Cho hình chóp S ABC... Cho hình chóp S ABC... Cho hình chóp S ABCD.. Cho hình chóp S ABCD... Cho hình chóp S ABCD... Ch ng minh SC vuông góc v i AI và tính th tích kh i chóp MBAI... Tìm
Trang 1Các bài đ c tô màu đ là các bài t p m c đ nâng cao
Bài 1 Cho hình chóp S ABC có m t bên SBC là tam giác đ u c nh a , c nh bên SA vuông góc v i m t
ph ng đáy gócBACb ng 0
120 Tính theo a th tích c a kh i chóp S.ABC
Gi i Cách 1
1
3
+) Tính SABC?
Áp d ng đ nh lý hàm s côsin cho tam giácABC, ta có
2 cos120
BC AB AC AB AC
2
3
3
a
(Tam giácABC cân tai A )
Suy ra
2 0
ABC
+)
2
V y
SABC
Cách 2
g i I là trung đi mBC AI BC SI, BC
1
3
ABC
S BC AI a AI
M t khác,ta có tan 600 3 2
2 3
AI
12
ABC
a
S
V KH I CHÓP CÓ C NH BÊN VUÔNG GÓC V I ÁY
ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Trang 22 2
V y
3
2 36
SABC
a
ABCDABC Dcó đáy là hình vuông tam giác '
AACvuông cân, '
ACa Tính theo a th tích c a kh i t di n ' '
ABBC
Gi i
' ' 1
3
Mà : +) '
' 1
2 ABB
S BABB
M t khác,xét tam giác vuông '
AAC ta có
2
a
( n n a,xét tam giác vuông ABC,ta có
2
2
4 2 ABB
a
S
' '
2
a
BC BC AB
V y '
3
2 48
ABB C
a
Bài 3 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông cân t i B,ABa, c nh bên SA vuông góc v i
m t ph ng đáy góc gi a 2 m t ph ng(SBC và () ABC b ng) 0
30 G i Mlà trung đi m c aSC Tính
theo a th tích c a kh i chóp S.ABM
Gi i
G i H là trung đi m AC MH/ /SAMH(ABC)
3SABC SA MH 6SABC SA
C
B
S
A
M
H
a
a
0 30
Trang 3Mà: +)
2
1
ABC
a
+) tan 300 1
SA
V y
3
3 36
SABM
a
Bài 4 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thang vuông t i A và B,AB BC a ,AD2a, c nh bên SA
vuông góc v i m t ph ng đáy SA2a.G i M, N l n l t là trung đi m c a SA,SD Tính theo a th tích
c a kh i đa di n ABCDNM
Gi i
a
?
CADNM
V
G i I là trung đi m AD,ta có ABCI là hình vuông
V y
2
ABCDNM
Bài 5 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thang vuông t i A và D,AD CD a ,AB3a, c nh bên SA
vuông góc v i m t ph ng đáy.Góc gi a SC và m t đáy b ng 0
45 Tính theo a th tích c a kh i chóp
S ABCD
Gi i
1
3
2
ABCD
+) SACvuông cân t i A
Trang 4A' C'
B'
D
C
A
B S
S'
V y
3
3 SABCD
a
Bài 6 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông c nh bên SA vuông góc v i m t ph ng đáy Tính theo a th tích c a kh i chóp S ABCD ,bi t :
a) ABa,góc gi a SD và m t ph ng (SAB) b ng 0
30 b) BD2a,góc gi a m t ph ng (SBD) và m t đáy b ng 0
60
2
M t khác :tan 300 1
3
3
SA a
3 2
3
SABCD
a
b) G i O ACBD
1
3
Mà:+) AB2BC2AC2BD22AB24a2ABa 2 2
2
ABCD
+) SA OA tan 600 a 3
V y
3
3
SABCD
a
Bài 7 Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình vuông c nh a, SA ABCD SA a A B C D l n l t
là trung đi m c a SC SD SA SB S là tâm hình vuông ABCD Tính th tích kh i chóp S A B C D
Gi i
A B C D ABCD
SA ABCD SA A B C D
/ / ' ' ( ' ' ' ')
SA SAS A A B C D
VS A B C D=1 ' ' ' ' ' '
3 SA B C D S A Mà:
Trang 5SA 1
2SA=
2 a
A B C D là hình vuông
SA B C D A B A D
2
a
2
a
= 2
4
a
=> VS A B C D = 1
3
2
4
a
2
a
= 3
24 a
Bài 8 Cho hình chóp t giác SABCD có đáy là hình thang 0
90 ABC BAD , BA = BC = a; AD = 2a Gi
s SA vuông góc v i (ABCD) và SA = a 2 G i H là hình chi u c a A trên SB Tìm th tích c a t di n SHCD
Gi i:
Ta có SAABCDBCSABBC AH
à AH
M t khác AD(SAB)=>ADHA
Nh v y AH là kho ng cách gi a AD và (SAB)
D SHC
2 3
2
2
2
2
a
G i ) là trung đi m c a SC =>
2
2
3
2 3 3
a
=
3 2 9 a
Trang 6C
S
N
M I
H
B A
S
M
Bài 9 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông c nh a , SA vuông góc v i đáy và SA a G i M, N l n
l t là trung đi m c a SB và SD ) là giao đi m c a SC và m t ph ng (AMN) Ch ng minh SC vuông góc
v i AI và tính th tích kh i chóp MBAI
Gi i
T ng t ta có AN SC (2)
T (1) và (2) suy ra AI SC
V IH song song v i BC c t SB t i ( Khi đó )(
vuông góc v i (AMB)=> 1
3
Ta có
2
4
ABM
a
V y
1
ABMI
Bài 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a, SA vuông góc v i đáy Góc gi a m t
ph ng (SBC) và (SCD) b ng 60 0 Tính theo a th tích kh i chóp S.ABCD
Gi i
G i M là hình chi u vuông góc c a B lên SC Ch ng minh
đ c góc DMB = 1200 và DMB cân t i M
Th t v y:
- Do BD vuông góc v i (SAC)=> BD vuông góc SC
- Mà MB vuông góc v i SC (theo cách d ng)
SBC , SDC MB, DM (chú ý góc gi a đ ng th ng là góc nh n)
Có tam giác DMB cân t i M đi u này d th y (do SDC SBC )
Gi s góc gi a đ ng th ng DM, MB= 0
60 DMB
Tam giác DMB là tam giác đ u đi u này vô lý do DB>BM
120 DMB
Trang 7Tính đ c: DM2 = 2
3a2
SCD vuông t i D và DM là đ ng cao nên 2 2 2
Suy ra DS = a 2 Tam giác ASD vuông t i A suy ra SA = a
V y th tích S.ABCD b ng 1
3a3
Bài 11 Cho hình chóp S ABC trong đó SA vuông góc v i m t ph ng ABC Đáy là tam giác ABC cân t i
A đ dài trung tuy n AD là a , c nh bên SB t o v i đáy m t góc và t o v i m t (SAD) góc Tìm th
tích hình chóp S.ABC
Gi i
Th tích hình chóp S.ABC là: 1
V SAS
Tam giác ABC cân đ nh A nên trung tuy n AD
cũng là đ ng cao c a tam giác
Theo gi thi t:
.tan
2 2
2
sin sin
sin
os sin
SB
a x
c
a
c
Bài 12 Cho hình chóp S.ABC có SC (ABC) và ABC vuông t i B Bi t r ng AB = a, AC = a 3a0 và
góc gi a hai m t ph ng (SAB) và (SAC) b ng v i tan 13
6
Tính th tích kh i chóp S.ABC theo a
Gi i
G i H, K là hình chi u c a C lên SA, SB
Ta ch ng minh đ c
Trang 8CK (SAB), SA (CHK) suy ra CHK vuông t i K và SA KH
CH
Đ t SC = x >0 Trong tam giác vuông SAC
3
3
a x CH
T ng t trong tam giác vuông SAC có 2 2 2
2 2
a x CK
19
3 2
3
3
Bài 13 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O SA vuông góc v i đáy hình chóp Cho
AB = a, SA = a 2 G i H và K l n l t là hình chi u vuông gãc c a A lên SB, SD Ch ng minh SC
(AHK) và tính th tích kh i chóp OAHK
Gi i
*) BC vuông góc v i (SAB)
BC vuông góc v i AH mà AH vuông v i SB
AH vuông góc v i (SBC) AH vuông góc SC (1)
T ng t AK vuông góc SC (2) (1) và (2) SC vuông góc v i (AHK )
*)SB2 AB2SA23a2
6
3
a a
(do 2 tam giác SAB và SAD b ng nhau và cùng vuông t i A)
3
HK
+ K OE// SC c t mf (AHK) t i E OE(AHK doSC)( (AHK))
suy ra OE là đ ng cao c a hình chóp OAHK
+ G i ) là giao đi m c a AE v i SC,SAACa 2
Tam giác SAC cân t i A
Mà AI vuông góc v i SC do SC vuông góc A(K S) C) hay ) là trung đi m c a SC
Có OE//SC, OA=OC =>OE=1/2 IC=1/4SC = a/2
Trang 9+ Có ta giác AHK cân t i A (do 2 tam giác vuông SAB và SAD b ng nhau)
+ G i AM là đ ng cao c a tam giác cân AHK ta có
2
9
a
3 a
3
Bài 14 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình ch nh t v i AB = a , AD = 2a C nh SA vuông góc
v i m t ph ng đáy c nh bên SB t o v i m t ph ng đáy m t góc 60 0 Trên c nh SA l y đi m M sao cho
AM = 3
3
a
, m t ph ng ( BCM) c t c nh SD t i N Tính th tích kh i chóp S.BCNM
Gi i
Tính th tích hình chóp SBCMN ( BCM)// AD nên m t ph ng này c t mp( SAD) theo giao tuy n MN // AD
T giác BCMN là hình thang vuông có BM là đ ng cao
Ta có SA = AB tan600 = a 3 ,
3 3
2 3
a a
Suy ra MN = 4
3
a
BM = 2
3
a
Di n tích hình thang BCMN là :
S =
2
4 2
3
a a
BM
H AH BM Ta có SHBM và BC (SAB) BC SH
V y SH ( BCNM) S( là đ ng cao c a kh i chóp SBCNM
Trong tam giác SBA ta có SB = 2a , AB AM
SB MS = 1
2
V y BM là phân giác c a góc SBA 0
30 SBH
SH = SB.sin300 = a
G i V là th tích chóp SBCNM ta có V = 1 ( )
3SH dtBCNM =
3
10 3 27 a
Trang 10S
M
E K
N
B
K
Bài 15 Kh i chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đ nh C và SA vuông góc v i m t
ph ng (ABC), SC = a Hãy tìm góc gi a hai m t ph ng SCB và ABC đ th tích kh i chóp l n nh t
Gi i
G i là góc gi a hai mp (SCB) và (ABC)
Ta có : SCA; BC = AC = a.cos ; SA = a.sin
V S SA AC BC SA a cos
1 sin 1 sin
Xét hàm s : f(x) = x x3 trên kho ng ( 0; 1)
Ta có f x 3x2 1
3
f x x
T đó ta th y trên kho ng (0;1) hàm s f(x) liên t c và
có m t đi m c c tr là đi m c c đ i, nên t i đó hàm s đ t GTLN hay
0;1
x
V y MaxVSABC =
3
9 3
a
đ t đ c khi sin = 1
3 arc
( v i 0 <
2
)
Bài 16. Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình vuông c nh a, SA ABCD SA a đi m MAD, ECD,
AM = CE =
4
a
G i N là trung đi m c a BM K là giao đi m c a AN và BC Tính th tích kh i chóp SADK theo a và ch ng minh r ng: (SKD) (SAE)
Gi i
3SADKSA3SADKa
MàSADK SABCDSABKSDCK
2 ABM
a S CK CD
a
=
2 2
2
a
=>
1
SADK
a
C S
Trang 11L u ý Vì AM BK nên theo h qu c a đ nh lý talet
NB NK BK
Mà N là trung đi m c a BM NMNBNA NK AM , BK)
+ Ta th y tam giác vuông ADE = tam giác vuông DCK
( vì CK=DE, AD=DC) => DAE CDK
M t khác: DAE AED900 CDK AED900 AEDK
Ta có: DK AE DK (SAE)
Giáo viên: Lê Bá Tr n Ph ng
Ngu n : Hocmai