TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XIITRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN - TỈNH LAI CHÂU ĐỀ THI ĐỀ XUẤT ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP 10 Đề này có 01 trang gồm 5 câu Câu 1.. 5,0 điểm: Cho tam giác nhọn ABC, g
Trang 1TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XII
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN - TỈNH LAI CHÂU
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
ĐỀ THI MÔN TOÁN
LỚP 10
(Đề này có 01 trang gồm 5 câu)
Câu 1 (5,0 điểm): Giải hệ phương trình
,
x y
Câu 2 (5,0 điểm): Cho tam giác nhọn ABC, gọi H là trực tâm của tam giác, M là
trung điểm của BC, I là giao điểm các phân giác của ABH và ACH Chứng minh
MI đi qua trung điểm của AH
Câu 3 (4,0 điểm): Cho ba số dương a, b, c và a b c 3 Chứng minh rằng:
Câu 4 (4,0 điểm): Tìm bộ ba số nguyên tố liên tiếp (liền kề) sao cho tổng bình
phương của chúng cũng là một số nguyên tố
Câu 5 (2,0 điểm): Một hình tròn được chia thành 10 ô hình quạt, trên mỗi ô người ta
đặt một viên bi Nếu ta cứ di chuyển các viên bi theo quy luật: mỗi lần lấy ở 2 ô bất
kỳ mỗi ô 1 viên bi, chuyển sang ô liền kề theo chiều ngược nhau thì có thể chuyển tất
cả các viên bi về cùng 1 ô hay không ?
HẾT
Lê Thị Lệ Quyên
(Số điện thoại: 0986722886)
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN - LỚP 10
Lưu ý: các cách giải khác hướng dẫn chấm, nếu đúng cho điểm tối đa theo thang
điểm đã quy định
1
ĐK:
Chuyển vế nhân liên hợp ở phương trình (1), ta được
1
1
4 0
x y
do
2,0
Với x = y, thay vào (2), ta được: 2 1 1
1
x
Với x = -6y thay vào (2) ta được
2
6
6
y
1,0
KL: S = 1;1 , 1; 1 , 6 47; 47 , 6 47; 47
0,5 2
I N
H M
D E
C B
A
Do H là trực tâm của ABC BHAC, CH AB
là các tam giác có cạnh huyền AH
0,5
Gọi N là trung điểm của AH, ta có EN DN 1AH
2
Mà BEC, BDC là các tam giác vuông nên
1
2
0,5
Trang 3 và D đối xứng qua MN
1,0
Tương tự ta có 0 1
2
2
Chứng minh tương tự ta có 0 1
2
1,0
1
2
Chứng minh tương tự ta có 0
1,0
I
thuộc đường trung trực của ED M, I, N thẳng hàng
0,5
3
Ta có
1,0
Tương tự ta có
0,5
Từ đó suy ra
1,0
Mặt khác, ta biết a b c2
3
Từ * và * * ta có điều phải chứng minh 0,5
4 Gọi 3 số nguyên tố liên tiếp là p, q, r với 2 p q r
Bộ ba số nguyên tố liên tiếp đầu tiên là 2 2 2
là số nguyên tố nên không thỏa mãn đề bài
1,0
Bộ ba số nguyên tố liên tiếp tiếp theo là 2 2 2
3,5, 7 3 5 7 83 là số nguyên tố nên thỏa mãn đề bài
1,0
Xét p3 thì hiển nhiên q, r3, nhận thấy rằng các số nguyên tố này đều
có dạng 1 mod 6 vì không chia hết cho 2 và 3, vì thế nên tổng bình
phương của chúng luôn chia hết cho 3 nên không phải là số nguyên 2,0
Trang 4tố.Vậy bộ ba số nguyên tố liên tiếp 3,5, 7 là bộ 3 số nguyên tố liên tiếp duy nhất thỏa mãn đề bài
5
Trước tiên, ta tô màu xen kẽ các ô hình quạt, như vậy sẽ có 5 ô được tô màu (ô màu) và 5 ô không được tô màu (ô trắng)
Ta có nhận xét:
Nếu di chuyển 1 bi ở ô màu và 1 bi ở ô trắng thì tổng số bi ở 5 ô màu không đổi
0,5
Nếu di chuyển ở 2 ô màu, mỗi ô 1 bi thì tổng số bi ở 5 ô màu giảm đi 2
Nếu di chuyển ở 2 ô trắng, mỗi ô 1 bi thì tổng số bi ở 5 ô màu tăng lên 2
0,5
Vậy tổng số ở 5 ô màu hoặc không đổi, hoặc giảm đi 2, hoặc tăng lên 2 Nói cách khác, tổng số bi ở 5 ô màu sẽ không thay đổi tính chẵn lẻ
so với ban đầu
0,5
Ban đầu tổng số bi ở 5 ô màu là 5 viên (số lẻ) nên sau hữu hạn lần
di chuyển bi theo quy luật trên thì tổng số bi ở 5 ô màu luôn khác 0 và khác 10, do đó không thể chuyển các viên bi về cùng 1 ô
0,5