Vì MQ là phân giác góc AMB nên MP là phân giác góc BMN.
Trang 1thi toán vào các kh i chuyên
Tr ng HKHTN - HQG Hà N i n m 1998
(Th i gian làm bài: 180 phút)
H ng d n gi i:
Câu I:
1) i u ki n: x2 ≤ 2 Bình ph ng hai v c a ph ng trình đã cho ta đ c
ph ng trình t ng đ ng
2 – x2 + x2 + 8 + 2 (2−x2)(x2 +8)=16
0 7 6 3
16
−
=
=
⇔
7
1
2
2
x
x
Lo i nghi m x2= - 7
Nghi m c a ph ng trình là x = + 1
2) Gi i h
= + +
= + +
) 2 ( 21
) 1 ( 7
4 2 2 4
2 2
y y x x
y xy x
(2) ⇔(x2 +y2)2 −x2y2 =21
⇔ (x2
+y2+xy)(x2+y2-xy) =21
T đó và (1) ⇒ (x2
+y2 – xy)= 3 (3)
T đó (1) và (3)
=
= +
⇒
2
5
2 2
xy
y x
T đó suy ra h đã cho có 4 nghi m:
=
=
2
1
y
x
=
= 1
2
y
x
−
=
−
= 2
1
y
x
−
=
−
= 1
2
y
x
Câu II: Ta có:
=
−
=
−
) 2 ( 98 )
3
(
) 1 ( 19 )
3
(
2 2
2
3
2 2
2
3
b
a
b
ab
a
C ng (1) và (2) ta nh n đ c:
a6 + b6 + 3a4b2+ 3a2b4 = 192 + 982
⇔ (a2
+ b2)3 = 192 + 982
⇔ a2
+ b2 = 3 2 2
98
19 +
Câu III: Do a,b,c ∈ [0,1]
Trang 21 1
0 )
1
(
0 ) 1 )(
1
)(
1
(
≤
−
≤
−
−
−
+
+
⇒
≥
− + + +
−
−
−
⇒
≥
−
−
−
⇒
abc ca
bc ab c
b
a
abc ca bc ab c b
a
c b
a
Chú ý r ng do a,b,c ∈ [0,1] nên b2 < b , c3 < c
V y a + b2+c3 – ab – bc – ca < a+b+c –ab – bc – ca < 1
Câu IV:
1) Vì góc ∠ AIB=900
nên khi M thay đ i ( trên cung l n AB) thì I n m trên
đ ng tròn c đ nh có đ ng kính AB
IJ là trung tuy n tam giác vuông MIN nên IJ =
2
1
MN Do t ng 2 cung AB và MN
là 1800, AB c đ nh nên MN có đ dài không đ i
Kéo dài JI c t AB H ta có ∠ JIM= ∠ AIH= ∠ JMI suy ra ∠ IAB + ∠ AIH = 900
hay ∠ IHA=900
o n JI vuông góc v i AB và có đ dài không đ i
K hai đo n AA’,BB’ vuông góc v i AB và có đ dài b ng JI (A’,B’, I n m cùng phía đ i v i AB) Φ A’, B’ c đ nh Do các t giác AA’JI và BB’JI là các hình bình hành nên ∠ A’JB’= ∠ AIB = 900
V y J n m trên đ ng tròn c đ nh đ ng kính A’B’
2) Kéo dài AM m t đo n MN=MB khi đó:
AN=AM+MN=AM+MB
Chu vi c a ∆ AMB b ng AB+AN Do AB c đ nh nên chu vi ∆ AMB l n nh t khi AN l n nh t
G i P, Q l n l t là trung đi m c a cung l n AB và cung nh AB, MP ⊥ MQ
và PQ là đ ng kính c đ nh c a đ ng tròn Vì MQ là phân giác góc AMB nên MP là phân giác góc BMN Do ∆ BMN là tam giác cân nên MP đ ng th i
là trung tr c c a BM ⇒ PA=PB=PN ⇒ N n m trên đ ng tròn c đ nh tâm P bán kính PA Khi đó AN là dây cung c a đ ng tròn này, suy ra AN l n nh t khi AN là đ ng kính c a đ ng tròn tâm P V y khi M trùng v i trung đi m
P c a cung l n AB thì chu vi c a ∆ AMB l n nh t
Câu V:
1) Gi s
=
−
= +
) 2 ( 11
) 1 ( 26
3 3
b n
a n
v i a và b là nh ng s nguyên d ng
L y (1) tr đi (2) ta nh n đ c:
a3 – b3 = 37
37 1 37 ) )(
( − 2 + + 2 = =
⇔ a b a ab b
Chú ý r ng a-b< a2 + ab + b2 ⇒
= + +
=
−
37
1 2 2
b ab a
b a
Thay a= b+1 vào ph ng trình th 2 ta đ c: b2
+b-12= 0 ⇒ b1=3, b2=-4 (lo i)
V i b=3 ⇒ n = 38
Trang 32) Tr c h t, chú ý r ng v i ∀ a,b và α∈[ ]0,1 ta luôn có:
(a-b)2(1-α )≥0
(*) ) (
2
2
b a ab b
áp d ng (*) v i hai s x,y và α = z2 ∈[ ]0,1 ta đ c : x2
) (
2xy+z x−y
≥
T ng t y2 +z2 ≥2yz+x2(y−z)2 và z2 +x2 ≥2zx+ y2(z−x)2
C ng ba b t đ ng th c cùng chi u l i v i nhau ta nh n đ c:
2
2 2
2 + y +z ≥ xy+yz+zx+ x y−z + y z−x +z x− y ⇒P≤
x
V y Pmax=1, đ t đ c khi x = y = z =
3 1