Tất tần tật những gì cần học (tối THIỂU) của môn toán lớp 12

Trung Tâm Gia Sư KaiZenLuyện Thi Đại Học 2017 **Hồi Phục Kiến Thức Cơ Bản Miễn Phí** Tất Tần Tật Những Gì Cần Học TỐI THIỂU Của Môn Toán Lớp 12 2.Các bài toán liên quan - Sự tương giao

Trung Tâm Gia Sư KaiZen

Luyện Thi Đại Học 2017

**Hồi Phục Kiến Thức Cơ Bản Miễn Phí**

Tất Tần Tật Những Gì Cần Học (TỐI THIỂU) Của Môn Toán Lớp 12

2.Các bài toán liên quan

- Sự tương giao của hai đồ thị

- Ba dạng tiếp tuyến

- Biện luận theo m số nghiệm pt bằng đồ thị

- Tìm các điểm trên (c ) có toạ độ là các số nguyên

- Tìm nguyên hàm của các hàm số thường gặp

- Tính tích phân bằng p2 đổi biến số và pp tích phân từng phần

- Ứng dụng của tích phân : tính diện tích hình phẳng , thể tích vật thể tròn xoay

4.Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình mũ và logarit :

- Giải phương trình mũ , bất phương trình mũ và logarit

- Giải hệ phương trình mũ và logarit

5 Số phức :

- Môđun của số phức , các phép toán trên số phức

- Căn bậc hai của số phức

- Phương trình bậc hai với hệ số phức

- Dạng lượng giác của số phức

II / PHẦN HÌNH HỌC :

1/.Hình học không gian tổng hợp :

- Tính thể tích khối lăng trụ , khối chóp

- Tính thể tích khối trụ , khối nón , khối cầu

- Tính diện tích xung quanh của hình nón , hình trụ , diện tích mặt cầu

2/ Phương pháp toạ độ trong không gian :

a/.Các bài toán về điểm và vectơ :

• Tìm toạ độ 1 điểm thoả điều kiện cho trước , trọng tâm tam giác , giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng , giao điểm của hai đường thẳng , hình chiếu của 1 điểm trên đường thẳng , mặt

phẳng , tìm điểm đối xứng với 1 điểm qua đường thẳng , mặt phẳng cho trước , tìm giao điểm của đường thẳng và mặt cầu

• Chứng minh hai vectơ cùng phương hoặc không cùng phương , 2 vectơ vuông góc , 3 vectơ đồng phẳng hoặc không đồng phẳng, tính góc giữa hai vectơ , diện tích tam giác , thể tích tứ diện , chiều cao tứ diện , đường cao tam giác

b/.Các bài toán về mặt phẳng và đường thẳng :

- Lập pt mặt phẳng :qua 3 điểm , mặt phẳng theo đoạn chắn , qua 1 điểm song song với mặt

phẳng , qua 1 điểm ⊥ với đường thẳng , qua 1 điểm song song với hai đường thẳng , qua hai điểm và ⊥ với mặt phẳng , qua 1 điểm và chứa một đường thẳng cho trước , chứa 1 đt a và song song với 1 đt b

- Lập pt đường thẳng : Qua 2 điểm , qua 1 điểm và song song với đt , qua 1 điểm và song song với

2 mp cắt nhau , qua 1 điểm và vuông góc với 1 mp , pt hình chiếu vuông góc của đt trên mp , qua

1 điểm và vuông góc với 2 đt , qua 1 điểm và cắt 2 đường thẳng , qua 1 điểm vuông góc với đt thứ nhất và cắt đt thứ hai

- Vị trí tương đối của 2 đt , đt và mp

c/ Khoảng cách :

- Từ 1 điểm đến 1 mp , 1 điểm đến 1 đt , giữa 2 đt

d/ Mặt cầu:

- Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình cho trước

- Lập pt mặt cầu : Có đường kính AB , có tâm I và tiếp xúc với mp , có tâm I và đi qua 1 điểm M , qua 4 điểm không đồng phẳng ( ngoại tiếp tứ diện)

- Lập pt mặt phẳng : Tiếp xúc với mặt cầu tại 1 điểm M thuộc mặt cầu , chứa 1 đường thẳng và tiếp xúc với mặt cầu , song song với mp cho trước và tiếp xúc với mặt cầu

2/ Viết phương trình tiếp tuyến với ( c) tại điểm uốn của (c ) Đáp số : y = 3x - 4

3/ Viết phương trình tiếp tuyến với ( c) qua A( 4 , 0 ) Đáp số : y = 0 và y = -9x + 36

Bài 4: Cho hàm số y= 1

2x

4 – ax2 +b1/ Khảo sát và vẽ đồ thị ( c) của hàm số khi a =1 , b = -3

22/ Viết phương trình tiếp tuyến với (c ) tại giao điểm của ( c ) với ox

Bài 6: Cho hàm số y = x3 +3x2 +mx +m -2 có đồ thị (Cm )

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C) của hàm số khi m= 3

2/ Gọi A là giao điểm của ( C) và trục tung Viết phương trình tiếp tuyến d của (C ) tại A 3/ Tìm m để (Cm )cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

Bài 7: Cho hàm số y= 2

2

xm3

2

3

−+ có đồ thị ( Cm )1/ Khảo sát và vẽ đồ thị( C ) của hàm số với m= -1

4/ Viết pttt của ( C ) song song với đường thẳng y= -3x

Bài9 : Cho hàm số y= mx3 – 3x

1/ Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 4

2/ Tìm giao điểm của (C )với đường thẳng ∆: y = -x +2

4x + x +41/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) của hàm số

2/ Vẽ và viết pttt với đồ thị (C ) tại tiếp điểm có hoành độ x= 1

ĐS: y= 3x+1

Bài 12 : 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số : y = x3 -6x2 + 9x

2/ Với các giá trị nào của m , đường thẳng y = m cắt (C) tại 3 điểm phân biệt

Bài 13 : 1/ Tìm các hệ số m và n sao cho hàm số : y = -x3 + mx + n

đạt cực tiểu tại điểm x = -1 và đồ thị của nó đi qua điểm ( 1 ; 4)

2/ Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số với các giá trị của m , n tìm được

Bài 14: 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số : y = -x3 +

2

3

x2 + 6x -32/ CMR phương trình -x3 +

2

3

x2 + 6x -3 = 0 có 3 nghiệm phân biệt , trong đó có một nghiệm dương nhỏ hơn ½

Bài 15 : 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số : y = -x4 +2x2 + 2

2/ Dùng đồ thị ( C) , biện luận theo m số nghiệm của pt :

x4 -2x2 -2 +m =0

Bài 16: 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số : y = x4 +x2 -3

2/ CMR đường thẳng y = -6x-7 tiếp xúc với đồ thị của hàm số đã cho tại điểm có hoành độ bằng -1

Bài 17 : 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số : y =

1x2

3x

+

+

−

2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành

3/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục tung

3/ Viết phương trình tiếp tuyến của ( C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

(d) : 7x – y +2 =0

Bài 18 : 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số : y =

1x

1x

1 +

Bài 19 : Cho hàm số y = 1 3 ( 1) 2 ( 3) 4

1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi a = 0

2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm uốn của (C) ĐS : y = 4 11

1/ Tìm a và b để hàm số có cực trị bằng 3

2 khi x = 1

ĐS : a = -2 ; b = 5

22/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với a = 1

2

−

và b = 1 3/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 1

1

x x

VẤN ĐỀ 2: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT-GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y=

2 31

x x

6

π

] 3/ Trên đoạn [ -

y trên đoạn [

2

5

; 27]

Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

x

x y

ĐS: S= 1 Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y= sin2x +x , y=x ,x=0 , x= π

ĐS: 16/ 3

Bài 7 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

2 3 1

, 0, 1, 01

−+ , các trục toạ độ quay

quanh trục 0x

ĐS : V= π( 3- 4 ln2 )

VẤN ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH –BẤT PT – HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ V LOGARÍT

Bài 1 : Giải các phương trình sau :

1/ 2 2 1

3x − x=

2/ 5x + 5x + 1 + 5x+2 = 3x + 3x+3 – 3x+1 ĐS : x = 5

3

25log313/ 32x+2 – 28.3x + 2 = 0 ĐS : x =1 ; x = -2

4/ log2x + log4(2x) = 1 ĐS : x= 325/ 21 2

2

log x−3log x+ =1 0 ĐS : x = 2 ; x = 46/ 3x +2.31 – x -5 = 0 ĐS : x = 1 ; x = log327/ 2

2log x−14log x+ =3 0 ĐS : x= 3;x=27

8/

1 1

− +

log log 0

4

+ < +

x +

∫ ; Đáp số : 5− 23/

sin 2

1 cos

xdx x

dx x

∫ ; Đáp số :2e2 – 2e 4/

4 ln2

12 1

x e dx

x +

∫ ; Đáp số :1ln11

45/

1

3 0

ln x dx x

sin 2(1 cos )

xdx x

π

+

∫ ; Đáp số :1/2

VẤN ĐỀ 6: SỐ PHỨC

Bài 1: Cho các số phức z1 = 1 + i ; z2 = 1 -2i Hãy tính các số phức và tìm mođun của chúng :

1/ 2 1

( 3 )( 3 )

i i

+

−

*Bài 3 : Tìm căn bậc hai của mỗi số phức : - 8 + 6i ; 3 + 4i ; 1 2 2i−

Bài 4 : Giải phương trình :

.1 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, cạnh bn SA vuơng gĩc với đáy , cạnh bên

SB bằng a 3 Tính thể tích khối chĩp S.ABCD theo a

2 Cho hình chĩp tứ gic đều S.ABCD có AB = a và SA = b Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và b

3 Cho hình chĩp tứ gic đều S.ABCD có AB = a và góc SAC bằng 450 Tính thể tích khối chĩp S.ABCD

4 Cho hình chĩp tam gic S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh B, cạnh bên SA vuông góc với đáy Biết SA = AB = BC = a Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

5 Cho hình chĩp tứ gic đều S.ABCD có AB = a và góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 600 Tính thể tích khối chĩp S.ABCD

6 Cho khối hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ cĩ thể tích V Tính thể tích khối tứ diện C’ABC theo V

7 Trên cạnh CD của tứ diện ABCD lấy điểm M sao cho CD = 3CM Tính tỉ số thể tích của hai tứ diện ABMD và ABMC

8 Cho hình chĩp tam gic đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 300

a/ Tính thể tích của khối chĩp S.ABC

b/ Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp S.ABC

c/ Tính diện tích mặt cầu v thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chĩp S.ABC

9 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a , cạnh bn SA vuơng gĩc với đáy , cạnh bên

SB bằng a 3

a/ Tính thể tích của khối chĩp S.ABC

b/ Chứng minh trung điểm của cạnh SC là tm mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp S.ABCD

10 Cho hình chĩp tam gic S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuông tại B , cạnh bên SA vuông góc với đáy Biết SA = AB = BC = a

a/ Tính thể tích của khối chĩp S.ABC

b/ Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chĩp S.ABC

11 Cho hình chĩp tứ gic S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh bằng a , cạnh bn SA vuơng gĩc với đáy và SA = AC Tính thể tích khối chóp S.ABCD

12 Cho hình chĩp tam gic đều S.ABC có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a Gọi I là trung điểm của cạnh BC

a/ Chứng minh SA ⊥ BC

b/ Tính thể tích khối chĩp S.ABI theo a

13 Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuông tại B , đường thẳng SA vuông góc với

mp(ABC) , biết AB = a , BC = a 3 v SA = 3a

a/ Tính thể tích khối chĩp S.ABC

b/ Gọi I là trung điểm của cạnh SC , tính độ dài đọan thẳng BI theo a

c/ Tính tổng diện tích cc mặt bn của hình chĩp S.ABC

Bài 3 : Cho hình trụ (T) có chiều cao bằng 6cm , một mặt phẳng qua trục của hình trụ cắt hình trụ theo

thiết diện (S) có diện tích bằng 48cm2

1/ tính chu vi của thiết diện (S)

2/ Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ (T)

Bài 6 : Cho hình trụ (T) cao 10cm, một mặt phẳng song song với trục hình trụ và cách trục một khoảng

2cm , sinh ra trên đường tròn đáy một cung chắn góc ở tâm 1200

1/ tính diện tích thiết diện

2/ Tính thể tích và diện tích xq của (T)

ĐS : 1/ 40 3 (cm2 ) 2/ V = 160π (cm3) ; Sxq = 80π (cm2)

Bài 7 : Cho hình trụ (T) có 2 đáy là 2 đường tròn ( O ) và (O/ ) Một điểm A thuộc (O) và điểm B thuộc (O/ ) Gọi A/ là hình chiếu của A trên mp chứa đáy (O/ ) Biết AB = a , góc giữa 2 đường thẳng AB và trục OO/ là và góc BO/A/ là 2

Tính thể tích và diện tích xq của (T)

ĐS : V =

3 2 2

sin cos4sin

β

a

Bài 8 : Cho hình nón có bán kính đáy là R và đường cao bằng 3R ngoại tiếp hình trụ (T) Tính bán kính

và chiều cao hình trụ (T) sao cho :

Bài 1 : Cho hình nón có bán kính đáy là R và góc giữa đường sinh và mp chứa đáy hình nón là

1/ Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón

2/ Tính diện tích của thiết diện qua trục của hình nón

ĐS : 1/ V =

3tan3

R

2/ R2 tan

Bài 2 : Cho hình nón đỉnh S có đường sinh bằng R và thiết diện qua trục của hình nón là tam giác SAB

có góc ASB là 600

1/ Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón

2/ Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình nón

3/ Xác định tâm và bán kính của mặt cầu nội tiếp hình nón

ĐS : 1/ V =

3 324

R

3/ 36

2/ Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình nón

ĐS : 1/ Sxq =24π (dm2 ) 2/ 9 5

5

PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

VẤN ĐỀ 10 : TOẠ ĐỘ VECTƠ, TOẠ ĐỘ ĐIỂM TRONG KHÔNG GIAN.

Bài 1: Cho ar = ( -2 ,1, 0 ), br = ( 1, 3,-2 ), cr= (2,4,3 )

1/ Tìm toạ độ dur= 1 2 3

2ar+ br−2cr

Đáp số : E( 2,5,-1 ) Bài 3 :Cho M( x, y, z ), tìm toạ độ các điểm:

1/ M1 , M2 , M3 lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên mp ( 0xy ) ,( 0yz) ,( 0xz )

Đáp số : M1 ( x, y, o) , M2 ( o, y, z ) , M3 ( x, o, z )2/ M/

Đáp số : A( x,-y, –z ), B( -x, y,-z ), C( -x,-y,z )

4/ D, E, F lần lượt đối xứng với M qua mp ( oxy ), ( oyz ), ( oxz )

Đáp số : D( x, y, -z ), E (-x , y, z ), F ( x, -y, z ) Bài 4: Cho hình hộp chữ nhật OABC O/ A/ B/C/ biết A( 2, 0, 0 ), C( 0 ,3, 0 ) ,

0/ ( 0,0,4) Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp chữ nhật

3/ Phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M( x0 ; y0 ; z0 ) và có vectơ pháp tuyến

( , , )

nv= A B C :

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 04/ Nếu mp(P) // mp(Q) thì vtpt của (P) cũng là vtpt của (Q)5/ Nếu mp(P) ⊥ mp(Q) thì vtpt của (P) song song hay chứa trong mp (Q) và ngược lại.6/ Phương trình mp(Oxy) : z = 0

Phương trình mp(Oxz) : y = 0

7/ Phương trình mp(P) qua A(a,0,0) , B(0,b,0) , C(0,0,c) : x y z 1

Với A, B, C đều khác với gốc O

BÀI TẬP

Bài 1: Cho A(3,-2,-2) , B(3,2,0) , C(0,2,1) , D( -1,1,2)

1/ Viết phương trình mp(BCD) Suy ra ABCD là tứ diện Tính thể tích tứ diện ABCD

1/ Viết phương trình mp ( ) α qua A và ( ) α chứa trục Oy

Đáp số : x-4z=02/ Viết ptmp ( )β qua A và ( )β vuông góc với trục Oy.

Đáp số : y+1=03/ Viết ptmp ( )γ qua A , ( )γ // Oy , ( )γ ⊥ ( ) α

Đáp số : V= 2 ; (MNP) : 12x+4y+3z-12=0

Bài 5 : Lập phương trình mp qua G( 2 ; -1 ; 1) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A , B ,C sao cho G là

trọng tâm của tam giác ABC

Bài 6 : Lập phương trình mp qua H( 1 ; -1 ; -3) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A , B ,C sao cho H là

trực tâm của tam giác ABC

VẤN ĐỀ 12: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG

• Tóm tắt lý thuyết : 1/ Cho 2 mp : 1 1 1 1 1

− + + = + − + =1/ Viết pt mp (P) qua giao tuyến của α α1; 2 và (P) ⊥α3: 3x y− + =1 0

Đáp số : -3x-9y+13z-33=02/ Viết pt mp (Q) qua giao tuyến của α α1; 2 và (Q) song song với đường thẳng

AB với A(-1,2,0) và B(0,-2,-4)

Đáp số : 8x+5y-3z+31=0

VẤN ĐỀ 13: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Tóm tắt lý thuyết Cách lập phương trình đường thẳng d:

Tìm 1 điểm M (x0 ; y0 ; z0) thuộc d và vectơ chỉ phương u v = ( a b c ; ; ) của d.Khi đó phương trình của d có một trong 2 dạng sau :

• Pt tham số :

o o o

- Ghi nhớ : d ( )⊥ α → vtcp của d là vtpt của ( )α ; vtpt của ( )α là vtcp của d

BÀI TẬP

1/ d qua M (2,3,-1) và d vuông góc với mpα : -x-y+5z+7=0

2/ d qua N(-2,5,0) và d// d / :

63

2/ Tìm toạ độ giao điểm M của (α ) với trục Ox

3/ Viết pt tham số của giao tuyến d / của (α ) với (Oxy).

VẤN ĐỀ 14: TÌM HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA M TRÊN MPα , TRÊN d.

TÌM M / ĐỐI XỨNG VỚI M QUA α , QUA d.

1/ Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc H của M trên α và toạ độ M’đối xứng M qua α :

• Viết pt đt d qua M , d ⊥ α ⇒d qua M có véc tơ chỉ phương n uuαv

⇒ pttsố của d

• H = d ∩α ⇒ tọa độ H

• M/ đốixứng M qua α ⇒H là trung điểm M M/ ⇒ toạ độ M/

2/ Tìm toạ độ hchiếu ⊥H của M trên đt d và tìm M / đối xứng M qua đt d :

+ Viết ptmp α qua M , α ⊥d

+ H = α∩ ⇒d tọa độ của H

+ M/ đxứng M qua d ⇒H là trung điểm MM/ ⇒ tđộ M/

Bài 1: Tìm toạ độ hchiếu vuông góc H của M( 2, -3, 1 )trên mp() : -x+ 2y +z+ 1= 0

- Vì d/ = (P) ∩ (Q) nên ta lập được pt của d/

Bài 1: Viết pt hình chiếu vuơng gĩc d’ của đt d :

1

1 23

và /

MMuuuuuvb/ d // d/⇔ 





uuvruuuuurr

/ /

u và u cùng phương

u và MM không cùng phươngc/ d cắt d/⇔ 



uuvruur uuuuurr

b/ Viết pt mp (P) chứa d1 và d2 Đáp số : (P) : 2x-16y-13z+31=0

Bài 5 : Xét vị trí tương đối của 2 đt : d1 :

121

2 2

3 22

t20z

t41y

t5x

Bài 5: Xét vị trí tương đối của đt d :

141

Bài 1: Cho A(1,1,3) , B(-1,3,2) C(-1,2,3) Viết pt mpα qua 3 điểm A, B, C Tính diện

tích tam giác ABC , thể tích khối tứ diện OABC

Đáp số : α : x+2y+2z-9=0 ; dt(ABC)= 3

2 ; VOABC=

32

Bài 2: Tính khoảng cách từ điểm M (1,2,-1) đến đt ∆: 1 2 2

t1x

Chứng minh ∆1 chéo ∆2 Tính khoảng cách giữa ∆1 và ∆2

Vị trí tương đối giữa mc(S) và mp α :

• Cho (S) : ( x –a )2 + (y-b)2 +( z-c)2 = R2 có tâm I và bán kính R

mpα : Ax+By+Cz+D=0a/ d I( ,α > ⇔) R mp α không có điểm chung với (S)b/ d I( ,α = ⇔) R mp α tiếp xúc với (S) (α là tiếp diện )c/ d I( ,α < ⇔) R mp α cắt (S) theo đường tròn giao tuyến có pt :

Ax+By+Cz+D=0( x -a ) + (y-b) +( z-c) = R

• Thế toạ độ A,B,C,D vào pt(1) hay pt(2) ⇒A B C, , hoặc a , b ,c

d/.Mặt phẳng α tiếp xúc (S) tại A∈(S) (tiếp diện α )

+ (S) có tâm I, α qua A có vtpt IAuur ⇒ pt (α )

e/ Cách tìm toạ độ tâm I/ , bán kính R/ của đường tròn giao tuyến của mpα

Đáp số : α : 3x+4y+2z+1=0

Bài 2: Cho 4 điểm : A,B,C,D biết A(2,4,-1) , OB iuuuvvvv= +4j k− , C(2,4,3) , ODuuuv= +2uuvvvi 2j k−