Dáng điệu tiệm cận nghiệm của bất đẳng thức vi biến phân dạng parabolic elliptic

là hàm chỉ của một tập lồi đóng K trong U thì ta có một bất đẳng thứcvi biến phân hữu hạn chiều... Phương pháp nghiên cứu Luận văn sử dụng một số phương pháp và công cụ của giải tích bao

Trang 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN TRƯỜNG LÂM

DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC

VI BIẾN PHÂN DẠNG PARABOLIC-ELLIPTIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌCPGS.TS TRẦN ĐÌNH KẾ

HÀ NỘI, 2016

Trang 2

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Trần Đình Kế Sự giúp đỡ và hướngdẫn tận tình, nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình thực hiện luậnvăn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn trong cách tiếp cận một vấn

đề nghiên cứu khoa học Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn và kính trọngđối với thầy

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm

Hà Nội 2, phòng sau Đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường cùngcác bạn học viên cao học đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giảtrong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này!

Hà Nội, tháng 7 năm 2016

Nguyễn Trường Lâm

Trang 3

Lời cam đoan

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Tôixin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sựhướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Trần Đình Kế

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa nhữngkết quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng

Trang 4

Mục lục

Lời cảm ơn i

Lời cam đoan ii

Mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 5

1.1 Độ đo không compact 5

1.2 Một số khái niệm của lý thuyết nửa nhóm 7

1.3 Dưới vi phân 11

1.4 Lý thuyết tập hút toàn cục 12

Chương 2 Tính giải được và tính chất tập nghiệm 15

2.1 Sự tồn tại nghiệm toàn cục 15

2.2 Tính chất tập nghiệm 23

Chương 3 Dáng điệu tiệm cận nghiệm 28

3.1 Sự tồn tại tập hút toàn cục 28

3.2 Ứng dụng 32

Kết luận 36

Tài liệu tham khảo 37

Trang 5

là hàm chỉ của một tập lồi đóng K trong U thì ta có một bất đẳng thức

vi biến phân hữu hạn chiều

Trang 6

thức vi biến phân là mô hình của nhiều bài toán ứng dụng trong kinh

tế học, cơ học, mạng lưới giao thông, hệ thống mạch điện,

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lý thuyết các bất đẳng thức vibiến phân, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Trần Đình Kế tôichọn vấn đề

"Dáng điệu tiệm cận nghiệm của bất đẳng thức vi biến phân

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

• Tìm hiểu về bất đẳng thức biến phân;

• Tìm hiểu về lý thuyết điểm bất động;

• Tìm hiểu về lý thuyết hệ động lực đa trị

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiêu cứu: bất đẳng thức vi biến phân

• Phạm vi nghiên cứu: Điều kiện tồn tại nghiệm, dáng điệu tiệm cậnnghiệm

5 Phương pháp nghiên cứu

Luận văn sử dụng một số phương pháp và công cụ của giải tích bao gồm:

• Giải tích đa trị, giải tích hàm phi tuyến, giải tích biến phân;

• Lý thuyết hệ động lực đa trị trong không gian vô hạn chiều

6 Đóng góp của đề tài

Chứng minh chi tiết các kết quả trong công trình [3]

Trang 7

ánh xạ sẽ được mô tả trong phần sau, ở đây ký hiệu U1 chỉ không gianđối ngẫu của U

Trong trường hợp X và U là những không gian vô hạn chiều, có thểtìm thấy các mô hình ứng dụng cụ thể cho hệ (0.7)-(0.9) như các hệphương trình đạo hàm riêng Chẳng hạn với X U L2pΩq, Ω Rn

là một miền Xét hệ phương trình parabolic-elliptic

Zt ∆Z F pZ, uq, trong Ω p0, 8q, (0.10)

∆u hpuq gpZ, uq, trong Ω p0, 8q, (0.11)

Trang 8

trong đó Z Zpx, tq và u upx, tq là các hàm xác định trên Ω Rứng với điều kiện biên Dirichlet hoặc Neumann Hệ này xuất hiện trongsinh học khi nghiên cứu chuyển động của vi khuẩn khi có tác động củahóa chất (xem [9]), và trong bài toán khôi phục ảnh (xem [10]) Chú

ý rằng với điều kiện thích hợp, hàm hpuq trong (0.11) có thể viết dướidạng hpuq Bjpuq, trong đó

jpuq

$''

³

ΩHpupxqqdx nếu Hpuq P L1pΩq,

Trang 9

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Độ đo không compact

Cho E là không gian Banach Ký hiệu

PpEq tB E : B Hu,

BpEq tB P PpEq : B bị chặn u

Độ đo không compact Hausdorff (MNC) χpq là một hàm tập hợp xácđịnh như sau, với ΩP BpEq,

χpΩq inft ¡ 0 : Ω có lưới hữu hạnu

Ký hiệu L1p0, T ; Eq là không gian các hàm xác định trên đoạn r0, T s,lấy giá trị trong E và khả tích theo nghĩa Bochner Giả sử D L1p0, T ; Eq

là tập con thỏa mãn với mọi f P D, }fptq} ¤ νptq với hầu khắp t P r0, T s,

ở đó ν P L1p0, T ; Rq, khi đó ta nói D bị chặn tích phân Xét một sốước lượng thông qua độ đo không compact Hausdorff (gọi là MNC-ướclượng) như sau

Mệnh đề 1.1 [11] Nếu twnu L1p0, T ; Eq bị chặn tích phân thì

χpt

»t 0

wnpsqdsuq ¤ 2

»t 0

χptwnpsquqds,

Trang 10

Dpsqds¤ 4

»t 0

qpsqds,

ở đây ³t

0Dpsqds t³t

0ξpsqds : ξ P Du

Ta sử dụng khái niệm χ-chuẩn của toán tử tuyến tính bị chặn T pT P

LpEqq như sau

}T }χ inftβ ¡ 0 : χpT pBqq ¤ βχpBq với mọi tập bị chặn B Eu

(1.1)

Ta biết rằng χ-chuẩn của T xác định bởi

}T }χ χpT pB1qq,với B1 là hình cầu đơn vị trong E Ta còn có

}T }χ ¤ }T }L pEq,

trong đó chuẩn cuối cùng trong đánh giá trên là chuẩn toán tử trong

LpEq Rõ ràng T là toán tử compact nếu và chỉ nếu }T }χ 0

Ta nhắc lại mỗi quan hệ giữa các khái niệm k-nén và k-Lipschitz đốivới toán tử phi tuyến Cho ˜E là một không gian Banach và ˜χ là độ đo

Trang 11

không compact Hausdorff trên ˜E Toán tử Φ : E Ñ ˜E được gọi là nénvới hằng số k (k-nén) nếu

1.2 Một số khái niệm của lý thuyết nửa nhóm

Giả sử X là một không gian Banach Ký hiệu LpXq là không gian cáctoán tử tuyến tính bị chặn trên X

Định nghĩa 1.1 Ta nói rằng tSptqut ¥0 là một nửa nhóm các ánh xạ

tuyến tính bị chặn trên X nếu Sptq P LpXq với mọi t ¥ 0, và

Trang 12

Ta sẽ dùng ký hiệu pSptq, Aq khi cần chỉ rõ nửa nhóm tSptqut ¥0 sinh

bởi toán tử A Nửa nhóm tSptqut ¥0 được gọi là compact nếu với mỗi

Σσpaq a Σσ tz P C : | argpz aq| ¡ σ, z au

Định nghĩa 1.3 Giả sử pSptq, Aq là một C0-nửa nhóm trên không gianBanach X Ta nói rằng pSptq, Aq là một nửa nhóm giải tích nếu tồn tạimột thác triển của Sptq thành ánh xạ Spzq xác định với mọi z thuộcquạt ∆δ Y t0u và thỏa mãn các điều kiện sau:

(1) z ÞÑ Spzq là ánh xạ từ ∆δ Y t0u vào LpXq;

(2) Spz1 z2q Spz1qSpz2q với mọi z1, z2 P ∆δ Y t0u;

(3) Với mọi w P X, ta có Spzqw Ñ w khi z Ñ 0 trong ∆δ Y t0u;

(4) Với mọi w P X, ánh xạ z ÞÑ Spzqw là giải tích từ ∆δ vào X

Mỗi ánh xạ Spzq như trên gọi là một thác triển nửa nhóm giải tíchcủa Sptq

Định nghĩa 1.4 Nếu ánh xạ t ÞÑ Sptq liên tục trên khoảng p0, 8qtheo chuẩn trong LpXq thì ta nói nửa nhóm tSptqut ¥0 là liên tục theo

chuẩn (norm-continuous) Nếu Spq liên tục trên nửa trục r0, 8q thì tanói nửa nhóm này liên tục đều

Trang 13

Ta biết rằng mỗi nửa nhóm compact hoặc giải tích đều là liên tụctheo chuẩn (xem [8]).

Ví dụ 1.1 Cho A là một toán tử tuyến tính bị chặn trên không gianBanach X (A P LpXq) Khi đó họ toán tử

etA : ¸8

n 0

tnAnn! , t P R ,

là một nửa nhóm liên tục đều, do đó nó liên tục theo chuẩn

Ví dụ 1.2 Giả sử A là một toán tử tuyến tính tự liên hợp trên khônggian Hilbert thực H thỏa mãn:

(1) A là xác định dương, tức là tồn tại a ¡ 0 sao cho

xAu, uy ¥ a||u||2

, @u P DpAq;

(2) A có giải thức compact, tức là toán tử giải Rpλ, Aq pλI Aq1 là

compact với mọi λ P ρpAq

Từ giả thiết của A suy ra phổ của A là một dãy đếm được gồm toàn giátrị riêng thực với bội hữu hạn

Trang 14

Miền xác định của toán tử A cho bởi

và toán tử A cho bởi

Au

8

¸

i 1

λixu, eiy ei, với u P DpAq

Định lí ánh xạ phổ nói rằng nếu f là một hàm giá trị thực liên tụcxác định trên phổ σpAq, thì toán tử tuyến tính fpAq định nghĩa bởi

Nói riêng, khi fpλq eλt, ta có C

0-nửa nhóm sinh bởi A là

eAtu ¸8

i 1

eλi txu, eiy ei

Dễ thấy teAtut ¥0 thỏa mãn ba điều kiện trong định nghĩa của một

C0-nửa nhóm và toán tử sinh của eAt là A

Bây giờ ta chỉ rằng toán tử tuyến tính eAt là compact với mỗi t ¡ 0.Thật vậy, với mỗi uP H ta có

||eAtu PNeAtu||

Trang 15

Định nghĩa 1.5 Cho tSptqut ¥0 là một C0-nửa nhóm trên X Nửa nhómnày được gọi là:

i) Ổn định mũ nếu tồn tại các số dương M, α sao cho

ϕpp1 λqx λyq ¤ p1 λqϕpxq λϕpyq, (1.3)với mọi x, y P X và @λ P r0, 1s

Hàm ϕ: X Ñ r8, 8s được gọi là nửa liên tục dưới trên X nếu

lim inf

u Ñx ϕpuq ¥ ϕpxq, @x P X,hoặc tương đương mỗi tập con tx P X; ϕpxq ¤ λu là đóng

Định nghĩa 1.6 Cho hàm chính thường, lồi, nửa liên tục dưới ϕ:

X Ñ R Ánh xạ Bϕ xác định bởi

Bϕpxq tx P X; ϕpxq ¤ ϕpyq px y, xq, @y P Xu, (1.4)được gọi là dưới vi phân của ϕ

Trang 16

1.4 Lý thuyết tập hút toàn cục

Trước tiên ta nhắc lại một số khái niệm của giải tích đa trị Cho Y

là không gian metric

Định nghĩa 1.7 Một ánh xạ đa trị F : Y Ñ PpEq được gọi là:

1 Nửa liên tục trên (u.s.c) nếu F1pV q ty P Y : Fpyq X V ∅u làđóng trong Y với mọi tập đóng V E;

2 Nửa liên tục trên yếu (weakly u.s.c) nếu F1pV q là tập đóng trong

Y với mọi tập đóng yếu V E;

3 Có đồ thị đóng nếu ΓF tpy, zq : z P Fpyqu là tập đóng trong

Y E;

4 Compact nếu FpY q là tập compact tương đối trong E;

5 Tựa compact nếu hạn chế của F trên mỗi tập compact A Y làcompact

Ta có các khẳng định sau

Bổ đề 1.3 ([11, Theorem 1.1.12]) Cho G : Y Ñ PpEq là ánh xạ đa trịđóng, tựa compact và nhận giá trị compact Khi đó G là u.s.c

Bổ đề 1.4 ([5, Proposition 2]) Cho E là không gian Banach và Ω

là một tập con khác rỗng của một không gian Banach khác Giả sử

G : Ω Ñ PpEq là ánh xạ đa trị nhận giá trị lồi và compact yếu Khi

đó G là nửa liên tục trên yếu nếu và chỉ nếu mỗi dãy txnu Ω với

xn Ñ x0 P Ω và yn P Gpxnq ta có yn á y0 P Gpx0q theo một dãy con

Ta nhắc lại khái niệm nửa dòng đa trị và tập hút của nó (chi tiết cóthể tìm thấy trong công trình [13]) Giả sử Γ là một nhóm con của nhómcộng các số thực R và Γ Γ X r0, 8q

Trang 17

Định nghĩa 1.8 Ánh xạ đa trị G : Γ E Ñ PpEq được gọi là mộtnửa dòng đa trị nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau

1 Gp0, wq twu, với mọi w P E

2 Gpt1 t2, xq Gpt1, Gpt2, xqq, với mọi t1, t2 P Γ , x P E,

ở đó Gpt, Bq Yx PBGpt, xq, B E

Nửa dòng này gọi là chặt nếu Gpt1 t2, wq Gpt1, Gpt2, wqq với mọi

w P E và t1, t2 P Γ G được gọi là bị chặn chung cuộc nếu với mỗi tập bịchặn B E, tồn tại số T pBq ¡ 0 sao cho γTpBqpBq là tập bị chặn Ở đây

γTpBqpBq là tập quỹ đạo sau thời điểm T pBq : γTpBqpBq

t ¥T pBq

Gpt, Bq

Định nghĩa 1.9 Tập bị chặn B1 E được gọi là một tập hấp thụ củanửa dòng đa trị G nếu với mỗi tập bị chặn B E, tồn tại τ τpBq ¥ 0sao cho γτpBqpBq B1

Định nghĩa 1.10 Tập A E được gọi là tập hút toàn cục của nửadòng G nếu nó thỏa mãn các điều kiện:

1 A hút mọi tập bị chặn B P BpEq, tức là distpGpt, Bq, Aq Ñ 0 khi

t Ñ 8, với mọi tập bị chặn B E, ở đây distp, q là nửa khoảngcách Hausdorff trong E;

2 A là nửa bất biến âm, tức là A Gpt, Aq, @t P Γ

Ta có định lý sau nói về điều kiện đủ để tồn tại tập hút toàn cục đốivới nửa dòng đa trị G

Định lý 1.5 ([13]) Giả sử nửa dòng đa trị G có các tính chất sau:

1 Gpt, q là u.s.c và nhận giá trị đóng với mỗi t P Γ ;

Trang 18

2 G là tán xạ điểm, tức tồn tại K ¡ 0 sao cho với w P E, uptq P

Gpt, wq, ta có }uptq}E ¤ K với mọi t ¥ t0p}w}Eq;

3 G là nửa compact tiệm cận trên, tức là nếu B bị chặn trong E saocho tồn tại TpBq ¡ 0, γTpBqpBq bị chặn, thì mỗi dãy ξn P Gptn, Bqvới tn Ñ 8 là compact tương đối trong E

Nếu G bị chặn chung cuộc, thì nó có một tập hút toàn cục compact Atrong E Hơn nữa, nếu G là nửa dòng đa trị ngặt thì A là bất biến, tức

là A Gpt, Aq với mọi t P Γ

Trang 19

Chương 2

Tính giải được và tính chất tập

nghiệm

2.1 Sự tồn tại nghiệm toàn cục

Ta đưa ra các giả thiết cho bài toán (0.7)-(0.9) như sau

(A) Toán tử A sinh ra một C0-nửa nhóm Spq

(F) Ánh xạ đa trị F : X U Ñ PpXq là u.s.c và nhận giá trị lồi,compact Hơn nữa,

(1) nếu nửa nhóm Spq không compact thì

χpF pC, Dqq ¤ p χpCq q UpDqvới mọi tập bị chặn C X và D U, trong đó p, q là các hằng

Trang 20

số dương; χ và U tương ứng là độ đo không compact Hausdorfftrên X và U

(2) tồn tại các hằng số không âm a, b, c sao cho

}F px, uq} : supt}ξ}X : ξ P F px, uqu ¤ a}x}X b}u}U cvới mọi x P X, y P U

(G) Hàm g : X U Ñ U1 liên tục Lipschitz, tức là tồn tại các hằng số

dương η1 và η2 sao cho η2 ηB và

}gpy, vq gp¯y, ¯vq}U 1 ¤ η1}y ¯y}X η2}v ¯v}U.với mọi y, ¯y P X và v, ¯v P U

Xét ánh xạ đa trị PF xác định bởi

PF : Cpr0, T s; Xq L1p0, T ; Uq Ñ PpL1p0, T ; Xqq,

PFpx, uq tf P L1p0, T ; Xq : fptq P F pxptq, uptqq với hầu khắp t P r0, T su,

(2.1)tức là, PFpx, uq là tập các hàm chọn của F pxpq, upqq với mỗi px, uq P

Cpr0, T s; Xq L1p0, T ; Uq

Ta định nghĩa nghiệm của (0.7)-(0.9) như sau

Định nghĩa 2.1 Hàm liên tục x : r0, T s Ñ X là nghiệm của (0.7)-(0.9)nếu tồn tại hàm u : r0, T s Ñ DpBq và hàm chọn f P PFpx, uq sao cho

xptq Sptqξ

»t 0

Trang 21

Bổ đề 2.1 Giả sử (B) thỏa mãn Khi đó với mỗi z P U1, tập Spzq làtập một điểm Hơn nữa, ánh xạ z ÞÑ Spzq là Lipschitz từ U1 vào U

Với y P X cố định, xét bất đẳng thức biến phân sau

Sử dụng bổ đề trên ta có kết quả về sự tồn tại nghiệm và tính chất củaánh xạ nghiệm của (2.2) như sau

Bổ đề 2.2 Giả sử (B) và (G) thỏa mãn Khi đó với mỗi y P X, tồntại duy nhất nghiệm uP U của (2.2) Hơn nữa, ánh xạ nghiệm

}Spz1q Spz2q}U ¤ 1

ηB}z1 z2}U 1,@z1, z2 P U1 (2.4)Thật vậy, đặt u1 Spz1q, v2 Spz2q, sử dụng (B) ta có

bpu1, u1 vq φpu1q φpvq ¤ xu1 v, z1y, @v P U, (2.5)

bpu2, u2 vq φpu2q φpvq ¤ xu2 v, z2y, @v P U (2.6)Thay v u2 trong (2.5) và v u1 trong (2.6), kết hợp hai bất đẳngthức này, ta có

bpu1 u2, u1 u2q ¤ xu1 u2, z1 z2y

Trang 22

Từ đây ta nhận được

}u1 u2}U ¤ 1

ηB}z1 z2}U 1,nhờ giả thiết bpu1 u2, u1 u2q ¥ ηB}u1 u2}2

Do η2 ηB, u ÞÑ S gpy, uq là ánh xạ co, nó có điểm bất động duy nhất,

và điểm bất động này chính là nghiệm duy nhất của (2.2)

Ta còn phải chứng minh ánh xạ y ÞÑ u là liên tục Lipschitz ĐặtVpy1q u1, Vpy2q u2, khi đó

Gpyq : F py, Vpyqq, y P X

Ta thấy ánh xạ G : X Ñ PpXq nhận giá trị lồi và compact Hơn nữa,nhờ giả thiết (F) và tính liên tục của ánh xạ V, ta có G là u.s.c Ngoài

ra, nhờ có (2.3) và tính chất của độ đo Hausdorff ta nhận được

UpVpΩqq ¤ η1

ηB η2

χpΩq, @Ω P BpXq,

Trang 23

ở đây U là độ đo Hausdorff trong U

Bây giờ nếu nửa nhóm Spq không compact thì

Liên quan đến độ tăng trưởng của G, sử dụng (F)(2) ta có

}Gpyq} : supt}z} : z P Gpyqu

Chứng minh Chứng minh tương tự như trong [5, Theorem 1] Lúc này, mỗi nghiệm x của (0.7)-(0.9) được xác định bởi

Trang 24

Xét toán tử Cauchy

W : L1p0, T ; Xq Ñ Cpr0, T s; Xq

Wpfqptq

»t 0

ta sử dụng định lý điểm bất động sau đây

Bổ đề 2.4 Cho E là không gian Banach và D E là một tập khácrỗng, lồi và compact Nếu ánh xạ đa trị F : D Ñ PpDq có đồ thị đóng

và nhận giá trị lồi, đóng thì F có điểm bất động

Bổ đề trên là một trường hợp đặc biệt trong [17]

Định nghĩa 2.2 Tập D L1p0, T ; Xq được gọi là nửa compact nếu nó

bị chặn tích phân và tập Dptq tfptq : f P Du là compact tương đốitrong X với hầu khắp t P r0, T s

Ta biết rằng nếu một dãy tfnu L1p0, T ; Xq là nửa compact thì nó

là compact yếu (xem [11]) Hơn nữa, ta có kết quả sau ([11])

Mệnh đề 2.5 Giả sử (A) được thỏa mãn Nếu D L1p0, T ; Xq là nửacompact thì WpDq là compact tương đối trong Cpr0, T s; Xq Nói riêng,nếu dãy tfnu là nửa compact và fn á f (hội tụ yếu) trong L1p0, T ; Xqthì Wpfnq Ñ Wpfq (hội tụ mạnh) trong Cpr0, T s; Xq

Ta sẽ chứng minh kết quả sau về sự tồn tại nghiệm toàn cục

Trang 25

Định lý 2.6 Giả sử (A), (B), (F) và (G) được thỏa mãn Khi đó bàitoán (0.7)-(0.9) có ít nhất một nghiệm với mỗi giá trị ban đầu ξ P X.Chứng minh Theo cách xác định toán tử F , ta có

Fpxq Spqξ W PGpxq, x P Cpr0, T s; Xq

Với mỗi x P Cpr0, T s; Xq, PGpxq là tập compact yếu trong L1p0, T ; Xq

Do vậy W PGpxq là tập compact trong Cpr0, T s; Xq theo Mệnh đề 2.3.Hơn nữa do PGpxq lồi nên Fpxq cũng lồi Tức là ánh xạ đa trị F nhậngiá trị lồi và compact

Ta sẽ chứng minh sự tồn tại của tập lồi M0 Cpr0, T s; Xq sao cho

FpM0q M0 Với y P Fpxq, tồn tại f P PGpxq sao cho

}yptq}X ¤ }Sptqξ}X }

»t 0

Spt sqfpsqds}X

¤ M}ξ}X

»t 0

}Spt sq}}fpsq}Xds

ηB η2q

» t 0

}xpsq}Xds

¤ M1 M2

»t 0

κpsqds

Rõ ràng M0 là một tập lồi đóng trong Cpr0, T s; Xq và đánh giá (2.12)đảm bảo rằng FpM0q M0

Định dạng
Số trang	43
Dung lượng	314,1 KB