CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC TỔNG HỢPBài 1 : Cho tam giác cân ABC AB = AC , các đường cao AD , BE cắt nhau tại H , Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE.. Kẻ đường cao AH , trên nửa
Trang 1CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC TỔNG HỢP
Bài 1 : Cho tam giác cân ABC ( AB = AC) , các đường cao AD , BE cắt nhau tại
H , Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE
a Chứng minh DE = ½ BC
b Chứng minh : DE là tiếp tuyến của đường tròn (O)
c Tính độ dài DE biết DH = 2 cm , AH = 6 cm
Bài 2 : Cho đường tròn (O; R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M ( M O) , đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm N Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn ở điểm P Chứng minh rằng
a Tứ giác OMNP nội tiếp
b Tứ giác CMPO là hình bình hành
c Tích CM.CN không phụ thuyộc vị trí của điểm M
d Khi M chạy trên đoạn thẳng AB thì điểm P nằm trên đoạn thẳng nào ? Bài 3 : Cho tam giác vuông ABC vuông tại A ( AB > AC) Kẻ đường cao AH , trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A , vẽ các nửa đường tròn đường kính BH ,
HC cắt AB tại E và cắt AC tại F
a Chứng minh EF là tiếp tuyến của hai nửa đường tròn
b Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp
c Chứng minh HD2 + HE2 = AE AB
d Chứng minh AB + AC > BC 2
Bài 4 : Cho đường tròn (O ; R) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax và trên tiếp tuyến lấy điểm P sao cho AP > R Từ P kẻ tiép tuyến với đường tròn tại (O) tại
M
a Chứng minh BM // OP
b Đường vuông góc với AB tại O cắt tia BM tại N Chứng minh tứ giác OBNP là hình bình hành
c Biết AN cắt OP tại K , PM cắt ON tại I ; PN và OM kéo dài cắt nhau tại J Chứng minh ba điểm I , J , K thẳng hàng
Bài 5 : Cho tam giác ABC vuông tại A và một điểm D nằm giữa A và B Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E Các đường thẳng CD , AE lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai F , G Chứng minh
a các từ giác ADEC và ÀBC nội tiếp
b AC // FG
c Các đường thẳng AC , DE và BF đồng quy
Bài 6 : Cho tam giác ABC vuông cân tại A Lấy bất kỳ một điểm M thuộc cạnh
AB , qua B kẻ đường thẳng vuông góc với CM , đường thẳng này cắt các đường thẳng CM , CA lần lượt tại D và E Chứng minh :
a Tứ giác BDAC nội tiếp
b DA là tia phân giác của góc EDC
c Tam giác EDA đồng dạng với tam giác ECB
Trang 2d Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AM = AN Từ A , M kẻ các đường thẳng vuông gọc với BN chúng cắt BC lần lượt tại K , L Chứng minh KL
= KC
Bài 7 : Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O , kẻ đường kính AI Gọi H là giao điểm ba đường cao AD , BE , CF Gọi M là trung điểm của BC
a Gọi H1 là điểm đối xứng của H qua BC , Chứng minh các điểm H1 nằm trên đường tròn (O)
b Chứng minh : hai điểm H và I đối xứng nhau qua M và AH = 2OM
c Nếu góc A bằng 450 thì AH = BC
d Nếu AH = OA , tính góc BAC
e EF cắt AI tại K , chứng minh tứ giác CIKF nội tiếp
f Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác HBC , HAC , HAB đèu bằng đường tròn (O)
Bài 8 : Cho tam giác ABC cân tại C ( góc C nhọn) , nội tiếp trong đường tròn tâm (O) Lấy điểm M bất kỳ trên cung nhỏ BC
a Kẻ đường kính COK , chứng minh MK là tia phân giác của góc AMB
b Trên tia AM lấy điểm D sao cho BM = MD ( M nằm giữa A và D) Chứng minh MK // BD
c Kéo dài CM cắt BD tại I Chứng minh : I là trung điểm của BD và MA +
MB 2 AC
Bài 9 : Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O ; R) , D là điểm tùy ý trên cạnh AB , dựng hai đường tròn (O1) , (O2) qua D và lần lượt tiếp xúc với CA , CB tại A và B ; (O1) , (O2) cắt nhau tại điểm thứ hai E ( E D) CE cắt AB tại F
a Chứng minh E nằm trên đường tròn (O ; R)
b Tiếp tuyến của (O1) tại D cắt BE tại G , chứng minh FG // CB
c Khi tam giác ABC cân tại C , chứng minh F D
d Khi tam giác ABC vuông cân tại C , một đường tròn (I) tiếp xúc với dây cung BC tại trung điểm K của BC và tiếp xúc vpí cung nhỏ BC của (O ; R) tại M Tính độ dài tiếp tuyến của (I) kẻ từ A theo R
Bài 10 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn , M là trung điểm của BC , AD là đường cao Gọi E , F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ B và C xuống đường kính AA’ của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
a Chứng minh góc EDC = góc BAE
b Chứng minh DE AC và MN là đường trung trực của DE ( N là trung điểm của AB)
c Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF
Bài 11 : Cho hình vuông ABCD
1 Trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh BC lấy điểm F sao cho AE = AF
a Chứng minh DAE = ABF
b AF cắt DE tại O Chứng minh tứ giác DOFC nội tiếp
2 Gọi M , N , P , Q là các điểm thuộc bốn cạnh của hình vuông ABCD Tứ giác MNPQ có tính chất gì để chu vi của nó nhỏ nhất ?
Trang 3Bài 13 : Cho đường tròn ( O ; R) , và điểm A cố định trên đường tròn , kẻ tiếp tuyến Ax , điểm M tùy ý trên Ax ; kẻ tiếp tuyến thứ hai MB với (O) B là tiếp điểm Gọi I là trung điểm của MA , BI cắt đường tròn (O) ở điểm K , tia MK cắt (O) ở C
a Chứng minh MIK đồng dạng BIM
b Chứng minh BC // MA
c Chứng minh rằng khi điểm M chuyển động trên tia Ax thì trực tâm H của tam giác MAB thuộc một đường tròn cố định
d Xác định vị trí của M trên tia Ax để tứ giác AMBC là hình bình hành ? Bài 14 Cho đường tròn (O) , từ điểm A nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến
AB , AC Từ điểm M thuộc cung nhỏ BC kẻ MI BC , MK AB , MH AC
a Chứng minh tứ giác BIMK , CIMH nội tiếp
b Chứng minh MI2 = MH.MK
c Chứng minh EF // BC
d Gọi giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp các tam giác MEK và MFH là N Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố định
Bài 15 : Cho tam giác ABC ( Góc A < 900) nội tiếp trong đường tròn tâm (O;R) , các đường cao BD , CE của tam giác cắt đường tròn (O) tại các điểm theo thứ tự
N , M
a Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp
b Chứng minh MN // DE
c Chứng minh OA DE
d Khi A di động trên cung lớn BC của đường tròn (O) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE có bán kính không đổi
Bài 16 : Cho tam giác ABC , gọi M , N là trung điểm của AB , AC Kẻ đường cao AH Đường tròn (I) ngoại tiếp tam giác AMN , gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Chứng minh : ba điểm O , I , A thẳng hàng
a Chứng minh góc IAC = góc HAB
b Kẻ dây AE của đường tròn (I) song song với MN ME cắt MN tại K Chứng minh KM = KN
c HE cắt đường trong (I) tại D Chứng minh tứ giác BHDM nội tiếp
Bài 17 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Từ điểm C trên cung AB kẻ
CH AB Gọi I , K lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp tam giác CAH và CBH Đường thẳng IK cắt CA , CB tại M ,N
a Chứng minh CM = CN
b Xác định vị trí của C để tứ giác ABMN nội tiếp
c Kẻ CD MN Chứng minh khi C chuyển động trên cung AB thì CD luôn
đi qua một điểm cố định
d Tìm vị trí của điểm C để diện tích của tam giác CMN là lớn nhất ?
Bài 18 Cho hình vuông ABCD Trên cạnh BC lấy điểm M ( M B , M C) và trên cạnh CD lấy điểm N sao cho góc MAN = 450 Đường chéo BD cắt AM , AN lần lượt tại P , Q
Trang 4a Chứng minh : 5 điểm P,Q,M,N C cúng nằm trên một đường tròn
b Gọi I là giao điểm của NP và MQ Chứng minh AI vuông góc với MN tại
H và AH = AB
c Chứng minh diện tích của tam giác AMN gấp đôi diện tích của tam giác APQ
Bài 19 : Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O) Đường tròn tâm O1 tiếp xúc trong với đường tròn (O) tại M , tiếp xúc với hai cạnh AB , AC lần lượt tại L và K Gọi E là giao điểm thứ hai của MK với đường tròn (O)
a Chứng minh : ME là tia phân giác của góc AMC
b Tia phân giác Mx của góc BMC cắt LK tại I Chứng minh bốn điểm M , I ,
K , C cùng thuộc một đường tròn
c Chứng minh tia CI là tia phân giác của góc BCA
Bài 20 Cho đoạn thẳng AB và một điểm C nằm giữa A và B , người ta kẻ trên nửa mặt phẳng bờ AB hai tia Ax , Ay vuông góc với AB và trên tia Ax lấy một điểm I Tia vuông góc với CI tại C cắt tia By tại K Đường tròn đường kính CI cắt IK tại P
a Chứng minh tứ giác CPKB nội tiếp
b Chứng minh Ai.BK = AC.CB
c Chứng minh tam giác APB là tam giác vuông
d Giả sử A, B , I cố định Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho diện tích hình thang ABKI lớn nhất