TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XIITRƯỜNG THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ TỈNH HÒA BÌNH ĐỀ THI MÔN: TOÁN LỚP 10 Đề thi này có 1 trang, gồm 5 câu Câu 1 4 điểm: Giải hệ phương trình sau: Câu 2 4
Trang 1TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XII
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ
TỈNH HÒA BÌNH
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
LỚP 10
Đề thi này có 1 trang, gồm 5 câu
Câu 1 (4 điểm): Giải hệ phương trình sau:
Câu 2 (4 điểm): Cho tam giác nôi tiếp đường tròn , đường phân giác trong góc cắt tại khác là điểm đối xứng qua cắt tại khác là một điểm di chuyển trên cạnh Gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác Gọi giao điểm của và là điểm khác
a) Chứng minh rằng luôn đi qua điểm cố định cố định khi di chuyển b) Gọi là trung điểm của Chứng minh rằng đường thẳng qua song song với đi qua trung điểm
Câu 3 (4 điểm): Cho a,b,c là ba số thực dương Chứng minh rằng
Câu 4 (4 điểm): Ban đầu ta có bộ số Thực hiện trò chơi sau, nếu ta
rằng sau một số bước ta nhận được bộ số mà
Câu 5 (4điểm): Tìm tất cả các cặp số nguyên dương sao cho là một
số nguyên
……… HẾT ………
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM
1 Giải hệ phương trình sau:
Đáp án:
Hệ phương trình đã cho tương đương
1,0
Đặt thay vào hệ phương trình ta được hệ
1,0
Vậy hệ đã cho có 6 nghiệm là
2,0
2 Cho tam giác nôi tiếp đường tròn , đường phân giác trong góc cắt
tại khác là điểm đối xứng qua cắt tại khác là
một điểm di chuyển trên cạnh Gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác
Trang 3Gọi giao điểm của và là điểm khác
a) Chứng minh rằng luôn đi qua điểm cố định cố định khi di chuyển
b) Gọi là trung điểm của Chứng minh rằng đường thẳng qua song
song với đi qua trung điểm
Đáp án:
Giải:
a) Gọi là giao điểm của với ( )
Ta chứng minh điểm cố định khi di chuyển
Ta có
Suy ra
1 đ
Trang 4Suy ra là đường kính của , cố định b) Ta sẽ chứng minh tứ giác là hình bình hành Thật vậy
Mà tứ giác nội tiếp suy ra là hình thang cân
Gọi là giao điểm và Suy ra là trung điểm của và Mặt khác là đường trung bình của tam giác suy ra
(đpcm)
3 Cho a,b,c là ba số thực dương Chứng minh rằng
HD:
Ta chứng minh bất đẳng thức sau
Ta có
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM
Suy ra
4 đ
Trang 5Ta chứng minh
( luôn đúng)
4 Ban đầu ta có bộ số Thực hiện trò chơi sau, nếu ta có bộ số
Giải :
Giả sử sau bước thứ ta nhận được bộ số Đặt
Ta sẽ chứng minh là đại lượng đơn biến
Thật vậy
Mặt khác , do
Do đó
Suy ra
Do
Nên
Chon đủ lớn ta được
Vậy sau một số bước ta nhận được bộ số mà
4 đ
5 Tìm tất cả các cặp số nguyên dương sao cho là một số nguyên
Đáp án
Đặt
Dễ thấy là các số lẻ với mọi nguyên dương nên chẵn nên để thì
Trang 6Trường hợp 1: cùng lẻ
Ta có
Và
Loại trường hợp này vì không nguyên
Trường hợp: cùng chẵn
Ta có
Đặt
Khi đó
Do nguyên và khác nên Suy ra
(1)
Với mệnh đề (*) đúng
Giả sử mệnh đề đúng đến
Ta sẽ chứng minh mệnh đề đúng đến
Thật vậy
Mà
Mệnh đề được chứng minh
Từ (1) suy ra
Thử trực tiếp ta tìm được
1 đ
3 đ
Trang 7Mọi cách giải khác nếu đúng kết quả và lập luận chặt chẽ đều cho điểm tương đương Người ra đề thi
Bùi Văn Vịnh
Số ĐT: 0974802686