang v` a m ôt qu a xanh th`ı cây khê´l ai sinh ,

ra m ôt qu a xanh Nê´u Qu a ˘an hai qu , a v` , ang, th`ı cây khê´ l ai sinh ra m.ôt qu a , v` ang Nê´u Qu a ˘an hai qu a xanh th`ı cây khê´ l ai sinh c˜ung qu , a v` , ang H oi c´ , o thê , x ay ra tru , , ` o , ng h o , p qu a khê´cuô´i c` , ung c` on l ai trên cây l`a m`au v`ang không?

Ðê,thu ân ti.ên cho vi.êc giai ta k´ı hi êu : Qu, a khê´ xanh l`, a X; qua khê´,v`ang l`a V; qu a ˘an qua l`, a + v`a cây khê´sinh ra qua l`, a = Khi ¯d´o b`ai to´an c´othê,viê´t l ai ng´˘an g on:

V + V = V, X + X = V, V + X = X

1.2 Ph´at hi ên bâ´t biê´n trong b`ai to´an 9T`u,c´ach viê´t trên ta thâ´y r`˘ang sô´ lu,.o,ng qua xanh ho ˘ac l`a không thay ¯dô, ,i

ho ˘ac l`a giam ¯, di 2 qua sau m˜, ôi lâ`n ˘an (m˜ôi lâ`n Qu a ˘an hai qua) V`ı trên cây,sô´ nh˜u,ng qua m`, au xanh l`a le, c`, on sô´ nh˜u,ng qua m`, au v`ang l`a ch˜˘an, nên

qua cuô´i c`, ung trên cây s˜e l`a m`au xanh, không ph u thu ôc v`ao c´ach ˘an qua,

cua Qu a.,

T´ınh bâ´t biê´n trong b`ai to´an trên l`a g`ı? дo l`a sô´ nh˜u,ng qua xanh d`, u

Qu a c´o ˘an qua nhu, ,thê´n`ao ¯di n˜u,a th`ı n´o không thay ¯dô,i ho ˘ac nê´u n´o thay

Nh˜u,ng b`ai to´an c´o d ang nhu,m ôt quy tr`ınh hay thu.ât to´an thu,`o,ng tô`n

t ai m ôt tr.ang th´ai kho,,i ¯dâ`u v`a m ôt d˜ay nh˜u,ng bu,´o,c ¯di h.o,p l.ê (bu,´o,c biê´n

¯

dô,i) Kê´t lu ân cua nh˜, u,ng b`ai to´an lo ai n`ay thu,`o,ng phai tr, a l`, o,i nh˜u,ng câu

hoi sau ¯, dây :

1 C´o thê,d at t´o¯ ,i ¯du,.o,c tr ang th´ai cuô´i c`ung ¯d˜a cho không ?

2 T`ım tâ´t ca tr ang th´ai cuô´i c`ung c´o thê, ,d at t´o¯ ,i ?

3 C´o tô`n t ai gi´o,i h an tiê´n t´o,i m ôt tr.ang th´ai cuô´i c`ung không ?

4 T`ım tâ´t ca chu k`ı c´, o thê,c´o trong d˜ay tr ang th´ai ?

Phâ`n sau ¯dây ta x´et nh˜u,ng c´ach th´u,c t`ım t´ınh bâ´t biê´n trong m ôt b`aito´an nhu,thê´n`ao thông qua c´ac v´ı d u

1.2 Ph ´ at hi ên bâ´t biê´n trong b`ai to´an

Thông qua v´ı d u sau ¯dây, b.an ¯d oc s˜e thâ´y s u,bâ´t biê´n ¯du,.o,c nh`ın t`u,nh˜u,ng kh´ıa c anh kh´ac nhau ¯dê`u giai ¯, du,.o,c b`ai to´an

V´ı d u 1.1 Trên b ang ta viê´t 10 dâ´u c ông v`a 15 dâ´u tr`u , , t ai c´ac v.i tr´ı bâ´t k`ı.

10 Chu,o,ng 1 Nguyên l´ı bâ´t biê´n

Ta th u , c hi.ên x´oa hai dâ´u bâ´t k`ı trong ¯d´o v`a viê´t v`ao ¯d´o m.ôt dâ´u c.ông nê´u x´oa hai dâ´u giô´ng nhau v` a dâ´u tr` u , nê´u x´ oa hai dâ´u kh´ ac nhau H oi trên b , ang , c` on l ai dâ´u g`ı sau khi ta th u , c hi.ên thao t´ac trên 24 lâ`n?

L` o , i gi ai C´ , ach 1: Ta thay m˜ôi dâ´u c ông b`˘ang sô´1, c`on m˜ôi dâ´u tr`u,b`˘ang sô´

−1 Thao t´ac th u,c hi ên x´oa hai sô´ v`a viê´t l.ai m ôt sô´ s˜e l`a t´ıch cua ch´, ung.V`ı thê´ t´ıch cua tâ´t c, a c´, ac sô´ viê´t trên bang s˜, e không thay ¯dô,i V`ı v ây ngayt`u,dâ`u gi¯ a thiê´t cho t´ıch c´, ac sô´trên bang b`, ˘ang −1, th`ı cuô´i c`ung c˜ung c`on

l ai sô´−1, ngh˜ıa l`a trên bang c`, on l ai dâ´u tr`u,

C´ ach 2: Ta l ai thay m˜ôi dâ´u c ông b`˘ang sô´ 0, c`on dâ´u tr`u,b`ang sô´ 1.˘Thao t´ac th u,c hi ên l`a tô,ng cua hai sô´ x´, oa ¯di l`a sô´ ch˜˘an th`ı ta viê´t l ai sô´

0 Nhu,v ây tô,ng c´ac sô´ trên bang sau khi th u, ,c hi ên m ôt thao t´ac ho.˘ac l`akhông thay ¯dô,i ho ˘ac l`a giam ¯, di 2 Ðâ`u tiên tô,ng c´ac sô´trên bang l`, a m ôt sô´

le (b`, ˘ang 15), th`ı sô´cuô´i c`ung trên bang c`, on l ai l`a sô´le, v ây l`a sô´1 Ngh˜ıa,l`a trên bang c`, on dâ´u tr`u,

C´ ach 3: B`ang c´˘ ach thay nhu, ,o,c´ach 1, bây gi`o,sau m˜ôi lâ`n thao t´ac, sô´

−1ho ˘ac l`a không thay ¯dô,i ho ˘ac l`a giam ¯, di 2 V`ı thê´ l´uc ban ¯dâ`u sô´ ch˜u,sô´

−1l`a le, th`ı cuô´i c`, ung ch,ı c`on l ai m ôt sô´−1, ngh˜ıa l`a c`on l.ai m ôt dâ´u tr`u,

JPhân t´ıch ba c´ach giai ta thâ´y c´, ach 1 l o,i d ung t´ınh không ¯dô,i cua t´ıch,c´ac sô´ viê´t trên bang; c´, ach 2 su,,d ung t´ınh không ¯dô,i cua tô, ,ng ch˜˘an c´ac sô´v`a c´ach 3 l`a s u,không ¯dô,i cua sô´ch˜, ˘an c´ac dâ´u tr`u, Nhu,v ây trong c´ach giai,

ta ¯d˜a su,,d ung t´ınh châ´t bâ´t biê´n cua t´ıch, tô, ,ng ho ˘ac sô´ lu,.o,ng ch˜˘an le c, ua,c´ac sô´ Qua c´ach giai trên ta thâ´y r`, ˘ang khi g ˘ap nh˜u,ng l´o,p b`ai to´an m`a thaot´ac l ˘ap ¯di l.˘ap l.ai, ta phai biê´n ¯, dô,i v`a t`ım ra nh˜u,ng t´ınh bâ´t biê´n cua thao,t´ac ta th u,c hi ên Ch´u ´y r`˘ang c´ac thao t´ac ta th u,c hi ên không ph u thu ôc v`aothao t´ac trên hai sô´ n`ao b´˘at ¯dâ`u, vi êc ch´u,ng minh n´o tu,o,ng t u,nhu,c´achl`am trên, b an ¯d oc l`am b`ai t.âp 1.18(o,,cuô´i phâ`n n`ay) M ôt biê´n thê,cua,

1.2 Ph´at hi ên bâ´t biê´n trong b`ai to´an 11b`ai to´an trên ¯du,.o,c cho du,´o,i d.ang nhu,

v´ı d u sau:

V´ı d u 1.2 Bô´n k´ı t u ,Xv` a n˘ am k´ı t u , O ¯ du , .o , c viê´t xung quanh m ôt ¯du , ` o , ng tr` on theo m ôt th´u , t u , bâ´t k`ı Nê´u hai k´ı t u , c anh nhau l`a nhu , nhau th`ı ta viê´t thêm v` ao gi˜ u , a ch´ ung X m´ o , i, ngu , .o , c l ai ta viê´t thêm v`ao gi˜u , a ch´ ung O m´ o , i Sau ¯ d´ o

ta x´ oa nh˜ u , ng k´ı t u , c˜ u X v` a O ¯ di Ta th u , c hi.ên thao t´ac trên l ˘ap l ai m.ôt sô´ lâ`n H oi sau m ôt sô´lâ`n th u , , c hi.ên qu´a tr`ınh trên, ta c´o nh ân ¯du , o , c ch´ın k´ı t u ,

Oquanh ¯ du , ` o , ng tr` on hay không?

L` o , i gi ai Nê´u ta ¯ , d ˘at X = 1 v`a O = −1, khi ¯d´o ch´u ´y l`a gi˜u,a nh˜u,ng k´ı t u,

c anh nhau ¯du,.o,c thay b`˘ang t´ıch c

dô,i Nhu,ng ch´ın k´ı hi êu O ¯d`oi hoi P = −1 không bao gi`o, ,c´o thê,xay ra., J

V´ı d u 1.3 M.ôt h`ınh vuông c´o c.anh 4 cm ¯du , o , c chia th` anh 16 ô vuông, m˜ ôi ô vuông c´ o c anh 1cm Trong m˜ôi ô vuông ¯d´anh dâ´u c.ông (+), tr`u , m ôt ô ¯d´anh dâ´u tr` u , (−) Nh˜ u , ng dâ´u o , , c´ ac ô vuông c´ o thê , thay ¯ dô , i ¯ dô`ng th` o , i theo h` ang,

c ôt ho ˘ac ¯du , ` o , ng ch´eo C´ o kh a n˘ , ang sau h˜ u , u h an lâ`n ¯dô , i dâ´u theo nguyên t´ ˘ ac trên d˜ ân ¯ dê´n tâ´t c a c´ , ac ô vuông ¯ dê`u c´ o dâ´u c ông (+) không?.

L` o , i gi ai Ta thay dâ´u c ông, tr`u , ,b`˘ang c´ac sô´ tu,o,ng ´u,ng 1 v`a −1 Tr ang th´aiban ¯dâ`u gia s, u,,l`a h`ınh1.1 Ð ai lu,.o,ng bâ´t biê´no,,dây l`¯ a t´ıch c´ac sô´o,,c´ac ôc´o g ach ch´eo trong h`ınh1.2, v`ı sau nh˜u,ng thao t´ac mô ta trong b`, ai to´an

¯

d ai lu,.o,ng n`ay luôn luôn c´o gi´a tr.i −1 Ngh˜ıa l`a trong c´ac ô ¯du,.o,c g ach ch´eoluôn luôn tô`n t ai m ôt ô c´o sô´−1, suy ra không thê,nh ân ¯du,.o,c b

,ang không

V´ı d u 1.4 Trên b ang ta viê´t t âp h.o , , p sô´ gô`m c´ ac sô´ 0, 1 v` a 2 Ta th u , c hi.ên x´ oa ¯ di hai sô´kh´ ac nhau v` a ¯ diê`n v` ao ¯ d´ o ch˜ u , sô´c ua sô´c` , on l ai (ngh˜ıa l`a 2 thay cho 0 v` a 1; 1 thay cho 0 v` a 2; 0 thay cho 2 v` a 1) Ch´ u , ng minh r` ˘ ang nê´u sau

12 Chu,o,ng 1 Nguyên l´ı bâ´t biê´n

L` o , i gi ai Ta th u , ,c hi ên m ôt lâ`n thao t´ac th`ı sô´lu,.o,ng m˜ôi lo ai trong ba lo.aisô´ trên t˘ang lên ho ˘ac giam ¯, di 1, suy ra sô´ lu,.o,ng c´ac lo ai sô´ thay ¯dô,i t´ınhch˜˘an le Khi trên b, ang ch, ,ı c`on l ai m ôt sô´, ngh˜ıa l`a hai trong c´ac sô´0, 1 v`a 2c´o sô´ lu,.o,ng b`˘ang không, c`on sô´ th´u,ba b`˘ang m ôt Ngh˜ıa l`a ngay t`u,dâ`u sô´¯

lu,.o,ng hai sô´trong ba sô´trên bang ph, ai c´, o c`ung t´ınh ch˜˘an le v`, a m ôt lo.ai sô´c`on l ai c´o t´ınh ch˜˘an le kh´, ac V`ı thê´ không ph u thu ôc v`ao th´u,t u,th u,c hi ênthao t´ac, cuô´i c`ung ch,ı c`on m ôt trong c´ac sô´0, 1 v`a 2 c`on l.ai, sô´n`ay c´o sô´

lu,.o,ng ch˜˘an le kh´, ac v´o,i sô´lu,.o,ng ch˜˘an le c, ua hai sô´kia., JTrong ch´u,ng minh b`ai to´an trên, nê´u sô´ lu,.o,ng ca ba lo ai sô´ trên b, ang,c´o c`ung t´ınh ch˜˘an le th`ı d`, u c´o th u,c hi ên c´ac thao t´ac trên thê´n`ao ¯di n˜u,a,cuô´i c`ung c˜ung không thê,c`on m ôt sô´duy nhâ´t trên bang C´, ach giai nh˜, u,ngv´ı d u trên l`a râ´t ¯diê,n h`ınh, ¯dê,cung cô´phu, ,o,ng ph´ap giai ta x´, et m ôt v`ai b`aito´an sau :

1.2 Ph´at hi ên bâ´t biê´n trong b`ai to´an 13

V´ı d u 1.5 Trên b ang ta viê´t ba sô´ nguyên Sau ¯ , d´ o ta x´ oa ¯ di m ôt sô´ v`a viê´t v` ao ¯ d´ o tô , ng hai sô´ c` on l ai tr`u , ¯ di 1 Thao t´ ac nhu , v ây l ˘ap l ai m.ôt sô´ lâ`n v`a cuô´i c` ung ta nh ân ¯du , o , c ba sô´ 17, 1967, 1983 Ph

ba sô´ nhu,ng không cho biê´t g`ı vê` b´˘at ¯dâ`u t`u,sô´ n`ao v`a th´u,t u,ra sao? Thê´th`ı c´ai g`ı bâ´t biê´n trong b`ai to´an n`ay ? Ta x´et c u thê,:

Sau bu,´o,c ¯dâ`u tiên t`u, ba sô´2, 2, 2 ta nh.ân ¯du,.o,c 2,2,3, ba sô´n`ay c´o haisô´ ch˜˘an v`a m ôt sô´ le T`, u,bu,´o,c th´u, hai tr,o, ¯di th`ı kê´t qua luôn luôn c´, o haisô´ch˜˘an v`a m ôt sô´le d`, u ta th u,c hi ên b´˘at ¯dâ`u t`u,bâ´t c´u,sô´n`ao (v`ı nh˜u,ng sô´ch˜˘an b`˘ang tô,ng cua m ôt sô´ch˜˘an v`a m ôt sô´l, e tr`, u,¯di 1; sô´le l`, a tô,ng cua hai,sô´ ch˜˘an tr`u,di 1) Nhu¯ ,ng trong kê´t qua ¯, d˜a cho ¯dê`u l`a ba sô´ le c, a, nên v´, o,thao t´ac ¯d˜a cho v`a xuâ´t ph´at t`u,2, 2, 2không thê,cho kê´t qua., JB`ai to´an trên ¯du,.o,c giai nh`, o,ph´at hi ên ra t´ınh ch˜˘an le c, ua ba sô´ không,thay ¯dô,i, nên t`u,tr ang th´ai xuâ´t ph´at không thê,nh ân ¯du,.o,c tr ang th´ai kê´t

L` o , i gi ai V´ , o,i kinh nghi êm giai b`, ai to´an tru,´o,c, ta quan tâm ¯dê´n t´ınh ch˜˘an le,

cua c´, ac sô´ ¯d˜a cho v`a sau m˜ôi lâ`n thao t´ac ¯du,.o,c sô´ch˜˘an le nhu, ,thê´n`ao Khib´˘at ¯dâ`u trên bang c´, o 987 sô´le M˜, ôi lâ`n ta th u,c hi ên thay ¯dô,i, sô´cua nh˜u, ,ng

14 Chu,o,ng 1 Nguyên l´ı bâ´t biê´nsô´le ho ˘ac l`a c`on nguyên (khi ta lâ´y hai sô´c´o t´ınh ch˜˘an l, e kh´, ac nhau ho ˘achai sô´ c`ung t´ınh ch˜˘an) ho ˘ac l`a giam ¯, di hai sô´ (khi ta lâ´y hai sô´ c`ung t´ınh

le) Nhu, ,v ây sô´cua nh˜, u,ng sô´le c`, on l ai sau m˜ôi lâ`n th u,c hi ên thay ¯dô,i luônluôn l`a m ôt sô´ le V ây khi c`on l.ai m ôt sô´ cuô´i c`ung trên b, ang th`ı n´, o phai,l`a sô´le, do ¯, d´o n´o không thê,l`a 0 J

V´ı d u 1.7 M.ôt h`ınh tr`on ¯du , o , c chia th` anh s´ au r e qu at Nh˜u , , ng sô´ 1, 0, 1, 0,

0, 0 ¯ du , .o , c viê´t v` ao trong c´ ac r e qu at n`ay th´u , , t u , theo ngu , .o , c chiê`u kim ¯ dô`ng hô`.

Ta th u , c hi.ên thao t´ac l ˘ap: T˘ang sô´ c ua hai r , e qu at c anh nhau lên 1 ¯do , , n v.i Khi th u , c hi.ên c´ac thao t´ac trên c´o ¯du , a ¯ dê´n kê´t qu a c´ , ac sô´ trong c´ ac r e qu at ,

¯

dê`u b` ˘ ang nhau không ?

L` o , i gi ai K´ , y hi êu a1, a2, , a6l`a nh˜u,ng sô´trong c´ac re qu at hi.ên th`o, ,i Khi

V´ı d u 1.8 Ngo`ai biê , n ¯ dông, trên m ôt h`on ¯d ao sinh sô´ng giô´ng th` , ˘ an l` ˘ an c´ o

ba lo ai m`au: m`au x´am c´o 133 con; m`au nâu 155 con v`a m`au ¯d o c´ , o 177 con Nê´u hai con th` ˘ an l` ˘ an kh´ ac m` au g ˘ap nhau, th`ı ch´ung ¯dô`ng th`o , i ¯ dô , i m` au sang m` au th´ u , ba (V´ı d u nê´u th`˘an l`˘an m`au x´am g ˘ap th`˘an l`˘an m`au nâu, th`ı c a hai , con ¯ dê`u ¯ dô , i sang m` au ¯ d o.) Trong nh˜ , u , ng tru , ` o , ng h o , p hai con th` an l` ˘ ˘ an c` ung m` au g ˘ap nhau th`ı ch´ung gi˜u , nguyên không ¯ dô , i m` au C´ o x ay ra t`ınh tr ang l`a , trên ¯ d ao tâ´t c , a th` , ˘ an l` ˘ an tr o , , th` anh c` ung m ôt m`au ¯du , o , c không ?

L` o , i gi ai T´ınh ch˜ , ˘an le, o,,c´ac b`ai tru,´o,c l`a nh˜u,ng bâ´t biê´n râ´t tô´t ¯dê,ta giai,to´an, t´ınh ch˜˘an le c˜, ung ¯du,.o,c x´ac ¯d.inh bo,,i ph´ep chia c´ac sô´cho 2 Tu,o,ng t u,nhu,v ây ba sô´nguyên 133, 155, 177 chia cho 3 ta ¯du,.o,c b ô sô´du,1, 2v`a 0

Ta thu,,x´et nê´u m ôt con th`˘an l`˘an x´am g.˘ap m ôt con th`˘an l`˘an nâu, th`ıch´ung ¯dô`ng th`o,i ¯dô,i th`anh m`au ¯do Khi ¯, d´o ta c´o 132 con x´am, 154 con nâu

1.2 Ph´at hi ên bâ´t biê´n trong b`ai to´an 15v`a 179 con ¯do Nh˜, u,ng sô´du,cua 132, 154 v`, a 179 cho 3 tu,o,ng ´u,ng l`a 0, 1 v`a

2, ngh˜ıa l`a l ai g.˘ap l.ai ¯dâ`y ¯du c´, ac sô´du,d˜¯a c´o

Nê´u m ôt con th`˘an l`˘an x´am g.˘ap con th`˘an l`˘an m`au ¯do, th`ı ch´, ung ¯dô`ngth`o,i ¯dô,i m`au th`anh nâu Khi ¯d´o ta c´o 132 th`˘an l`˘an x´am, 157 th`˘an l`˘an nâuv`a 176 th`˘an l`an ¯˘ do Lâ´y nh˜u, ,ng sô´ trên chia cho 3 cho sô´ du,tu,o,ng ´u,ng l`a

0, 1v`a 2, ngh˜ıa l`a l ai g.˘ap ca ba kh, a n˘, ang cua sô´du, ,

Nê´u con th`˘an l`˘an nâu v`a th`˘an l`˘an ¯do g ˘ap nhau, th`ı ch´ung c`ung ¯dô, ,i m`auth`anh x´am Khi ¯d´o c´o 135 th`˘an l`˘an x´am, 154 th`˘an l`˘an nâu v`a 176 th`˘an l`˘an

¯

do Sô´du, ,cua nh˜u, ,ng sô´th`˘an l`˘an trên chia cho 3 tu,o,ng ´u,ng l`a 0, 1 v`a 2, v˜ânc´o ¯dâ`y ¯du c´, ac sô´du,khi chia cho 3

Bâ´t biê´n o,,dây l`¯ a d`u thay ¯dô,i m`au nhu,thê´ n`ao th`ı sô´ du,cua c´, ac sô´

lu,.o,ng th`˘an l`˘an chia cho 3 ¯dê`u c´o ¯dâ`y ¯du ba sô´0, 1, 2.,

Sô´ lu,.o,ng tâ´t ca th`, ˘an l`˘an trên ¯dao l`, a 133 + 155 + 177 = 465 l`a m ôt sô´chia hê´t cho 3 Nê´u tâ´t ca th`, ˘an l`˘an ¯dê`u c`ung m ôt m`au th`ı sô´ du,cua sô´,

lu,.o,ng th`˘an l`˘an m`au x´am, nâu v`a ¯do chia cho 3 tu, ,o,ng ´u,ng l`a 0, 0, 0 Ðiê`un`ay vô l´ı v`ı c´ac sô´du,phai c´, o ¯dâ`y ¯du c´, ac sô´du,n`ay khi chia cho 3 Nhu,v âycâu tra l`, o,i l`a không thê,du¯ ,.o,c J

Vi êc t`ım ra ¯d.ai lu,.o,ng bâ´t biê´n c

,

ua m ôt ¯dô´i tu,.o,ng trong d˜u,ki ên b`ai to´an

th ât l o,i h ai khi giai nh˜u, ,ng b`ai to´an lo ai n`ay S u,da d ang c¯ ua c´, ac b`ai to´ann`ay ¯du,.o,c li êt kê du,´o,i ¯dây:

V´ı d u 1.9 T.ai m˜ôi ô vuông trong b ang 8 , × 8 ¯du , o , c viê´t m ôt sô´nguyên Ta c´o thê , ch on bâ´t k`ı b ang nh , o 3 , × 3 ho ˘ac 4 × 4 v`a t˘ang tâ´t c a sô´ trong b , ang nh , o , lên 1 V´ o , i c´ ach l` am nhu , v ây li.êu c´o thê , nh ân ¯du , o , c nh˜ u , ng sô´ chia hê´t cho 3 trong tâ´t c a ô vuông c , ua b , ang 8 , × 8 sau m.ôt sô´h˜u , u h an lâ`n th u , c hi.ên không

?

L` o , i gi ai Không, không bao gi`o , ,c´o kê´t qua nhu, ,v ây Th.ât v.ây, ta t´ınh tô,ngc´ac sô´ trong c´ac ô ¯du,.o,c g ach ch´eo trong h`ınh1.3 Bo,,i v`ı m˜ôi h`ınh vuông

16 Chu,o,ng 1 Nguyên l´ı bâ´t biê´nc˜o,4× 4 ch´u,a 12 ô g ach ch´eo, c`on m˜ôi h`ınh vuông c˜o,3× 3 ch´u,a 6 ho ˘ac 9ô,

th`ı sau m ôt thao t´ac tô,ng c´ac sô´

H`ınh 1.3

trong c´ac ô g ach ch´eo chia cho 3 c´o sô´

du,không ¯dô,i V`ı thê´ nê´u ngay t`u,dâ`u¯

t´ınh ¯du,.o,c tô,ng không chia chia hê´t cho

3, th`ı trong nh˜u,ng ô g ach ch´eo luôn

den th` anh tr´ ˘ ang c` ung m ôt l´uc trong m.ôt h`ang ho ˘ac m.ôt c.ôt bâ´t k`ı, th`ı c´o thê ,

th u , c hi.ên h˜u , u h an bu , o ´ , c thay ¯ dô , i nhu , v ây ¯dê , trên b ang ch , ı c` , on ¯ d´ ung m ôt ô

¯

den hay không?

L` o , i gi ai Không Nê´u c´ , o ¯d´ung k ô ¯den trong m ôt h`ang ho.˘ac m ôt c ôt tru,´o,ckhi th u,c hi ên thay ¯dô,i, th`ı sau khi th u,c hi ên m ôt lâ`n thay ¯dô,i, sô´ ô ¯dentrong h`ang ¯d´o ho ˘ac c ôt ¯d´o s˜e l`a 8 − k, s u,thay ¯dô,i sô´ô ¯den l`a (8 − k) − k =

8 − 2kô ¯den trên bang V`ı 8 − 2k l`, a m ôt sô´ch˜˘an, t´ınh ch˜˘an le c, ua sô´nh˜, u,ng

ô ¯den v˜ân gi˜u,nguyên tru,´o,c c˜ung nhu, sau th.u,

c hi ên thay ¯dô,i Do b´˘at ¯dâ`uc´o 32 ô ¯den, nên không thê,ch,ı c`on l ai m ôt ô ¯den trên bang t ai m ôt bu, ,´o,c

V´ı d u 1.11.

Cho m ôt b ang h`ınh vuông c´ , o c anh 10 cm, ¯du , o , c chia ra th` anh m ôt 100 ô vuông nh o v´ , o , i c anh 1cm Ngo`ai ra ta ¯d ˘at lên ¯d´o 25 h`ınh ch˜u , nh ât nhu , nhau c´ o chiê`u cao 4cm v` a chiê`u r ông 1cm, m˜ôi h`ınh ch˜u , nh ât ¯du , o , c chia ra th` anh

1.2 Ph´at hi ên bâ´t biê´n trong b`ai to´an 17

4 ô vuông c´ o c anh l`a 1cm C´o thê , s´ ap ¯ ˘ d ˘at nh˜u , ng h`ınh ch˜ u , nh ât trên b ang , h`ınh vuông sao cho ch´ ung ph u to` , an b ô b ang vuông hay không ? (Không châ´p ,

nh ân c´o h`ınh ch˜u , nh ât n`ao lô`i ra kh oi c anh c , ua b , ang) ,

L` o , i gi ai Ta tô b , ang vuông b`, ˘ang m`au

l`a ¯d ˘at nh˜u,ng h`ınh ch˜u,nh ât trên bang,

vuông sao cho m˜ôi ô vuông cua h`ınh,

ch˜u, nh ât tr`ung v´o,i m ôt ô vuông n`ao

¯

d´o cua b, ang vuông H`ınh ch˜, u,nh ât n`ay

s˜e phu lên ho ˘ac l`a 2 ho.˘ac l`a 0 ô vuông,

¯

den T`u,¯d´o suy ra khi ¯d ˘at tâ´t ca 25 h`ınh,

ch˜u, nh ât trên bang vuông, ch´, ung s˜e

phu k´ın m ôt sô´ ch˜˘an nh˜u, ,ng ô vuông ¯den Bo,,i v`ı sô´ lu,.o,ng cua ô vuông,

m ôt sô´l e s˜e c` , on l ai cuô´i c`ung.

L` o , i gi ai K´ı hi êu S l`a tô , ,ng cua tâ´t c, a nh˜, u,ng sô´ trên bang (chu, ,a x´oa) Kho,,

¯

dâ`u S = 1 + 2 +· · · + 2n = n(2n + 1) l`a m ôt sô´le Sau m˜, ôi bu,´o,c S b.i giam,

¯

di 2 min(a, b) =|a + b| − |a − b|, ¯dây l`a m ôt sô´ch˜˘an Nhu,v ây t´ınh ch˜˘an le,

cua S không ¯, dô,i Trong qu´a tr`ınh giam dâ`n ta c´, o S≡ 1 (mod 2) Kho,,i ¯dâ`u

Sl`a m ôt sô´le Nhu, ,v ây kê´t th´uc s˜e c˜ung l`a m ôt sô´le., J

V´ı d u 1.13 T.ai c´ac ¯d ınh c , ua m ôt h`ınh l uc gi´ac lô`i, ta ghi c´ac sô´: 8, 3, 12, ,

1, 10 v`a 6 M˜ ôi lâ`n th u , c hi.ên thay ¯dô , i ngu , ` o , i ta c´ o thê , thêm ho ˘ac b´o , t v` ao hai

18 Chu,o,ng 1 Nguyên l´ı bâ´t biê´n

L` o , i gi ai Gi , a s, u,,t ai m ôt lu,.o,t ¯di n`ao ¯d´o, t ai c´ac ¯d,ınh cua l uc gi´ac c´o c´ac sô´:,

a1, a2, a3, a4, a5, a6 X´et tô,ng S = a1− a2+ a3− a4+ a5− a6 Khi thêmv`ao hai sô´c anh nhau c`ung m ôt sô´th`ı r˜o r`ang l`a tô,ng S v˜ân gi˜u,nguyên gi´atr.i Trong tru,`o,ng h.o,p b`ai to´an, tô,ng S = 20 trong d˜ay sô´ kê´t qua v`, a d˜aysô´ kho,,i ¯dâ`u tr`ung nhau V ây ta ¯di t`ım m ôt c´ach chuyê,n t`u,8, 3, 12, 1, 10, 6th`anh 5, 2, 14, 6, 13, 4 K´ı hi êuI−1,II−1−→ l`a sô´th´u,nhâ´t v`a sô´th´u,hai tr`u,di 1:¯

c ˘ap sô´(a − b, b), m´ay th´u , hai (II) in ra th e c´ , o c ˘ap sô´(a + b, b) v`a m´ay th´u ,

ba (III) in ra th e c´ , o c ˘ap sô´(b, a) Kh o , , i ¯ dâ`u ta cho th e c´ , o c ˘ap sô´(19, 87) C´o thê , d` ung ba m´ ay t u , ¯ d ông trên theo m.ôt th´u , t u , bâ´t k`ı ¯ dê , nh ân ¯du , o , c th e v´ , o ,

c ˘ap sô´:

a) (41, 14)? b) (18, 81)?

L` o , i gi ai T`ım bâ´t biê´n trong b` , ai to´an n`ay b`˘ang c´ach quan s´at h ê thô´ng in

the v`, a nh˜u,ng c ˘ap sô´ ¯d˜a cho v`a kê´t qua Ta thâ´y r`, ˘ang ca ba m´, ay ¯dê`u thay

1.2 Ph´at hi ên bâ´t biê´n trong b`ai to´an 19

h o,p a) t´ınh bâ´t biê´n thoa m˜, an v`ı (14, 41) = 1 V ây the v´, o,i c´ac sô´ (14, 41)c´o thê,nh ân ¯du,.o,c b`˘ang c´ach kê´t h o,p c´ac m´ay t u,d ông trên Nhu¯ ,ng ta phai,

ch,ı c´ac bu,´o,c th.u,

c hi ên m´o,i l`a c´ach giai tr on v.en b`ai to´an Tâ´t nhiên c´o râ´t,nhiê`u c´ach th u,c hi ên kê´t h o,p ba m´ay ¯dê,in ra kê´t qua, ta ch, ,ı câ`n ch,ı ra m ôtphu,o,ng ´an l`a ¯du (c`, on c´o tô´i u,u hay không d`anh cho b an ¯d oc) K´ı hi.êu sô´m´ay trên m˜ui tên l`a th u,c hi ên in theo sô´m´ay n`ay:

(19, 87) −→ (87, 19)III −→ (11, 19)I4 −→ (19, 11)III −→ (8, 11)I −→ (11, 8)III −→I(3, 8) −→ (8, 3)III −→ (2, 3)I2 −→ (3, 2)III −→ (1, 2)I −→ (2, 1)III II−→ (13, 1)11 −→III(1, 13)−→ (14, 13)II −→ (13, 14)III −→ (41, 14).II2 JNh˜u,ng b`ai to´an vê` thay ¯dô,i v.i tr´ı c´ac sô´ trong m ôt b ô sô´ c˜ung c´o c´ach

giai t`ım bâ´t biê´n tu, ,o,ng t u,

V´ı d u 1.15 Nh˜u , ng sô´1, 2, 3, , n ¯ du , .o , c s´ ˘ ap xê´p theo m ôt th´u , t u , n` ao ¯ d´ o M ôt ph´ep biê´n ¯ dô , i l` a ¯ dô , i ch˜ ô bâ´t k`ı hai sô´ c anh nhau trong b.ô sô´ c´o s˜˘an Ch´u , ng minh r` ˘ ang nê´u ta th u , c hi.ên sô´ l e lâ`n ph´ep biê´n ¯ , dô , i nhu , v ây, th`ı luôn luôn

nh ân ¯du , o , c m ôt sô´kh´ac v´o , i b ô sô´ban ¯dâ`u vê` c´ac v.i tr´ı c ua c´ , ac sô´1, 2, , n.

L` o , i gi ai Ta k´ı hi êu a , 1, a2, , anl`a m ôt ho´an v.i cua b ô sô´1, 2, , n Ta n´oi,r`˘ang hai sô´ aiv`a ajtrong ho´an v.i n`ay l`a ngh.ich ¯d ao nê´u i < j th`ı a , i> aj.Khi ta thay ¯dô,i hai sô´ c anh nhau trong ho´an v.i, ngh˜ıa l`a ch´ung ta t˘ang

ho ˘ac giam sô´ lu, ,.o,ng ngh.ich ¯dao ¯, di 1 Ta th u,c hi ên sô´ le lâ`n thao t´, ac nhu,

v ây, th`ı ta ¯d˜a biê´n ¯dô,i t´ınh ch˜˘an le c, ua nh˜u, ,ng sô´ngh.ich ¯dao, ¯, diê`u ¯d´o ngh˜ıal`a ta ¯d˜a thay ¯dô,i ho´an v.i B`˘ang c´ach ch´u,ng minh tu,o,ng t u,ta c´o thê,mo,,

r ông b`ai to´an n`ay nhu,trong b`ai t âp 1.20(trong phâ`n cuô´i cua tiê´t n`, ay)

20 Chu,o,ng 1 Nguyên l´ı bâ´t biê´n

th´ uc m ôt v`ong ¯dô`ng th`o , i t ai bê´n ô tô m`ınh ¯d˜a xuâ´t ph´at Ch´u , ng minh r` ˘ ang trong to` an b ô th`o , i gian sô´lâ`n xe vu , .o , t nhau l` a m ôt sô´ch˜˘an.

L` o , i gi ai Ta k´ı hi êu m ôt trong nh˜u , ,ng chiê´c ô tô b`˘ang m`au v`ang, nh˜u,ngchiê´c c`on l ai ¯du,.o,c ¯d´anh sô´ 1, 2, 3, , 24 theo th´u,t u,xuâ´t ph´at t`u,v.i tr´ı xem`au v`ang Khi m˜ôi lâ`n c´o xe vu,.o,t m`a n´o l`a xe ghi sô´ v`a ¯di sau xe m`auv`ang, th`ı d˜ay sô´thay ¯dô,i hai sô´liê`n nhau trong tru,`o,ng h.o,p lâ`n xe vu,

.o,t n`aykhông tham gia xe m`au v`ang

Ta x´et tru,`o,ng h.o,

p m ôt chiê´c xe n`ao ¯d´o vu,.o,t chiê´c ô tô m`au v`ang Nê´utru,´o,c th`o,i ¯diê,m vu,.o,t nh˜u,ng sô´trong bang l`, a m ôt ho´an v.i a1, a2, , a24, th`ısau khi vu,.o,t ch´ung t ao th`anh ho´an v.i a2, a3, , a24, a1 Ta gia thiê´t r`, ˘ang

s u,vu,.o,t nhau ho`an to`an liên tiê´p 23 lâ`n thay ¯dô,i d˜ay sô´: a1, a2, , a24 →

a2, a3, , a24, a1→a3, a4, , a24, a1, a2→ → → a2, a3, , a24, a1.Nê´u xe m`au v`ang th u,c hi ên m ôt lâ`n vu,.o,t th`ı t`u,ho´an v.i a1, a2, , a24

ta nh ân ¯du,.o,c ho´an v.i a24, a1, a2, , a23, t`u,ho´an v.i n`ay c˜ung biê´n ¯dô,i 23lâ`n thay ¯dô,i d˜ay sô´

Nhu,v ây d`u trong tru,`o,ng h.o,

p n`ao th`ı m˜ôi lâ`n vu,.o,t ¯du,a ¯dê´n m ôt sô´ le,lâ`n chuyê,n ¯dô,i d˜ay sô´ Nê´u tru,`o,ng h.o,

p tô,ng qu´at sô´ lâ`n vu,.o,t l`a le, th`ı c´, osô´ le lâ`n chuyê, ,n ¯dô,i Do b`ai to´an1.15nh ân ¯du,.o,c d˜ay sô´ kh´ac v´o,i b ô sô´ban ¯dâ`u (kh´ac v´o,i v.i tr´ı c´ac xe l´uc ban ¯dâ`u), nhu,ng cuô´i c`ung c´ac xe l ai tro,,vê` v.i tr´ı ban ¯dâ`u, nên ta c´o sô´ch˜˘an lâ`n c´ac xe vu,.o,t nhau. JRâ´t nhiê`u d ang b`ai to´an t`ım ¯d.ai lu,.o,ng bâ´t biê´n, v´ı d u sau ¯dây t´ınh bâ´tbiê´n ¯du,.o,c cho ngay trong gia thiê´t c, ua ¯, dê` b`ai:

V´ı d u 1.17 Cho ¯diê , m S = (a, b) trên m ˘at ph ang v´ ˘ , o , i 0 < b < a, ta d u , ng d˜ ay c´ ac ¯ diê , m (xn, yn)theo quy t´ ac sau ¯ ˘ dây:

1.2 Ph´at hi ên bâ´t biê´n trong b`ai to´an 21

L` o , i gi ai B` , ai to´an n`ay d˜ê t`ım thâ´y ¯d ai lu,.o,ng bâ´t biê´n T`u,c´ac công th´u,ctrên suy ra xn+1yn+1 = xnyn v´o,i m oi n Ta tiê´n h`anh giam ch, ,ı sô´ ¯dê´n

xnyn = abv´o,i m oi n Ðây ch´ınh l`a ¯d.ai lu,.o,ng bâ´t biê´n Kho,,i ¯dâ`u ta ¯dê`uc´o y0< x0 Mô´i quan h ê n`ay c˜ung bâ´t biê´n v´o,i m oi n: yn < xn Th ât v.ây,

ta ch´u,ng minh b`˘ang phu,o,ng ph´ap quy n ap, gia s, u,,yn< xnv´o,i m ôt n n`ao

¯

d´o, ta phai ch´, u,ng minh r`˘ang yn+1< xn+1 V`ı trung b`ınh ¯diê`u h`oa th u,c s u,

nho ho, ,n trung b`ınh c ông, nên

0 < xn+1− yn+1= xn− yn

xn+ yn ·xn− y2 n < xn− yn

2v´o,i m oi n Do d˜ay giam th u, ,c s u,, nên ta c´o lim

b an xem l.ai nh˜u,ng b`ai m˜âuo,,phâ`n tru,´o,c v`a th.u,

c hi ên c´ach giai ho`, an to`an

tu,o,ng t u,

1.18 Trên bang ¯, den viê´t m ôt sô´ dâ´u c ông (+) v`a m ôt sô´ dâ´u tr`u,(−).Cho ph´ep x´oa ¯di hai dâ´u bâ´t k`ı v`a nê´u ch´ung c`ung dâ´u ta viê´t l ai dâ´u c ông(+), c`on nê´u ch´ung kh´ac dâ´u ta viê´t l ai dâ´u tr`u,(−) Ch´u,ng minh r`˘ang dâ´ucuô´i c`ung không ph u thu ôc v`ao c´ac bu,´o,c liên tiê´p th.u,

c hi ên thao t´ac trên(G o,i ´y: Xem l ai b`ai h´ai khê´phâ`n tru,´o,c)

1.19 T`u,bang trong gi, a thiê´t c, ua v´ı d u, 1.9v`a c´ac thao t´ac nhu,v ây c´o

nh ân ¯du,.o,c b

,

ang không ch´u,a m ôt sô´ch˜˘an n`ao không? (G o,i ´y: Xem l ai c´ach

giai v´ı d u, 1.9)

22 Chu,o,ng 1 Nguyên l´ı bâ´t biê´n

1.20 Ch´u,ng minh r`˘ang kê´t lu ân cua v´ı d u, 1.15 c`on ¯d´ung, nê´u trongph´ep biê´n ¯dô,i ta ¯dô,i ch˜ô hai sô´ bâ´t k`ı trong ho´an v.i ¯d˜a cho (Giai nhu, ,v´ı

d u1.15)

1.21 Ta x´e m ôt miê´ng giâ´y th`anh 10 manh, trong m ôt sô´m, anh giâ´y ¯, d´o,

ta l ai x´e m˜ôi manh th`, anh 10 manh nh, o, v`, a tiê´p t uc nhu,v ây Hoi ta c´, o thê,

nh ân ¯du,.o,c theo c´ach l`am trên 1975 manh giâ´y không?,

1.22 Trên bang ta viê´t c´, ac sô´ 1, 2, , 1975 Cho ph´ep x´oa hai sô´ bâ´t k`ıv`a viê´t v`ao ¯d´o sô´du,cua ph´, ep chia tô,ng hai sô´n`ay cho 13 Sau m ôt sô´lâ`nl`am nhu,v ây trên bang ch, ,ı c`on l ai m ôt sô´, hoi sô´ ¯, d´o c´o thê,l`a nh˜u,ng sô´n`ao?

1.23 Trong m˜ôi ô trong mang c˜o, ,4× 4 ta viê´t dâ´u c ông ho.˘ac dâ´u tr`u, Ta

th u,c hi ên biê´n ¯dô,i ¯dô`ng th`o,i theo h`ang ho ˘ac theo c ôt v´o,i dâ´u ngu,.o,c l ai Sô´

lu,.o,ng dâ´u tr`u,nho nhâ´t ta c´, o thê,t´ınh ¯du,.o,c t`u,mang ban ¯, dâ`u v`a c´ac mang,biê´n ¯dô,i sau ¯d´o g oi l`a sô´ ¯d ˘ac tru , ng cua b, ang n`, ay Sô´ ¯d ˘ac tru,ng n`ay c´o thê,

nh ân ¯du,.o,c gi´a tr.i nhu,thê´n`ao?

1.24 Trên m ôt ¯du,`o,ng tr`on c´o 30 con kiê´n: 10 kiê´n tr´˘ang v`a 20 kiê´n ¯den.Cho ph´ep ¯dô,i ch˜ô hai con kiê´n m`a gi˜u,a ch´ung c´o ba con kiê´n kh´ac Hai v.itr´ı cua hai con kiê´n bâ´t k`ı ¯, du,.o,c g oi l`a tu , o , ng ¯ du , o , ng nê´u ch´ung c´o thê,dô¯ ,ich˜ô cho nhau sau m ôt sô´lâ`n th u,c hi ên ph´ep ¯dô,i ch˜ô nhu,trên Hoi tô`n t ai,bao nhiêu v.i tr´ı không tu,o,ng ¯du,o,ng cua nh˜u, ,ng con kiê´n?

1.25 Nh˜u,ng sô´ 1, 2, , 2003 ¯du,.o,c viê´t theo th´u,t u,n`ay M ôt ph´ep biê´n

¯

dô,i l`a ch on bô´n sô´bâ´t k`ı trong ch´ung v`a ¯d.˘at l.ai c´ac v.i tr´ı ch´ung ¯d˜a chiê´mnhu,ng theo th´u,t u,c´ac sô´ngu,.o,c l ai C´o thê,b`˘ang ph´ep biê´n ¯dô,i n`ay ¯dê,th u,c

hi ên ¯du,.o,c vi êc s´˘ap xê´p th`anh 2003, 2002, , 2, 1 không ?

1.26 Cho bô´n sô´ 4, 5, 6, 7 M˜ôi lâ`n th u,c hi ên thay ¯dô,i ngu,`o,i ta viê´t 4 sô´m´o,i thay v`ao bô´n sô´c˜u: M˜ôi sô´m´o,i b`ang trung b`ınh c ông c˘ ua ba sô´ ¯, d˜a c´o

1.2 Ph´at hi ên bâ´t biê´n trong b`ai to´an 23tru,´o,c Ch´u,ng minh r`˘ang sau m.ôt sô´lâ`n thay ¯dô,i ta không bao gi`o,d at ¯du¯ ,.o,cnh´om 4 sô´: 5, 6, 7, 3 (G o,i ´y: Ch´u ´y r`˘ang tô,ng cua bô´n sô´a, b, c, d v`, a bô´n sô´

3 luôn luôn b`ang nhau).˘

1.27 Trên m ôt ¯du,`o,ng thang phân bô´ m ôt sô´ ¯diê˘, ,m Gi˜u,a m oi hai ¯diê,mliên tiê´p ta ¯d´anh dâ´u thêm m ôt ¯diê,m Sau ¯d´o gi˜u,a m oi hai ¯diê,m liên tiê´ptrong c´ac ¯diê,m nh ân ¯du,.o,c ta l ai ¯d´anh dâ´u thêm m ôt ¯diê,m v`a vân vân Sô´

lu,.o,ng nh˜u,ng ¯diê,m nh ân ¯du,.o,c ch˜˘an hay l

,

e sau khi ta th u,c hi ên c´ach thêm

¯

diê,m trên 1000 lâ`n (Tra l`o, ,i: Sô´le).,

1.28 Ta ¯d ˘at hai m´ay t u,d ông c´o thê¯ ,l`am ¯du,.o,c c´ac thao t´ac sau ¯dây: M´ay

I cho the v`, ao c´o sô´ nguyên A in ra trên n´o tô,ng A + 10 ho ˘ac A + 15 theo

s u,diê`u khiê¯ ,n cua ta M´, ay II cho the v`, ao c´o sô´nguyên A in ra trên n´o hi êu

A − 10ho ˘ac A − 15 theo s u,diê`u khiê¯ ,n cua ta Cho th, e v`, ao c´o sô´ 0, b`˘anghai m´ay t u,d ông trên ta c´o thê¯ ,in ra the c´, o sô´: a) 125 ho ˘ac b) 123 ¯du,.o,ckhông? (Tra l`, o,i: a) C´o thê,; b) Không thê,)

1.29 Chia m ôt h`ınh ch˜u,nh ât th`anh nh˜u,ng ô vuông c´o c anh 1cm N´o

¯

du,.o,c phu b, o,,i to`an b ô, không chô`ng lên nhau v`a không th`oi ra m´ep ngo`ai,b`˘ang sô´ lu,.o,ng ¯d˜a biê´t nh˜u,ng manh c´, o hai d ang: Nh˜u,ng manh h`ınh vuông,c´o c anh 2cm v`a manh h`ınh ch˜, u,nh ât c´o chiê`u d`ai 4cm v`a r ông 1cm Nê´u

ta thay m ôt manh h`ınh vuông b`, ang m ôt m˘ anh h`ınh ch˜u, ,nh ât v`a b`˘ang c´achchuyê,n ch˜ô nh˜u,ng manh c`, on l ai, th`ı h`ınh ch˜u,nh ât ban ¯dâ`u c´o ¯du,.o,c phu,k´ın không? (G o,i ´y: Tô h`ınh ch˜u,nh ât nhu,b`ai1.11 Ch´u ´y m ôt manh h`ınh,ch˜u,nh ât phu sô´ch˜, ˘an ô vuông tr´˘ang v`a ch˜˘an ô vuông ¯den, c`on manh h`ınh,vuông phu 1 ô vuông ¯, den v`a ba ô vuông tr´ang Tr˘ a l`, o,i: Không ¯du,.o,c)

24 Chu,o,ng 1 Nguyên l´ı bâ´t biê´n1.3 Gi ai to ´ , an b `˘ ang ¯ d ai lu , o , ng bâ´t biê´n

B`ang c´˘ ach ph´at hi ên ra nh˜u,ng ¯d ai lu,.o,ng bâ´t biê´n trong b`ai to´an tac´o thê,giai nhiê`u b`, ai to´an Tuy nhiên nê´u không luy ên t.âp th`ı râ´t kh´o v`akhông c´o phu,o,ng ph´ap s´ang sua ¯, dê,giai Tiê´t n`, ay ta tiê´p t uc t`ım hiê,u thêmnh˜u,ng c´ach t`ım ¯d ai lu,.o,ng bâ´t biê´n trong b`ai to´an.

V´ı d u 1.30 C´o ba ¯dô´ng s oi gô`m nh˜ , u , ng viên s oi nh , o c´ , o sô´ lu , .o , ng tu , o , ng ´ u , ng l` a 19, 8 v` a 9 (viên s oi) Ta ¯ , du , .o , c ph´ep ch on hai ¯dô´ng s oi v` , a chuyê , n m ôt viên

s oi c , ua nh˜ , u , ng ¯ dô´ng s oi ¯ , d˜ a ch on sang ¯dô´ng s oi th´ , u , ba Sau m ôt sô´ lâ`n l`am nhu , v ây th`ı c´o kh a n˘ , ang t ao ra m.oi ¯dô´ng s oi ¯ , dê`u c´ o 12 viên s oi không ? ,

L` o , i gi ai Không Ð ˘at sô´ viên s , oi trong ba ¯, dô´ng soi tu, ,o,ng ´u,ng l`a a, b v`a c

Ta x´et sô´ du,chia cho 3 cua nh˜, u,ng sô´ n`ay Khi xuâ´t ph´at, nh˜u,ng sô´ ¯dô`ng

du,n`ay l`a 1, 2, 0 Sau m ôt lâ`n ch on thay ¯dô,i, nh˜u,ng sô´ du,n`ay l`a 0, 1, 2 v`ıhai ¯dô´ng soi c´, o s u,chuyê,n m ôt viên soi ¯, dê´n ¯dô´ng th´u,ba Nhu,v ây nh˜u,ngsô´du,luôn luôn l`a 0, 1, 2 v´o,i nh˜u,ng th´u,t u,kh´ac nhau (¯d ai lu,.o,ng bâ´t biê´n).

Do ¯d´o tâ´t ca c´, ac ¯dô´ng soi ¯, dê`u c´o 12 viên soi l`, a không thê,du¯ ,.o,c (v`ı khi ¯d´osô´du,cua ba ¯, dô´ng soi l`, a 0, 0, 0, vô l´ı) J

V´ı d u 1.31 Hai ngu , ` o , i cho , i m ôt tr`o cho , i v´ o , i hai ¯ dô´ng k.eo Ðô´ng k.eo th´u , nhâ´t c´ o 12 c´ ai v` a ¯ dô´ng k.eo th´u , hai c´ o 13 c´ ai M˜ ôi ngu , ` o , i cho , i ¯ du , .o , c lâ´y hai c´ ai k.eo t`u , m ôt trong hai ¯dô´ng k.eo ho ˘ac chuyê , n m ôt c´ai k.eo t`u , ¯ dô´ng th´ u , nhâ´t sang ¯ dô´ng th´ u , hai Ngu , ` o , i cho , i n` ao không thê , l` am ¯ du , .o , c nh˜ u , ng thao t´ ac trên coi nhu , l` a thua H˜ ay ch´ u , ng minh r` ˘ ang ngu , ` o , i cho , i ¯ di lu , .o , t th´ u , hai không thê , thua Ngu , ` o , i ¯ d´ o c´ o thê , th´ ˘ ang không?

L` o , i gi ai Ta k´ı hi êu S l`a gi´a tr.i tuy.êt ¯dô´i c , ua sô´ k eo trong ¯dô´ng th´u, ,hai tr`u,

¯

di ¯dô´ng th´u,nhâ´t Kho,,i ¯dâ`u, S =|13 − 12| = 1 Sau m˜ôi lâ`n cho,i S s˜e giam,

ho ˘ac t˘ang lên 2 Nhu,v ây, sô´du,cua S chia cho 4 c´, o d ang: 1, 3, 1, 3, M˜ôilâ`n sau khi ngu,`o,i th´u, nhâ´t cho,i, sô´du, cua S chia cho 4 luôn luôn l`, a 3 Ta

1.3 Giai to´, an b`˘ang ¯d ai lu,.o,ng bâ´t biê´n 25thâ´y r`˘ang ngu,`o,i cho,i b.i thua khi v`a ch,ı khi không c`on c´ai k eo n`aoo,,dô´ng¯th´u,nhâ´t v`a ch,ı c`on m ôt c´ai k.eoo,,dô´ng th´¯ u,hai, khi ¯d´o S =|1 − 0| = 1 Nhu,

v ây ngu,`o,i cho,i th´u, hai luôn luôn c´o thê,th u,

c hi ên ¯du,.o,c c´ach cho,i, do ¯d´ongu,`o,i ¯d´o không thua

Ta thâ´y r`˘ang, ho ˘ac l`a tô,ng sô´ k eoo,,hai ¯dô´ng giam ¯, di ho ˘ac l`a sô´ k.eoo,,

L` o , i gi ai Khi b´ , at ¯˘ dâ`u, ng˜âu nhiên ta chia nh˜u,ng th`anh viên trong câu l ac

b ô th`anh hai nh´om K´ı hi.êu S l`a sô´c´ac c.˘ap ¯dô´i thu trong c`, ung nh´om Nê´u

m ôt th`anh viên c´o ´ıt nhâ´t hai ¯dô´i thu trong c`, ung nh´om, th`ı th`anh viênn`ay c´o nhiê`u nhâ´t m ôt ¯dô´i thu trong nh´, om kh´ac Th`anh viên n`ay ¯du,.o,c dichuyê,n sang nh´om kh´ac, ta s˜e giam S ¯, di ´ıt nhâ´t 1 V`ı S l`a m ôt sô´ nguyênkhông âm, n´o không thê,giam m˜, ai ¯du,.o,c Nhu,v ây sau m ôt sô´h˜u,u h an lâ`nchuyê,n ¯dô,i, m˜ôi th`anh viên c´o thê,c´o nhiê`u nhâ´t m ôt ¯dô´i thu trong c`, ung

Ch´ u ´ y: Phu,o,ng ph´ap ch´u,ng minh b`ai to´an trên g oi l`a phu , o , ng ph´ ap xuô´ng dô´c vô h an N´o ch,ı ra r`˘ang ta không thê,giam m˜, ai sô´ lu,.o,ng khi n´o ch,ı c´oh˜u,u h an gi´a tr.i (b.an ¯d oc c´o thê,xem k˜ı phu,o,ng ph´ap n`ay trong cuô´n s´ach[9])

V´ı d u 1.33 Ta b´˘at ¯dâ`u v´o , i nh˜ u , ng sô´ a, b, c, d Ta thay ch´ ung b o , , i c´ ac sô´

a0 = a − b, b0= b − c, c0 = c − d, d0 = d − a Ta th u , c hi.ên qu´a tr`ınh n`ay

1996lâ`n C´ o kh a n˘ , ang ¯ dê´n sô´cuô´i c` ung A, B, C, D sao cho|BC − AD|, |AC −

BD|, |AB − CD| l`a nh˜u , ng sô´nguyên tô´?

26 Chu,o,ng 1 Nguyên l´ı bâ´t biê´n

L` o , i gi ai Tr , a l`, o,i: Không

Bô´n bu,´o,c lap ¯.˘ dâ`u tiên cho kê´t qua,

2a-4b+6c-4d 2b-4c+6d-4a 2c-4d+6a-4b 2d-4a+6b-4c

Do ¯d´o sau 4 bu,´o,c lap tâ´t c.˘ a c´, ac sô´ ¯dê`u l`a sô´ ch˜˘an Nhu,v ây sau 1996ph´ep l ˘ap tâ´t ca c´, ac sô´l`a b ôi cua 2 V`ı thê´, |BC − AD|, |AC − BD|, |AB − CD|tâ´t ca l`, a b ôi cua 4, suy ra không c´, o sô´n`ao l`a sô´nguyên tô´ J

V´ı d u 1.34 Trong m.ôt b ang ô vuông c´ , o n × n ô v´o , i n l` a m ôt sô´ l e Trong , m˜ ôi ô ta viê´t +1 ho ˘ac −1 G.oi ail` a t´ıch tâ´t c a c´ , ac sô´ thu ôc h`ang th´u ,iv` a bj

l` a t´ıch tâ´t c a c´ , ac sô´thu ôc c.ôt th´u ,j(i, j = 1, 2, , n) Ch´ u , ng minh r` ˘ ang

a1+ a2+· · · + an+ b1+ b2+· · · + bn 6= 0

L` o , i gi ai Nê´u ta ¯ , dô,i dâ´u cua sô´ n`, ˘amo,,h`ang th´u,pv`a c ôt th´u,q, nh˜u,ng sô´

apv`a bqc˜ung ¯dô,i dâ´u, c`on nh˜u,ng sô´kh´ac v˜ân gi˜u,nguyên Ta xem s u,thay

¯

dô,i cua a, p+ bqtru,´o,c v`a sau khi ¯dô,i dâ´u:

tru,´o,c sau tru,´o,c sau tru,´o,c sau tru,´o,c sau

Ta thâ´y r`˘ang ap+ bqbiê´n ¯dô,i b`˘ang c´ach thêm v`ao m ôt sô´b ôi cua 4 Ta x´, et

bang ch, ,ı c´o sô´+1, v´o,i bang n`, ay a1+ a2+· · ·+an+ b1+ b2+· · ·+bn = 2nv`a theo ¯diê`u ki ên n l`a m ôt sô´ le, nhu, ,v ây tô,ng n`ay không chia hê´t cho 4

Bo,,i v`ı m˜ôi bang kh´, ac nh ân ¯du,.o,c t`u,b

,ang to`an sô´ +1 b`˘ang c´ach biê´n ¯dô,i

m ôt sô´phâ`n tu,,v`a ta thâ´y r`˘ang tô,ng a1+ a2+· · · + an+ b1+ b2+· · · + bn

¯

dê`u không chia hê´t cho 4 v`a nhu,v ây tô,ng n`ay luôn kh´ac 0 J

1.4 Bâ´t biê´n ¯do,n ¯di êu 27

B ` ai t âp

1.35 M oi sô´trong c´ac sô´t`u,1 ¯dê´n 1 000 000 ¯du,.o,c thay b`ang tô˘ ,ng c´ac sô´ch˜u,sô´ cua n´, o V´o,i d˜ay sô´ ta nh ân ¯du,.o,c, l ai l`am nhu,v ây v`a tiê´p t uc Cuô´ic`ung nh ân ¯du,.o,c m ôt tri.êu sô´ c´o m ôt ch˜u,sô´ Nh˜u,ng sô´ 1 nhiê`u ho,n haynh˜u,ng sô´ 2 nhiê`u ho,n? (G o,i ´y: H˜ay su,,d ung sô´ du,cua m ôt sô´ chia cho 9,b`˘ang sô´du,cua tô, ,ng c´ac ch˜u,sô´chia cho 9 Tra l`o, ,i: Nh˜u,ng sô´1 nhiê`u ho,n.)

1.36 (Hungari 1989) T ai m˜ôi ¯dınh c, ua m ôt h`ınh vuông, ta ¯d.˘at m ôt sô´,que diêm Kho,,i ¯dâ`u ch,ı c´o m ôt que diêm trên m ôt ¯d,ınh v`a ba ¯d,ınh kiakhông c´o m ôt que diêm n`ao Bu,´o,c tiê´n h`anh ¯d.˘at diêm: Ngu,`o,i ta cho ph´eplâ´y m ôt sô´ bâ´t k`ı nh˜u,ng que t ai m ôt ¯d,ınh v`a ¯d ˘at v`ao hai ¯d,ınh bên c anhsô´ que m`a tô,ng cua ch´, ung b`˘ang hai lâ`n sô´ que ¯d˜a lâ´y ¯di Sau m ôt sô´ h˜u,u

h an lâ`n ¯d.˘at diêm, sô´diêm t.ai bô´n ¯d,ınh h`ınh vuông c´o thê,l`a 1, 9, 8, 9 t´ınhtheo chiê`u kim ¯dô`ng hô` ho ˘ac l`a t´ınh theo ngu,.o,c chiê`u kim ¯dô`ng hô` ¯du,.o,ckhông?

1.37 Nh˜u,ng sô´1, 2, , n ¯du,.o,c s´˘ap xê´p theo m ôt th´u,t u,n`ao ¯d´o trên m ôt

¯

du,`o,ng th˘ang Ta c´, o thê,chuyê,n ¯dô,i hai sô´ bâ´t k`ı c anh nhau Ch´u,ng minhr`˘ang m ôt sô´ le nh˜, u,ng chuyê,n ¯dô,i t ao ra d˜ay sô´ luôn luôn kh´ac v´o,i d˜ay

¯

du,.o,c s´˘ap xê´p theo th´u,t u,ban ¯dâ`u

1.4 Bâ´t biê´n ¯ do , n ¯ di êu

Theo ¯d.inh ngh˜ıa bâ´t biê´no,,phâ`n tru,´o,c th`ı ¯d.ai lu,.o,ng bâ´t biê´n l`a m.ôtt´ınh châ´t cua b`, ai to´an không thay ¯dô,i qua s u,t´ac ¯d ông biê´n ¯dô,i cua h ê,thô´ng Nhu,ng khi ta thay ¯dô,i h ê thô´ng m`a c´o ¯d.ai lu,.o,ng biê´n ¯dô,i theo m ôtquy lu ât n`ao ¯d´o th`ı sao ? V´ı d u nhu, khi h ê thô´ng biê´n ¯dô,i c´o m ôt ¯d.ai

lu,.o,ng luôn luôn t˘ang ho ˘ac luôn luôn giam m ôt lu, ,.o,ng cô´ ¯d.inh V´ı d u nhu,câ´p sô´ c ông ho.˘ac câ´p sô´ nhân th`ı nh˜u,ng sô´ h ang sau kh´ac sô´ h.ang tru,´o,c

28 Chu,o,ng 1 Nguyên l´ı bâ´t biê´n

m ôt ¯d.ai lu,.o,ng cô´ ¯d.inh l`a công sai ho.˘ac công b ôi T`u,d´¯o ngu,`o,i ta t´ınh ¯du,.o,ccông th´u,c tô,ng qu´at cho c´ac sô´ h ang ho.˘ac nh˜u,ng tô,ng c´ac sô´ h ang ¯dâ`utiên M ôt ¯d.ai lu,.o,ng luôn luôn t˘ang ho ˘ac luôn luôn giam khi h ê thô´ng b.i,t´ac ¯d ông ¯du,.o,c g oi l`a ¯d ai lu , o , ng bâ´t biê´n ¯ do , n ¯ di.êu Trong phâ`n n`ay ta giai,nh˜u,ng b`ai to´an c´o ¯d ai lu,.o,ng bâ´t biê´n ¯do,n ¯di êu C˜ung nhu,phâ`n tru,´o,c ta

phai t`ım ra ¯, d ai lu,.o,ng bâ´t biê´n ¯do,n ¯di êu du,´o,i s.u,

thay ¯dô,i c´ac biê´n cua b`, aito´an Ch´ınh nh˜u,ng ¯d ai lu,.o,ng bâ´t biê´n ¯do,n ¯di êu d˜ân ta ¯dê´n l`o,i giai c, ua b`, aito´an

Ngu,`o,i ta thu,`o,ng thâ´y r`˘ang m.ôt h ê thô´ng câ`n ¯d at t´o,

i m ôt câ´u h`ınh c uthê,n`ao ¯d´o m`a bâ´t biê´n ¯do,n ¯di êu không thê,thay ¯dô,i m˜ai m˜ai Tru,`o,ng h.o,

p

¯

diê,n h`ınh l`a m ôt ¯d.ai lu,.o,ng cua b`, ai to´an phai gi, am (ho ˘ac luôn t˘ang) v`a,không bao gi`o,d`u,ng l ai Tr´ai l.ai, quy tr`ınh biê´n ¯dô,i trong ¯diê`u ki ên cua b`, aito´an phai d`, u,ng l ai, v`ı bâ´t biê´n ¯do,n ¯di êu ch,ı l`a h˜u,u h an nh˜u,ng gi´a tr.i ho.˘acl`a m ôt gi´o,i h an cua tâ´t c, a c´, ac kha n˘, ang thay ¯dô,i T`u,d´¯o suy ra s u,vô l´ı v`ab`ai to´an ¯du,.o,c giai Ta x´, et v´ı d u:

V´ı d u 1.38 M˜ôi ô trong b ang h`ınh ch˜ , u , nh ât m × n ¯du , o , c viê´t m ôt sô´ th u , c.

Ta th u , c hi.ên biê´n ¯dô , i dâ´u m ôt lâ`n c´ac sô´trên m.ôt h`ang ho ˘ac m.ôt c.ôt bâ´t k`ı Ch´ u , ng minh r` ang b` ˘ ang thao t´ ˘ ac nhu , trên, ta c´ o thê , ¯ du , a ¯ dê´n trong m oi h`ang v` a trong m oi c.ôt tô , ng c´ ac sô´c ua n´ , o l` a m ôt sô´không âm.

L` o , i gi ai Ðê , ,thu ân ti.ên ta g oi h`ang ho.˘ac c ôt l`a m.ôt v.êt Ta x´et tô,ng tâ´t ca,c´ac sô´ trong bang v´, o,i s u,th u,c hi ên biê´n ¯dô,i Tô,ng n`ay s˜e t˘ang nê´u tô,ngnh˜u,ng sô´ trong m ôt v.êt thao t´ac l`a m ôt sô´âm; tô,ng n`ay s˜e giam khi tô, ,ngc´ac sô´trong v êt thao t´ac l`a m ôt sô´du,o,ng v`a tô,ng không thay ¯dô,i nê´u tô,ng

cua v êt thao t´ac b`˘ang không Ngh˜ıa l`a nê´u trong b, ang c´, o m ôt v.êt v´o,i tô,ngc´ac sô´ b`ang âm, th`ı b`˘ ˘ang thao t´ac cho ph´ep trên ta t˘ang tô,ng tâ´t ca c´, ac sô´trong bang.,

Li êu tô,ng cua tâ´t c, a c´, ac sô´ trong bang b`, ˘ang thao t´ac trên c´o thê,t˘ang

1.4 Bâ´t biê´n ¯do,n ¯di êu 29lên vô h an không? Không thê,nhu,v ây ¯du,.o,c v`ı nh˜u,ng thao t´ac l`am t˘ang

tô,ng c´ac sô´trong bang ch, ,ı c´o h˜u,u h an lâ`n, ngh˜ıa l`a ch,ı c´o h˜u,u h an nh˜u,ng

bang sô´ kh´, ac nhau Th ât v.ây, m˜ôi sô´trong m ôt ô ho.˘ac l`a tr`ung v´o,i sô´ ban

¯

dâ`u ho ˘ac l`a kh´ac v´o,i sô´ ban ¯dâ`u b`˘ang m ôt dâ´u tr`u, V`ı thê´ sô´ lu,.o,ng nh˜u,ng

bang kh´, ac nhau không thê,vu,.o,t qu´a 2mn, ngh˜ıa l`a tô,ng cua tâ´t c, a c´, ac sô´trong bang ch, ,ı c´o thê,nh ân h˜u,u h an nh˜u,ng gi´a tr.i kh´ac nhau

Ta x´et bang sô´ ban ¯, dâ`u Ta ch on trong n´o nh˜u,ng v êt c´o tô,ng c´ac sô´ l`a

âm (nê´u không c´o v êt n`ao nhu,v ây th`ı b`ai to´an ¯d˜a ¯du,.o,c giai) Ta th u, ,c hi ênph´ep biê´n ¯dô,i trên v êt n`ay Trong bang v`, u,a nh ân ¯du,.o,c l ai t`ım thâ´y v.êt c´o

tô,ng c´ac sô´ l`a âm th`ı ta l ai th u,c hi ên ph´ep biê´n ¯dô,i trên n´o v`a nh ân ¯du,.o,c

bang m´, o,i v`a tiê´p t uc nhu,v ây Nhu,v ây m˜ôi lâ`n th u,c hi ên ph´ep biê´n ¯dô,ith`ı tô,ng c´ac sô´ trong bang t˘, ang lên Tô,ng n`ay ch,ı c´o thê,nh ân h˜u,u h angi´a tr.i, nên ho.˘ac l`a t.ai m ôt bu,´o,c th.u,

c hi ên n`ao ¯d´o ta nh.ân ¯du,.o,c b

,ang câ`nt`ım, ho ˘ac l`a s´o,m hay mu ôn ta c˜ung nh.ân ¯du,.o,c b

,ang v´o,i kha n˘, ang tô,ng c u,c

¯

d ai Bang v´, o,i t´ınh châ´t nhu,v ây ta phai t`ım v`ı nê´u c`, on m ôt v.êt c´o tô,ng âmn`ao tô`n t ai trong n´o th`ı ta l.ai th u,c hi ên m ôt lâ`n n˜u,a ph´ep biê´n ¯dô,i, khi ¯d´o

tô,ng c´ac sô´ trong bang m´, o,i n`ay t˘ang lên v`a l´o,n ho,n tô,ng c u,c ¯d ai cua c´, ac

V´ı d u 1.39 Trên m.˘at ph ˘ ang cho n ¯ , diê , m, không c´ o ba ¯ diê , m n` ao n` ˘ am trên

m ôt ¯du , ` o , ng th ˘ ang v` , a n ¯ du , ` o , ng th ˘ ang, không c´ , o hai ¯ du , ` o , ng th ang n` ˘ , ao song song v´ o , i nhau Ch´ u , ng minh r` ˘ ang t` u , c´ ac ¯ diê , m n` ay c´ o thê , h a ¯du , o , c nh˜ u , ng

30 Chu,o,ng 1 Nguyên l´ı bâ´t biê´nTrong tru,`o,ng h.o,p ngu,

.o,c l ai, ta x´et hai ¯du,`o,ng vuông g´oc giao nhau AA1

v`a BB1, ¯du,.o,c h a vuông g´oc t`u,c´ac ¯diê,m A v`a B lên ¯du,`o,ng th˘ang tu, ,o,ng ´u,ng

αv`a β (h`ınh1.5) Cho P l`a giao ¯diê,m cua hai ¯, du,`o,ng th˘ang vuông g´, oc n`ay.Bây gi`o,ta thay hai ¯du,`o,ng vuông g´oc AA1 v`a BB1b`˘ang AA2 v`a BB2 l`anh˜u,ng ¯du,`o,ng vuông g´oc h.a xuô´ng β v`a α tu,o,ng ´u,ng Ta s˜e ch´u,ng minhr`˘ang v´o,i s u,thay ¯dô,i trên th`ı tô,ng ¯d ô d`ai c´ac ¯du,`o,ng vuông g´oc giam ¯, di

Th ât v.ây, ta c´o AA2< AB1< AP + PB1v`a BB2< BA1< BP + PA1, c ôngtheo vê´hai bâ´t ¯d˘ang th´, u,c trên cho kê´t qua AA, 2+ BB2< AA1+ BB1.Bây gi`o,ta tiê´n h`anh l´ı lu ân nhu,

du,`o,ng th˘ang v`, a n ¯du,`o,ng vuông g´oc

Ta lâ´y hai ¯du,`o,ng vuông g´oc giao

nhau v`a th u,c hi ên biê´n ¯dô,i: Thay

hai ¯du,`o,ng vuông g´oc n`ay b`˘ang hai

¯

du,`o,ng vuông g´oc c´o tô,ng ¯d ô d`ai

cua ch´, ung nho ho, ,n Trong b´u,c tranh

nh ân ¯du,.o,c, ta l ai t`ım hai ¯du,`o,ng vuông

g´oc giao nhau v`a l ai th u,c hi ên thao

t´ac biê´n ¯dô,i trên v`a tiê´p t uc nhu,v ây Khi ¯d´o ho.˘ac l`a ¯dê´n m ôt bu,´o,c n`ao

¯

d´o ta nh ân ¯du,.o,c b´u,c tranh câ`n t`ım v´o,i tâ´t ca c´, ac ¯du,`o,ng vuông g´oc khônggiao nhau; ho ˘ac l`a cuô´i c`ung ta nh.ân ¯du,.o,c b´u,c tranh c´o tô,ng ¯d ô d`ai tâ´t ca,c´ac ¯du,`o,ng vuông g´oc nho nhâ´t (b, o,,i v`ı tô,ng n`ay ch,ı c´o thê,nh ân h˜u,u h anc´ac gi´a tr.i!) Ðây l`a b´u,c tranh m`a ta câ`n t`ım Th ât v.ây nê´u c`on hai ¯du,`o,ngvuông g´oc n`ao ¯d´o c´˘at nhau th`ı ta l ai ´ap d ung thao t´ac thay ¯dô,i m ôt lâ`nn˜u,a v`a nh ân ¯du,.o,c b´u,c tranh v´o,i tô

1.4 Bâ´t biê´n ¯do,n ¯di êu 31c´ac sô´ trong bang, b`, ai n`ay l`a tô,ng ¯d ô d`ai c´ac ¯du,`o,ng vuông g´oc) v`a m.ôtthao t´ac biê´n ¯dô,i m`a kê´t qua c, ua s u, ,biê´n ¯dô,i l`am ¯d ai lu,.o,ng ta ¯du,a v`ao

¯

du,.o,c biê´n ¯dô,i theo m ôt quy lu.ât x´ac ¯d.inh (trong b`ai tru,´o,c l`a tô,ng t˘ang,trong b`ai sau l`a tô,ng giam) L`o, ,i giai d u, ,a trên co,so,,d ai lu¯ ,.o,ng ¯du,a v`ao ch,ı

nh ân h˜u,u h an gi´a tr.i kh´ac nhau Suy ra thao t´ac ch,ı c´o thê,th u,c hi ên h˜u,u

h an lâ`n v`a ta kh˘ang ¯, d.inh ¯du,a ¯du,.o,c b`ai to´an vê` tr ang th´ai câ`n t`ım

Nhu,v ây, giai lo ai b`ai to´an n`ay ¯d`oi h, oi s u, ,s´ang t ao cao v`a nh`ın b`ai to´an

du,´o,i g´oc ¯d.ô biê´n ¯dô,i v´o,i vi êc t`ım ra nh˜u,ng ¯d ai lu,.o,ng bâ´t biê´n ¯do,n ¯di êu(ho ˘ac t˘ang, ho.˘ac giam h˜, u,u h an lâ`n) Nh˜u,ng v´ı d u sau ¯dây l`a nh˜u,ng b`aito´an kh´o nhu,ng ¯du,.o,c giai b`, ˘ang so,dô` ta ¯¯ d˜a v ach ra:

V´ı d u 1.40 Ch´u , ng minh r` ˘ ang 2n ¯ diê , m bâ´t k`ı trên m ˘at ph ˘ ang l` , a ¯ dâ`u m´ ut

c ua n ¯ , do an th ˘ ang không giao nhau ,

L` o , i gi ai Ta k , e n ¯, do an th˘ang v´, o,i c´ac

A

BC

D

H`ınh 1.6

¯

diê,m m´ut l`a c´ac ¯diê,m ¯d˜a cho (m˜ôi ¯diê,m

ch,ı ¯du,.o,c l`a ¯dâ`u m´ut m ôt ¯do.an th˘ang).,

Nê´u tâ´t ca, c´ do an¯ th˘ang,

không c´˘at nhau ta c´o l`o,i giai c, ua b`, ai

to´an Ngu,.o,c l ai, ta x´et c.˘ap ¯do.an th˘ang,

c´˘at nhau, cho ¯d´o l`a AB v`a CD (h`ınh

1.6) M ôt ph´ep biê´n ¯dô,i ¯du,.o,c x´ac ¯d.inh

nhu,sau: Ta ¯dô,i hai ¯do an th˘ang c´, ˘at nhau

ABv`a CD th`anh hai ¯do an th˘ang không,

32 Chu,o,ng 1 Nguyên l´ı bâ´t biê´nc´o h˜u,u h an c´ach t.ao n ¯do.an th˘ang) L´ı lu ân ho`an to`an tu, ,o,ng t u,nhu,c´b`ai tru,´o,c ¯du,a ¯dê´n m.ôt h.ê thô´ng n ¯do.an thang v´˘, o,i tô,ng ¯d ô d`ai nho nhâ´t,,trong h ê thô´ng n`ay không thê,c´o hai ¯do an th˘ang giao nhau., J

V´ı d u 1.41 Trên m.ôt ¯du , ` o , ng tr` on ta ¯ d ˘at n sô´ Nê´u th´u , t u , c´ ac sô´ a, b, c, d

th oa m˜ , an (a − d)(b − c) > 0, th`ı hai sô´ b v` a c ¯ dô , i ch˜ ô cho nhau Ch´ u , ng minh r` ˘ ang sau m ôt sô´bu , o ´ , c th`ı trên ¯ du , ` o , ng tr` on không c` on b ô t´u , n` ao s´ ˘ ap xê´p nhu , v ây.

L` o , i gi ai Ph´ , ep biê´n ¯dô,i trong b`ai to´an ¯d˜a ¯du,.o,c cho Th u,c châ´t l`a ¯dô,i ch˜ôhai sô´ trên ¯du,`o,ng tr`on, c`on c´ac sô´ kh´ac v˜ân gi˜u, nguyên Ta phai t`ım ¯, d ai

lu,.o,ng bâ´t biê´n c´o liên quan ¯dê´n s u,thay ¯dô,i hai sô´ n`ay Nhu,v ây, cho th´u,

t u,a, b, c, dsao cho (a − d)(b − c) > 0, ngh˜ıa l`a ab + cd > ac + bd Nê´u

th u,c hi ên ph´ep biê´n ¯dô,i ¯d˜a cho th`ı t`u,b ô t´u,a, b, c, dchuyê,n th`anh b ô t´u,

a, c, b, d Ta thâ´y r`˘ang tô,ng cua t´ıch c´, ac sô´ c anh nhau b.i giam ¯, di th u,c s u,:

ab + bc + cd > ac + cb + bd

Ho`an to`an t u,nhiên, ¯d ai lu,.o,ng bâ´t biê´n ¯do,n ¯di êu l`a tô,ng cua t´ıch c´, ac sô´kê` nhau liên tiê´p trên ¯du,`o,ng tr`on V´o,i ph´ep biê´n ¯dô,i ¯d˜a cho th`ı ¯d ai lu,.o,ngbâ´t biê´n ¯do,n ¯di êu giam th u, ,c s u,, v`a v`ı n´o ch,ı c´o h˜u,u h an gi´a tr.i (t.ai sao?),nên ph´ep biê´n ¯dô,i cua ta ch, ,ı c´o thê,th u,c hi ên h˜u,u h an lâ`n Tiê´p t uc c´ach

giai nhu, ,c´ac b`ai tru,´o,c d`anh cho b.an ¯d oc. JNh˜u,ng b`ai to´an vê` h`ınh h oc c´o d.ang thay ¯dô,i câ´u h`ınh c˜ung c´o thê,giai,b`˘ang phu,o,ng ph´ap ¯d ai lu,.o,ng bâ´t biê´n.

V´ı d u 1.42 T`u , m ôt ¯da gi´ac l˜om ta tiê´n h`anh thao t´ac nhu , sau: Nê´u ¯ da gi´ ac n` am vê` m ôt ph´ıa ¯dô´i v´o ˘ , i ¯ du , ` o , ng th ang AB, ˘ , o , , ¯ dây A v` a B hai ¯ d ınh không liên , tiê´p c ua ¯ , da gi´ ac, th`ı m ôt phâ`n c´ac c anh c ua ¯ , da gi´ ac ¯ du , .o , c chia ra b o , , i hai ¯ diê , m

Av` a B, ¯ du , .o , c lâ´y ¯ dô´i x´ u , ng qua tâm l` a trung ¯ diê , m c ua ¯ , do an th ˘ ang AB Ch´ , u , ng minh r` ˘ ang sau m ôt sô´h˜u , u h an lâ`n th u , c hi.ên thao t´ac nhu , v ây ¯da gi´ac ¯d˜a cho s˜e th` anh ¯ da gi´ ac lô`i.

1.4 Bâ´t biê´n ¯do,n ¯di êu 33

L` o , i gi ai Nhu , ,v ây ph´ep biê´n ¯dô,i

d˜a cho ¯d´o l`a vi êc biê´n ¯dô,i ¯da

gi´ac Ð ai lu,.o,ng bâ´t biê´n ¯do,n ¯di êu

v´o,i ph´ep biê´n ¯dô,i n`ay l`a di ên

t´ıch cua ¯, da gi´ac t˘ang ¯do,n ¯di êu

D˜ê thâ´y r`˘ang di ên t´ıch cua ¯, da

gi´ac trong qu´a tr`ınh biê´n ¯dô,i cua,

¯

da gi´ac ch,ı c´o thê,nh ân h˜u,u h an

gi´a tr.i

Th ât v.ây, ta x´et b ô vecto,d oc theo

c´ac c anh cua ¯, da gi´ac V´o,i m ôt lâ`n thao t´ac b ô vecto,không thay ¯dô,i, m`a ch,ıthay ¯dô,i th´u,t u,liên tiê´p cua c´, ac vecto,c anh nhau (h`ınh1.7minh h oa m ôttru,`o,ng h.o,

p c u thê,) Ngh˜ıa l`a sô´lu,.o,ng nh˜u,ng ¯da gi´ac nh ân ¯du,.o,c thông qua

th u,c hi ên c´ac thao trên ch,ı c´o thê,l`a h˜u,u h an T`u,d´¯o suy ra ¯d ai lu,.o,ng bâ´tbiê´n ¯do,n ¯di êu cua ta ch, ,ı nh ân ¯du,.o,c h˜u,u h an gi´a tr.i J

V´ı d u 1.43 2000 ngu , ` o , i ¯ du , .o , c chia v` ao c´ ac ph` ong c ua m ôt t`oa nh`a 115 , buô`ng M˜ ôi ph´ ut không ph ai m oi ngu , , ` o , i ¯ dê`u o , , trong ph` ong, m` a m ôt sô´ngu , ` o ,

du,.o,c giai nh`, o,t`ım ra bâ´t biê´n ¯do,n ¯di êu V´o,i m˜ôi ph`ong ta x´et b`ınh phu,o,ng

cua sô´ ngu, ,`o,i trong ph`ong K´ı hi.êu tô,ng c´ac sô´ b`ınh phu,o,ng l`a S Ta ch,ı rar`˘ang S t˘ang v´o,i m˜ôi ngu,`o,i ¯du,.o,c chuyê,n ¯di Th ât v.ây, gia s, u,,m ôt ngu,`o,i ¯di t`u,ph`ong c´o n ngu,`o,i t´o,i ph`ong c´o m ngu,`o,i, m`a m > n Khi ¯d´o nh˜u,ng sô´b`ınhphu,o,ng cua sô´ngu, ,`o,i trong c´ac ph`ong biê´n ¯dô,i t`u,n2v`a m2th`anh (n − 1)2

v`a (m + 1)2tu,o,ng ´u,ng v`a c´ac ph`ong kh´ac th`ı không ¯dô,i Nhu,v ây S thay

34 Chu,o,ng 1 Nguyên l´ı bâ´t biê´n

¯

dô,i nhu,sau:

((n−1)2+ (m + 1)2) − (n2+ m2) =

= (n2+ m2− 2n + 2m + 2) − (n2+ m2) = 2(m − n) + 2 > 2 > 0

V ây S luôn luôn t˘ang

Ta biê´t r`˘ang sô´ ngu,`o,i l`a 2000 (m.ôt bâ´t biê´n) Tô`n t ai m ôt sô´ h˜u,u h anc´ach chia 2000 ngu,`o,i v`ao c´ac ph`ong kh´ac nhau, nhu, v.ây tô`n t ai h˜u,u h an

kha n˘, ang gi´a tr.i cua S Ngh˜ıa l`, a S không thê,t˘ang m˜ai m˜ai Nhu,ng ¯dê´n m ôtl´uc hai ph`ong c`on ngu,`o,i trong ¯d´o, quy tr`ınh b`ai to´an ¯du,.o,c th.u,c hi.ên v`a

Ss˜e t˘ang v`a qu´a tr`ınh n`ay ¯dê´n khi d`u,ng l ai, l´uc ¯d´o tâ´t ca m oi ngu, ,`o,i ¯dê`u

V´ı d u 1.44 Cho bô´n sô´ a, b, c, d không ph ai tâ´t c , a b` , ˘ ang nhau Kh o , , i ¯ dâ`u b` ˘ ang b ô (a, b, c, d) v`a l ˘ap l ai vi.êc thay thê´ (a, b, c, d) b`˘ang

(a − b, b − c, c − d, d − a) Ch´u , ng minh r` ˘ ang khi l ˘ap l ai nhiê`u lâ`n vi.êc thay thê´trên th`ı´ıt nhâ´t m ôt trong bô´n sô´s˜e tr o , , th` anh vô c` ung l´ o , n.

L` o , i gi ai Ð ˘at P , n = (an, bn, cn, dn)l`a b ô bô´n sô´ sau n ph´ep l.˘ap Khi ¯d´o

ta c´o an+ bn + cn+ dn = 0v´o,i n≥ 2 Ta không biê´t su,,d ung bâ´t biê´nn`ay nhu, thê´ n`ao Nhu,ng ta liên tu,,o,ng t´o,i trong h`ınh h oc, h`am khoang,c´ach t`u,diê¯ ,m Pn dê´n ¯¯ diê,m gô´c t oa ¯d ô (0, 0, 0, 0) ¯du,.o,c liên h ê v´o,i biê,u th´u,c

a2n+ b2n+ c2n+ d2n Nê´u ta ch´u,ng minh ¯du,.o,c biê,u th´u,c trên không b.i ch.˘antrên th`ı b`ai to´an ¯du,.o,c giai.,

Ta ¯di t`ım mô´i liên h ê gi˜u,a hai bu,´o,c liên tiê´p Pn+1v`a Pn:

a2n+1+ b2n+1+ c2n+1+ d2n+1=

= (an− bn)2+ (bn− cn)2+ (cn− dn)2+ (dn− an)2=

= 2(a2n+ b2n+ c2n+ d2n) − 2anbn− 2bncn− 2cndn− 2dnan (1.1)

1.4 Bâ´t biê´n ¯do,n ¯di êu 35Bây gi`o,ta c´o thê,d`ung an+ bn+ cn+ dn= 0:

Khoang c´, ach t`u,diê¯ ,m Pn dê´n ¯¯ diê,m ¯dâ`u t˘ang vô h an, ngh˜ıa l`a ´ıt nhâ´t c´o

m ôt th`anh phâ`n phai tr, o,,lên l´o,n bâ´t k`ı JH`am khoang c´, ach t`u,m ôt ¯diê,m ¯dê´n ¯diê,m ¯dâ`u t oa ¯d ô râ´t quan tr ong,khi n`ao c´o m ôt d˜ay ¯diê,m ta phai ngh˜ı ngay t´, o,i h`am n`ay

V´ı d u 1.45 M.ôt thu.ât to´an ¯du , o , c x´ ac ¯ d.inh nhu , sau:

Bu , o ´ , c xuâ´t ph´ at: (x0, y0)v´ o , i 0 < x0< y0,

Bu , o ´ , c tiê´p theo: xn+1= xn+ yn

2 , yn+1= √xn+1yn T`ım gi´ o , i h an c ua d˜ , ay (xn, yn)

L` o , i gi ai T` , u,nh˜u,ng gia thiê´t ¯, d˜a cho v`a t´ınh châ´t cua trung b`ınh c ông v`a,trung b`ınh nhân cua hai sô´ta c´, o:

xn < yn=⇒ xn+1< yn+1, yn+1− xn+1< yn− xn

4v´o,i m oi n Nhu,v ây c´ac d˜ay c´o gi´o,i h an, v`ı nh˜u,ng d˜ay sô´ du,o,ng v`a giam,

th u,c s u, Khi ¯d´o gi´o,i h an cua c´, ac d˜ay n`ay tr`ung nhau v`a ta t`ım gi´o,i h anchung lim

n →∞xn = x =nlim→∞yn= y.

36 Chu,o,ng 1 Nguyên l´ı bâ´t biê´nT´ınh bâ´t biê´n c˜ung gi´up ´ıch cho vi êc giai b`, ai n`ay Nhu,ng c´o ho,i kh´acl`a không c´o phu,o,ng ph´ap ¯dô´i x´u,ng gi˜u,a c´ac biê´n ¯dê,t`ım bâ´t biê´n Tô`n t ai

m ôt sô´phu,o,ng ph´ap x´ac ¯d.inh biê,u th´u,c biê´n ¯dô,i cua, xn

yn ho ˘ac yn− xnkhibiê´n ¯dô,i t`u,bu,´o,c n ¯dê´n n + 1

ngh˜ıa l`a

2nq

y khi n→ ∞ Cuô´i c`ung ta

1.4 Bâ´t biê´n ¯do,n ¯di êu 37

arccosx0

y0

Ðây l`a m ôt b`ai to´an kh´o nê´u ta giai b`, ang c´˘ ach kh´ac

V´ı d u 1.46 M˜ôi sô´trong nh˜u , ng sô´a1, a2, , an l` a +1 ho ˘ac −1 v`a ta c´o

S = a1a2a3a4+ a2a3a4a5+· · · + ana1a2a3= 0

Ch´ u , ng minh r` ˘ ang n chia hê´t cho 4.

L` o , i gi ai Ðây l` , a b`ai to´an vê` l´ı thuyê´t sô´, nhu,ng ta c˜ung c´o thê,giai n´, o b`˘angbâ´t biê´n Nê´u ta thay ai b`˘ang −ai, th`ı S không thay ¯dô,i ¯dô`ng du,theo 4v`ı bô´n sô´ h ang c.anh nhau theo v`ong tr`on thay ¯dô,i dâ´u cua ch´, ung (v´ı d u

ta thay dâ´u cua a, 1 th`ı bô´n sô´ h ang c.anh nhau l`a a1a2a3a4, ana1a2a3,

an−1ana1a2, an−2an−1ana1) Th ât v.ây, nê´u hai trong sô´nh˜u,ng sô´ h angl`a du,o,ng v`a hai l`a âm th`ı tô,ng S không thay ¯dô,i Nê´u ba sô´h ang trong bô´nsô´h ang c´o c`ung dâ´u th`ı S s˜e thay ¯dô,i bo,, ±4 (nê´u c´o ba sô´h.ang du,o,ng v`a

m ôt sô´h.ang âm th`ı khi thay dâ´u ¯d˜a mâ´t 2 khi n´o du,o,ng, m`a l ai c`on tr`u,2khi n´o âm, v ây tô,ng c ông mâ´t ¯di 4 Tu,o,ng t u,, nê´u ba sô´ h ang âm v`a m ôtsô´ h ang du,o,ng th`ı tô,ng t˘ang lên 4) Cuô´i c`ung tâ´t ca bô´n th`, u,a sô´ trong sô´

h ang c`ung dâ´u, th`ı S thay ¯dô,i±8 (v`ı m˜ôi lâ`n thay dâ´u nê´u S ¯d˜a mâ´t 4 l.aimâ´t thêm 4 khi ca bô´n sô´h ang ¯dê`u du, ,o,ng, tru,`o,ng h.o,

p ca bô´n sô´h ang ¯dê`u,

âm th`ı ngu,.o,c l ai)

Kho,,i ¯dâ`u ta c´o S = 0 ¯diê`u n`ay k´eo theo S≡ 0 (mod 4) Bây gi`o,ta tiê´nh`anh t`u,ng bu,´o,c m˜ôi dâ´u âm thay b`˘ang dâ´u du,o,ng, c´ac bu,´o,c n`ay khôngthay ¯dô,i S (mod 4) Khi ta thay hê´t c´ac dâ´u tr`u,th`ı v˜ân c`on S≡ 0 (mod 4),nhu,ng khi ¯d´o S = n, ngh˜ıa l`a n chia hê´t cho 4 J

V´ı d u 1.47 T.ai m.ôt h.ôi ngh.i c´o m`o , i 2n quan kh´ ach M˜ ôi v.i kh´ach ¯du , o , c m` o , c´ o nhiê`u nhâ´t l` a n − 1 k e th` , u Ch´ u , ng minh r` ˘ ang c´ ac v.i kh´ach c´o thê , ngô`i

38 Chu,o,ng 1 Nguyên l´ı bâ´t biê´n

quanh m ôt b`an tr`on sao cho không ai ngô`i c anh k e th` , u c ua m`ınh ,

B′

A′

AB

H`ınh 1.8

B′

B

A′A

H`ınh 1.9

L` o , i gi ai Tru , ,´o,c tiên ta xê´p c´ac v.i kh´ach ngô`i v`ao v.i tr´ı bâ´t k`ı Ð.˘at H l`a sô´nh˜u,ng ¯dôi th`u ¯d.ich ngô`i c.anh nhau Ta phai t`ım ¯, du,.o,c thu ât to´an m`a n´ol`am giam sô´ H khi H > 0 Cho (A, B) l`, a c ˘ap th`u ¯d.ich v´o,i B ngô`i bên phai,

A(h`ınh1.8) Ta phai t´, ach ¯du,.o,c c ˘ap n`ay ra Ðiê`u n`ay th u,c hi ên ¯du,.o,c nê´uc´o m ôt c.˘ap kh´ac (A0, B0), khi ta ¯dô,i ch˜ô B, A0(h`ınh1.9) v`a H s˜e giam nê´u,(A, A0)v`a (B, B0)không l`a nh˜u,ng c ˘ap ke th`, u Ta ch,ı c`on ch´u,ng minh r`˘ang

m ôt c.˘ap (A0, B0)luôn luôn tô`n t ai v´o,i B0 ngô`i bên phai c, ua A, 0 m`a A0 l`a

b an cua A v`, a B0 l`a b an cua B Ta kh, o,,i ¯dâ`u t`u,Av`a ¯di theo chiê`u ngu,.o,ckim ¯dô`ng hô` (¯di vê` ph´ıa phai) quanh b`, an Ta s˜e b´˘at g ˘ap ´ıt nhâ´t n ngu,`o,i

b an (không phai k, e th`, u) cua A Vê` ph´ıa ph, ai c, ua m˜, ôi ngu,`o,i b.an cua A c´, o

´ıt nhâ´t n ch˜ô Nh˜u,ng ch˜ô n`ay không thê,b.i chiê´m hê´t bo,,i c´ac ke th`, u cua B,v`ı B ch,ı c´o nhiê`u nhâ´t n − 1 ke th`, u Nhu,v ây tô`n t.ai ngu,`o,i b.an A0cua A,m`a vê` ph´ıa phai ngu, ,`o,i n`ay l`a B0, m`a B0 l`a ngu,`o,i b.an cua B., J

M ôt sô´b`ai to´an ta phai d`, ung ¯dê´n hai bâ´t biê´n ¯do,n ¯di êu v`a hai bâ´t biê´nn`ay c´o mô´i liên h ê v´o,i nhau

V´ı d u 1.48 Trên m.ôt m.˘at ph ˘ ang chia lu , , o ´ , i vô h an nh˜u , ng ô vuông, m ôt sô´ô vuông ¯ du , .o , c tô ¯ den M ôt ô vuông trong lu , ´ o , i ¯ du , .o , c tô m` au theo nguyên t´ ˘ ac sau

1.4 Bâ´t biê´n ¯do,n ¯di êu 39

¯

dây: M˜ ôi ô vuông ¯ du , .o , c tô ¯ den khi v` a ch ı khi ´ıt nhâ´t c´ , o ba ô vuông bên c anh n´ o l` a ¯ den trong bu , ´ o , c tô tru , ´ o , c ¯ d´ o v` a tru , ` o , ng h o , p kh´ ac th`ı tô tr´ ang Quy tr`ınh ˘ n` ay ¯ du , .o , c l ˘ap l ai Ch´u , ng minh r` ˘ ang cuô´i c` ung không c` on m ôt ô ¯den n`ao trên

phai v`, a bên tr´ai n´o ¯dê`u l`a tr´˘ang), nhu,v ây n´o s˜e gi˜u,nguyên l`a tr´˘ang cho

Ðiê`u trên ch,ı ra r`˘ang ¯dê´n m ôt l´uc tô`n t.ai ´ıt nhâ´t m ôt h`ang v´o,i m ôt v`ai

ô ¯den trong ¯d´o, c˜o,ô ¯den cua nh˜, u,ng h`ang nhu,v ây s˜e giam Gi, am c˜o, ,h`angn`ay không phai m˜, ai m˜ai, nhu,v ây cuô´i c`ung ta ¯d.at t´o,i tr ang th´ai không c´o

m ôt h`ang n`ao ch´u,a ô vuông ¯den, ngh˜ıa l`a to`an b ô lu,´o,i tr´˘ang JTrong cuô´n s´ach [9] t´ac gia c´, o tr`ınh b`ay phu,o,ng ph´ap giai phu, ,o,ng