Nghiên cứu phương trình tích phân phi tuyến volterra và một số phương pháp giải gần đúng phương trình tích phân phi tuyến volterra, lập trình maple trong tính toán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2TRẦN THỊ LỆ HOA MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN VOLTERRA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2016... BỘ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRẦN THỊ LỆ HOA

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN VOLTERRA

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRẦN THỊ LỆ HOA

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN VOLTERRA

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS KHUẤT VĂN NINH

HÀ NỘI, 2016

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Khuất Văn Ninh, người

đã định hướng chọn đề tài, tận tâm hướng dẫn và động viên tôi trong suốtquá trình thực hiện luận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy (cô) phòng Sauđại học, các thầy cô dạy lớp Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích K18-đợt

2 và trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện tốt nhất cho tôitrong suốt khóa học

Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn tạođiều kiện thuận lợi cho tôi trong thời gian hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 6 năm 2016

Tác giả

Trần Thị Lệ Hoa

LỜI CAM ĐOAN

Luận văn “Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tíchphân phi tuyến Volterra” là kết quả nghiên cứu của bản thân dưới sựhướng dẫn của PGS.TS Khuất Văn Ninh Ngoài ra, tác giả còn tham khảothêm một số tài liệu như đã trình bày trong phần tài liệu tham khảo

Vì vậy tôi xin khẳng định luận văn này không có sự trùng lặp với đềtài của các tác giả khác

Hà Nội, tháng 6 năm 2016

Tác giả

Trần Thị Lệ Hoa

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Không gian metric 3

1.2 Không gian định chuẩn 4

1.2.1 Định nghĩa không gian định chuẩn 4

1.2.2 Ví dụ 5

1.3 Chuỗi lũy thừa 5

1.3.1 Định nghĩa 5

1.3.2 Điều kiện để một hàm khai triển thành chuỗi lũy thừa 5

1.4 Phép biến đổi Laplace 8

1.4.1 Định nghĩa 8

1.4.2 Tính chất 9

1.4.3 Bảng biến đổi Laplace của một số hàm thường gặp 9

1.4.4 Phép biến đổi Laplace của đạo hàm 11

1.4.5 Biến đổi Laplace ngược 11

1.4.6 Tích chập về biến đổi Laplace 11

1.5 Phương trình tích phân 12

1.5.1 Các định nghĩa 12

1.5.2 Các phương trình tích phân phi tuyến Volterra 13

1.5.3 Sự tồn tại nghiệm của các phương trình tích phân phi tuyến Volterra 15

1.6 Lập trình trong Maple 16

1.6.1 Tính tích phân của hàm f (x) trên đoạn [a, b] 16

1.6.2 Vòng lặp f or 17

1.6.3 Lệnh điều kiện if 17

1.6.4 Một số lệnh khác 18

Chương 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN VOLTERRA 19

2.1 Phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại II 19

2.1.1 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp 19

2.1.2 Phương pháp chuỗi lũy thừa 23

2.1.3 Phương pháp khai triển Adomian 27

2.2 Phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại I 32

2.2.1 Phương pháp biến đổi Laplace 32

2.2.2 Phương pháp biến đổi về phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại II 35

Chương 3 PHƯƠNG PHÁP SỐ VÀ ỨNG DỤNG MAPLE TRONG TÍNH TOÁN 39

3.1 Phương pháp cầu phương 39

3.1.1 Phương pháp cầu phương 39

3.1.2 Phương pháp cầu phương giải phương trình tích phân phi tuyến Volterra 40

3.2 Ví dụ 47

KẾT LUẬN 52

TÀI LIỆU THAM KHẢO 53

ii

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong Toán học hiện đại, Giải tích số là một môn học quan trọng Cùngvới sự phát triển của máy tính điện tử, giải tích số ngày càng thâm nhậpsâu vào hầu hết các lĩnh vực của khoa học công nghệ, kỹ thuật và kinh tế.Giải số là lĩnh vực toán học rất rộng Nó nghiên cứu các bài toán xấp

xỉ, các bài toán giải xấp xỉ phương trình và bài toán tối ưu Lý thuyếtphương trình tích phân Volterra là một lĩnh vực quan trọng Nó có nhiềuứng dụng trong khoa học và công nghệ

Nhà toán học Volterra bắt đầu tìm hiểu các phương trình tích phân từnăm 1884 Tới năm 1908, các phương trình này chính thức được mang tênông

Việc giải chính xác phương trình này thường gặp nhiều khó khăn hoặckhông thể giải được Do đó, các nhà khoa học đã nghiên cứu một sốphương pháp giải gần đúng các phương trình này như phương pháp xấp

xỉ liên tiếp, phương pháp chuỗi lũy thừa, phương pháp khai triển mian, Dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Khuất Văn Ninh tôi chọn đề tài:

Ado-" Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân phituyến Volterra" để làm luận văn tốt nghiệp bậc sau đại học

2 Mục đích nghiên cứu

Luận văn nghiên cứu về phương trình tích phân phi tuyến Volterra, một

số phương pháp giải gần đúng phương trình tích phân phi tuyến Volterra,

lập trình Maple trong tính toán.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu phương trình tích phân phi tuyến Volterra và một số phươngpháp giải gần đúng phương trình tích phân phi tuyến Volterra,lập trìnhMaple trong tính toán

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Phương trình tích phân phi tuyến Volterra loạimột, loại hai

Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình,một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình và ứng dụng vào giải gầnđúng một số phương trình tích phân phi tuyến Volterra cụ thể, lập trìnhMaple trong tính toán

5 Phương pháp nghiên cứu

Sưu tầm, nghiên cứu các tài liệu liên quan

Vận dụng một số phương pháp của giải tích hàm, giải tích số, lí thuyếtphương trình tích phân

Phân tích, tổng hợp và hệ thống các kiến thức liên quan tới phươngtrình tích phân phi tuyến Volterra

2

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Không gian metric

Định nghĩa 1.1 Một tập X được gọi là không gian metric nếu

1 Với mỗi cặp phần tử x, y của X đều xác định, theo một quy tắc nào

đó, một số thực ρ(x, y), gọi là "khoảng cách giữa x và y"

2 Quy tắc nói trên thỏa mãn các điều kiện sau đây

a) ρ(x, y) > 0 nếu x 6= y; ρ(x, y) = 0 nếu x = y

b) ρ(x, y) = ρ(y, x) với ∀x, y (tính đối xứng)

c) ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y) với ∀x, y, z (bất đẳng thức tam giác)Hàm số ρ(x, y) gọi là metric của không gian

Ví dụ 1.1 Tập M bất kỳ của đường thẳng R, độ dài đoạn nối x và

y : ρ(x, y) = |x − y| là một metric (M, ρ) là một không gian metric.Định nghĩa 1.2 Cho không gian metric X bất kỳ Một ánh xạ P từ Xvào chính nó gọi là ánh xạ co, nếu có một số 0 ≤ θ < 1 sao cho, nếu P x

là phần tử ứng với x trong ánh xạ P, ta có

∀x1, x2 ∈ X, ρ(P x1, P x2) ≤ θρ(x1, x2)

Điểm bất động trong ánh xạ là những điểm mà ảnh của nó trùng với chínhnó

Định lý 1.1.1 (Nguyên lý Banach về ánh xạ co) Mọi ánh xạ co P từ mộtkhông gian metric đủ X vào chính nó đều có một điểm bất động duy nhất.

1.2 Không gian định chuẩn

1.2.1 Định nghĩa không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.3 Không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tínhđịnh chuẩn) là một không gian tuyến tính X trên trường P(P là trường sốthực R hay trường số phức C) cùng với một án h xạ từ X vào tập hợp sốthực, kí hiệu k.k (đọc là chuẩn), thỏa mãn các tiên đề sau

1) (∀x ∈ X) kxk ≥ 0, kxk = 0 ⇔ x = θ

2) (∀x ∈ X) (∀α ∈ P) kαxk = |α|kxk

3) (∀x, y ∈ X) kx + yk ≤kxk+kyk

Số kxk được gọi là chuẩn của véctơ x

Các tiên đề 1), 2), 3) được gọi là các tiên đề chuẩn

Định lý 1.2.1 Cho không gian định chuẩn X Đối với hai véctơ bất kỳ

x, y ∈ X ta đặt

d(x, y) =kx − yk,khi đó d là một metric trên X Vì vậy, mọi không gian định chuẩn đều làkhông gian metric

Định lý 1.2.2 Dãy điểm (xn) của không gian định chuẩn X gọi là hội

tụ tới điểm x ∈ X, nếu: lim

n→∞kxn − xk = 0 và kí hiệu lim

n→∞xn = x hay

xn → x(n → ∞)

Định lý 1.2.3 Dãy điểm (xn) của không gian định chuẩn X gọi là dãy

cơ bản nếu lim

n,m→∞kxn− xmk = 0.Không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach nếu mọi dãy cơbản trong X đều hội tụ

4

, x ∈ (L2[a,b], k.k)

và L2[a,b] là không gian Banach

Ví dụ 1.3 Cho không gian vecto l2 Đối với x = (xn) bất kỳ, x ∈ l2 tađặt

kxk =

vuut

Điểm x0 được gọi là tâm của chuỗi lũy thừa Để ý rằng chuỗi lũy thừaluôn luôn hội tụ tại x = x0

Nếu đặt y = x − x0 thì ta có thể đưa chuỗi lũy thừa về dạng

∞

P

n=0

anyn,chuỗi có tâm tại y = 0

1.3.2 Điều kiện để một hàm khai triển thành chuỗi lũy thừaĐịnh lý 1.3.1 Giả sử chuỗi lũy thừa

b) an = f

(n)(x0)n! (x − x0)

Tiếp tục quá trình này ta đẫn đến kết luận của định lý

Định nghĩa 1.4 Giả sử f là một hàm khả vi vô hạn trong một lân cậnnào đó của điểm x0 thì chuỗi

∞

P

n=0

fn(x0)n! (x − x0)

n = f (x0) + f

0(x0)1! (x −

x0) + + f

0(n)(x0)n! (x − x0)

n + được gọi là chuỗi Taylor của hàm số

6

n = f (0) + f

0(0)1! x +

f ”(0)2! x

2 + +

f(n)(0)

n! x

n + được gọi là chuỗi Mac-Laurin của hàm f (x)

Định nghĩa 1.5 Hàm số f khai triển được thành chuỗi Taylor tại điểm

x = x0 nếu trong khoảng hội tụ của nó chuỗi

∞

P

n=0

fn(x0)n! (x − x0)

n có tổngđúng bằng hệ số f (x), tức là

f (x) = f (x0) + f

0(x0)1! (x − x0) + +

f(n)(x0)n! (x − x0)

n

Định lý 1.3.3 Giả sử f là hàm có đạo hàm mọi cấp trong một lân cậnnào đó của x0 Kí hiệu Rn(x) là phần dư dạng Lagrange của công thứcTaylor

Chứng minh Thật vậy, theo công thức Taylor ta có

k

+ Rn(x), ∀n

Theo giả thiết lim

n→+∞Rn(x) = 0 trong lân cận của điểm x0 và chú ý rằng

k là tổng riêng thứ ncủa chuỗi Taylor của hàm

Định lý 1.3.4 Nếu trong một δ lân cận (x0− δ, x0+ δ) của điểm x0, hàm

f (x) có đạo hàm mọi cấp f(n)(n = 1, 2, 3 ) và tồn tại một số M > 0 để

|f(n)(x)| ≤ M (n = 1, 2 )(∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ)thì hàm f có thể khai triển được thành chuỗi Taylor tại điểm x0

Chứng minh Theo giả thiết ta có

|Rn(x)| =

1.4 Phép biến đổi Laplace

Định nghĩa 1.7 Hàm số f (x) được gọi là có bậc mũ α nếu tồn tại hằng

số M > 0 và một số α sao cho |f (x)| ≤ M.eαx ( với x ≥ x0)

Chú ý

Điều kiện để biến đổi Laplace F (s) của hàm số f (x) tồn tại là

8

i) f (x) liên tục từng khúc trên [0, A), ∀A > 0.

ii) f (x) có bậc mũ α

1.4.2 Tính chất

1

L{af (x)} = aL{f (x)}, a là hằng số2

L{af (x) + bg(x)} = aL{f (x)} + bL{g(x)}, a,b là hằng số3

L{xf (x)} = − d

dsL{f (x)} = −F0(s)1.4.3 Bảng biến đổi Laplace của một số hàm thường gặp

δ0(x − a) 10se−as, a ≥ 0

1.4.4 Phép biến đổi Laplace của đạo hàm

1.4.5 Biến đổi Laplace ngược

Nếu biến đổi Laplace của hàmf (x)làF (s)thì ta nói rằng biến đổi Laplacengược của F (s) là f (x) Nói cách khác ta có

L−1{F (s)} = f (x)trong đó L−1 là toán tử của biến đổi Laplace ngược

Chú ý: Biến đổi Laplace ngược có tính chất

L−1{aF (s) + bG(s)} = aL−1{F (s)} + bL−1{G(s)}

= af (x) + bg(x)

1.4.6 Tích chập về biến đổi Laplace

Giả sử rằng tồn tại biến đổi Laplace của hai hàm số f1(x) và f2(x) Biếnđổi Laplace của mỗi hàm

L{f1(x)} = F1(s)L{f2(x)} = F2(s)Tích chập của hai hàm số được định nghĩa như sau

được gọi là phương trình toán tử loại II.

Ở đây tham số λ trên trường số thực hoặc phức

Khi A là toán tử tích phân thì phương trình (1.1) và (1.2) gọi là phươngtrình toán tử tích phân hay phương trình tích phân

Dựa vào cận của tích phân, người ta chia ra hai loại sau

1) Nếu các cận của tích phân là không thay đổi thì phương trình tíchphân được gọi là phương trình tích phân Fredholm

12

2) Nếu ít nhất một cận tích phân là biến thì phương trình tích phânđược gọi là phương trình tích phân Volterra.

Khi A không tuyến tính thì phương trình (1.1) và (1.2) được gọi là cácphương trình phi tuyến

Định nghĩa 1.9 Có hai loại phương trình tích phân phi tuyến

K[x, t, u(t)]dt được gọi là

phương trình tích phân phi tuyến loại II

1.5.2 Các phương trình tích phân phi tuyến Volterra

Tùy theo sự xuất hiện của hàm ẩn u(x) mà phương trình tích phân phituyến Volterra được chia thành các loại sau

a Phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại II

Trong các phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại II, hàm u(x)chưa biết xuất hiện bên trong và bên ngoài dấu tích phân

Phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại II có dạng sau

b Phương trình tích phi tuyến Volterra loại I

Trong các phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại I, hàm phi tuyến

F (u(x)) nằm trong dấu tích phân Phương trình tích phân phi tuyến

Volterra của loại I có dạng

Các phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại I

Nhân gồm các hàm lũy thừa f (x) =

Nhân gồm các hàm lũy thừa f (x) = u(x) − λ

i) Hàm f (x) liên tục trên [a, b].

ii) Hàm G(x, t, u(t)) là khả tích và bị chặn |G(x, t, u(t))| < k trong

hàm số đã cho liên tục trên (0, 1) (∗).

Mặt khác

lim

x→0 +f (x) = lim

x→0 +(2x + 1) = 1 = f (0)lim

1.6 Lập trình trong Maple

Các thuật toán giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến khi thực hiệntrên máy tính với các phần mềm hỗ trợ sẽ đạt hiệu quả cao hơn rất nhiều.Trong phần này chúng tôi xin giới thiệu phần mềm Maple, phần mềm hữuích trong tính toán

1.6.1 Tính tích phân của hàm f (x) trên đoạn [a, b]

Tính tích phân của hàm f (x) trên đoạn [a, b] bằng dòng lệnh có cú phápnhư sau [> int(f (x), x = a b);

Sau khi thực hiện lệnh ta sẽ có ngay đáp số

16

Vòng lặp for được dùng để lặp một chuỗi các bài toán được đặt giữa

do và od mỗi lần lặp tương ứng với một giá trị phân biệt của biến chỉ sốname đứng sau từ khóa for Ban đầu, giá trị start được gán cho biến chỉ

số Nếu giá trị của biến name nhỏ hơn hay bằng giá trị finish thì chuỗilệnh nằm giữa do và od được thực hiện, sau đó biến name được gán trịtiếp theo bằng cách cộng thêm vào nó giá trị change Sau đó, biến nameđược so sánh với finish để quyết định xem việc thực hiện chuỗi lệnh cóđược tiếp tục nữa không? Quá trình so sánh biến chỉ số name và thực hiệnchuỗi lệnh được lặp liên tiếp cho đến khi giá trị của biến name lớn hơn giátrị finish Giá trị cuối cùng của biến name sẽ là giá trị vượt quá finish đầutiên

Trường hợp muốn thoát khỏi từ giữa vòng lặp, ta có thể dùng các câulệnh break, quit, return

1.6.3 Lệnh điều kiện if

Cấu trúc cú pháp

if condition then

statement sequence

| elif condition then statement sequence |

| else statement sequence |

Chức năng

Nếu muốn một dãy biểu thức được thực hiện khi điều kiện nào đó đượcthỏa mãn và một dãy biểu thức khác được thực hiện nếu trái lại nó cóthể dùng câu lệnh if - then - else - fi Trong câu lệnh trên, nếu điều kiệncondition là đúng thì chuỗi biểu thức đứng sau then được thực hiện, nếutrái lại thì điều kiện condition sau từ khóa elif sẽ được kiểm tra, nếu nóđúng thì chuỗi lệnh tương ứng sau then được thưc hiện, cứ tiếp tục chođến khi các điều kiện condition đều không thỏa mãn, thì các biểu thức saulệnh else được thực hiện

Lưu ý rằng cấu trúc lệnh (tùy chọn) elif then được lặp lại với sốlần tùy ý Từ khóa elif là dạng viết tắt của else if

Các biểu thức điều kiện (condition) được sử dụng trong câu lệnh if phảiđược tạo thành từ các bất đẳng thức, các đẳng thức ( các phép toán quanhệ), các biến số, các phép toán logic, các hàm có giá trị trả lại là giá trịlogic Nếu trái lại thì sẽ gây ra lỗi

1.6.4 Một số lệnh khác

Lệnh evalf(p,m) là lệnh tính giá trị của đại lượng pchính xác tới m consố

Hàm Sum(f,k) hoặc Sum(f,k=n m): lấy tổng các số hạng

Hàm Solve: solve(eqns1(x), eqns2(y),x,y): giải phương trình hoặc hệphương trình

Hàm lprint(bt1, bt2, .) với bt1,bt2, là các biểu thức cần in ra Hàmlprint hiển thị kết quả của phép toán dưới dạng lệnh vào của Maple và kếtquả đó nằm ngay bên trái màn hình

Hàm subs(x=a, expr) là hàm thay thế x trong biểu thức expr bởi biểuthức a

18

Chương 2

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN VOLTERRA

Ở chương này chúng tôi giới thiệu một số phương pháp giải tích giải xấp

xỉ phương trình tích phân phi tuyến Volterra với giả sử rằng các phươngtrình này tồn tại nghiệm

2.1 Phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại II

Các phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại II thường được giảibằng ba phương pháp sau: phương pháp xấp xỉ liên tiếp, phương phápchuỗi lũy thừa, phương pháp khai triển Adomian (ADM)

2.1.1 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp

Xét phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại II

trong đó K(x, t) là hạt nhân, u(x) là hàm chưa biết.

với xấp xỉ ban đầu u0(x) là hàm thực Có thể chọn 0; 1 hoặc x

Lần lượt thế u0(x) vào (2.2) để tìm uk, k ≥ 1 như sau

ex = 1 + x + x

2

2! + +

xnn! + x ∈ (+∞, −∞)

x44! + +

1

3x(1 − 1 − 3x −

9x22! − 27x

2 + 1 − 1



x2 +

13! − 96



x3 +

14! − 273.3!



x4 +



15! − 813.4!

3

+ 14!x

3 + 14!x

4 + 15!x

5 + 16!x

6 +

Do đó u(x) = lim

n→∞un+1(x) = ex

Ví dụ 2.2 Sử dụng phương pháp xấp xỉ liên tiếp để giải phương trìnhtích phân phi tuyến Volterra sau

x 0

idt

Thử lại: thay u(x) = 1

1 − x vào phương trình đã cho

1 − t

x 0

1 − x

2.1.2 Phương pháp chuỗi lũy thừa

Giả sử chúng ta cần giải phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại II

Với T (f (x)) là chuỗi Taylor của f (x)

Đầu tiên, chúng ta tính tích phân bên phải của (2.7) và thu thập các

hệ số lũy thừa của x Sau đó tiếp tục đồng nhất các hệ số của các lũy thừacùng bậc củax trong cả hai vế của phương trình để tìm cácaj, j ≥ 0 Thếcác aj vào (2.7) là ta đã có ngay kết quả của bài toán