Dáng điệu tiệm cận nghiệm của bất đẳng thức vi biến phân dạng parabolic elliptic

Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình, nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn trong cách tiếp cận một vấn đề nghiên cứu khoa học.. Tô

T R Ư Ờ N G Đ Ạ I H Ọ C s ư P H Ạ M H À N Ộ I 2

N G U Y Ễ N T R Ư Ờ N G LÂM

D Á N G Đ IỆ U TIỆM C Ậ N N G H IỆ M C Ủ A BA T đ a n g t h ứ c

V I B IẾ N P H Â N D Ạ N G PA R A BO LIC -ELLIPTIC

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Trần Đình Kế Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình, nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn trong cách tiếp cận một vấn

đề nghiên cứu khoa học Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn và kính trọng đối với thầy

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm

Hà Nội 2, phòng sau Đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường cùng các bạn học viên cao học đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này!

Hà Nội, tháng 7 năm 2016

N g u y ễn Trường Lâm

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Trần Đình Kế.

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa những kết quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng

M ụ c lục

Lời cảm ơ n i

Lời cam đ o a n ii

M ở đ ầ u 1

Chương 1 K iến thứ c chuẩn b ị 5

1.1 Độ đo không com pact 5

1.2 Một số khái niệm của lý thuyết nửa n h ó m 7

1.3 Dưới vi p h â n 11

1.4 Lý thuyết tập hút toàn c ụ c 12

Chương 2 T ính giải được và tín h chất tập n g h iệ m 15

2.1 Sự tồn tại nghiệm toàn c ụ c 15

2.2 Tính chất tập nghiệm 23

Chương 3 D áng điệu tiệm cận n g h iệ m 28

3.1 Sự tồn tại tập hút toàn c ụ c 28

3.2 ứng d ụ n g 32

K ết l u ậ n 36

Tài liệu th am k h ả o 37

là hàm chỉ của một tập lồi đóng K trong u thì ta có một bất đẳng thức

vi biến phân hữu hạn chiều

Đây là đối tượng nghiên cứu thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học sau công trình của Pang và Stewart [14] năm 2008 Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ (0.4)-(0.6) đã được nghiên cứu trong công trình [2]

ứng với một thiết lập cụ thể của hàm F và g Tiếp theo, kết quả mở

rộng cho trường hợp vô hạn chiều được trình bày trong [3] Bất đẳng

x \ t ) — Ax[t) t F{x{t),u{t)),x{t) t x , t ^ 0, (v — u{t), Bu[t) — g{x{t), u{t))) ^ 0, Vu ^ K,

z ( 0 ) = t

(0.4)(0.5)

(0.6)

thức vi biến phân là mô hình của nhiều bài toán ứng dụng trong kinh

tế học, cơ học, mạng lưới giao thông, hệ thống mạch điện,

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lý thuyết các bất đẳng thức vi biến phân, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Trần Đình Kế tôi chọn vấn đề

"Dáng điệu tiệm cận nghiệm của bất đẳng th ứ c vi biến phân

3 N h iệm vụ nghiên cứu

• Tìm hiểu về bất đẳng thức biến phân;

• Tìm hiểu về lý thuyết điểm bất động;

• Tìm hiểu về lý thuyết hệ động lực đa trị

4 Đ ố i tượng và phạm vi n ghiên cứu

• Đối tượng nghiêu cứu: bất đẳng thức vi biến phân

• Phạm vi nghiên cứu: Điều kiện tồn tại nghiệm, dáng điệu tiệm cận nghiệm

5 P hư ơng pháp nghiên cứu

Luận văn sử dụng một số phương pháp và công cụ của giải tích bao gồm:

• Giải tích đa trị, giải tích hàm phi tuyến, giải tích biến phân;

• Lý thuyết hệ động lực đa trị trong không gian vô hạn chiều

6 Đ ó n g góp của đề tài

Chứng minh chi tiết các kết quả trong công trình [3]

Đ ặ t vấn đề

Giả sử (X, I D là không gian Banach và [U, ( r, r)) là không gian

Hilbert Xét bài toán

trong đó cặp hàm (a;(/),«( )) lấy giá trị trong X X u , ệ : u —>- M là một

phiếm hàm chính thường (ệ ^ -Ị-x-), lồi và nửa liên tục dưới xác định trên U : F : X X Í7 v { x ) lầ một hàm đa trị, A là toán tử tuyến tính

sinh ra một Co-nửa nhóm trên X , B : u — u r và g : X X u — u r là các ánh xạ sẽ được mô tả trong phần sau, ở đây ký hiệu u r chỉ không gian đối ngẫu của u

Trong trường hợp X và u là những không gian vô hạn chiều, có thể

tìm thấy các mô hình ứng dụng cụ thể cho hệ (0.7)-(0.9) như các hệ

phương trình đạo hàm riêng Chẳng hạn với X — u — L 2{Q), rỉ Mn

là một miền Xét hệ phương trình parabolic-elliptic

trong đó z — z { x , t ) và u — u { x , t ) là các hàm xác định trên Q X R+"

ứng với điều kiện biên Dirichlet hoặc Neumann Hệ này xuất hiện trong sinh học khi nghiên cứu chuyển động của vi khuẩn khi có tác động của hóa chất (xem [9]), và trong bài toán khôi phục ảnh (xem [10]) Chú

ý rằng với điều kiện thích hợp, hàm h{u) trong (0.11) có thể viết dưới dạng h[u) — ỡj{u), trong đó

Ị H[u[x))dx nếu H { u ) £ L 1(íí),

J » - {

+ 20 trong các trường hợp còn lại,

với H [ u ) — h{s)ds (xem [4]) Do đó trong trường hợp nêu trên hệ

(O.lO)-(O.ll) có dạng (0.7)-(0.9)

Ta xem xét hệ (0.7)-(0.9) như một bất đẳng thức vi biến phân trong không gian vô hạn chiều Cho đến nay, các kết quả nghiên cứu về dáng điệu nghiệm cho hệ này còn chưa được biết đến nhiều Mục tiêu của luận văn là trình bày một kết quả gần đây về dáng điệu nghiệm của hệ (0.7)-(0.9) được thiết lập trong [3] Kết quả này mở rộng kết quả trong [2] cho hệ vô hạn chiều

C hương 1

K iến th ứ c chuẩn bị

1.1 Đ ộ đo không com pact

Cho E là không gian Banach Ký hiệu

V { E ) - [B c E : B 4= 0 \ , B{E) - { B e V { E ) : B bị chặn }.

Độ đo không compact Hausdorff (MNC) x(/) là một hàm tập hợp xác

định như sau, với ri e B{E),

Ký hiệu L1{0, T; E) là không gian các hàm xác định trên đoạn [0, r j , lấy giá trị trong E và khả tích theo nghĩa Bochner Giả sử D L 1 [0, T; E)

là tập con thỏa mãn với mọi / ẹ D, I f [ t ) I ^ v[t) với hầu khắp t e [0, T],

ở đó V e L1(0,T;M ), khi đó ta nói D bị chặn tích phân Xét một số

ước lượng thông qua độ đo không compact Hausdorff (gọi là MNC-ước lượng) như sau

M ệnh đề 1.1 [11] Nếu {u;n}- c_ L1( 0 ,T ;£ I) bị chặn tích phân thì

x{íl) - inf{e > 0 : íl có € — lưới hữu hạn}.

Ta sử dụng khái niệm ỵ-chuẩn của toán tử tuyến tính bị chặn T (T £

C[E)) như sau

|T |X — inf(/3 > 0 : x ( T ( 5 ) ) ^ Px{B) vdi mọi tập bị chặn B E \

trong đó chuẩn cuối cùng trong đánh giá trên là chuẩn toán tử trong

C{E) Rõ ràng T là toán tử compact nếu và chỉ nếu \T\ỵ — 0.

Ta nhắc lại mỗi quan hệ giữa các khái niệm A;-nén và A;-Lipschitz đối

với toán tử phi tuyến Cho E là một không gian Banach và X là độ đo

không compact Hausdorff trên E Toán tử $ : E —r E được gọi là nén với hằng số k (A;-nén) nếu

Ta biết rằng (xem [1]), nếu là Lipschitz với hằng số k (A;-Lipschitz),

tức là

|$ (x ) — $(âí) 1^ ^ k \ x — x \e , V x , x t E,

thì $ là k-nén.

1.2 M ột số khái niệm của lý thuyết nửa nhóm

Giả sử X là một không gian Banach Ký hiệu £{x) là không gian các

toán tử tuyến tính bị chặn trên X

Đ ịn h nghĩa 1.1 Ta nói rằng ()S'(í)}-í >0 là một nửa nhóm các ánh xạ

Nửa nhóm (jS(í)}í^o gọi là một c 0-nửa nhóm (hay nửa nhóm liên tục

Ta sẽ dùng ký hiệu [S{t),A) khi cần chỉ rõ nửa nhóm {s (t)}t^0 sinh bởi toán tử A Nửa nhóm [s[t)}t^ 0 được gọi là compact nếu với mỗi

T,ơ = [z ^ c : I arg z\ > ơ, z ^ o f,

Eơ(a) — a + S C T— [z e c : I arg(z — a)| > (7, 2 ^ ữf.

Đ ịn h nghĩa 1.3 Giả sử (s{t), A) là một c 0-nửa nhóm trên không gian

Banach X Ta nói rằng [S{t),A) là một nửa nhóm giải tích nếu tồn tại một thác triển của s{ t) thành ánh xạ s { z ) xác định với mọi z thuộc

quạt As V (of và thỏa mãn các điều kiện sau:

(1) 2 —> ■s { z ) là ánh xạ từ As v' (of vào c[_x)\

(2) s {zi z2) = s { z 1) s { z 2) với mọi Zị, z2 e As ^ (of;

(3) Với mọi w t X , ta có s { z ) w w khi z 0 trong As (of;

(4) Với mọi w t X , ánh xạ z —* s { z ) w là giải tích từ A s vào X

Mỗi ánh xạ s [ z ) như trên gọi là một thác triển nửa nhóm giải tích của s{t).

Đ ịn h nghĩa 1.4 Nếu ánh xạ t — s { t ) liên tục trên khoảng (0, -|-x>)

theo chuẩn trong c [ x ) thì ta nói nửa nhóm { s { t) \ị^ ữ là liên tục theo chuẩn (norm-continuous) Nếu s{') liên tục trên nửa trục (0, x>) thì ta

nói nửa nhóm này liên tục đều

Ta biết rằng mỗi nửa nhóm compact hoặc giải tích đều là liên tục theo chuẩn (xem [8]).

V í dụ 1.1 Cho A là một toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian

Banach X (A t C[XỴ) Khi đó họ toán tử

ẠA V ' ịnAn ™ +

2j — ,—, t t M ,

n\

n— 0

là một nửa nhóm liên tục đều, do đó nó liên tục theo chuẩn

V í dụ 1.2 Giả sử A là một toán tử tuyến tính tự liên hợp trên không

gian Hilbert thực H thỏa mãn:

(1) vT là, xác định dương, tức là tồn tại a > 0 sao cho

(A u ,lí) ^ a ||ii||2, Vii t D{A);

(2) A có giải thức compact, tức là toán tử giải R{A, A) — [XI — A) Mà compact với mọi A ^ p{A).

Từ giả thiết của A suy ra phổ của A là một dãy đếm được gồm toàn giá

trị riêng thực với bội hữu hạn

0 <■ a ^ Ai ^ A2 ^ A3 ^ , và An x> khi n x>

Các vectơ riêng tương ứng Ịei, e2, f lập thành một cơ sở trực chuẩn

của H Khi đó mỗi u £ H có biểu diễn

Miền xác định của toán tử A cho bởi

D(A ) = H : 2 |Aí|2| <tí, e»> I2 < XI

xác định trên phổ cr(x4), thì toán tử tuyến tính f ( A ) định nghĩa bởi

Nói riêng, khi / ( A) — e~Xt, ta có Co-nửa nhóm sinh bởi — A là

e~Atu = 2 ] e~Xit (u, e¿> e¿.

2 — 1

Dễ thấy {e~Atị t^0 thỏa mãn ba điều kiện trong định nghĩa của một

ơ 0-nửa nhóm và toán tử sinh của e~At là —A.

Bây giờ ta chỉ rằng toán tử tuyến tính e~At là compact với mỗi t > 0

T hật vậy, với mỗi u E H ta có

\\e~Atu — PNe~Atu\\ — ^ e~2Xit\ (w, e,) |2

Đ ịn h nghĩa 1.5 Cho {s{t)\ị^ 0 là một Co-nửa nhóm trên X Nửa nhóm

này được gọi là:

i) On định mũ nếu tồn tại các số dương M, a sao cho

Is{ t) \c'x) ^ M e_aí, với mọi t > 0;

ii) x-giảm nếu tồn tại N, Ị3 > 0 sao cho

\s{t) \ỵ ^ Ne~p*, với mọi t > 0;

Lưu ý rằng đối với Co-nửa nhóm s['), sự ổn định mũ suy ra tính chất ỵ-giảm Ngoài ra, nếu s{') compact thì nó x-giảm với /3 — -|-x>.

Hàm (p: X —f [—20, +X>J được gọi là nửa liên tục dưới trên X nếu

lim iní (p{u) ^ ip{x), Vx t X , U— ^X

hoặc tương đương mỗi tập con [x t X ; ụ>{x) ^ Af là đóng.

Đ ịn h nghĩa 1.6 Cho hàm chính thường, lồi, nửa liên tục dưới ip:

X —^ M Ánh xạ d<p xác định bởi

d<p{x) - [x* z (p{x) ^ (p{y) + [x - y,x*), Vy X } , (1.4)được gọi là dưới v i phân của ip.

1.4 Lý thuyết tập hút toàn cục

Trước tiên ta nhắc lại một số khái niệm của giải tích đa trị Cho Y

là không gian metric

Đ ịn h nghĩa 1.7 Một ánh xạ đa trị T : Y —> V [ E ) được gọi là:

1 Nửa liên tục trên (u.s.c) nếu E~l [y) = [y e Y : J-{y) r^ v 4= 0 ị là

đóng trong Y với mọi tập đóng V c E\

2 Nửa liên tục trên yếu (weakly u.s.c) nếu V _1(_V0 là tập đóng trong

Y với mọi tập đóng yếu V ^ E;

3 Có đồ thị đóng nếu IV — {{y,z) : Z e E { y ) \ là tập đóng trong

Y k E\

4 Compact nếu J-[Y) là tập compact tương đối trong E\

5 Tựa compact nếu hạn chế của F trên mỗi tập compact 4 c y là compact

Ta có các khẳng định sau

B ổ đề 1.3 ([11, Theorem 1.1.12]) Cho G : Y V { E ) là ánh xạ đa trị đóng, tựa compact và nhận giá trị compact Khi đó G là u.s.c.

B ổ đề 1.4 ([5, Proposition 2]) Cho E là không gian Banach và íì

là một tập con khác rỗng của một không gian Banach khác Giả sử

G : íĩ —^ V [ E ) là ánh xạ đa trị nhận giá trị lồi và compact yếu Khỉ

đó G là nửa liên tục trên yếu nếu và chỉ nếu mỗi dãy {æV íỉ với

x n —>• XQ t ri và yn t G[xn) ta có yn yữ t G[xo) theo một dãy con.

Ta nhắc lại khái niệm nửa dòng đa trị và tập hút của nó (chi tiết có thể tìm thấy trong công trình [13]) Giả sử r là một nhóm con của nhóm cộng các số thực M và r v — r n [0, x>)

Đ ịn h nghĩa 1.8 Ánh xạ đa trị G : I \ X E —y V [ E ) được gọi là một

nửa dòng đa trị nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau

1 G{0,w) — (ref, với mọi w t E.

2 G[ti T t 2,x ) G{ti, G{t2, x)), với mọi t i , t 2 £ r +, X £ E,

ở đó G{t, B) — ^jxtBG{t,x), B L _ E.

Nửa dòng này gọi là chặt nếu G[t 1 t 2, w ) — G{ti,G[t2,w)) với mọi

w E và tị, t 2 t r v G được gọi là bị chặn chung cuộc nếu với mỗi tập bị

chặn B Ç- E, tồn tại số T { B ) > 0 sao cho 7T[ß){B) lừ tập bị chặn, ở đây

7 là tập quỹ đạo sau thời điểm T ( B ) : 7 Í [ b )(B) - Ụ G(í, B).

t ĩ £T{B)

Đ ịn h nghĩa 1.9 Tập bị chặn Bị E được gọi là một tập hấp thụ của

nửa dòng đa trị G nếu với mỗi tập bị chặn B C- E, tồn tại T — t{B) ^ 0 sao cho i\ b){B) c _ Bị.

Đ ịn h nghĩa 1.10 Tập A C- E được gọi là tập hút toàn cục của nửa dòng G nếu nó thỏa mãn các điều kiện:

1 A hút mọi tập bị chặn B E B{E), tức là dist(ơ(V, B), ^4) — ^ 0 khi

t —> x>, với mọi tập bị chặn B L_ E, ở đây dist(/, ) là nửa khoảng cách Hausdorff trong E\

2 A là nửa bất biến âm, tức là A c G[t, A), Ví £ r +

Ta có định lý sau nói về điều kiện đủ để tồn tại tập hút toàn cục đối

với nửa dòng đa trị G

Đ ịn h lý 1.5 ([13]) Giả sử nửa dòng đa trị G có các tính chất sau:

1 G{t, ') là u.s.c và nhận giá trị đóng với mỗi í t r t ;

2 G là tán xạ điểm, tức tồn tại K > 0 sao cho với w e E, u[t) E G[t, w), ta có |m(í) \ e ^ K vói mọi t ^ t 0{\w I e ) ỉ

3 G là nửa compact tiệm cận trên, tức là nếu B bị chặn trong E sao cho tồn tại T {B ) B ) bị chặn, thì mỗi dãy t G{tn, B )

với tn —> X ' là compact tương đối trong E.

Nếu G bị chặn chung cuộc, thì nó có một tập hút toàn cục compact A trong E Hơn nữa, nếu G là nửa dòng đa trị ngặt thì A là bất biến, tức

là A — G [ t,A ) vôi mọi í t r f

Chương 2

n gh iệm

2.1 Sự tồn tại nghiệm toàn cục

Ta đưa ra các giả thiết cho bài toán (0.7)-(0.9) như sau

( A ) Toán tử A sinh ra một c 0-nửa nhóm s{').

(F) Ánh xạ đa trị F : X X u —»- v { x ) là u.s.c và nhận giá trị lồi, compact Hơn nữa,

(1) nếu nửa nhóm s { ') không compact thì

x( F( C, D) ) <í px{ C) + qU(D)

với mọi tập bị chặn c c X và D c u , trong đó p, q là các hằng

số dương; X và u tương ứng là độ đo không compact Hausdorff trên X và u

(2) tồn tại các hằng số không ăm a,b,c sao cho

\F(x, u) I := sup{ |£ \x : £ £ F{x, u)\ ^ a \x \x T b\u\u +- c với mọi x e X , V e U.

(G) Hàm g : X X Ư u r liên tục Lipschitz, tức là tồn tại các hằng số dương ĩ]i và ĩ ]2 sao cho ĩ ]2 < V b và

Ig{y, v) - g{ỹ, v) IU' ^ TỊi \y - ỹ \x +■ V 2 \v - V \u.

Ta định nghĩa nghiệm của (0.7)-(0.9) như sau

Đ ịn h nghĩa 2.1 Hàm liên tục X : [0,T\ X là nghiệm của (0.7)-(0.9)

nếu tồn tại hàm u : [0, T\ —> D{B) và hàm chọn / t V f { x , u ) sao cho

x{t) - S{t)$, +■ I S { t - s ) f { s ) d s , t E [0, TJ,

J 0 Bu[t) T dộ[u[t)) 3 g{x(t), u(t)), t E [0, T\.

Xét bất đẳng thức biến phân (0.8) Ký hiệu

§(z) — [u E u : B u T dộ[u) à z\.

Ta có kết quả sau (xem [4, Corollary 2.9])

BỔ đề 2.1 Giả sử (B ) thỏa mãn Khi đó với mỗi z t u r, tập §(z) là

tập một điểm Hơn nữa, ánh xạ z — § (2) là Lipschitz từ u r vào u Với y E X cố định, xét bất đẳng thức biến phân sau

B u H- dộ[u) ? g{y,u) (2.2)

Sử dụng bổ đề trên ta có kết quả về sự tồn tại nghiệm và tính chất của ánh xạ nghiệm của (2.2) như sau

B ổ đề 2.2 Giả sử (B) và (G) thỏa mãn Khi đó vói mỗi y e X , tồn

tại duy nhất nghiệm u ^ u của (2.2) Hơn nữa, ánh xạ nghiệm

Chứng minh Ta sẽ chứng tỏ rằng ánh xạ § o g{y, ) : u —^ u có điểm

bất động duy nhất Trước tiên ta chứng minh

|§(zi) — §(2:2) Iu ^ — \zi — Z 2 \u' ) V^I, Z 2 t u (2-4)

V b

T hật vậy, đặt Uị — s (z i),u 2 — §(z2), sử dụng (B) ta có

b[ui,Ui — v) T ộ[ui) — ộ[y) ^ (i¿i — v, Zi}, Vu t u, (2.5)

b{u2, U 2 ~ v ) Jr ộ{u2) - ộ{v) ^ {u2 - v, z2), Vu £ u (2.6)

Thay v — u 2 trong (2.5) và u — Uị trong (2.6), kết hợp hai bất đẳngthức này, ta có

b{uị - u2, Ui - u 2) ^ (ui - u 2, Zi - z2y.