Một số vấn đề về phần xoắn của đường cong elliptic

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN-CƠ-TIN HỌC LÊ VĂN NAM MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHẦN XOẮN CỦA ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC Chuyên nghành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 6

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHOA TOÁN-CƠ-TIN HỌC

LÊ VĂN NAM

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHẦN XOẮN CỦA ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC

Chuyên nghành: Đại số và lý thuyết số

Mã số: 60460104

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS Phó Đức Tài

HÀ NỘI- 2014

Mục lục

1 Các khái niệm cơ bản về đường cong elliptic 6

1.1 Đường cong elliptic và nhóm aben trên nó 6

1.1.1 Đường cong elliptic 6

1.1.2 Luật cộng trên đường cong elliptic 7

1.2 Điểm có cấp hữu hạn 9

1.2.1 Điểm có cấp hữu hạn 9

1.2.2 Định lý Nagell-Lutz 10

1.3 Phần xoắn của hai lớp đường cong elliptic 14

2 Một số phân loại đã biết theo danh sách của Kubert 18 2.1 Danh sách của Kubert 18

2.2 Phân loại của K Ono 20

2.3 Phân loại của Qiu - Zhang 25

2.4 Nhóm con xoắn nhận được theo danh sách của Kubert 30

3 Bổ sung về phân loại theo danh sách của Kubert 32 3.1 Phần xoắn luôn chứa điểm cấp 5 32

3.2 Phần xoắn luôn chứa điểm cấp 6 34

3.3 Phần xoắn luôn chứa điểm cấp 4 38

3.4 Phần xoắn luôn chứa điểm cấp 3 44

Tài liệu tham khảo 57

Lời cảm ơn

Nhân dịp này, tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS.Phó Đức Tài, thầy đã trực tiếp hướng dẫn và tận tình chỉ bảo tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn cũng như trong suốt hai năm khi tôi bước vào học thạc sĩ thầy đã giành tâm huyết chỉ bảo cách tiếp cận và cách học đại

số

Đồng thời, tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán-Cơ-Tin, trường Đại học Khoa học Tự Nhiên- Đại học Quốc gia Hà Nội, đã dạy bảo tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa

Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và tất cả mọi người đã quan tâm, tạo điều kiện và động viên cổ vũ tôi để tôi có thể hoàn thiện nhiệm vụ của mình

Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2014

Học viên

Lê Văn Nam

Mở đầu

Đường cong elliptic là một đối tượng quan trọng trong toán học Lịch sử phát triển của đường cong elliptic đã trải qua một thời gian dài và những ứng dụng của đường cong elliptic đang tiếp tục được khám phá Gần đây, những ứng dụng quan trọng của đường cong elliptic đã được phát hiện trong lý thuyết mật mã, trong phân tích các số nguyên lớn, trong việc giải các phương trình Diophante

Định lý Mordell-Weil phát biểu rằng nhóm các điểm hữu tỉ trên đường cong elliptic (E(Q), +) là một nhóm aben hữu hạn sinh, như vậy

E(Q) ∼= T orsE(Q)MZr,

trong đó phần xoắn T orsE(Q) là một nhóm hữu hạn và hạng r cũng hữu hạn Hơn nữa, phần xoắn T orsE(Q) có thể xác định tường minh từ phương trình định nghĩa đường cong nhờ định lý Nagell-Luzt và định lý Mazur Câu hỏi ngược lại là bài toán phân loại (hoặc tìm) các họ đường cong elliptic với nhóm xoắn cho trước

Nội dung chính của luận văn là phân loại phần xoắn của một số họ đã biết và bổ sung những phân loại còn thiếu theo danh sách của D.S Kubert (là danh sách (K) trong chương 2) Trong các phân loại đó song song với các chứng minh lý thuyết, chúng tôi sử dụng phần mềm đại số máy tính Sage để kiểm tra lại các kết quả

Bố cục của luận văn được trình bày như sau:

Chương 1: Các khái niệm cơ bản về đường cong elliptic

Chúng tôi trình bày tổng quan một số kiến thức cơ bản về đường cong

elliptic, định nghĩa các dạng đường cong elliptic, xây dựng luật cộng trên đường cong elliptic, chứng minh định lý Nagell-Luzt, chọn hai ví dụ trong

đó có một ví dụ trình bày phân loại nhóm con xoắn

Chương 2: Một số phân loại đã biết theo danh sách của D.S Kubert Chúng tôi trình bày lại hai phân loại của K Ono và D Qiu-X Zhang cho hai lớp đường cong (2) và (3) trong danh sách (K) của D.S Kubert

Chương 3: Bổ sung về phân loại theo danh sách của Kubert

Mục đích chính của chúng tôi là đi bổ sung phân loại cho bốn lớp đường cong (4), (5), (9) và (13) theo danh sách (K) của D.S Kubert

Chương 1

Các khái niệm cơ bản về đường

cong elliptic

Mục đích của chương này là trình bày lại một số kết quả quan trọng trong lý thuyết đường cong elliptic, chẳng hạn định lý Nagell-Luzt, định

lý Mazur, định lý Mordell-Weil và hai ví dụ về phần xoắn của đường cong elliptic

1.1 Đường cong elliptic và nhóm aben trên nó

1.1.1 Đường cong elliptic

Phương trình đường cong bậc 3 tổng quát xác định trên trường K có dạng

ax3 + bx2y + cxy2 + dy3 + ex2 + f xy + gy2 + hx + iy + j = 0,

trong đó a, b, c, e, f, g, h, i, j ∈ K và a, b, c không đồng thời bằng 0

Khi đó bằng phép đổi trục tọa độ hợp lý, chúng ta có thể chuyển phương trình bậc 3 tổng quát về dạng

y2 + a1xy + a3y = x3 + a2x2 + a4x + a6 với a1, a2, a3, a4, a6 ∈ K.

Phương trình này được gọi là phương trình Weierstrass tổng quát

Khi char K 6= 2, bằng phép đổi biến thích hợp, cụ thể với

y := y − 1

2(a1x + a3),

phương trình trên trở thành

y2 = x3 + Ax2 + Bx + C

Phương trình này được gọi là phương trình dạng Weierstrass đơn giản Khi char K 6= 3, bằng phép đặt x := x +A3 chúng ta có thể chuyển phương trình Weierstrass đơn giản về dạng

y2 = x3 + Ax + B

Phương trình này được gọi là phương trình Weierstrass chuẩn tắc

Một đường cong xác định bởi phương trình dạng Weierstrass đơn giản

y2 = x3 + Ax2 + Bx + C với A, B, C ∈ K

được gọi là đường cong elliptic nếu nó không kỳ dị, tức là biệt thức

D = −4A3C + A2B2 + 18ABC − 4B3 − 27C2 6= 0

Để đơn giản, ta dùng kí hiệu D thay cho biệt thức của đường cong elliptic nếu không nói gì thêm

1.1.2 Luật cộng trên đường cong elliptic

Cho đường cong elliptic E có phương trình y2 = x3+ Ax2+ Bx + C thì trong hệ tọa độ xạ ảnh phương trình của E là

Y2Z = X3 + AX2Z + BXZ2 + CZ3

Mỗi điểm trong mặt phẳng xạ ảnh có tọa độ P [X : Y : Z]

Khi P = [X : Y : 0] thì điểm P tương ứng với điểm vô cùng trong không gian afin mà chúng ta ký hiệu là điểm Θ

Ký hiệu E(K) = {(x, y) ∈ K2 : y2 = x3 + Ax2 + Bx + C} ∪ {Θ}

Để đơn giản, ta dùng kí hiệu E thay cho E(K) nếu không nói gì thêm Luật cộng được xác định một cách hình học như sau:

Bắt đầu với 2 điểm P1(x1, y1) và P2(x2, y2) trên E(K), vẽ đường thẳng

đi qua P1, P2 và cắt đường bậc 3 tại điểm P1 ∗ P2, lấy đối xứng của điểm

P1∗P2 qua trục hoành ta được điểmP3 Khi đó ta định nghĩaP3 = P1+P2 Trong trường hợp P1 ≡ P2 thì đường thẳng qua P1, P2 chính là tiếp tuyến

với đường cong tại P1, khi đó tọa độ điểm P3(x3, y3) chính là tọa độ của điểm 2P1

Với P1, P2 6= Θ, tọa độ P3(x3, y3) xác định như sau:

1 Nếu x1 6= x2 thì

x3 = λ2 − A − x1 − x2, y3 = λ(x2 − x3) − y2, với λ = y2 −y 1

x 2 −x 1

2 Nếu x1 = x2 nhưng y1 6= y2 thì P1 + P2 = Θ

3 Nếu P1 ≡ P2 và y1 6= 0 thì

x3 = λ2 − A − 2x1, y3 = λ(x1 − x3) − y1, với λ = 3x21 +2Ax 1 +B

2y 1

4 Nếu P1 ≡ P2 và y1 = 0 thì P1 + P2 = Θ

Qui ước P + Θ = P, ∀P ∈ E(K)

Luật cộng điểm của đường cong E có phương trình

(E) : y2 + a1xy + a3y = f (x) = x3 + a2x2 + a4x + a6

Ta ký hiệu

E(K) = {(x, y) ∈ K2 : y2 + a1xy + a3y = x3 + a2x2 + a4x + a6} ∪ {Θ}

Bắt đầu với 2 điểm P1(x1, y1) và P2(x2, y2) trên E(K), vẽ đường thẳng

đi qua P1, P2 và cắt E tại điểm P1 ∗ P2 Lấy đối xứng của điểm P1 ∗ P2

qua đường thẳng y = −a1 x+a3

2 ta được điểm P3 Khi đó ta định nghĩa

P3 = P1 + P2

Trường hợp 1 Nếu x1 6= x2 thì P1 6= P2, gọi phương trình đường thẳng đi qua P1, P2 là y = λx + β, trong đó

λ = y1 − y2

x1 − x2.

Trường hợp 2 Nếu x1 = x2 và P1 6= P2 thì P1 + P2 = Θ

Trường hợp 3 Nếu P1 = P2, gọi phương trình tiếp tuyến đi qua P1 là

y = λx + β, trong đó

0(x1) − a1y1 2y1 + a1x1 + a3

Ta gọi phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng y = λx + β và

E là

(λx + β)2 + a1x(λx + β) + a3(λx + β) = x3 + a2x2 + a4x + a6,

tương đương

0 = x3+ (a2− λ2 − λa1)x2 + (a4− 2λβ − a1β − λa3)x + (a6− β2 − a3β)

Tọa độ của P3(x3, y3) xác định như sau

Trong trường hợp 1 (x3, y3) = (x3, −y30 − a1x3 − a3) trong đó

x3 = λ2 + λa1 − a2 − x1 − x2, y30 = λx3 + β

Trong trường hợp 3 (x3, y3) = (x3, y30 − a1x3 − a3) trong đó

x3 = λ2 + λa1 − a2 − 2x1, y30 = λx3 + β

Định lý 1.1 E(K) cùng với phép cộng xác định như trên lập thành một nhóm giao hoán với Θ là phần tử đơn vị

Chứng minh Có thể xem chứng minh định lý này trong [14]

Chú ý 1.1 Cho E là đường cong elliptic có phương trình

y2 = x3 + Ax2 + Bx + C, A, B, C ∈ Q

Nếu cần thiết nhân cả hai vế của phương trình với d6, d ∈ Z∗, ta thu được

(yd3)2 = (xd2)3 + d2A(xd2)2 + d4B(xd2) + Cd6

Thay yd3 bởi y và xd2 bởi x, ta có thể chọn d sao cho d2A, d4B, Cd6 ∈ Z

Vậy khi xétE : y2 = x3+ Ax2+ Bx + C trên Q có thể giả sử A, B, C ∈Z.

1.2.1 Điểm có cấp hữu hạn

Định nghĩa 1.1 Cho E : y2 = x3 + Ax2 + Bx + C, với A, B, C ∈ K.

Cho P (x0, y0) ∈ E Cấp của điểm P là số nguyên dương m bé nhất thỏa mãn mP = Θ

Nếu tồn tại m như vậy thì P có cấp hữu hạn, P còn được gọi là điểm xoắn, ngược lại P được gọi là điểm có cấp vô hạn

Ký hiệu E[n] là tập các điểm trên E có cấp n và điểm Θ

Vấn đề đặt ra là làm thế nào để tìm được tất cả các điểm hữu tỷ có cấp hữu hạn trên E Để làm được điều đó, ta cần đến kết quả quan trọng là định lý Nagell-Lutz

Tài liệu tham khảo

[1] J Gebel and H.G Zimmer, Computing the Mordell-Weil group of

an elliptic curve In H Kisilevsky et al., editors, Elliptic curves and related topics, volume 4 of Proc and Lect Notes, page 61-83 Centre Rech Math., Montréal, Amer Math Soc., 1993

[2] F.Q Gouvêa, p-adic Numbers, Springer-Verlag, NewYork, Heidelderg Berlin, 1997

[3] D Husemoller, Elliptic curves, Springer-Verlag, NewYork, 2002 [4] N.H.V Hưng, Đại số đại cương, Nhà xuất bản giáo dục, 1997

[5] M A Kenku and F Momose, Torsion points on elliptic curves defined over quadratic fields, Nagoya Math J., Vol 109 (1988), 125-149 [6] D.S Kubert, Universal bounds on the torsion of elliptic curvers, Proc London Math Soc (3), 33 (1976), 193-237

[7] B Mazur, Rational isogenies of prime degree, Invent Math .44,

129-162, 1978

[8] B Mazur, Modular curves and the Eisenstein ideal, IHES Publ Math.47(1977), 33-186

[9] B Mazur, Rational point on modular curves, Modular Functions of One Variable V, Lecture Notes in Math 601(1977), 107-148, Springer-Verlag, NewYork

[10] M Oka, Elliptic curves from sextics, J Math Soc Japan, Vol 54,

No 2, 2002

[11] K Ono, Euler’s concordant forms, Acta Arthmetica, LXX VIII 2(1996), 101-123

[12] D Qiu and X Zhang, Explicit classification for torsion subgroups of rational point of elliptic curves, Acta Mathematica Sinica (English Series), 18(2002.7), No.3, 539-548

[13] J Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves, Springer-Verlag, NewYork, 1986

[14] J Silverman and J Tate, Rational Points on Elliptic Curves, Springer-Verlag, NewYork, 1992

[15] L.C Washington, Elliptic curves: Number Theory and Cryptography, Chapman - Hall/CRC, 2003

[16] A Wiles, Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem, Ann Math 141, no 3(1995), 443-551

[17] H G Zimmer, Torsion of elliptic curves over cubic and certain bi-quadratic number fields, Arithmetic geometry, 203-220, Comtemp Math., 174, Amer Math Soc