Bài 1: Cho ABC, bi t A = (1, 2, 5) và ph ng trình hai trung tuy n là:
3 6 1
a Vi t ph ng trình chính t c các c nh c a tam giác
b.Vi t ph ng trình chính t c c a đ ng phân giác trong c a góc A.
Gi i
a D th y A không thu c hai trung tuy n trên, ta gi s :
• Chuy n ph ng trình (BN) và (CP) v d ng tham s , ta đ c:
2 3
1
z t
và
4
2
x u
z u
Khi đó t a đ B = (-2t + 3,2t + 6,t + 1);C = (u + 4,-4u + 2,u + 2) và tr ng tâm G(BN)(CP) có
t a đ G = (3, 6, 1) suy ra: GA ( 2, 4, 4),GB ( 2 , 2 , );t t t GC(u 1, 4u 4,u1)
• Xét ABC ta có:
V y ph ng trình chính t c các c nh c a ABC đ c xác đ nh nh sau:
(6, 0, 6) / /(1, 0, 1)
vtcp AB
T ng t :
b Vi t ph ng trình chính t c c a đ ng phân giác trong c a góc A
G i I là chân đ ng phân giác trong góc A lên c nh BC, ta có:
PH NG TRÌNH NG TH NG
ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: NGUY N BÁ TU N
Các bài t p trong tài li u này đ c biên so n kèm theo bài gi ng Ph ng trình đ ng th ng thu c khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n – Phan Huy Kh i – Tr n Ph ng) t i website Hocmai.vn
s d ng hi u qu , B n c n h c tr c Bài gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này
Trang 235 10
:
1 1
x
k
IC
z
k
ch n a 5, 2 2, 2 5
Ph ng trình đ ng phân giác (AI) đ c xác đ nh b i:
vtcp AI
Bài 2: Trong không gian v i h t a đ Oxyz cho đ ng th ng d: 1 3 3
2x y 2z 9 0 Tìm t a đ giao đi m A c a đ ng th ng d và m t ph ng (P) Vi t ph ng trình tham
s c a đ ng th ng n m trong m t ph ng (P), bi t đi qua A và vuông góc v i d
Gi i:
- Ph ng trình tham s c a
1
3
Vì A d A(1 t; 3 2 ;3t t)
Ta có A( )P 2(1 t) ( 3 2 ) 2(3t t) 9 0 t 1
V y A(0; -4; 1)
M t ph ng (P) có vect pháp tuy n n(2;1; 2)
ng th ng d có vect ch ph ng u ( 1; 2;1)
Vì ( ) àP v d nên có vect ch ph ng un u; (5;0;5) / /(1;0;1)
Ph ng trình tham s c a : 1
4
x t y
Bài 3: Trong không gian v i h t a đ Oxyz cho hai đ ng th ng
1 2
1 2
3
z
Trang 3a Ch ng minh r ng d1 và d2 chéo nhau
b Vi t ph ng trình đ ng th ng d vuông góc v i m t ph ng (P): 7x y 4z0 và c t hai đ ng th ng
d1, d2
Gi i:
a Ch ng minh d1; d2 chéo nhau:
+) d1 qua M(0; 1; -2) có vect ch ph ng u1(2; 1;1) ,
d2 qua N(-1; 1; 3), có vect ch ph ng u2 (2;1;0)
+) u u1, 2 ( 1; 2; 4) v MNà ( 1;0;5)
+) u u1, 2.MN ( 1; 2; 4).( 1;0;5) 21 0 d v d1 à 2chéo nhau
b Vi t ph ng trình đ ng th ng d
Gi i s d c t d1 và d2 l n l t t i A, B Vì A d B d 1, 2, nên AB(2t2s1;t s; s 5)
(P) có vect pháp tuy n n(7;1; 4)
( )
AB P ABcùng ph ng v i n
(2;0; 1); ( 5; 1;3)
Ph ng trình đ ng th ng d là: 2 1
x y z
Bài 4: Cho đ ng th ng (d) và m t ph ng (P) có ph ng trình:
( ) : 2 1 1 ( ) : 2 8 0
a Tìm giao đi m A c a (d) và (P)
b Vi t ph ng trình đ ng th ng () là hình chi u vuông góc c a (d) lên mp(P)
Gi i:
a Tìm t a đ giao đi m A c a (d) và (P)
Chuy n ph ng trình (d) v d ng tham s , ta đ c:
2 2
5 1
x t
z t
Thay x y z; ; theo t vào ph ng trình c a mp(P), ta đ c:
Trang 42(2 2) (3 1) (5 1) 8 0 1
3
t t t t
Thay 1
3
t vào ph ng trình tham s c a (d), ta đ c 8; 0;8
b G i a n, theo th t là m t vect ch ph ng c a (d) và vect pháp tuy n c a mp(P), ta có:
V y (d) không vuông góc v i mp(P)
L y A(2,-1,1) d
- G i (d’) là đ ng th ng đi qua A và vuông góc v i mp(P):
Suy ra d’ có vect ch ph ng là vect pháp tuy n c a m t ph ng (P)
(d’) có ph ng trình:
2 2 1 1
G i t a đ B là giao đi m c a (d’) và mp(P)
Ta có: 2(2 2 ) ( 1 ) 1 8 0 2
3
V y 10; 1 5;
Ph ng trình hình chi u vuông góc () c a d lên m t ph ng (P) là đ ng th ng đi qua 2 đi m A, B
V y ph ng trình () là:
8 6 3
Bài 5: Trong không gian h t a đ Oxyz, cho đ ng th ng:
: 2 2
và m t ph ng (P): x2y3z 4 0
Vi t ph ng trình đ ng th ng d n m trong mp(P) sao cho d c t và vuông góc v i đ ng th ng
Gi i:
T a đ giao đi m I c a v i mp(P) th a mãn h :
Trang 5
( 3;1;1)
I
Vect pháp tuy n c a (P), n(1; 2; 3) ; vect ch ph ng c a :u(1;1; 1)
ng th ng d c n tìm qua I và có vect ch ph ng vn u, (1; 2; 1)
Ph ng trình d:
3
1 2 1
Bài 6 Trong không gian Oxyz cho đi m A1;1; 2 , đ ng th ng 1 1 2
:
và m t ph ng
( ) :P x y z 1 0 Vi t ph ng trình đ ng th ng qua A c t d và song song v i ( )P
Gi i
Gi s c t (d) t i M( 1 2 ;1 t t; 2 3 ) t
( 2 2 ; ; 4 3 )
AM t t t
Do AM/ /( )P nên AM v i n là vecto pháp tuy n c a (P) n
( 2 2 )t t (4 3 )t 0 t 3
( 7; 2; 7) M
Ph ng trình là : 1 1 2
Bài 7 Trong không gian cho hai đ ng th ng:
;M d1 ,N(d2) sao cho MN/ /Ox
Vi t ph ng trình đ ng th ng n i M N,
Gi i
Ph ng trình ( ), (d1 d2) d i d ng tham s l n l t là : 1: 2
4 2
2
8 2
10
Gi s M t( , 2 t, 4 2 );t N( 8 2 , 6 s s,10s)
MN s t s t s t
M
Trang 6=>ph ng trình MN là:
18 16 32
y z
Bài 8 Trong không gian cho đi m I1; 2;3, m t ph ng ( ) :P x y z 0 và đ ng th ng
( ) : 1 1 2
Vi t ph ng trình đ ng th ng đi qua I, song song v i ( )P và vuông góc v i ( )d
Gi i
(P) có veto pháp tuy n : n(1, 1, 1)
(d) có vecto ch ph ng là: u1 (2,1,3)
G i u là vecto ch 2 ph ng c a
Theo gi thi t ta có: 2
Ch n u2 [ , ]n u1 ( 2; 5;3)
V y ph ng trình là : 1 2 3
x y z
Bài 9 Trong không gian cho đ ng th ng
1
1 2
, tRvà m t ph ng P :x2y2z 4 0
Vi t ph ng trình đ ng th ng ( ')d đ i x ng v i ( )d qua m t ph ng P
Gi i
Cách làm: l y 2 đi m A, B thu c (d) tìm 2 đi m A’, B’ là đ i x ng c a A, B qua m t ph ng (P)
=>Ph ng trình đ ng th ng ( ')d đ i x ng v i ( )d qua m t ph ng P là:
( ') :
Bài 10: Cho hai đ ng th ng có ph ng trình: 1
2
3
1
Vi t ph ng trình đ ng th ng c t d1 và d2đ ng th i đi qua đi m M(3;10;1)
Gi i
G i đ ng th ng c n tìm là d và đ ng th ng d c t hai đ ng th ng d1 và d2 l n l t t i đi m
A(2+3a;-1+a;-3+2a) và B(3+b;7-2b;1-b)
Trang 7Do đ ng th ng d đi qua M(3;10;1)=> MA kMB
MA3a1;a11; 4 2 a,MBb; 2 b 3; b
=> MA2; 10; 2
Ph ng trình đ ng th ng AB là:
3 2
10 10
1 2
Bài 11: Trong không gian cho đi m A(-4;-2;4) và đ ng th ng (d) có ph ng trình:
x = -3 + 2t; y = 1 - t; z = -1 + 4t; t R Vi t ph ng trình đ ng th ng () đi qua A; c t và vuông góc v i (d)
Gi i
, Vt ch ph ng ud (2; 1; 4)
ABu t
=> B(-1;0;3)=> Ptđth ng
1 3
3
Bài 12: Trong không gian h t a đ Oxyz, cho ba m t ph ng (P): 2x – y + z + 1 = 0, (Q): x – y + 2z + 3 =
0, (R): x + 2y – 3z + 1 = 0 và đ ng th ng : 1 2
2
x
=
1 1
y =
3
z
G i 2 là giao tuy n c a (P) và (Q)
Vi t ph ng trình đ ng th ng (d) vuông góc v i (R) và c t c hai đ ng th ng , 1 2
Gi i
* có ph ng trình tham s 1
2 2 1 3
z t
2:
2
5 3
z s
*Gi s d 1 A d; 2 B
(2 2 ; 1 ;3 ) B(2+s;5+3s;s)
*AB (s 2 ;3t s t 6;s3 )t , mf(R) có vtpt n(1; 2; 3)
*d( )R AB&n cùng ph ng
2 3 6 3
23 24 t
Trang 8+ d đi qua (1 ; 1 23; )
12 12 8
A và có vtcp n(1; 2; 3)
=> d có ph ng trình
23
8
z
Bài 13: Vi t ph ng trình đ ng vuông góc chung c a hai đ ng th ng sau:
1 2
1 2
: ; : 1
3
z
Gi i
G i M d1 M2 ;1t t; 2 t,N d2 N 1 2 ';1t t';3
1
1
' 1
:
MN u
MN u
PT MN
Bài 14 Trong không gian v i h to đ Oxyz, vi t ph ng trình hình chi u vuông góc c a đ ng th ng
d
:
trên m t ph ng P x: 2y z 5 0
Gi i
PTTS c a d:
4
2 2
M t ph ng (P) có VTPT n (1; 2;1)
G i A d ( )P A 11
4; ;2 2
G i H x y z( ; ; ) là hình chi u vuông góc c a B trên (P) Ta tìm đ c H 4 7 4
; ;
G i là hình chi u vuông góc c a d trên (P) đi qua A và H
có VTCP u3HA(16;13;10) Ph ng trình c a :
4 16
11 13 2
2 10
Trang 9
Bài 15 Trong không gian v i h to đ Oxyz, cho đ ng th ng d:x 1 y 2 z 2
và m t ph ng (P):
x + 3y + 2z + 2 = 0 L p ph ng trình đ ng th ng song song v i m t ph ng (P), đi qua M(2; 2; 4) và
c t đ ng th ng (d)
Gi i
ng th ng (d) có PTTS:
1 3
2 2
2 2
M t ph ng (P) có VTPT n(1; 3; 2)
Gi s N(1 + 3t ; 2 2t ; 2 + 2t) d MN(3 3; 2 ;2 2)t t t
MN // (P) thì MN n 0 t 7 N(20; 12; 16)
Ph ng trình đ ng th ng : x 2 y 2 z 4
Bài 16:Cho hai đ ng th ng chéo nhau (d1) và (d2) có d ng:
1 2
a Tính kho ng cách gi a d1 và d2
b Vi t ph ng trình đ ng vuông góc chung c a d1 và d2
Gi i
G i a a theo th t là vect ch ph ng c a d1; 2 1 và d2, ta có: a1(0; 2;1);a2( 3; 2;0)
G i AB là đo n vuông góc chung c a d1 và d2 (A d B d 1; 2) Khi đó, t a đ c a A, B theo th t
th a mãn ph ng trình tham s c a d1 và d2, t c là:
A t t B u u AB u u t t
T đi u ki n:
1
Ta xác đ nh đ c t a đ đi m A(1; -2; 4), B(3; 1; -2) Khi đó:
a Kho ng cách gi a d1 và d2chính là đ dài đo n AB, đ c cho b i:
b Ph ng trình đ ng vuông góc chung c a d1 và d2chính là ph ng trình AB, cho b i:
Trang 101 2 (1; 2; 4)
(2;3; 6)
4 6
qua A
vtcp AB
Bài 17: Trong không gian h t a đ Oxyz, cho đi m A(1; 2; 3) và hai đ ng th ng:
1
2
:
:
d
d
a Tìm t a đ đi m A’ đ i x ng v i đi m A qua đ ng th ng d1
b Vi t ph ng trình đ ng th ng đi qua A, vuông góc v i d1 và c t d2
Gi i:
a Tìm t a đ đi m A’ đ i x ng v i đi m A qua đ ng th ng d1
M t ph ng (P) đi qua A(1; 2; 3) và vuông góc v i đ ng th ng d1có ph ng trình là:
2(x 1) (y 2) (z 3) 0 2x y z 3 0
T a đ giao đi m H c a d1 và (P) là nghi m c a h :
0
1 (0; 1; 2)
x
Vì A’ đ i x ng v i A qua d1nên H là trung đi m c a AA’ A' ( 1; 4;1)
b Vi t ph ng trình đ ng th ng
Vì đi qua A, vuông góc v i d1 và c t d2 nên đi qua giao đi m B c a d2 và (P)
T a đ giao đi m B c a d2 và (P) là nghi m c a h :
2
1 (2; 1; 2)
x
Vect ch ph ng c a là: uAB(1; 3; 5)
Ph ng trình c a là:
1
2 3
3 5
Bài 18: Cho hai đ ng th ng và d có ph ng trình:
: 3 1 1, : 7 3 9
d
L p ph ng trình đ ng th ng d1đ i x ng v i d qua
Trang 11Gi i:
Chuy n ph ng trình đ ng th ng d v d ng tham s :
7
9
x t
z t
L y hai đi m A(7; 3; 9), B(6; 1; 10) d G i HA,HB theo th t là hình chi u vuông góc c a A, B lên
• Xác đ nh HA và A1là đi m đ i x ng v i A qua
Chuy n ph ng trình v d ng tham s :
7 3
3 1
y t
z t
Làm t ng t bài trên tìm đ c t a đ chân đ ng vuông góc HA(3; 1; 1)
T đó suy ra t a đ A1đ i x ng v i A qua
A1(-1; -1; -7)
• Xác đ nh HB và B1là đi m đ i x ng v i B qua
T ng t d dàng tìm ra 72 37 40; ;
31 31 31
B
1 42 43; ; 230
• Ph ng trình đ ng th ng d1đ c cho b i:
1
( 11; 74; 13)
vtcp AB
Ngu n : Hocmai.vn