Bài giảng xác suất thống kê chương 3 ths trần thị minh tâm

ƯỚC LƯỢNG PHƯƠNG SAI TỔNG THỂ CHƯƠNG 3: ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ... Tập hợp M gồm tất cả những phần tử mang đặc tính X của một vấn đề quan tâm nghiên cứu gọi là tổng thể.. Ta gọi N là

NỘI DUNG:

I LÝ THUYẾT MẪU

II PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG

III ƯỚC LƯỢNG TRUNG BÌNH TỔNG THỂ

IV ƯỚC LƯỢNG TỶ LỆ CỦA TỔNG THỂ

V ƯỚC LƯỢNG PHƯƠNG SAI TỔNG THỂ

CHƯƠNG 3: ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ

THỐNG KÊ

I LÝ THUYẾT MẪU

1 Tổng thể và mẫu

 Tổng thể: ký hiệu X là đặc tính cần nghiên cứu Tập hợp M gồm tất cả những phần tử mang đặc tính X của một vấn đề quan tâm nghiên cứu gọi là tổng thể Ta gọi N là số phần tử của tổng thể.

 Ví dụ

- Số cử tri trong một cuộc bầu cử.

- Thu nhập của các hộ gia đình ở một địa phương

- Điểm trung bình các tất cả sinh viên trong một trường đại học.

- Trọng lượng một loại cá dưới hồ.

-

 Thông thường, N rất lớn nên ta không thể lấy hết những phần tử của M để thực hiện thí nghiệm vì những lý do sau:

 N quá lớn.

 Thời gian và kinh phí không cho phép.

 Có thể làm hư hại hết các phần tử của

M.

I LÝ THUYẾT MẪU

1 Tổng thể và mẫu

 Vì vậy người ta thường lấy một số phần tử của M để nghiên cứu, các phần tử này gọi

là mẫu lấy từ M Số phần tử của mẫu gọi

 Ký hiệu Xi là giá trị quan sát X trên phần

tử thứ i của mẫu Khi đó ta có một bộ n

biến ngẫu nhiên (X1, , Xn) gọi là mẫu lý

thuyết lấy từ M.

 Các X i có cùng phân phối như X.

 Các X i độc lập với nhau

 Khi đã lấy mẫu cụ thể xong ta có các số

liệu (x1, , xn) gọi là mẫu thực nghiệm lấy

từ X.

I LÝ THUYẾT MẪU

2 Mẫu ngẫu nhiên và mẫu cụ thể

 Bảng thống kê đơn giản

cao(cm) 160 155 147 155 168 181 150 163 168 155

I LÝ THUYẾT MẪU

Trình bày số liệu mẫu thực

nghiệm

 Phương sai mẫu:

1

1

i

n i

 Phương sai mẫu hiệu chỉnh

 Phương sai mẫu:

2 1

i

k

i i

 Phương sai mẫu hiệu chỉnh

 Ví dụ 1 Khảo sát chiều cao của 15 sv trong một lớp học:

II PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG

1 Ước lượng điểm

 Bài toán ước lượng điểm: Cho biến ngẫu nhiên

X có hàm mật độ xác suất là f(x,);  là tham số chưa biết của hàm mật độ, ta cần đi tìm  Xét

mẫu ngẫu nhiên cỡ n: (X 1 , X 2 , , X n ) được lấy từ

X Một thống kê gọi là một ước

lượng điểm của  Bài toán đi tìm gọi là bài toán ước lượng điểm Và giá trị là một ước lượng điểm cụ thể cho 

 Ví dụ:

- Xét X là bnn có phân phối chuẩn X ~ N(μ, 2)

- Thì hai tham số cần tìm ở đây là

- Hai ước lượng cho a và 2 là:

II PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG

1 Ước lượng điểm

 Giả sử  là tham số chưa biết của biến ngẫu nhiên

X Dựa vào mẫu (X 1 , X 2 , ., X n ) cần tìm hai đại

lượng 1 (X 1 , , X n ) và 2 (X 1 , , X n ) sao cho

 Với  đủ lớn cho trước, thường =95% hoặc 99% Xác suất  gọi là Độ tin cậy (ĐTC) của ước

lượng Khoảng [1 , 2 ] gọi là khoảng tin cậy của

ước lượng

P        (*)

II PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG

2 Ước lượng khoảng tin cậy (KTC)

 Ý nghĩa của (*):

Có 100% số lần lấy cỡ mẫu n thì  [1 , 2 ].

Có (1-)100% số lần lấy cỡ mẫu n thì  [1 , 2 ].

II PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG

2 Ước lượng khoảng tin cậy (KTC)

 Xét biến ngẫu nhiên X ~ N(μ, 2) Với  cho

trước, cần tìm khoảng ước lượng cho trung bình  với ĐTC (1 – )

III ƯỚC LƯỢNG TRUNG BÌNH

TH biết trước phương sai

III ƯỚC LƯỢNG TRUNG BÌNH

TH biết trước phương sai

 Khoảng ước lượng của trung bình với ĐTC (1 – ) :

với

: phân vị của phân phối chuẩn, tra bảng phụ lục 3

ε gọi là sai số, độ chính xác, bán kính ước lượng.

1 2

 Xét biến ngẫu nhiên X ~ N(μ, 2) Cần tìm khoảng ước lượng cho trung bình  với ĐTC (1 – )

III ƯỚC LƯỢNG TRUNG BÌNH

TH chưa biết phương sai, n ≥ 30

1 2

III ƯỚC LƯỢNG TRUNG BÌNH

TH chưa biết phương sai, n < 30

 Xét biến ngẫu nhiên X ~ N(μ, 2) Cần tìm khoảng ước lượng cho trung bình  với ĐTC (1 – )

 Lấy mẫu (X 1 , X 2 , , X n ).

 Khi đó Z ~ (phân phối student, tra bảng phụ lục 4)

III ƯỚC LƯỢNG KỲ VỌNG

Biết lương của công nhân trong nhà máy là bnn X ~ N((,

2) (triệu đồng/năm) Khảo sát 96 công nhân

a Biết  = 8, lập khoảng ước lượng cho  với ĐTC 96%

b  không biết, tìm khoảng ước lượng cho  với ĐTC 99%

c Để có sai số ε 0,8 triệu đồng thì cỡ mẫu ta chọn bé nhất

là bao nhiêu

Lương 18-24 24-30 30-36 36-42 42-48 48-54

Số công nhân 8 20 26 24 12 6

 Giả sử p là tỷ lệ phần tử của tổng thể (có đặc điểm đang

xem xét tỷ lệ) Cần tìm khoảng ước lượng cho p với

ĐTC (1 - ).

 Lấy mẫu (X1, X2, , Xn).

 Z có phân phối chuẩn hóa, Z ~ N(0,1).

p p

IV ƯỚC LƯỢNG TỶ LỆ

1 2

IV ƯỚC LƯỢNG TỶ LỆ

 Ví dụ. Biết lương của công nhân trong nhà máy

là bnn X ~ N((, 2) (triệu đồng/năm) Khảo sát

V ƯỚC LƯỢNG PHƯƠNG SAI

TH đã biết trung bình

 Xét biến ngẫu nhiên X ~ N(μ, 2) Giả sử đã biết μ, cần tìm

khoảng ước lượng cho phương sai 2 với ĐTC (1 – )

 Lấy mẫu (X 1 , X 2 , , X n ).

 Đặt

 Khi đó có phân phối chi bình phương, tra bảng phụ lục 5

 Khoảng ước lượng của 2 với ĐTC (1 – ) :

V ƯỚC LƯỢNG PHƯƠNG SAI

TH chưa biết trung bình

 Xét biến ngẫu nhiên X ~ N(μ, 2) Cần tìm khoảng ước lượng cho phương sai 2 với ĐTC (1 – )

 Lấy mẫu (X 1 , X 2 , , X n ).

 Đặt

 Khi đó có phân phối chi bình phương, tra bảng phụ lục 5

 Khoảng ước lượng của 2 với ĐTC (1 – ) :

V ƯỚC LƯỢNG PHƯƠNG SAI

N((, 2) (gram) Khảo sát 25 sản phẩm, có số liệu:

a. Cho biết trọng lượng trung bình μ = 200g Hãy ước

lượng phương sai trọng lượng của sản phẩm với độ tin cậy 90%.

b. Trung bình μ chưa biết, hãy ước lượng phương sai

trọng lượng của sản phẩm với độ tin cậy 95%

Trọng lượng 195 200 205

Số sản phẩm 5 18 2