Đường tròn O' tiếp xúc trong với đường tròn O tại điểm TT nằm bên ngoài tam giác ABC và tiếp xúc với các cạnh AB, AC lần lượt tại , P Q.. Đường thẳng PQ cắt đường thẳng BC tại điểm
Trang 1TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC
ĐỀ ĐỀ XUẤT
Tác giả: TRẦN NGỌC THẮNG
SĐT: 0986261141
ĐỀ THI TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG NĂM 2016 MÔN: TOÁN, LỚP 10
Câu 1 (4,0 điểm) Giải phương trình
1
x
x
Câu 2 (4,0 điểm) Cho tam giác ABC AB AC( < )
có điểm A thay đổi và hai điểm B, C cố định nằm trên đường tròn
( )O
cố định vàhai điểm A và O luôn nằm về cùng một phía so với đường thẳng BC Đường tròn
( )O' tiếp xúc trong với đường tròn
( )O
tại điểm T(T nằm bên ngoài tam giác
ABC
) và tiếp xúc với các cạnh AB, AC lần lượt tại
,
P Q
Đường thẳng
PQ
cắt đường thẳng BC tại điểm R Các đường thẳng
,
TB TC
cắt lại đường tròn
( )O' lần lượt tại
E F E T F T≠ ≠
Chứng minh rằng a) Đường thẳng EF song song với đường thẳng BC b) Đường thẳng RT luôn đi qua một điểm cố định khi điểm A thay đổi
Câu 3 (4,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương
, ,
a b c
thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
a)
2 1
a +
và
2 1
b +
là các số nguyên tố;
b)
(a2+1) (b2+ = +1) c2 1
.
Câu 4 (4,0 điểm) Cho
, ,
a b c là các số thực dương Chứng minh rằng
a b c
a b + b c + c a ≤ + +
Trang 2Câu 5 (4,0 điểm) Trên bảng viết n n( ≥4)
số nguyên dương liên tiếp Hai người A và B lần lượt chọn một số từ n số đã cho và xóa số đó đi và thực hiện đến khi trên bảng chỉ còn lại 2
số a và b Biết rằng A thắng cuộc nếu
( )
gcd ,a b =1
, và B thắng cuộc nếu
( )
gcd ,a b >1
Ai
là người thắng cuộc nếu A đi trước và
a)
2017
n=
b) n là một số nguyên dương không nhỏ hơn 2016
-Hết -ĐÁP ÁN, THANG ĐIỂM TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG 2016
1 (4,0 điểm)
Đkxđ: − < ≤1 x 2
Ta có
1
x
x
+
3 2
1
x
+ +
+
1,0
3 2
+ +
+
1,0
3
3
3
3
2
2
1,0
Trang 32 0 1
x
x x
+
⇔ − + + =
4 0
x x
≥
So sánh với điều kiện xác định ta được tập nghiệm
của phương trình đã cho là
1 17 4
S +
.
1,0
2 (4,0 điểm)
4a (1,5 điểm)
Do
( )O
và
( )O' tiếp xúc trong với nhau tại điểm
, ',
T⇒O O T
thẳng hàng Ta có
'
|| '
OB O E
O T =O E ⇒ ⇒BT = OT
(1)
1,0
Tương tự ta có
'
CF OO
CT = OT
(2)
Từ (1) và (2) ta có
||
BE CF
EF BC
BT =CT ⇒
0,5
F
E
O' O
Q
P
R
M T
C
B A
Trang 44b (2,5 điểm)
Áp dụng định lí Menelauyt cho tam giác ABC với cát tuyến KPQ ta có:
( )
Ta sẽ chỉ ra RT luôn đi qua điểm chính giữa cung BC Để chứng minh RT đi qua điểm
chính giữa của cung BC ta chỉ cần chứng minh RT là phân giác ngoài của góc ·BTC
Do
|| EB FC EB TB
EF BC
BT CT FC TC
1,0
Ta có
2 2
2
(4)
Từ (3) và (4) suy ra
RB TB
RT
RC =TC ⇒
là phân giác ngoài của góc ·BTC
1,0
3 (4,0 điểm)
Giả sử a b≥
c + ≤ a + ⇒ <c a +
và c a>
Mặt khác ta lại có a2+1c2+ ⇒1 a2+1(c2+ − − ⇒1 a2 1) a2+1(c a c a− ) ( + )
Do
2 1
c a a− < +
,
2 1
a +
là số nguyên tố và
0< + <c a a + + <a 1 2 a +1
2
3 1
c
c a a
+ = + =
Thay vào điều kiện thứ hai ta được b=1
Vậy
(a b c, , ) (= 1, 2,3 , 2,1,3 ) ( )
1,0
4 (4,0 điểm)
Ta co
(a b c) 2 a 2 b 2 c
(1)
1,5
Tiếp theo ta sẽ chứng minh
1
a b+ b c+ c a ≤
1,0
Trang 52 2 2
1
a b b c c a
(2)
Ta chứng minh (2)
a b c
+ +
2
2 1
a b c
a b c
+ +
+ +
Do đó (2) được chứng minh Kết hợp (1) và (2) ta được
a b c
a b + b c + c a ≤ + +
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c= =
.
1,5
5 (4,0 điểm)
4a (1,5 điểm)
Với n=2017
, ta chia các số trên bảng thành các nhóm như sau:
( ) ( ) (1, 2 , 3, 4 , , 2013, 2014 , 2015, 2016 , 2017) ( )
(ở đây 1,2, …, 2015, 2016, 2017 là số
dư của 2017 các số nguyên liên tiếp theo mod 2017)
0,5
Khi đó A đi trước sẽ chọn số 2017, còn khi B chọn số nào trong các số còn lại thì A sẽ
chọn số cùng cặp với số mà B vừa chọn, cứ như vậy… thì đến khi trên bảng còn lại hai
số thì hai số thuộc cùng một cặp và nguyên tố cùng nhau nên A thắng cuộc 1,0 4b (2,5 điểm)
Ta xét hai trường hợp:
TH1 Nếu n lẻ thì làm tương tự như phần a ta được A là người thắng cuộc 0,5
TH2 Nếu n chẵn: Khi đó B sẽ có chiến thuật luôn thắng Thật vậy, B sẽ chỉ được chọn
các số lẻ và không chọn hai số lẻ
,
p q
nào đó và hai số này cùng chia hết cho 3 Khi đó
ở bước ngay trước bước cuối cùng ta được 4 số chẵn hoặc ta sẽ có hai số chẵn
,
x y
và hai số lẻ
,
p q
cùng chia hết cho 3
1,0
Nếu A chọn số chia hết cho 3 thì B sẽ chọn số chia hết cho 3 còn lại thì hai số chẵn còn
lại có ước chung lớn nhất không nhỏ hơn 2 Nếu A chọn số chẵn thì B sẽ chọn số chẵn
còn lại thì hai số còn lại có ước chung lớn nhất không nhỏ hơn 3 Vậy B luôn thắng
cuộc
1,0