Đa tạp tích phân và dáng điệu tiệm cận nghiệm của một số lớp phương trình tiến hoá

Một trong những vấn đề trọng điểm trong nghiên cứu lý thuyết định tính của nghiệm các phương trình vi phân trên là tìm hiểu sự tồn tại của các đa tạp tích phân bao gồm đa tạp ổn định, đa

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Trịnh Viết Dược

ĐA TẠP TÍCH PHÂN VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM

CẬN NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP

PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HOÁ

Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân

Mã số: 62460103

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

1 PGS TS Nguyễn Thiệu Huy

2 PGS TS Đặng Đình Châu

Hà Nội - 2014

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các kết quả, số liệu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trên bất kỳ công trình nào khác

Tác giả luận án

Trịnh Viết Dược

Mục lục

1.1 Không gian hàm Banach chấp nhận được trên nửa đường thẳng 7

1.2 Không gian hàm Banach chấp nhận được trên đường thẳng 10

1.3 Nhị phân mũ của họ tiến hoá 13

1.3.1 Bài toán Cauchy đặt chỉnh và họ tiến hoá 13

1.3.2 Nhị phân mũ của họ tiến hoá 16

1.4 Phương trình vi phân nửa tuyến tính và đa tạp ổn định 19

2 ĐA TẠP TÍCH PHÂN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NỬA TUYẾN TÍNH 22 2.1 Đa tạp tâm ổn định 22

2.2 Đa tạp không ổn định 26

3 ĐA TẠP TÍCH PHÂN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM ĐẠO HÀM RIÊNG 40 3.1 Đa tạp ổn định của phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng 41

3.2 Đa tạp tâm ổn định của phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng 49

3.3 Đa tạp không ổn định của phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng 54

DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

N = {1, 2, } là tập các số tự nhiên, R là tập các số thực, R+ là tập các số thực không âm

Với mỗi số thực 1 ≤ p ≤ ∞ ký hiệu

Lp(I) =







{u : I → R : kukp = ( R

I|u(x)|pdx)1/p < +∞ nếu 1 ≤ p < ∞} {u : I → R : kuk∞ = ess supx∈I|u(x)| < +∞ nếu p = ∞}.

L1,loc(I) = {u : I → R | u ∈ L1(ω) với mọi tập con đo được ω ⊂⊂ I}, trong đó

ω ⊂⊂ I nghĩa là bao đóngω là tập compact trongI Ở đây, I = R+ hoặc R

Ký hiệu

M(R+) =



f ∈ L1, loc(R+) : sup

t≥0

Z t+1 t

|f (τ )|dτ < ∞



với chuẩn kf kM := supt≥0Rtt+1|f (τ )|dτ

X là không gian Banach

E là không gian hàm Banach chấp nhận được trên R+

ER là không gian hàm Banach chấp nhận được trên R

Cb(R+, X) không gian các hàm liên tục, bị chặn, nhận giá trị trong X, xác định trên

R+ với chuẩn kuk∞ = supt∈R+ku(t)k

Với r > 0, ký hiệu C = C([−r, 0], X) là không gian các hàm liên tục trên [−r, 0], nhận giá trị trongX với chuẩn kukC = supt∈[−r,0]ku(t)k

MỞ ĐẦU

Xét phương trình vi phân nửa tuyến tính

du

dt = A(t)u + f (t, u), t ∈ I,

trong đóI = R+ hoặc R,A(t)là toán tử tuyến tính có thể không giới nội trong không gian Banach X với mỗit ∈ I và f : I × X → X là toán tử phi tuyến

Một trong những vấn đề trọng điểm trong nghiên cứu lý thuyết định tính của nghiệm các phương trình vi phân trên là tìm hiểu sự tồn tại của các đa tạp tích phân bao gồm đa tạp ổn định, đa tạp không ổn định và đa tạp tâm (ổn định, không ổn định) Việc nghiên cứu sự tồn tại của các đa tạp tích phân luôn thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học vì một mặt nó mang lại bức tranh hình học về dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân với nhiễu phi tuyến xung quanh một điểm cân bằng hay xung quanh một quỹ đạo xác định, mặt khác nó còn cho phép thu gọn việc nghiên cứu tính chất nghiệm của những phương trình đạo hàm riêng phức tạp về những phương trình đơn giản hơn trên các đa tạp đó do tính hút của các đa tạp này đối với các nghiệm của phương trình đang xét

Để các đa tạp tích phân tồn tại, điều kiện phổ biến là phần tuyến tính (tức là họ các toán tử (A(t))t∈I) sinh ra một họ tiến hoá có nhị phân mũ hoặc tam phân mũ và toán tử phi tuyếnf là Lipschitz theo nghĩa nào đó Những kết quả nền tảng đầu tiên

về sự tồn tại các đa tạp tích phân thuộc về các nhà toán học Hadamard [52], Perron [50, 51], Bogoliubov và Mitropolsky [12] Đó là những kết quả về sự tồn tại các đa tạp tích phân đối với phương trình vi phân thường (tức là trường hợpX = Rn và A(t)là các ma trận) Sau đó, Daleckii và Krein [18] đã mở rộng các kết quả đó sang trường hợp A(t)là các toán tử giới nội trong không gian Banach bất kỳX Tiếp theo, Henry [21] đã phát triển các kết quả về sự tồn tại đa tạp tích phân cho trường hợp A(t) là các toán tử đạo hàm riêng không giới nội Về sau, nhờ sự phát triển mạnh mẽ của giải tích hàm hiện đại và lý thuyết nửa nhóm một tham số, các kết quả về sự tồn tại của các đa tạp tích phân đã được chuyển sang những nấc thang mới cho các lớp phương trình rất tổng quát bao gồm cả phương trình đạo hàm riêng có trễ và trung tính (xem [1, 15, 40, 48, 47, 23, 24] và các tài liệu tham khảo trong đó) Có hai phương pháp

chính để chứng minh sự tồn tại của các đa tạp tích phân là phương pháp Hadamard và phương pháp Perron Phương pháp Hadamard đã được tổng quát hoá thành phương pháp biến đổi đồ thị (graph transform) và đã được sử dụng chẳng hạn trong [22, 40, 52]

để chứng minh sự tồn tại của các đa tạp tích phân Phương pháp này liên quan đến việc lựa chọn các phép biến đổi phức hợp giữa các đồ thị biểu diễn đa tạp tích phân Trong khi đó, phương pháp Perron được mở rộng thành phương pháp Lyapunov-Perron do nó liên quan quan đến các phương pháp của Lyapunov Phương pháp Lyapunov-Perron tập trung vào việc xây dựng phương trình (hoặc toán tử) Lyapunov-Perron có mối liên

hệ với phương trình tiến hoá, để từ đó chỉ ra sự tồn tại của các đa tạp tích phân Phương pháp Lyapunov-Perron có vẻ thích hợp hơn trong việc xử lý các dòng hoặc nửa dòng sinh ra bởi phương trình tiến hoá nửa tuyến tính, bởi vì trong trường hợp này việc xây dựng phương trình Lyapunov-Perron khá thuận lợi và được gắn kết với các kỹ thuật tiêu chuẩn của phương trình vi phân thường (ODE), thậm chí ngay cả khi dòng chỉ xác định trên một tập con nào đó của không gian pha Chúng ta có thể xem các công trình [9, 14, 18, 23, 24, 25, 26, 47] và tài liệu tham khảo trong đó về vấn

đề này

Điều kiện phổ biến nhất của phần phi tuyến f khi xét bài toán tồn tại đa tạp tích phân của phương trình tiến hoá nửa tuyến tính là f thoả mãn điều kiện Lipschitz với hằng số Lipschitz đủ bé, tức làkf (t, φ) − f (t, ψ)k ≤ qkφ − ψkC với q là hằng số đủ nhỏ (xem [9, 14, 18, 1, 40, 47, 48]) Tuy nhiên, với các phương trình nảy sinh từ các quá trình tương tác-khuyếch tán, trong đó f đại diện cho nguồn vật chất thì hằng số Lipschitz có thể phụ thuộc vào thời gian và có thể không nhỏ theo nghĩa cổ điển (xem [41, 42, 49]) Do đó, chúng ta cố gắng mở rộng các điều kiện của phần phi tuyến để chúng có thể mô tả được các quá trình tương tác-khuyếch tán như vậy

Năm 2009, sử dụng phương pháp Lyapunov-Perron và không gian hàm Banach chấp nhận được, Nguyễn Thiệu Huy đã đưa ra điều kiện tổng quát hơn của phần phi tuyến khi xét sự tồn tại của đa tạp ổn định bất biến (xem [25]), ở đó hệ số Lipschitz của phần phi tuyến phụ thuộc thời gian và thuộc một không gian hàm Banach chấp nhận được Đồng thời, sử dụng không gian hàm Banach chấp nhận được đã có một số kết quả về lý thuyết dáng điệu tiệm cận nghiệm được công bố trong thời gian gần đây là [2, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 32] Trên cơ sở đó, chúng tôi đã nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp tích phân cho phương trình đạo hàm riêng nửa tuyến tính và phương trình

vi phân hàm đạo hàm riêng Đó là nội dung chính của luận án này

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục công trình và tài liệu tham khảo, luận án bao gồm 3 chương

• Chương 1 là phần kiến thức chuẩn bị Ở đây, chúng tôi trình bày khái niệm và một số tính chất của không gian hàm Banach chấp nhận được (xem [25, 36])

Sau đó, chúng tôi trình bày nhị phân mũ của họ tiến hoá và đa tạp ổn định của phương trình vi phân nửa tuyến tính trong [25, 27]

• Chương 2 nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định, đa tạp không ổn định của phương trình vi phân nửa tuyến tính

du

dt = A(t)u + f (t, u), t ∈ I,

trong đó A(t) là toán tử tuyến tính trong không gian Banach X với mỗi t cố định và f : I × X → X là toán tử phi tuyến Khi họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0

sinh bởi họ toán tử A(t), t ∈ R+ có nhị phân mũ và hàm phi tuyếnf thoả mãn điều kiện ϕ-Lipschitz, tức là kf (t, x) − f (t, y)k ≤ ϕ(t)kx − yk với ϕ là hàm không âm thuộc không gian hàm Banach chấp nhận được Với các giả thiết này, Nguyễn Thiệu Huy đã chứng minh sự tồn tại của đa tạp ổn định (xem [25]) Khi

mở rộng họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 có tam phân mũ chúng tôi đã chỉ ra sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định Sau đó, thay vì xét phương trình trên nửa đường thẳng, chúng tôi xét phương trình trên toàn đường thẳng để từ đó chỉ ra sự tồn tại của đa tạp không ổn định và đa tạp này có tính chất hút các quỹ đạo nghiệm Các kết quả trong Chương 2 được lấy ở bài báo [3] trong Danh mục công trình khoa học của tác giả

• Chương 3 nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp ổn định, đa tạp tâm ổn định, đa tạp không ổn định của phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng

du

dt = A(t)u(t) + f (t, ut), t ∈ I,

trong đó A(t) là toán tử tuyến tính trong không gian Banach X với mỗi t cố định f : I × C → X là toán tử phi tuyến liên tục Với r > 0 cố định, chúng

ta ký hiệu C := C([−r, 0], X)là không gian các hàm liên tục trên [−r, 0]được trang bị chuẩn sup Khi họ toán tử (A(t))t∈I sinh ra họ tiến hoá có nhị phân

mũ (hoặc tam phân mũ), chúng ta tìm điều kiện của f để phương trình trên có

đa tạp tích phân Điều kiện phổ biến là hàm phi tuyến f thoả mãn điều kiện Lipschitz với hằng số Lipschitz đủ nhỏ, tức làkf (t, φ) − f (t, ψ)k ≤ qkφ − ψkC

với q đủ nhỏ (xem [1, 40, 48] và tài liệu tham khảo trong đó) Tuy nhiên, đối với các phương trình nảy sinh từ quá trình tương tác-khuyếch tán phức tạp, hàm f

biểu diễn nguồn vật chất của các quá trình này thì hằng số Lipschitz có thể phụ thuộc vào thời gian và có thể không nhỏ theo nghĩa cổ điển (xem [41, 42, 49])

Do đó, chúng ta cố gắng mở rộng các điều kiện của phần phi tuyến để chúng có thể mô tả được các quá trình tương tác-khuyếch tán như vậy Vì vậy, khi nghiên

cứu sự tồn tại của các đa tạp tích phân của phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng, chúng tôi xét hàm phi tuyến f thoả mãn điều kiện ϕ-Lipschitz, tức là

kf (t, φ1) − f (t, φ2)k ≤ ϕ(t)kφ1− φ2kC, khi đó điều kiện hằng số Lipschitz q

đủ nhỏ được thay bởi điều kiện supt∈IRtt+1ϕ(τ )dτ đủ nhỏ, như vậy hàm ϕ có thể nhận giá trị lớn tuỳ ý Tuy nhiên, khác với phương trình vi phân nửa tuyến tính chúng ta sẽ gặp khó khăn về không gian pha do đa tạp tích phân được xây dựng trên C trong khi đó họ tiến hoá sinh bởi các toán tử A(t) xác định trên X Do đó, phương pháp biến đổi đồ thị sử dụng trong [1, 40] không áp dụng được Để khắc phục những khó khăn này, chúng tôi sử dụng phương pháp Lyapunov-Perron và xây dựng các toán tử chiếu trên C thông qua họ tiến hoá sinh bởi các toán tử A(t) Các kết quả trong Chương 3 được viết trong bài báo [1, 2] thuộc Danh mục công trình khoa học của tác giả

Luận án này được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS Nguyễn Thiệu Huy và PGS.TS Đặng Đình Châu, hai người thầy vô cùng mẫu mực, đã tận tình giúp đỡ tôi trên con đường khoa học Hai thầy đã dìu dắt tôi trên con đường toán học, đưa tôi bước vào một lĩnh vực toán học đầy thú vị, luôn tạo ra những thử thách giúp tôi tự học hỏi, tìm tòi và sáng tạo, đó là những gì tôi may mắn được tiếp nhận từ hai người thầy đáng kính của mình Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến hai thầy

Trong quá trình học tập nghiên cứu để hoàn thành luận án, tôi đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ quý báu của các thầy cô trong Bộ môn Giải tích và trong Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội Tôi xin trân trọng sự giúp đỡ của các thầy cô

Tôi muốn bày tỏ sự cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Cơ-Tin học, phòng Sau Đại học và các phòng ban chức năng của Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi học tập và nghiên cứu

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình và toàn thể bạn bè đã luôn khuyến khích, động viên để tôi vững bước trên con đường toán học mình đã chọn

Hà Nội, năm 2014 Nghiên cứu sinh

Trịnh Viết Dược

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm và một số tính chất của không gian hàm Banach chấp nhận được trên nửa đường thẳng R+ (xem [25, 27, 36]) Sử dụng một ít thay đổi, chúng ta thu được khái niệm và tính chất của không gian hàm Banach chấp nhận được trên đường thẳng thực (xem [3] trong Danh mục công trình khoa học của tác giả) Sau đó, chúng tôi trình bày nhị phân mũ của họ tiến hoá và đa tạp ổn định của phương trình vi phân nửa tuyến tính

nửa đường thẳng

Định nghĩa 1.1.1 Một không gian vectơ E gồm các hàm thực đo được Borel trên

R+ được gọi là không gian hàm Banach trên(R+, B, λ), trong đó B là đại số Borel và

λ là độ đo Lebesgue trên R+, nếu

(1) (E, k · kE) là không gian Banach và nếu ϕ ∈ E, ψ là hàm thực đo được Borel sao cho|ψ(·)| ≤ |ϕ(·)|h.k.n (hầu khắp nơi) theo độ đoλthìψ ∈ E vàkψkE ≤ kϕkE (2) Hàm đặc trưngχA ∈ E với mọi A ∈ B có độ đo hữu hạn và supt≥0kχ[t,t+1]kE <

∞, inft≥0kχ[t,t+1]kE > 0

(3) E ,→ L1,loc(R+), tức là với mọi đoạn compact J ⊂ R+ tồn tại βJ > 0 sao cho

R

J|f (t)|dt ≤ βJkf kE với mọif ∈ E

Bổ đề sau đây cho ta một tiêu chuẩn để kiểm tra xem một hàm liệu có thuộc không gian hàm Banach E hay không

Bổ đề 1.1.2 Cho không gian hàm Banach E, ϕ và ψ là các hàm thực đo được Borel trên R+ sao cho hai hàm trùng nhau bên ngoài một đoạn compact và bị chặn cốt yếu trong đoạn này Khi đó, ϕ ∈ E khi và chỉ khi ψ ∈ E

Chứng minh Giả sử ϕ ∈ E và ϕ 6= ψ trên J = [a, b] Do ψ bị chặn cốt yếu trên J

nên tồn tại M > 0sao cho

λ({t ∈ J : |ψ(t)| > M }) = 0

Đặt A = {t ∈ J : |ψ(t)| > M } và B = J \ A Do E là không gian hàm Banach nên

|ϕ| ∈ EvàχB ∈ E Bởi vậy,|ϕ|+χB ∈ E Ngoài ra ta có,|ψ| ≤ |ϕ|+M χB(λ-h.k.n), suy ra ψ ∈ E

Định nghĩa 1.1.3 Không gian hàm Banach E được gọi là chấp nhận được nếu nó thoả mãn

(i) Tồn tại hằng sốM ≥ 1 sao cho

Z b a

|ϕ(t)|dt ≤ M (b − a)

kχ[a,b]kE kϕkE

với mọi[a, b] ⊂ R+ và mọi ϕ ∈ E

(ii) E là bất biến với toán tử Λ1, trong đó Λ1ϕ(t) = Rtt+1ϕ(τ )dτ

(iii) E là Tτ+ và Tτ− bất biến với mọi τ ∈ R+, trong đó

Tτ+ϕ(t) =







ϕ(t − τ ) nếu t ≥ τ ≥ 0

0 nếu 0 ≤ t < τ ,

Tτ−ϕ(t) = ϕ(t + τ ) với mọit ≥ 0 Hơn nữa, tồn tạiN1, N2 > 0sao chokT+

τ k ≤ N1, kTτ−k ≤ N2 với mọiτ ∈ R+

Ví dụ 1.1.4 Không gian Lp(R+) với 1 ≤ p ≤ ∞ và không gian

M(R+) :=



f ∈ L1, loc(R+) : sup

t≥0

Z t+1 t

|f (τ )|dτ < ∞



với chuẩn kf kM := supt≥0Rt+1

t |f (τ )|dτ là các không gian hàm Banach chấp nhận được Ngoài ra, một số các không gian hàm trong lý thuyết nội suy như không gian LorentzLp, q với 1 < p < ∞, 1 < q < ∞cũng là không gian hàm Banach chấp nhận được

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Anh

[1] B Aulbach, N.V Minh (1996), "Nonlinear semigroups and the existence and sta-bility of semilinear nonautonomous evolution equations", Abstr Appl Anal., 1,

pp 351 - 380

[2] C.T Anh, L.V Hieu, N.T Huy (2013), "Inertial manifolds for a class of non-autonomous semilinear parabolic equations with finite delay", Discrete and con-tinuous Dyn Systems, 33, pp 483-503

[3] L Barreira, C Valls (2005), "Center manifolds for nonuniformly partially hyper-bolic diffeomorphisms", J Math Pures Appl., 84, pp 1693-1715

[4] L Barreira, C Valls (2005), "Smoothness of invariant manifolds for nonau-tonomous equations", Comm Math Phys., 259, pp 639-677

[5] L Barreira, C Valls (2005), "Higher regularity of invariant manifolds for nonau-tonomous equations", Nonlinearity, 18, pp 2373-2390

[6] L Barreira, C Valls (2006), "Stable manifolds for nonautonomous equations with-out exponential dichotomy", J Differential Equations, 221, pp 58-90

[7] L Barreira, C Valls (2006), "Smooth invariant manifolds in Banach spaces with nonuniform exponential dichotomy", J Funct Anal., 238, pp 118-148

[8] L Barreira, C Valls (2007), "Smooth center manifolds for nonuniformly partially hyperbolic trajectories", J Differential Equations, 237, pp 307-342

[9] P Bates, C Jones (1989), "Invariant manifolds for semilinear partial differential equations", Dyn Rep., 2, pp 1 - 38

[10] A Ben-Artzi, I Gohberg (1992), "Dichotomies of systems and invertibility of linear ordinary differential operators", Oper Theory Adv Appl., 56, pp 90-119