Phương pháp xác suất trong toán trung học phổ thông

7 2 PHÂN TÍCH LIÊN TIẾP: KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT ĐƠN 11 2.1 Tiêu chuẩn liên tiếp tỉ số xác suấtSPRT.. Lời nói đầuNgày nay đi cùng với sự phát triển của xã hội là sự gia tăng nhu cầu về việc

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-LÊ THỊ BÍCH NGỌC

PHÂN TÍCH LIÊN TIẾP

Chuyên ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC

Mã số: 60.46.01.06

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG

Hà Nội – Năm 2014

Mục lục

1.1 Giới thiệu về phân tích liên tiếp 5

1.2 Thí dụ: Kiểm tra sản phẩm 7

1.2.1 Phân phối cỡ mẫu 7

2 PHÂN TÍCH LIÊN TIẾP: KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT ĐƠN 11 2.1 Tiêu chuẩn liên tiếp tỉ số xác suất(SPRT) 11

2.2 SPRT: Kết thúc hữu hạn và bị chặn 13

2.3 Hàm OC (θ) 17

2.4 Số trung bình mẫu 20

2.5 Đồng nhất thức cơ bản của Wald 28

2.5.1 Ứng dụng của đồng nhất thức cơ bản 28

2.6 Các cận trên và cận dưới của số trung bình mẫu 31

3 PHÂN TÍCH LIÊN TIẾP: KIỂM ĐỊNH CHO GIẢ THIẾT HỢP 35 3.1 Phương pháp hàm trọng lượng 35

3.1.1 Ứng dụng của phương pháp hàm trọng lượng 36

3.2 Tiêu chuẩn liên tiếp t và t2 37

3.2.1 Sự khai triển tiệm cận đều và sự nghịch đảo của tích phân 40 3.2.2 Tiệm cận chuẩn của thống kê T 41

3.2.3 Tiêu chuẩn liên tiếp t 45

3.2.4 Tiêu chuẩn liên tiếp t2 (tiêu chuẩn hai phía) 46

4 ƯỚC LƯỢNG LIÊN TIẾP 49 4.1 Các khái niệm cơ bản 49

4.2 Tính đủ và hoàn toàn đầy đủ 50

4.3 Cận dưới Cramer-Rao 59

4.4 Quy trình hai bước 64

4.4.1 Quy trình Stein cho ước lượng trung bình của một phân phối chuẩn với phương sai chưa biết 64

4.4.2 Quy trình ước lượng hiệu của hai trung bình 68

4.4.3 Quy trình cho ước lượng trung bình chung 70

4.4.4 Khoảng tin cậy chiều dài cố định dựa trên SPRT 75

KẾT LUẬN 82

Tài liệu tham khảo 83

Lời nói đầu

Ngày nay đi cùng với sự phát triển của xã hội là sự gia tăng nhu cầu về việc ứng dụng các phương pháp thống kê toán để phân tích các số liệu thống kê thu được trong các lĩnh vực của khoa học tự nhiên, kinh tế và xã hội Trong luận văn này tác giả sẽ trình bày về thống kê liên tiếp, được dùng để xử lí dữ liệu khi số lượng các quan trắc là không cố định

Luận văn được chia thành bốn chương:

Chương 1: Mở đầu Chương này giới thiệu chung về phương pháp phân tích liên tiếp trong thống kê, đặc điểm cơ bản của phân tích liên tiếp, và ứng dụng của nó trong kiểm tra sản phẩm

Chương 2: Phân tích liên tiếp: kiểm định giả thiết đơn Nội dung của chương này là sử dụng phân tích liên tiếp để kiểm định bài toán giả thiết đơn, đối thiết đơn Đưa ra cách xây dựng tiêu chuẩn liên tiếp tỉ số xác suất (SPRT)

và các ví dụ minh họa, chỉ ra tính hữu hạn, bị chặn của SPRT Sau đó xét các hàm OC, hàm ASN, và đồng nhất thức cơ bản của Wald

Chương 3: Phân tích liên tiếp: kiểm định cho giả thiết hợp Nội dung chương này là ứng dụng của SPRT trong kiểm định giả thiết hợp, đưa ra phương pháp hàm trọng lượng ( Phân phối tiên nghiệm ) để xây dựng một SPRT tối ưu

và các ứng dụng của phương pháp hàm trọng lượng Chương này cũng đưa ra các tiêu chuẩn liên tiếp t và t2 và các tính chất của nó

Chương 4: Ước lượng liên tiếp Chương này bao gồm các khái niệm cơ bản trong ước lượng liên tiếp, nghiên cứu tính đủ và đầy đủ, cận dưới Cramer - Rao, quy trình hai bước Và cách xác định khoảng tin cậy độ dài cố định dựa trên SPRT

Luận văn này được thực hiện tại trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên - Đại Học Quốc Gia Hà Nội, dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của GS.TSKH Đặng Hùng Thắng Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc

mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy

Qua đây, tôi xin gửi tới quý thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa cao học 2011- 2013, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao dạy dỗ trong suốt quá trình học tập của tôi tại Nhà trường

Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn đồng nghiệp thân mến đã quan tâm, tạo điều kiện và cổ vũ, động viên tôi để tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ của mình

Hà Nội, tháng 08 năm 2014

Tác giả luận văn

Lê Thị Bích Ngọc

Chương 1

MỞ ĐẦU

Phân tích liên tiếp khác với các quy trình thống kê khác trong đó cỡ mẫu là không cố định trước Người thí nghiệm chọn một dãy các quan sát (hoặc một

số cố định các quan sát) ở một thời điểm và quyết định xem: ngừng lấy mẫu

và đưa ra một quyết định hoặc là tiếp tục lấy mẫu và đưa ra quyết định sau Những bài toán ra quyết định mà trong đó người thí nghiệm có thể liên tục thay đổi phương pháp xử lí thì sẽ ở mức khó hơn, và gọi là bài toán thiết kế liên tiếp Chẳng hạn xét bài toán sau

Bài toán 1.1: Nếu ta muốn so sánh vài loại thuốc khác nhau hoặc các phương pháp điều trị(như trong kiểm tra liên tiếp các loại thuốc ung thư)để biết có nên giảm một số loại thuốc ra khỏi giai đoạn đầu của cuộc thử nghiệm, nếu như kết quả những loại thuốc này là kém hơn so với các loại thuốc khác

Vậy một nét đặc trưng cơ bản của phân tích liên tiếp đó là số quan sát cần tìm

để kết thúc thí nghiệm là một biến ngẫu nhiên Vì nó phụ thuộc vào kết quả của các quan sát

Phương pháp liên tiếp giúp ta có thể đưa ra dự đoán sớm hơn là dùng phương pháp cỡ mẫu cố định

Trong thí nghiệm liên tiếp ta cần xác định:

1 Kích cỡ mẫu ban đầu

2 Một quy tắc cho sự kết thúc thí nghiệm.

3 Số lượng các quan sát được làm thêm nếu thí nghiệm tiếp tục

4 Một quy tắc quyết định cuối cùng

Trong những thí nghiệm này chỉ có số lượng các quan sát là phụ thuộc liên tiếp, đòi hỏi định lý đơn giản và sẽ áp dụng chung, hơn nữa trong bài toán thiết kế liên tiếp không chỉ có số phép thử mà cả số phương pháp xử lí cũng phụ thuộc liên tiếp

Nếu thí nghiệm vẫn tiếp tục cho đến khi chúng ta quan sát X1, , Xn , một tiêu chuẩn liên tiếp là hoàn toàn xác định bởi các tập rời nhau R0m, R1m và Rcm

∈ Rn - không gian Euclid m chiều với m = 1,2 nếu X1, , Xn phụ thuộc vào

R0m, ta chấp nhận giả thiết H, bác bỏ H khi nó phụ thuộc vào Rm1 Và ta tiếp tục lấy mẫu nếu nó nằm trong Rcm

Bởi vì các tập trên là rời nhau và hợp của chúng là Rm suy ra chỉ cần xác định hai tập bất kì trong ba tập đó Vấn đề cơ bản là lựa chọn một tập thích hợp trong hai tập này Tiêu chuẩn lựa chọn tập được quyết định bởi đặc trưng

sử dụng(OC) và cỡ mẫu trung bình(ASN), những hàm này sẽ được xây dựng như sau:

Giả sử rằng hàm phân bố cơ bản là được chỉ ra bởi một tham số giá trị thực và giả sử các nhà thống kê có thể lựa chọn giữa hai giả thiết H0 và H1 Hàm OC(θ)

là xác suất chấp nhận H0 khi θ là giá trị thực của tham số Với mong muốn rằng hàm OC phải là các giá trị cao của θ sao cho phù hợp với H0 và giá trị thấp của

θ sao cho phù hợp với H1 Ví dụ người ta có thể yêu cầu OC(θ) ≥ 1 − α, ∀θ ∈ H0

và OC(θ) ≤ β, ∀θ ∈ H1, trong đó α và β là các xác suất phạm sai lầm Một tiêu chuẩn liên tiếp S được gọi là chấp nhận được nếu hàm OC của nó thỏa mãn tiêu chuẩn trên

Như đã nói ở trên số lượng các quan sát cần tìm trong phân tích liên tiếp là một biến ngẫu nhiên và quan trọng hơn là giá trị kì vọng của nó khi θ là một tham số giá trị thực Giá trị kì vọng này là hàm điển hình của θ và được gọi là hàm ASN(hàm cỡ mẫu trung bình) Với mong muốn có một hàm ASN nhỏ với

α, β cho trước, và cỡ mẫu dự kiến là nhỏ hơn so với quy trình cỡ mẫu cố định Cho ν(θ|D) là kí hiệu của cỡ mẫu kì vọng của quy trình D khi θ là giá trị thực Nếu D0 là chấp nhận được và ν(θ|D) = M inDν(θ|D) khi đó D0 được xem là một tiêu chuẩn tốt đều nhất Tuy nhiên, nói chung là không tồn tại tiêu chuẩn

tốt đều nhất Tiêu chuẩn này có thể tìm thấy trong một phân tích liên tiếp tối

ưu, khi H0 và H1 là những giả thiết đơn Phép kiểm định theo tỉ số xác suất liên tiếp của Wald cho ASN nhỏ nhất với cả hai H0 và H1

Hiệu quả của quy trình D tại θ được xác định bằng tỉ lệ số lượng mẫu dự kiến nhỏ nhất của D tại θ với số lượng mẫu dự kiến của D tại θ Wald’s SPRT

có hiệu quả bằng 1 với cả hai giả thiết H0 và H1

Phân tích liên tiếp sớm nhất là phương pháp lấy mẫu đôi của Dodge và Romig trong kiểm tra chất lượng sản phẩm Lấy n sản phẩm và bác bỏ mẫu này nếu như số lượng phế phẩm trong mẫu ≥ c (và chấp nhận nếu < c ) Một phương pháp khác đó là : lấy mỗi sản phẩm một cách riêng biệt tại các thời điểm khác nhau, bác bỏ những mẫu mà số lượng phế phẩm trong mẫu ≥ c, và chấp nhận những mẫu mà số lượng thành phẩm trong mẫu ≥ n − c + 1, cỡ mẫu cần thiết ít nhất là c và nhiều nhất là n Phương pháp này gọi là kiểm tra rút ngắn

1.2.1 Phân phối cỡ mẫu

Kí hiệu N là cỡ mẫu ngẫu nhiên cần thiết để kết thúc thí nghiệm, khi đó:

Pθ(N = c và bác bỏ H0) = θc (1.1)

Pθ(N = c + r và bác bỏ H0) = c + r − 1

c − 1

!

θc(1 − θ)r (1.2) với r = 1, 2, n − c

Pθ(N = n − c + 1 + s và chấp nhận H0) = n − c + s

s

!

θs(1 − θ)n−c+1 (1.3)

với s = 0, 1, c − 1

bây giờ : Eθ(N) =

n

P

m=1

mPm trong đó Pm là xác suất mà một quyết định đạt được tại lần thử thứ m

Kí hiệu : P (N = m| bác bỏ H0) = 0 với m < c

và P (N = m| chấp nhận H0) = 0 với m < n − c + 1

hơn nữa:

Pm = P0(bác bỏ tại giai đoạn m) + P (chấp nhận tại giai đoạn m, m ≥ c)

= m − 1

c − 1

!

θc(1 − θ)m−c + m − 1

n − c

! (1 − θ)n−c+1θm−(n−c+1) (1.4)

Do đó:

Eθ(N ) =c θc

n

X

m=1

m c

! (1 − θ)m−c + (n − c + 1) (1 − θ)n−c+1

n

X

m=n−c+1

m

n − c + 1

!

θm−(n−c+1) (1.5)

=c θc

n=c

X

r=0

r + c c

! (1 − θ)r + (n − c + 1) (1 − θ)n−c+1

c−1

X

r=0

n − c + 1 + r r

!

θr (1.6)

Người ta thường ưa dùng kế hoạch lấy mẫu rút ngắn hơn là kế hoạch lấy mẫu đơn tương đương bởi vì E(N|θ)của kế hoạch lấy mẫu rút ngắn là nhỏ hơn cỡ mẫu của kế hoạch lấy mẫu đơn Xét trường hợp c = 1:

E (N |θ) = θ

n−1

X

r=0

(r + 1) (1 − θ)r+ n (1 − θ)n

= (1 − y)

n−1

X

r=0

(r + 1) yr + nyr, y = 1 − θ

=

n−1

X

r=0

(r + 1) yr−

n

X

j=1

jyj + nyn

=

n−1

X

r=0

(r + 1) yr−

n−1

X

j=0

jyj

=

n−1

X

r=0

yr = 1 − y

n

1 − y (1.7)

E (N |θ) tăng với y do đó E (N |θ) giảm với θ khi c = 1 Tuy nhiên điều này không đúng với c > 1

Cho

P1(θ) = P (chấp nhận mẫu sử dụng quy trình mẫu cố định|θ)

=

c−1

X

r=0

n r

!

θr(1 − θ)n−r (1.8)

và

P2(θ) = P (chấp nhận mẫu sử dụng luật liên tiếp|θ)

=

n

X

m=n−c+1

P (chấp nhận mẫu vàN = m|θ)

=

n

X

m=n−c+1

m − 1

n − c

!

θm−1−(n−c)(1 − θ)n−c(1 − θ)

= (1 − θ)n−c+1

n−1

X

r=n−c

r

n − c

!

θr−(n−c)

= (1 − θ)n−c+1

c−1

X

r=0

r + n − c r

!

θr (1.9) Khi đó chúng ta có bổ đề sau:

Bổ đề 1.2.1 P1(θ) = P2(θ) ∀ n,c

Chứng minh cho c=1,P1(θ) = P2(θ) = (1 − θ)n

cho c = 2,P1(θ) = P2(θ) = (1 − θ)n+ nθ(1 − θ)n−1

Giả sử đúng với mọi c và xét trường hợp c + 1

giả sử

c−1

X

k=0

n k

!

θk(1 − θ)n−k = (1 − θ)n−c+1

c−1

X

r=0

r + n − c r

!

θr (1.10)

ta cần chứng minh:

c−1

X

k=0

n k

!

θk(1 − θ)n−k = (1 − θ)n−c

c

X

r=0

r + n − c − 1 r

!

θr (1.11)

Tài liệu tham khảo

[1] Nguyễn Văn Hữu, Đào Hữu Hồ, Hoàng Hữu Như (2004), Thống kê toán học, NXB ĐHQGHN

[2] Nguyễn Viết Phú, Nguyễn Duy Tiến (2004), Cơ sở lý thuyết xác suất, NXB ĐHQGHN

[3] Đào Hữu Hồ, Xác suất Thống kê (2007), NXB ĐHQGHN

[4] Đặng Hùng Thắng ( 2000), Thống kê và ứng dụng, NXB Giáo dục

[5] Wald, Abraham (1947),Sequential Analysis, John Wiley and Sons

[6] Aivazyan, S.A (1959) A comparison of the optimal properties of the Ney-man - Pearson and the Wald sequential probability ratio test Theor Prob-ability Appl 4 86 - 93 [105]

[7] Anscome, F.J (1953), Sequential estimaion, J.Roi.Statist.Soc.Ser B 15 1-29.[200]

[8] Wilks S.S (1967), Mathematical statistics (bản dịch tiếng nga), Moskow [9] Zakula Govindarajulu, Sequential Statistics

handp