Khóa luận tốt nghiệp vật lý mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

Tình hình chung về nghiên cứu đề tài Phương pháp toán tử Operator Method với các tính toán thuần đại số xây dựngcho nhóm các bài toán vật lý nguyên tử đang trở thành một hướng nghiên cứu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Thành phố Hồ Chí Minh

Tháng 4 - 2009

- Tất cả quý thầy cô giáo, những người đã tận tình truyền đạt những kiến thức quýbáu trong suốt 4 năm học, đó là nền tảng để em có thể hoàn thành tốt luận văn.

- TS Nguyễn Văn Hoa – giáo viên hướng dẫn luận văn này – người đã hết lònghướng dẫn, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình thựchiện và hoàn tất luận văn

- TSKH Lê Văn Hoàng đã đóng góp ý kiến quý báu cho luận văn

- Thư viện trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện cho

em được đọc và mượn về nhà các tài liệu liệu quan đến đề tài

- Các bạn sinh viên lớp lý IV – khóa 31 (2005 - 2009) đã nhiệt tình giúp đỡ vàđóng góp ý kiến cho đề tài

Do đề tài được thực hiện trong thời gian tương đối ngắn và với vốn kiến thức củabản thân còn hạn hẹp nên không thể tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót Kính mongnhận được sự góp ý, phê bình, xây dựng của quý thầy cô và các bạn

Cuối cùng em xin kính gửi đến Ban Giám Hiệu trường Đại học Sư phạm thành phố

Hồ Chí Minh và Ban Chủ Nhiệm khoa Vật Lý cùng tất cả quý thầy cô giáo lời chúcsức khỏe và thành công!

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

MỞ ĐẦU

1 Tình hình chung về nghiên cứu đề tài

Phương pháp toán tử (Operator Method) với các tính toán thuần đại số xây dựngcho nhóm các bài toán vật lý nguyên tử đang trở thành một hướng nghiên cứu sôi độngtrong những năm gần đây Phương pháp toán tử do nhóm nghiên cứu của giáo sưKomarov L.I ở đại học tổng hợp Belarus xây dựng và đã ứng dụng thành công cho mộtloạt các bài toán khác nhau trong vật lý nguyên tử, vật lý chất rắn cũng như các bài toán

lý thuyết trường Phương pháp này được phát triển bởi Fernandez, Meson và Castro,Geryva Silverman, Wistchel và rất nhiều tác giả khác Nhóm nghiên cứu của TSKH LêVăn Hoàng cũng đã có nhiều đề tài trình bày về phương pháp này: Luận văn tốt nghiệpcủa anh Nguyễn Hoàng Quốc “Phương pháp đại số sử dụng hàm Coulomb-Green cho bàitoán hệ nhiều hạt.” (5 - 2004), Luận văn Thạc sĩ của chị Hoàng Đỗ Ngọc Trầm: “Phươngpháp toán tử giải phương trình Schrodinger cho Exciton hai chiều trong từ trường đều vớicường độ bất kì ” (2008) Ngoài ra phương pháp toán tử cũng đang đựợc giáo viên hướngdẫn luận văn này đi vào nghiên cứu và phát triển cho các bài toán: hiệu ứng Stark, hiệuứng Zeeman, bài toán hệ nhiều hạt…

2 Lí do chọn đề tài

Hiện nay, trong cơ học lượng tử, chỉ có một số ít bài toán mà chúng ta có lời giảichính xác cho phương trình Schrodinger xác định các trạng thái dừng, đó là: bài toán hạttrong hố thế vuông góc, dao động tử điều hòa và bài toán về nguyên tử hydro (chuyểnđộng của hạt trong trường xuyên tâm) Đây là các hệ đã lí tưởng hóa được gặp trong tựnhiên Việc nghiên cứu các hệ đơn giản, lí tưởng hóa cho ta hiểu được đầy đủ hơn cácphương pháp của cơ học lượng tử Ngoài ra các kết quả thu được có một tầm quan trọngđặc biệt, vì trong một sự gần đúng nào đó, chúng phản ánh những tính chất của hệ thựctương ứng

Trong đó bài toán về nguyên tử hydro là một bài toán quan trọng của vật lý lượng

tử Mặc dù là một bài toán có lời giải chính xác nhưng bài toán về nguyên tử hydro là một

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

bài toán khá phức tạp Để giải được bài toán này, ban đầu phải xây dựng một hệ thốngkiến thức về toán tử momen xung lượng trong hệ tọa độ cầu; xét các tính chất, trị riêng vàhàm riêng của toán tử momen xung lượng; phương trình bán kính; sự lượng tử hóa khônggian, sự phân bố electron và tính chẵn lẻ của các hàm cầu…

Đặc biệt khi xét nguyên tử hydro trong điện trường, ta chỉ thu được lời giải chínhxác khi điện trường yếu (cường độ điện trường Ee có giá trị không lớn lắm

( Ee 10 5V

), hoặc điện trường rất lớn (bài toán này có thể giải bằng phương pháp

cm

nhiễu loạn), còn đối với điện trường trung bình thì bài toán vẫn chưa có lời giải

Ngoài cách giải phương trình Schrodinger để xác định hàm sóng và năng lượngcủa dao động tử điều hòa, bài toán này còn có thể được giải rất gọn bằng cách đưa vàocác toán tử aˆ và aˆ liên hợp với nhau (hay còn gọi là phép biểu diễn các số lấp đầy)

Như vậy, dựa trên hệ cơ sở trực giao đã biết của dao động tử điều hòa, có thể mở

ra phương pháp giải bài toán cho nguyên tử hydro bằng cách biểu diễn thông qua các toán

tử sinh hủy Theo cách này, các toán tử tương ứng với các đại lượng vật lý đều có thể biểudiễn qua các toán tử sinh hủy trên, nhờ đó mà các tính toán yếu tố ma trận giữa các trạngthái của nguyên tử hydro có thể dễ dàng chuyển về các phép biến đổi đại số dựa vào cácgiao hoán tử của các toán tử sinh hủy

Khi xét nguyên tử hydro trong điện trường, với phương pháp toán tử và áp dụngthêm phương pháp nhiễu loạn, ta có thể đưa ra lời giải cho bất kì giá trị nào của điệntrường: từ điện trường yếu cho đến điện trường mạnh kể cả trong điện trường trung bình

mà các phương pháp trước chưa giải quyết được

Qua nghiên cứu và khai thác trong các bài toán cụ thể, phương pháp toán tử đãchứng tỏ tính ưu việt và hiệu quả của nó so với các phương pháp đã biết như sau:

Đơn giản hóa việc tính toán các yếu tố ma trận phức tạp mà thông thường phảitính tích phân của các hàm đặc biệt

Cho phép xét các hệ cơ học lượng tử với trường ngoài có cường độ bất kì

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Cho phép xác định giá trị năng lượng và cả hàm sóng của hệ trong toàn miềnthay đổi tham số trường ngoài.

Phương pháp này có thể được phát triển để giải quyết nhiều bài toán khác trong cơ họclượng tử Tuy vậy trong khuôn khổ cho phép của một luận văn tốt nghiệp và giới hạn vềmặt thời gian nên chúng tôi chỉ xin được trình bày phương pháp toán tử ở mức độ bắt đầutìm hiểu và chỉ xác định mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trườngtheo phương pháp này

3 Tóm tắt đề tài luận văn a

Mục tiêu của đề tài

Trong luận văn này, chúng tôi tiếp cận phương pháp toán tử như một công cụ mới với mục tiêu cụ thể là:

Tìm hiểu về phương pháp toán tử: cơ sở hình thành, sơ đồ tính toán, ưu điểm…Ứng dụng của phương pháp này trong phương trình Schrodinger

Kiểm tra độ tin cậy của phương pháp bằng cách giải lại bài toán nguyên tửhydro để xác định lại mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro và so sánhvới lời giải chính xác đã có Việc tính toán lại bài toán này ngoài tác dụng minhhọa cho phương pháp còn có thể cho thấy khả năng ứng dụng và phát triểnmạnh mẽ của phương pháp

Xác định mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theophương pháp toán tử

b Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng phương pháp toán tử hay còn gọi là phép biểu diễn các số lấp đầy Các

toán tử aˆ và aˆ tác động lên các số lấp đầy (số phônôn) Toán tử aˆ giảm số phônôn 1 đơn vị hay toán tử hủy phônôn Toán tử aˆ tăng số phônôn 1 đơn vị hay toán tử sinh phônôn Ngoài ra, ta còn định nghĩa toán tử nˆ aˆ aˆ gọi là toán tử trung hòa Toán tử nˆ

tác dụng lên hàm qui về việc nhân hàm này với n Nói một cách khác, toán tử số

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

phônôn nˆ trong biểu diễn các số lấp đầy là chéo và các trị riêng của nó bằng số phônôn

có trong trạng thái đã cho

c Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu – kết luận, luận văn “Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử

hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử”gồm có ba chương:

Chương 1: Đại cương về bài toán nguyên tử hydro.

Trình bày các kết quả thu được của bài toán nguyên tử hydro cổ điển, chủ yếu làxác định mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro Giới thiệu về bài toán nguyên tửhydro dưới tác dụng của điện trường Chương này sẽ đóng vai trò cơ sở cho việc so sánhkết quả của các chương tiếp theo và kiểm tra độ tin cậy của phương pháp toán tử

Chương 2: Phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hydro.

Trong chương này sẽ bày cơ sở của phương pháp toán tử, giới thiệu sơ lược vềphương pháp Giải lại bài toán nguyên tử hydro theo phương pháp toán tử, tức là biểudiễn Hamiltonian của nguyên tử hydro theo các toán tử, xác định mức năng lượng cơ bảncủa nguyên tử hydro có tính đến bổ chính bậc hai, bậc ba theo kiểu nhiễu loạn Chương 2tập trung vào việc kiểm tra lại mức độ chính xác của phương pháp toán tử dựa trên kếtquả đã có theo cách tính toán cổ điển trong chương 1

Chương 3: Phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hydro trong điện trường.

Chương 3 là các kết quả chính của luận văn Trong chương này sẽ xác định lạimức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro khi có tác dụng của điện trường Khi cường

độ điện trường nhỏ, có thể coi tương tác giữa điện trường và nguyên tử hydro là nhiễuloạn, bổ sung thêm phần nhiễu loạn này vào trong Hamiltonian của nguyên tử hydro vàtìm lại các kết quả của chương 2 với Hamiltonian mới trong điện trường So sánh kết quảtính toán được theo phương pháp toán tử với kết quả tính toán cổ điển

Vẽ được đồ thị so sánh kết quả tính toán của hai phương pháp

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Để đơn giản trong việc tính toán nên các công thức trong luận văn sẽ được viết trong hệ đơn vị không thứ nguyên hay còn gọi là hệ đơn vị nguyên tử với

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Chương 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ HYDRO

Trong chương này sẽ trình bày lại các kết quả tính toán được của bài toánnguyên tử hydro theo phương pháp cổ điển để làm cơ sở cho việc so sánh kết

quả của các tính toán sau này (mức năng lượng cơ bản) Ngoài ra, còn trìnhbày về sự thay đổi của mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro khi được

đặt trong điện trường và nguyên nhân gây ra sự thay đổi đó

1.1 Bài toán hạt trong trường xuyên tâm

Chuyển động của electron trong trường lực Coulomb của hạt nhân nguyên tử làmột bài toán quan trọng trong cơ học lượng tử Chúng ta chủ yếu nghiên cứu chuyểnđộng của hạt trong trường xuyên tâm của hạt nhân

Thế năng của một hạt có khối lượng m0 chuyển động trong một trường lực đốixứng xuyên tâm chỉ phụ thuộc vào khoảng cách r từ hạt đến tâm lực:

Do đó Hamlitonian của hạt có dạng:

Trong nguyên tử hydro, thế năng tương tác của electron và hạt nhân chỉ phụ thuộc

vào khoảng cách r1 r2 giữa chúng Như đã biết từ trong cơ học giải tích, bài toánchuyển động của hai hạt với định luật tương tác U r1 r2 rút về bài toán chuyển độngcủa một hạt có khối lượng rút gọn trong trường lực U r Trong trường hợp nguyên tửhydro, ta có:

m

e .m

p

m e m p

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Vì m p m e nên m e Nếu bỏ qua kích thước của proton, nguyên tử hydrro sẽ

được coi như gồm hạt e chuyển động trong trường Coulomb gây bởi một tâm đứngyên Một trường như vậy là trường hợp riêng đối xứng xuyên tâm, trong đó thế năngchỉ phụ thuộc vào khoảng cách đến tâm lực Chúng ta khảo sát chuyển động của etrong trường lực đối xứng xuyên tâm dưới dạng tổng quát nhất, sau đó chuyển sangtrường hợp trường Coulomb

Do tính đối xứng xuyên tâm, để tiện lợi ta giải bài toán trong tọa độ cầu Phươngtrình Schrodinger cho các trạng thái dừng của hạt trong trường hợp này có dạng:

lˆ

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường

Chúng ta biết rằng, đối với chuyển động trong trường đối xứng xuyên tâm, ngoàiđịnh luật bảo toàn năng lượng, còn có hai định luật bảo toàn nữa, đó là định luật bảotoàn momen xung lượng toàn phần và định luật bảo toàn hình chiếu của momen lêntrục z định hướng tùy ý trong không gian

Do đó chúng ta sẽ khảo sát các trạng thái với giá trị đã cho của ba đại lượng này.Một cách tương ứng, ta viết nghiệm của phương trình (1.1.9) dưới dạng:

Ta nhớ lại rằng, năng lượng hạt được đặc trưng bằng số lượng tử chính n, còn các

trị riêng của các toán tử ˆ 2 và ˆ được đặc trưng bằng các số lượng tử quỹ đạo l và số

lượng tử từ m Thay (1.1.10) vào (1.1.9) và chú ý rằng:

ˆ 2 2l l 1 Y lm

L Y lm

1 d dR 2 m e l l 1

1.2 Chuyển động trong trường Coulomb Năng lượng của nguyên tử hydro

Chuyển động của một hạt electron trong trường Coulomb của hạt nhân nguyên tử

là một ví dụ quan trọng nhất của chuyển động trong trường xuyên tâm Có thể coinguyên tử hydro là trường hợp riêng của bài toán thế xuyên tâm, gồm hạt nhân và mộteletron, hoặc iôn của một nguyên tử bất kì trong đó chỉ còn một electron, hoặc cũng cóthể là nguyên tử hydro mêzô gồm có một prôtôn và mêzôn tích điện âm

Thế năng của electron chuyển động trong trường hạt nhân có điện tích Ze ( Z: sốprôtôn trong hạt nhân, e là điện tích nguyên tố) có dạng:

r

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường

Với Z = 1, biểu thức (1.2.1) là thế năng (hệ đơn vị Gau ) của electron trong

nguyên tử hydro, với Z > 1, biểu thức đó là thế năng của electron trong iôn đồng dạng hydro Dễ dàng thấy rằng hàm (1.2.1) thỏa mãn các điều kiện :

limU r 0

r Trong phương trình Schrodinger (1.1.9) cho U r 0 , ta có:

( m e : khối lượng electron) Để đơn giản cách viết các hệ số, chúng ta dùng các đơn vị nguyên tử cho các đại lượng vật lý Trong các đơn vị nguyên tử, người ta đặt

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường

Thực hiện các phép biến đổi như trong [2- trang 241] ta có công thức truy toán chocác hệ số a k

a

k 1 k l 2 k l 1 l l 1a k (1.2.8)Với các giá trị k lớn, có thể bỏ qua Z ở tử số và l l 1 ở mẫu số trong công thức

(1.2.8).Khiđó hệthức truy toán có dạng:

và được gọi là số lượng tử chính Số n r được gọi là số lượng tử xuyên tâm Vì n r không thể âm, nên điều kiện sau phải được thực hiện:

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

trong hệ đơn vị SI này, thế năng của electron trong trường hạt nhân nguyên tử có dạng:

U Ze2

4 o r

trong đó: 1 9.10 9 Nm2

Xét đối với nguyên tử hydro (Z

định thế năng iôn hóa nguyên tử hydro:

Trong hệ đơn vị CGS, dựa vào biểu thức (1.2.14) ta có:

hydro Theo (1.2.14) thì năng lượng gián đoạn và tỉ lệ nghịch với bình phương các sốnguyên Tính gián đoạn này chính là hệ quả của điều kiện hữu hạn đối với hàm sóng ở

vô cực

1 Đối với thế Coulomb, Z hữu hạn, ta có một số vô hạn các trạng thái liên

kết, bắt đầu ứng với năng lượng m e Z 2 e 4 và kết thúc ứng với năng lượng không.

2 2

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

2 Ứng với một giá trị đã cho của

…, n-1 Như vậy có tất cả n giá trị của

lượng

n thì l có thể có những giá trị l = 0, 1, 2, l

và l xác định độ lớn của momen xung

L l l 1

3 Ba số nguyên n, l, m duy nhất xác định một hàm riêng

nlm r , ,R nl r Y lm , gọi là ba số lượng tử, m gọi là số lượng tử từ.

Ứng với một giá trị đã cho của l thì m có thể nhận các giá trị

m l , l 1, , 1, 0, 1, , l 1, l Tất cả có 2 l 1 giá trị của m Lượng tử số m xác định

độ lớn hình chiếu momen xung lượng trên trục z:

L z m Như vậy, ứng với một mức năng lượng E n có nhiều trạng thái khác nhau nlm , tanói có sự suy biến Đối với một giá trị n xác định, số trạng thái suy biến có cùng

giá trị năng lượng E n là:

l 0

Nếu tính cả spin có hai giá trị thì tổng số trạng thái suy biến trên bằng 2n2

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường

Như vậy, ở trạng thái cơ bản, năng lượng không bị suy biến, còn ở mức kíchthích đầu tiên, năng lượng suy biến bậc 4

4 Phổ năng lượng của nguyên tử hydro (Z = 1, me là khối lượng electron) xácđịnh bởi phương trình (1.2.14) được chỉ ra trên hình vẽ

Khi so sánh các tính toán năng lượng từ (1.2.14) với các số liệu thực nghiệm, tathấy có một vài điểm khác nhau vì ta đã bỏ qua các tương tác khác trong nguyên tử

hydro Ứng với n = 1, năng lượng có giá trị thấp nhất: E o 13,6eV , n càng tăng thì các mức E n liên tiếp càng gần nhau hơn Khi n thì E n 0

Giá trị tuyệt đối của E o cho biết năng lượng ion hóa nguyên tử hydro Nănglượng này là công cần thiết để đưa electron từ trạng thái liên kết có năng lượngthấp nhất ra ngoài nguyên tử trở thành electron tự do

1.3 Nguyên tử Hidro trong điện trường

Khi không có điện trường ngoài tác dụng lên nguyên tử, các trạng thái dừng njm

tương ứng với một năng lượng Enj (sự suy biến theo số lượng tử m)