Cơ học cơ sở tập 1 phần tĩnh học, động học nguyễn trọng (chủ biên), tống danh đạo, lê thị hoàng yến (XB năm 2002)

TIÊN ĐỂ 1 VẼ HAI Lực CÂN BĂNG Điểu kiện cẩn và đủ để vật rắ n cân bằng dưới tác dụng của hai lực là hai lực đo' co' cùng đường tác dụng, ngược chiều nhau và cùng cường độ.. TIÊN ĐẼ 2 VẼ

60 - 605

- — 123 - 29 - 02 KHKT-02

D ể phục vụ cho sự nghiệp phát triển đào tạo cán hộ khoa học

kỹ thuật, đồng thời nâng cao chất lượng học tập và nghiên cứu mồn cơ học cơ sở, bộ sách "Cơ học cơ sở" được ra đòi.

Sách do các tác giả Tống Danh Đạo, Nguyễn Trọng và

Lê Thị Hoàng Yến biên SOCỊỈI theo yêu cầu của Bộ môn cơ học cơ sở, Trường đại học xây dựng Hà Nội.

Bộ sách dược biên soạn theo nội dung chương trình môn cơ học cơ sỏ dành cho các ngành kỹ thuật: Xây dựng, Giao

thông, Thủy lợi, ., ngoài ra cỏ thê làm tài liệu iham khảo

cho các sinh viên các trường kỹ thuật và những bạn đọc yêu thích cơ học.

Đ ể giúp bạn đọc nắm chắc được phần lý thuyết và có thê vận dụng giải các bãi tập nêu trong mỗi phần, sau phần lý thuyết, các tác giả có nêu câu hỏi ôn tập đê bạn đọc tự ôn tập kiểm tra Cuối mỗi phần các tác giả có trình bày cách giải mẫu một số bài tập Sau đó là các bài tập và cuối cùng

là phần hướng dẫn giải các bãi tập đ ể giúp bạn đọc tự học một cách thuận lợi.

Trong tỉnh học, đối tượng khảo sát là vật ràn chịu tác dụn g của lực H ệ lực tác d ụ n g lên vật rắn p h ả i thỏa m ân sao cho vật rán căn bằng Đ ể đi đến kết luận ch ín h xác v'ê ván dề dó, ta ph ả i giải quyết hai bài toán cơ bản của tỉnh học :

• B ài toán thu gọn hệ lực vẽ m ột hệ lục dơn giản.

• T im diều kiện d ể hệ lực dó cân bằng.

CẤC KHÁI NIỆM CO BẤN - HỆ * ,N ĐỀ TĨNH HỤv

§ 1 1 CÁC KHÁI NIỆM C ơ BẢN

1.1.1 VẬT RẮN TUYỆT ĐỐI

V ật rá n tu y ệt đối là vật m à khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ Cu

nó luôn luôn không đổi

Trong thực tế các vật th ể đều biến dạng, nhưng co' những sự biến dạng r ấ t nhỏ, có th ể bỏ qua ảnh hưởng của nó trong tín h to án chi các bài to án kỹ th uật, v ỉ th ế đối với những vật rắ n như vậy, ngươ

ta co' th ể bỏ qua sự biến dạng và xem chúng như là vật rá n tuyệt đối

T rong cơ học lý thuyết, ta khảo sá t lực tác dụng lên m ột vật r ắ r

và xem no' là vật rán tuyệt đối

1.1.2 LỤC

Lực là sô' đo sự tác dụng tương hỗ giữa các vật thể Lực là mội đại lượng có hướng và qua thực nghiệm người ta thấy nó được xác định bởi ba yếu tố sau :

♦ Đ ầu A của vectơ A B

b iể u d iễ n đ iể m đ ặ t

♦ Phương, chiểu của vectơ AB là phương, chiều c ủ a lực.

♦ Độ dài a củ a A B là cường độ của lực.

Đ ường th ẳ n g D E chứa vectơ AB gọi là đưòng tá c d ụ n g của lực Người ta ký hiệu lực là F

.1.3 TRẠNG THÁI CÂN BÂNG CỦA VẬT RAN VÀ MỘT SỐ ĐỊNH

NGHĨA KHÁC

♦ Căn bàng : là sự đứ n g yên của vật so với hệ quy chiếu đã

chọn

N ếu v ậ t đứ n g y ên so với hệ quy chiếu cố định th ì cân b àn g ấy là

tu y ệt đối Còn n ế u v ật đứ ng yên so với hệ quy chiếu động th ì đó

là cân b à n g tư ơ n g đối T ron g tĩn h học, ta chỉ x ét đến sự cân b àng

tu y ệt đôi T a co' th ể xem các v ậ t th ể đứ ng yên so với q u ả đ ấ t là cân b ằ n g tu y ệt đối (như vậy là ta bỏ q u a sự chuyển động của q u ả

đ ấ t tro n g vũ trụ)

♦ H ệ lực : là tậ p hợp củ a n h iêu lực cùng tá c dụ n g lên m ột v ật

r ắ n hay m ột ch ất đ iểm và được ký hiệu là ( F ị, F 2 , , F n).

như n h a u (nghĩa là nếu đem hai h ệ lực tác d ụ n g lẩn lượt lên m ột

v ật rá n th ì trạ n g th á i cơ học củ a v ậ t tro n g hai trư ờ n g hợp sẽ y như nhau) Ký hiệu hai hệ lực tư ơ n g đương là :

(F ¡, F 2 , , F n) ~ (P ¡,

Hợp lực của m ộ t hệ lực : là m ộ t lực tư ơ ng đương với cả hệ lực

ấy Gọi R là hợp lực của hệ lực (Fị , F 2 , , F n) th ì t a co' th ể

H ai lực là cân bàng khi hai lực đó cù n g tác dụ n g lên m ộ t v ậ t rán ,

có cù n g đường tác dụng, ngược chiều n h au và có cường độ b ằ n g nhau

.2.1 MÔMEN CỦA MỘT L ự c ĐỐI VỚI MỘT ĐIẾM

Cho lực F -đặt tại điểm A tác dụng lên vật và m ột điểm o bất

kỳ Ta gọi khoảng cách d từ điểm o đến đường tác dụng của lực

F là cánh tay đòn của lực F đối với điểm 0

Dưới tác dụng của lực F , vật rán sẽ quay quanh o Ta co' định

nghĩa :

Mõmen của lực F đối với điểm o là một vectơ m l)( F ) đ ặ t tại o

• Có phương vuông góc với m ặt phảng chứa lực F và điểm o

• Có chiều sao cho từ điểm ngọn của vectơ ấy nhìn thấy lực

hướng quanh o ngược chiêu kim đổng hổ.

• Có độ dài bằng tích giữa cường độ của lực F với cánh tay đòn

d của nó đối với o (h.1.1.2).

ịmc(F)\ = F d - / T s i n a , /n0( F ) - ĩ * p

Hình 1.1.2

Ý nghia của m ôm en

• ý ngh m ca học : m ôm en của m ột lực đối với m ột điểm đặc

trư n g cho tác dụng quay của lực quanh điểm đó Tác dụng quay này phụ thuộc vào ba yếu tố

♦ Vị trí của m ặt phảng chứa lực và điểm lấy mômen

♦ Chiểu quay tro n g m ặt phảng này

♦ Cường độ của lực và cánh tay đòn của lực đối với điểm đó.

r là vectơ đ ịnh vị của A đối với o ,

n tữ ( F ) = 0 tro n g hai trư ờ n g hợp sau :

m ặt p h ả n g chứa các lực và đ iểm lấy m ôm en P h é p so sá n h các vectơ cù n g phương có th ể đ ư a về so sá n h b ằn g đại số, tứ c là so sán h dấu đại số của m ôm en)

Và có th ể viết m a{F) = ± F.d.

Lấy d ấu ( + ) tro n g trư ờ n g hợp dưới tá c d ụ n g của lực F , v ậ t quay

q u a n h o ngược chiểu kim đổng hổ.

Lấy d ấ u (-) tro n g trư ờ n g hợp ngược lại

1.2.2 Mômen của một lực đối với một trục

T a hãy khảo s á t m ột v ật rắ n có th ể quay được quanh trụ c 2 dưới tác

dụng cùa lực Ỹ ' dặt tại A Qua A vẽ m ặt p h ản g xy vuông góc với trụ c

2 và cắt trụ c 2 tại O; phân tích lực F ra hai th à n h ph ần : Ỹ 7

song song với trụ c 2 và Fxy song song với m ặ t p h ẳn g xy T hành

p h ẩ n có tá c d ụ n g làm v ậ t chuyển dời theo trụ c 2, chỉ co' th àn h

p h ần ĩ^y mới co' tác d ụ n g làm v ậ t quay q u a n h trụ c 2 N hư vậy tác

dụng quay của lực F quanh trụ c 2 chính là tác dụng quay của

th àn h p hần F .

M ômen của đối với trụ c 2 bằng tích giữa cường độ của F ' với cánh tay đòn dị của nó đối với trụ c 2 Đại lượng này chính là

m ôm en của F^ỵ đối với điểm o

Đ ịn h n g h ĩ a : M ômen của lực F đối với trúc 2 là 'lượng đại số,

b àn g m ôm en của th àn h p hần F đối với điểi' 0

m z(F ) = ± Fw d x

• Lấy dấu (+ ) nếu từ chiều dương của trục 2, nhìn thấy Fxy quay

quanh o ngược chiều kim đồng hồ,

• Lấy dấu (-) tro ng trư ờng hợp ngược lại

♦ Ý nghĩa cơ học : m z( F ) đặc trư n g cho tác dụng quay của lực

F quan h trụ c 2

♦ Ý nghĩa hình học : m 7(F) - 2 SAOA B

• M ômen của lực F đối với trụ c 2 bằng 0 trong các trường hợpsau :

♦ Lực F song song với trụ c z (vì F w = 0).

♦ Đường tá c dụng của lực F cát trụ c z (vì d ị = 0).

T ro n g cà hai trư ờ n g hợp này, t a th ấ y rằ n g lực F và trụ c z đểu

cùng ở tro n g m ột m ặ t phảng Vỉ th ế khi x ét hệ lực cù n g n ằ m tro n g

m ột m ặ t p h ả n g và các trụ c cũng n ằ m tro n g m ặ t p h ả n g ấy th ì k hông cần đưa r a khái niệm này

M ômen của m ột lực đối với m ột trụ c được xét là m ột lượng đại sô'

VỊ các th àn h phẩn và điểm o đểu cùng n ằm trong m ặt phảng xy.

1.2.3 ĐỊNH LÝ LIÊN HỆ GIỮA MÔMEN CỦA MỘT Lực ĐỐI VỚI MỘT ĐIẾM VÀ MÔMEN CỦA MỘT Lực ĐỐI VƠI MỘT TRỤC

Đ ịn h lý : M ôm en của m ột lực đối với m ộ t trụ c b ằ n g hình chiếu lên trụ c ấy của vectơ m ôm en củ a lực đối với m ột đ iểm b ấ t kỳ trê n trục

B iểu diễn định lý b ằn g biểu th ứ c to án học

m v ( ? ) = l™ o(F )l - cosr

y là go'c giữa trụ c z v à vectơ m 0 (F ).

Hình 1.1.4

y cũng là go'c giữa hai m ặt phảng OAB và Oxy (vì m u ( F ) và trục

2 tương ứng vuông go'c với hai m ật phảng này) Như vậy :

b Các yếu tố của ngẫu lực

• M ặt p h ả n g chứa hai lực của n g ẫu lực gọi là m ặ t phốn g tác dụn g

củ a n g ẫu lực

• K hoảng cách d giữa các đường tác dụn g của hai lực gọi là cánh

ta y đòn củ a ngẫu lực

Dưới tá c d ụ n g của n gẫu lực, v ậ t r á n sẽ chuyển động quay

Đ ể xác định h oàn to àn ch uy ển động quay n ày ta có khái niệm vể vectơ m ômen của ngẫu lực

Đ ịn h n g h ĩa : Vectơ m ôm en của n g ẫu lực là m ột vectơ tự do m

có :

♦ P h ư ơ n g vuông góc với m ặ t p h ả n g tá c d ụ n g của n gẫu lực.

♦ C hiều sao cho từ đ ầ u m ú t củ a nđ n h ìn th ấ y ngẫu lực có hướ ng q uay ngược chiểu kim đống hổ

♦ Độ dài b à n g tích giữa cường độ của lực với c án h ta y đòn d

• Tác dụn g của ngẫu lực sẽ không thay đổi khi ta thay đổi tùy

ý cường độ của lực và cánh tay đòn nhưng vẫn giữ nguyên mômen

tương đương với m ột ngẫu lực co' m ôm en bằng tổng đại số m ôm en của t ấ t cả các ngẫu lực th àn h phần

§ 1.4 HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC

1.4.1 TIÊN ĐỂ 1 (VẼ HAI Lực CÂN BĂNG)

Điểu kiện cẩn và đủ để vật rắ n cân bằng dưới tác dụng của hai lực là hai lực đo' co' cùng đường tác dụng, ngược chiều nhau và cùng cường độ

Ký hiệu (F ! , F 2) ~ 0

N hư vậy *ta n h ận thấy rằn g m ột vật rắ n dưới tác dụng của một lực th ì không th ể cân bàng được

1.4.2 TIÊN ĐẼ 2 (VẼ sự TƯƠNG ĐƯƠNG CỦA CÁC HỆ LỰC)

Tác dụng của m ột hệ lực lên vật rán sẽ không thay đổi nếu ta

th êm vào hay bớt đi m ột hệ lực càn bằng

N h ư vậy nếu hai h ệ lực khác n h a u bời m ột hệ lực cân b ằ n g thì

tư ơ n g đươ ng nhau

H ệ q u ả c ủ a t i ê n đ ề 1 v à t i ê n d ể 2 : Tác d ụ n g của m ột lực lên vật rá n sẽ k hông th ay đổi nếxj ta dời điểm đ ặ t lực đi trên đường tác d ụ n g của nd

C h ứ n g m in h

Lực F tá c d ụ n g lên v ậ t rá n

F j = F ; F , = —F

Theo tiên để 2 th ì F ~ (F , F j , F 2)

Theo tiên để 1 thì hai lực F và F \ cân bằng nhau, v ì th ế nếu bớt

đi hai lực F , F 2 th ì chỉ còn lại Fj và (F , F j , F 2) ~ Fị

N hư vậy tác d ụ n g của F j giống n h ư tác dụ n g của lực F , chỉ khác

là lực Fị đ ặ t tạ i B , còn F đ ặ t tạ i A.

1.4.3 TIÊN ĐẼ 3 (QUY TÂC HÌNH BỈNH HÀNH)

H ợp lực củ a hai lực tá c d ụ n g lên v ật rá n đ ật tại m ột điểm sẽ được

m ộ t lực cũ ng đ ặ t tạ i đ iểm ấy và được xác định b ằ n g đường chéo

• Tiên đề n ày đú n g đối với cả

trư ờ n g hợp hai lực co' đường Hình 1.1.9

tác dụng cắt nhau vì theo hệ quả của tiên để hai, ta có th ể dời điểm đ ặt các lực vé điểm cắt nhau này.

• Từ tiên đề này, có th ể suy ra each tìm hợp lực của hệ n lực

co' đường tác dụng cắt nhau tại một điểm (gọi là hệ lực đổng qui) T a co' th ể dời điểm đặt của tấ t cả các lực về điểm cắt

nhau Áp dụng tiên đề 3 cho từ ng cập lực từ lực F I đến F n.

1.4.4 TIÊN ĐẼ 4 (QUY LUẬT VẼ sự TÁC DỤNG VÀ PHÁN TÁC DỤNG)

Hai vật tác dụng lên nhau những lực có cùng đường tác dụng, cùng

cường độ và ngược chiều nhau.

Hình 1.1.10

Tiên để này cho ta thấy lực bao giờ cũng x u ất hiện từ hai chiều

N ếu vật B tác dụng lên vật A lực F I thì nó phải chịu m ột phản lực F \ của vật A tác dụng Về toán học có th ể viết :

H ai lực này không cân bằng n h au vỉ chúng đật lên hai vật rán khác nhau (h 1.1.10)

Một vật biến dạng ở trạ n g thái cân bằng dưới tác dụng của m ột

hệ lực thì khi hóa rá n vật đó vẫn cân bằng -™ :— ,

V ật rán tự do là vật không bị ràn g buộc với các vật khác và có

th ể di chuyển tự do tro n g không gian Ngược lại những vật bị ràng buộc với các vật khác và không th ể di chuyển tự do được gọi là vật rán khống tự do

’-n ic o sở r.i

• Viên đạn chuyển động tro n g không gian là vật tự do.

• V ật đ ặt lên bàn hay bị treo b à n g sợi dây là v ật bị liên kết (m ặt

b àn hay sợi dây là các vật gây liên kết) T a h iểu b ản ch ất củaliên k ết là vật gây liên kết sinh ra lực cản trở chuyển động của

v ậ t bị liên kết Lực này gọi là p h ả n lực liên kết Còn lực m à

v ậ t bị liên kết tác d ụ n g lên v ật gây liên kết gọi là áp lực

Ap lực và ph ản lực liên kết tu â n theo tiên để th ứ 4 của tĩn h học, nghĩa là hai lực này cd cùng đườ ng tác dụng, cùng cường độ và ngược chiéu n h au C ần chú ý là chiểu của p h ả n lực liên kết ngược với chiểu di chuyển bị cản trở

T ro ng thực tế, h ầ u h ết các vật r á n đều ở trạ n g thái không tự do

Vì th ế việc xác định và tín h to án các p h ản lực liên kết là bài toán

qu an trọ n g tro n g tin h học T a sẽ khảo s á t p h ả n lực của m ột số liên kết sau đây với giả th iế t các v ật hoàn to àn trơ n

1.5.2 MỘT SỐ LIÊN KẾT THƯỜNG GẶP VÀ PHẢN Lực LIÊN KẼT

a Liên kiểt tựa

V ật tự a lên m ật, chuyển động củ a v ậ t bị cản trở theo phương pháp tuyến P h ả n lực hướ ng theo phương pháp tuyến chung giữa hai m ặt

tiếp xúc, đ ặ t tại điểm tiếp xúc, ký hiệu N (h 1.1.1 la )

Hình 1.1.n

Dảv mẽm, không giãn, bị kéo càng

P h ả n ỉưc gọi là sức căn g dây, có

phương dọc theo dây, chiều đi ra khỏi

v ậ t bị liê n k ế t, ký h iệ u là T

í h u 1 2 )

Bản lể trụ gốm m ột lõi trụ tròn gọi

là trụ c bản lề (h l.l,1 3 a ) và m ột vỏ trụ bao ngoài lõi trụ trò n ấy

H ai vật rán được nối với nhau bàng bản lể trụ Chuyển động của vật bị liên kết dọc theo trục bản lề không bị cản trở nên phản lực theo phương này bằng 0 v ì vậy phản lực cát trục bản lể, cd phương

bất kỳ tro n g m ặt phẳng vuông góc với trục bản lê, ký hiệu R

T a xác định được R qua hai th àn h phần theo hai trục tọa độ tro ng

m ặt phảng này ( h l.l.l3 b ) Gối tự a cố định cũng là dạng của bản

Hình ỉ.i.1 3

d Liên kết bản lề cẩu

V ật được nối với m ột quả cấu A xoay được tron g m ộ t hốc hình cầu

P h ả n lực R đi qu a tâ m q uả cẩu A và có phương chiểu b ấ t kỳ

tro n g không gian T a xác định được R qu a ba th à n h p h ầ n của nó

theo ba trụ c tọ a độ (h 1.1.14a) Liên k ết cối cũ n g thuộc d ạ n g bản

lể cẩu, chỉ khác là p h ản lực R có p hư ơ ng bất kỳ n h ư n g luôn hướng

ẻ Liên kết thanh

H ai v ậ t được nối với n h a u b à n g th a n h cứ n g (có th ể th ẳ n g hoặc cong) B ản th â n th a n h n áy k hông chịu tá c d ụ n g của lực (trọ n g lượng

th a n h không đ á n g kể, không có lực nào đ ặ t vào th a n h ), hai đầu

th a n h chịu liên kết b ả n lể P h ả n lực có đườ ng tá c d ụ n g nối hai bản lể Có th ể ch ứ n g m inh k ết lu ậ n n ày theo tiê n để 1

T ro n g trư ờ n g hợp này th a n h chỉ chịu kéo hay bị nén N ếu th a n h chịu kéo th l p h ả n lực hướ ng r a khỏi v ậ t khảo sát, còn n ếu th a n h

bị n én th ỉ p h ản lực đi vào v ậ t k hảo sát

g Liên kểt ngàm

Khi v ậ t bị liên kết và v ậ t gây liên k ết được nối cứng với n h au thì

đó là liên kết ng àm (đinh được đ đ n g cứng vào tường)

tọa độ.

Nếu ngâm tro ng m ặt phảng thì R A được xác định bởi hai thành

ph ần theo hai trụ c tron g m ặt phảng, còn M A được xác định trong

m ặt phảng ngâm

1.5.3 TIÊN ĐẼ 6 (TIÊN ĐỂ GIÀI PHÓNG LIÊN KẾT)

Một vật rắ n không tự do cân bằng có th ế xem là vật rắn tự do cân bàng nếu ta bỏ đi các liên kết và thay vào đó VÁC phán lực liên kết tương ứng

T rong trư ờ n g hợp này hệ lực cân bàng tác dụng lên vật rắ n bao gốm cả các lực chủ động và phản lực liên kết

Tiên đề này giúp giải quyết bài toán cân bàng dôi với các vật rán không tự do, tức là vật rán chịu liên kết

CHUÔNG 2

HAI BÀI TOẤN CO BẢN CỦA TĨNH HỌC

2.1.1 ĐỊNH LÝ DỜI LỤC THEO PHƯƠNG SONG SONG

Đ ịn h lý : T ác d ụ n g củ a m ột lực lên v ật rắ n không th ay đổi khi

t a dời song song nó từ điểm này sa n g điểm khác củ a v ật nếu ta

th êm vào m ột ng ẫu lực phụ N g ẫu lực này co' m ôm en b àng m ôm en của lực đ ặ t tại điểm cũ đối với đ iểm mới dời đến

C h ứ n g m in h

~ >

M ột lực F tác dụ n g lên v ật rán đ ặ t tại A Ta cần dời lực đến

điểm B Tại B đ ặt th êm vào v ậ t hai lực FJ , F2 cân bằn g nhau sao

cho : Fị — F ; F2 = - F Theo tiên để hai thì F ~ (F , Fị F2)

(h 1.2 la )

N hư vậy (F , F Ị , F 2) là m ột hệ gồm có m ột lực F J vả m ột ngẫu

lực (F , F 2) N gẫu lực n ày có m ồm en m = m B(F) (h.l.2.1b).

Hình 1.2.1

2.1.2 THU GỌN HỆ Lực KHÔNG GIAN VẾ MỘT TÂM VECTƠ CHÍNH

VÀ MÔMEN CHÍNH CỦA HỆ LỤC

a Phương pháp thu gọn

H ệ lực không gian (F\ , F i , ■■■Fn) Thu gọn hệ lực trê n vể tâm

o (gọi o là tâm thu gọn) D ùng định lý dời lực theo phương song

song, lán lượt dời các lực vẽ tâm o.

Dời lực Fị vé 0 , ta được Fị ’ và ngậu lực ró mômen n i I với niị = m 0 (Fị) Dòi lực F ? vê o , ta được í V và ngẫu lực GÓ mômen m-, với m~, = m it (F*,) Dời lục F vé o , ta được F n' và n ^ u lực oó mômen m n với m n - m u (F n) Sau khi dời hệ (Fị , ■ ■ , F n) vé o , ta được một hệ lực (F \ , F F ') đạt

tại o và một hệ n ^ u lục có các vectơ mômen niị , m 2 , , m n (h.l22a) Hợp

hệ lụt: đặt tại o , (F \ , F F ;n( ta được hợp lực R ’o của nó dạt, Ì.Ị1 o

Hợp hệ ngẫu lực, ta được một ngẫu lực có vectơ mômen M () (h.l.2.2b)

Hình 1.2.2

b Vectơ chính và vectơ mômen chính cúa hệ lực

+ R ’ , = £ Fị là vectơ chính của hệ lực (Fị , F 2 , ■ ■ , F n).

+ M , = ^ m ẠFk) là niôm en chính của hê lực đối với tâm o Chú ý :

là hợp lực của hệ lực đạt tại o ( F \ , F \ , , F ’n) n h ư n g không phải là hợp lực cúa hệ lực (Fj , F , Fn) (giải thích theo định

b ằn g m ôm en chính của hệ đối với tâm thu gọn

2 1 3 XÁC ĐỊNH VECTƠ CHÍNH VÀ MÔMEN CHÍNH CỦA HỆ Lực

Xác định R ’o và Mo bằng phương pháp giải tích

Theo định nghía R ' n = 2 F k vì vậy

* ’x

-R \ =

R ' , =

ío i! lịl RC f R ị + r ; = -yị < 2 X r + r + ( ¿J z krV <1 2.3)

Gọi ư , ß, y là góc m à vecto: R Tn tạo với CíỈC in ỊlC' Ox, Oy, Oz, thỉ

eosin của các góc này được xác định nhví sau :

Muy = 2 [ m 0 (F k)]y = X m y(Fk)

M 0 = ^ p nix(Fkiị 2 + p m v(Fk)] 2 + p m.,(Fk)] 2

Gọi r t j , yI là góc mà M , tạo với Ox, Oy, Oz, ta có

M„xcosa 1 = - ; cos/i I

Từ m ột điểm A bất kỳ, ta vẽ nối tiếp lán lượt các vectơ tương ứng

song song cùng chiểu với vectơ Fị , F t , F ị , FJ và có độ dãi chính

bàng độ dài các vcctơ này

Đường gấp khúc ABCDEA được tạo thảnh gọi lá đa giác lựg cùa hệ

lực đã cho (h.l.2.3b)

Vectơ Ẫ È gọi là Ccựnh đ ó n g k ín c ủ a đ a g iác lực, và là v ectơ

chính R ’ của hệ lực đã cho Nếu hệ lực trong không gian thì đa

giác lực sẽ là đa giác ghềnh

H ệ lực tro n g m ặt phẳng thi đa giác lực sẽ là đa giác phảng

Đối với hệ co' n lực mà n > 4 thì ta vẽ tương tự như với hệ bốn lực cho đến lực Fn

2.1.4 THU HỆ LỰC KHÔNG GIAN VẼ DẠNG TỐI GIÀN

M ột hệ lực không gian th u về m ột tâ m được m ột lực và m ột ngẫu lực Lực và n g ẫ u lực n ày được biểu diễn q ua vectơ chính và m ôm en chín h của hệ đối với tâ m th u gọn Đ ể h iểu rõ hơn thực ch ất tác

d ụ n g của hệ lực không gian, ta x ét d ạ n g tối giản của nó q u a các trư ờ n g hợp có th ể gặp vé vectơ chính và m ôm en chín h của hệ lực

q 'L

-Hình 1.2.4

• M () ^ 0 và M () vuông góc với R ’ , nghỉa là R M a — 0 ; hệ lực sẽ th u vể m ộ t hợp lực không đi q u a o m ã q ua O ’.

T a có th ể ch ứ n g m inh điều này và xác định O ’ như sau :

Véctơ M () b iểu diễn n g ẫ u lực (R ị , R 2) cùng n àm tro n g m ậ t p h ẳn g với R ’ sao cho :

d - H ệ lực thu về m ột hệ xoán khi : R ’(ì ỈÉ 0, M v * 0 và có th ể

xảy ra m ột trong hai trường hợp sau:

Ngầu lực co' vectơ M v Jiàm tĩo n g m at nbẳng vuông góc với / ỉ ’ Tận

hợp gổm có lực R~n và ngầu lực (í?! , R 2) gọi là một hệ xoắn Như

• M 0 và R ’a tạo với nhau m ột góc a nào đo'

P h â n tích M 0 ,ra hai thàn h phần M vuông go'c với R '

M ? song song với R ’0

Với Mị v uôn g góỏ với R ’n

thì thu về hợp lực R I đi qua

o.

— >

N hư vậy hệ còn lại M-, và

R ị song song nhau, và hệ

p,

Hình ỉ 2.6

2.1.5 ĐỊNH LÝ VARINHÔNG

N ếu hệ lực có hợp lực thì vectơ m ôm en của hợp lực đôi với m ột điểm nào đó b ằ n g tổ n g hình học các vectơ m ôm en các lực của hệ đối với điểm ấy

C hiếu đ ả n g thức trê n lên m ột trụ c z nào đó có sử d ụ n g định lý

liên hệ giữa m ôm en của lực đối với m ột đ iểm và m ột trục, ta có :

a Hệ lực phẳng

Hệ lực ph ảng là hệ lực m à đường tác d ụ n g của các lực cùng nằm tro n g m ột m ặt phảng

Các trư ờ n g hợp tối giản củ a hệ lực ph ảng cũ n g giống như hệ lực

không gian, chỉ chú ý khi R ’ , Tt 0, M n ^ 0 thì R ’n và ngâu lực

cũ n g nằm tro n g m ột m ạt p h ẳ n g (h 1.2.71))

B iểu d iễn n g ẫ u lực có m ô m e n M () t h à n h h a i lực R I = R \ v à

R ^ — —i?’n Theo các tién đé 1 và 2 ta có (/?’0 , f í 2) - 0 n ên có

th ể bỏ đi được, hệ lực chỉ còn lại R I đi qua o , và có O O ’ = —

dấu của phải cùng dấu của M 0

Như vậy đối với hệ lực phẳng thì khi thu gọn, ta được một hợp lực nếu

R ’ & 0 và được, m ột ngẫu lực nếu R ’ = 0

M Ậ R ) = 2 m / (F k>

Hình 1.2.7

-= 2niy(Fk) -= - aF, + oF4 -= aF

M n/ = 'Lti.,(Fk) = 0.

Thu hệ lực trôn về O, ta được m ột lực R ’a song song và ngược chiều với trục z, một ngảu lực co' M(, song song cùng chiều với trụ c y.

| / r j = F, | i ? , | - aF

' "í —?

Vi M 0 ± R ’n nên hệ th u vé m ột hợp lực đi «Ịua O '.

V? d ụ ? (Cho hệ lực phảng)

Cho dàn chịu lực như hình 1.2.9 với Fị 2 F , FỊ, F - F

H ãy thu gọn hộ lực V‘* d a n g tố' giàn

Kết hợp (a) và (b), ta có đường tác dụng của R cách A một khoảng

(ỉ Mômen của R đối với /Ị co' dấu trừ.

2.2.1 ĐIẾU KIÊN CÂN BÀNG CỦA HỆ Lực TỐNG QUÁT

a Đ ịn h lý : Điểu kiện cẩn và đủ để hệ lực không gian cân bàng

là vectơ chính, và vectrt mónten chính của hệ lực đối với m ột điểm

o nào đó bằng không.

C h ứ n g m in h

1) Dieu kiện càn

N ếu m ột tro n g hai điều kiện trê n không thỏa m ãn thì hệ lưc sẽ

không cân bằng T h ật vậy, khi R ’ ^ 0 , M 0 = 0 thì hệ sẽ th u về

m ột hợp lực ngược lại khi R ’ = 0, M a * 0 thì hệ sẽ thu vễ một

ngẫu lực Và như vậy là hệ lực không cân bằng

2) Điêu kiện dù

Nếu R ’ = 0 thl hệ thu vể một ngâu lực có mômen M n mà Afn = 0

nên hệ cân bằng

b) C ác p h ư ơ n g tr ìn h câ n b ằ n g c ủ a h ệ lực

Đ ịn h lý : Diều kiện cấn và đủ để hệ lực không gian cân b ằng là

tổng hình chiếu của tấ t cả các lực và tổng m ónten của chúng đối

với ba trụ c ơx, Oy, Oz đếu bằng 0.

C h ứ n g m in h

Từ (1.2.3) và (1.2.5) :

R ’o = ^ ( 2 X > 2 + í 2 n ) 2 + ( 5 X ) 2

N h ư vậy, m uốn R \ , = 0, M„ = 0 th ì các số h ạ n g bên tro n g căn

phải đổng thời b ằ n g không

Ba phươ ng trìn h đ ầu bảo đảm đ ể vật rá n dưới tá c d ụ n g của hệ lực trê n k h ông chuyển dời theo các trụ c tọ a độ và ba phương trìn h sau bảo đảm để vật không quay q u a n h các 'trụ c tọa độ, nghỉa là vật

r ắ n sẽ cân bằng

C hú ý : N ếu ngoài hệ lực (FI , F 2 , F n), còn có hệ s n gẫu lực

có các m ôm en (m I , m 2 , m j tá c d ụ n g lên vật rá n thì khi thiết

lập hệ phương trìn h cân bằng, t a cần lưu ý :

• Các phươ ng trìn h hìn h chiếu vẫn giữ nguyên

• T ro n g các p hư ơ ng trìn h m ôm en, ta cộng đại số th ê m h ình chiếu của các vectơ m ôm en lên các trục

^ j n 0(Fk) — 0 Vì th ế định lý được p h át biểu như sau :

D ạ n g th ứ n h ấ t Điều kiê.T cần \ đủ để hệ lực phảng cân bằng

là tổ n g hình chiếu của các lực lên hai trục tọa độ và tổng m ôm en của chúng đối với m ột điểm b ấ t kỳ tron g m ặt phảng bằng không

Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng còn có th ể viết dưới hai dạng sau :

D ạ n g th ứ h a i Diều kiện cẩn và đủ để hệ lực phẳng cân b àng là

tố n g m ôm en của các lực đối với hai điểm A, B bất kỳ và tổng hình

chiếu của chúng lên /trụ c X không vuông góc với AB bằng không.

2 m A( í y = 0 ; ỵ m B(F\.) = 0 ; 2 x k = 0 (1.2.11)

trụ c X không được vuông góc với AB.

C h ứ n g m in h

Điểu kiện cần : c ũ n g 'c h ứ n g m inh như d ạng tổng quát

Điều kiện đủ : Nếu hai phương trìn h đầu của (1.2.11) thỏa m ãn thì

hệ th u về m ột hợp lực R đi qua cả hai điểm A và B Trục X

không vuông góc với AB, thi phương trìn h thứ ba thỏa m ãn chỉ khi

nào chính bản th ân R = 0 N hư vậy hệ sẽ cân bằng.

D ạ n g th ứ ba Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng cân b ằng là

tổ n g m ôm en của tấ t cả các lực đối với ba điểm A, B, c b ấ t kỳ

không th ẳ n g h àng đểu bàng không

Z m A(Fk) = 0 ; 2 m B(Fk) = 0 ; 'Zm c (Fk) = 0 (1.2.12)

C hứng m inh tương tự như với ’d ạng thứ hai

h Hệ lực song song

Đ ịn h lý : Điều kiện cần và đủ để hệ lực không gian song song

cân bằng là tổng hình chiếu của các lực lên trục' song song với chúng và tổng m ôm en các lực đối với hai trụ c còn lại đều bằng không

N ếu hệ lực song song với trụ c z, thì :

h

E z k = 0 ; 2 m x(* y = 0 ; I m y( í y = 0 (1.2.13)

3-CHỊ'ơ SỞT.l

C hứ ng m in h điểu này r ấ t đơn giản, có th ể suy r a từ sá u phương trìn h cân b ằ n g của hệ lực không gian tổ n g quát

c Hệ lực đổng quy

Đ ịn h lý : Điều kiện cấn và đủ để hệ lực k hông gian đống quy

cân b àn g là tổ n g h ìn h chiếu của các lực lên b a trụ c tọ a độ đễu

b à n g không

2 X = 0 ; 2 y k = 0 ; 1 z k = 0 (1.2.14)

C h ứ n g m in h

Từ sáu phương trìn h cân b à n g của hệ lực tổ n g q u á t và nếu hệ tọa

độ ta chọn co' gốc o tại đ iểm đổng quy củ a hệ lực, thì khi đo' ba

phương trìn h m ô m en th ỏ a m ãn

2.2.3 Ví DỤ TÍNH TOÁN

M ột v ật r á n sẽ cân b ằ n g dưới tá c d ụ n g của m ột hệ lực cân bằng Giải bài to á n vể sự cân b ằ n g c ủ a hệ lực là t a tìm các p h ả n lực liên kết tro n g các phương trìn h cân b ằn g của hệ lực

Các bước c á n th iế t đ ể giải bài to án tĩn h học :

• Chọn v ậ t m à t a c ẩ n khảo s á t sự cân b ằng của nó

• Giải p h ó ng t ấ t c ả các liên k ết của v ậ t và đ ặ t vào đó các phản lực liên k ết tư ơ n g ứng

• Lập các p hư ơ ng trìn h cân b à n g của hệ lực tác d ụ n g lên vật

• Giải phư ơ ng trìn h đ ể xác định các đại lượng c ầ n tìm và kiểm tra lại k ế t quả

VÍ d ụ 1 (Dối với hệ lực không gian)

G iải hệ p hư ơ ng trìn h trê n , ta tín h r a được :

T = 200 N ; x fí = Z B = 0 ; X A = 86,5 N ;

Chú ý : K hi lấy m ôm en của m ột lực đối với m ột trụ c phải để ý

đến trư ờ n g hợp khi m ôm en của lực đối với trụ c b ằ n g 0

N h ậ n x ét : K ết q u ả X A m an g dấu (-), chứng tỏ chiểu th ự c lt ế của

X A ngược với chiều ta giả thiết.

VÍ d ụ 3 (H ệ lực song song)

M ột cẩn trụ c có trọ n g lượng Q = 50 kN và trọ n g tâ m n h ư hình 1.2.12 ; tải trọ n g p = 10 kN H ã y xác định p h ản lực tạ i A và B

Ch.1.2.12)

• N ếu giữ ng uvên Q m à

tă n g tải trọ n g p lên thì

CHUÔNG 3

NHỮNG BẦI TOÁN ĐẶC BIỆT CỦA TĨNH HỌC

§ 3.1 BÀI TO ÁN VỀ S ự CÂN BẰNG CỦA Đ Ò N VÀ VẬT LẬT

3.1.1 Sự CÂN BĂNG CỦA ĐÒN

Diều kiện để vật cân bàng là (Fị , F2 , ■ , Fn , R A , Rịị) ~ 0

Do sự thay đổi của hệ lực trên, có th ể xảy ra sự m ất liên kết tại

được quanh A hoặc B Điều kiện để vật cân bằng (nghĩa là vật

không th ể quay được quanh A và quanh B) là tổng mômen của các

lực đối với A và B đều bàng không.

2 m A( í ’k) = 0 : để vật không lật quanh A

= 0 : vật không lật quanh B (1.3.1)Nếu p hân tích các lực tác dụng lên vật ra hai loại : lực lật và lực giữ đối với từ n g điểm và gọi tổng m ômen của các lực lật đối với

từ n g điểm là m ôm en lật; của các lực giữ là mômen giữ thì diễu kiện cân b ằng của vật lật đối với từng điểm là:

Dấu bàng tương đương với trư ờng hợp cân bàng giới hạn Trong trư ờng hợp vật co' khả n ăng lật quanh nhiều điểm khác nhau thì (1.3.2) phải th ỏa m ãn đổi với tấ t cả các điểm

§ 3.2 BÀI TOÁN VỀ LỤC TẬP TRUNG VÀ LỤC PHÂN BỐ

Lực tác dụng lên vật có thê’ đ ặt tại một điểm, có th ể phân bô trên

m ôt đô dài hoác trê n m ốt diên tích Để hiểu rõ và biểu diễn các

loại lực ấy, người t a đ ư a r a khái niệm lực tậ p tru n g v à lực phân bố.

• Lực tậ p tru n g : là lực được đ ặ t tại m ột điểm nào đó củ a vật

rắ n

• Lực ph ân bô' : là lực đ ặ t trê n m ột p h ần nào đó của v ật hoặctrê n m ột p h ẩ n bề m ặt, m ột đoạn th ẳ n g nào đó của m ột côngtrìn h Lực p h ân bố được đặc trư n g b ằn g cường độ c ủ a nó (là sôlượng lực tá c d ụ n g lên m ột đơn vị độ dài, diện tích hay th ểtích)

Người ta co' th ể th ay th ế lực

phân bố b ằng lực tậ p tru n g

T a hãy x ét m ộ t vài trư ò n g

hợp lực p h â n bô' đơn giản

§ 3.3 BÀI TOÁN VỀ s ự CÂN

3.3.3 CÁCH GIÀ! BÀI TOÁN HỆ VẬT

Từ tiên đề 5, ta có th ể rú t ra kết luận cho sự cân bằng của hệvật: khi hệ vật cân bàng thì các vật thuộc hệ sẽ cân bàng và ngượclại khi từ n g vật thuộc hệ cân bằng thì hệ vật sẽ cân bằng

Có hai cách giải bài toán hệ vật

• H óa rá n : xem toàn bộ hệ vật như m ột vật, hệ chi chịu tácdụng của ngoại lực Giải bài toán này như đối với m ột vật

• Tách v ật : khảo s á t sự cân bằng của từ ng vật riêng biệt Đ ặt

§ 3.4 BÀI TOÁN T ĨN H Đ ỊN H VÀ SIÊU TÍNH

Khi giải bài toán hệ vật, nếu số ẩn số (hay là số p h ản lực liên kết) b àn g số phương trìn h cân b àn g th ì đó là bài to á n tĩn h định

T rong trư ờ n g hợp số ẩn số nhiều hơn số phương trìn h cân b àng thì bài to án được gọi là siêu tĩnh T ron g cơ học lý th u y ết người ta chỉ giải bài to án tĩn h định

VÍ d ụ : Cho hệ n v ật tro n g m ặ t phẳng N hư vậy có 3n phương

trìn h cân bàng N ếu số ấ n số cần tìm là 3n thì bài to án là tỉn h định N ếu sô ẩ n số lớn hơn 3n th ì bài toán là siêu tĩn h