Để hàm số luôn nghịch biến thì:... ỨNG DỤNG CHỨC NĂNG TÍNH ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM TRONG BÀI TOÁN TÌM SỰ ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ CHỨA THAM SỐ I.. Vậy, hiểu đơn giản để biết được một
Trang 1VẤN ĐỀ 2: SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
Câu 1: Hàm số 3 2
y x x x đồng biến trên khoảng nào sau đây ?
A 3;1 B 1;3 C ; 3 D 3;
Câu 2: Hàm số 1 4 3 2
4
y x x x x nghịch biến trên khoảng nào sau đây ?
A ; 2 B 2;3
C ; 2 2;3 D 2; 2 3;
Câu 3: Khoảng nào sau đây:
A ; 1 B 1;
C 1;1 D ;1 1;
là khoảng nghịch biến của hàm số
2
2
1 1
y
Câu 4: Cho hàm số 2
.ln
x x Hàm số nghịch biến trong khoảng nào ?
A 1;1
e
1 1;
e
1 1
;
e e
1
;1
e
Câu 5: Cho hàm số 1
1
x y x
Khẳng định nào sau đây là đúng
A Hàm số đồng biến trên \ 1
B Hàm số nghịch biến trên \ 1
C Hàm số nghịch biến trên ;1, đồng biến trên 1;
D Hàm số nghịch biến trên ;1 và 1;
Câu 6: Hàm số 3 2
y x m x m x m luôn đồng biến, khi đó giá trị của m thỏa:
A m2 B m0 C m0 D m2
Câu 7: Để hàm số 3 2
yx mx mx luôn tăng trên thì:
A 0 4
3
m
C 0 3
4
m
Câu 8: Cho hàm số y mx m 2
, hàm số này nghịch biến trên từng khoảng xác định thì tham số m thỏa:
A 2 m 1 B m C 0 m D Đáp án khác
Câu 9: Cho hàm số y ax 1
Để hàm số luôn nghịch biến thì:
Trang 2A a1 B a 1 C 1 a 1 D a 1
Câu 10: Hàm số
2
1 1
y
x
nghịch biến trên từng khoảng xác định thì:
A m0 B m0 C m0 D m
Câu 11: Hàm số 3 2 1
m
y x m x m x đồng biến trong khoảng 2;, thì m
thỏa:
A m0 B m0 C m8 D m 2
Câu 12: Để hàm số 2
yx m x m đồng biến trong khoảng 1; 2 thì:
A m3 B m C 1 m 3 D m
Câu 13: Để hàm số 3 2
3
x
y a x a x đồng biến trong khoảng 0;3 thì tham
số a phải thỏa:
A a 3 B a 3 C 12
7
7
a
Câu 14: Cho hàm số 3 2
yx m x m x Để hàm số đồng biến trên khoảng
2; thì tham số m phải thỏa:
6
m C 5
12
12
m
Câu 15: Cho hàm số
2
4 2
y
Để hàm số đồng biến trên 1; thì tham số m phải
thỏa:
A m 1; 4 \ 1 B 1
;1 \ 0 2
m
C m1; 4 \ 2 D 4;1
2
m
Đáp án:
Câu 1 Câu 2 Câu 3 Câu 4 Câu 5 Câu 6 Câu 7 Câu 8 Câu 9 Câu 10
Câu 11 Câu 12 Câu 13 Câu 14 Câu 15 Câu Câu Câu Câu Câu
Trang 3ỨNG DỤNG CHỨC NĂNG TÍNH ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
TRONG BÀI TOÁN TÌM SỰ ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ CHỨA THAM SỐ
I Định lí và ứng dụng
Ta có định lí sau: Cho hàm số y f x có đạo hàm trên khoảng a b; :
- Nếu f ' x 0 x a b; thì y f x đồng biến x a b;
- Nếu f ' x 0 x a b; thì y f x nghịch biến x a b;
Vậy, hiểu đơn giản để biết được một hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định cho trước Ta chỉ cần dùng chức năng đạo hàm tại một điểm của MTBT và gán một giá trị x0 nằm trong tập xác định cho trước:
- Nếu kết quả S tính được là S0 thì hàm số đã cho đồng biến
- Nếu kết quả S tính được là S0 thì hàm số đã cho nghịch biến
Nhưng, nếu bài toán chứa tham số thì sao? Có nghĩa là: nếu thêm một biến nữa thì làm sao tính được? Hay, nói rõ hơn là đây là bài toán tìm tập giá trị của tham số để hàm số đơn điệu trên các tập xác định cho trước
Chúng ta cùng xét ví dụ sau:
y x m x m x m luôn đồng biến, khi đó giá trị của m thỏa:
Rất may cho chúng ta, MTBT vẫn có thể tính giá trị của biểu thức nhiều biến bằng chức năng CALC và chức năng này lại có hỗ trợ cho chức năng tính đạo hàm tại điểm
Lợi dụng điều này, ta giải quyết các bài toán dạng nêu trên như sau:
- Bước 1 Nhập giữ liệu: Nhập hàm số chứa tham số vào MTBT đã bật chức năng đạo hàm
- Bước 2 Đặt tên cho biến: Với biến x ta gán vào biến X, tham số đi kèm ta gán vào biến Y (hoặc
1 biến khác tương ứng) và với giá trị điểm x0 cần tính ta cũng gán X như biến x
- Bước 3 Gán giá trị: Rất quan trọng Đây là bước tư duy quyết định
+ Bước 3.1 Gán giá trị cho biến X: Ta gán bất kì một điểm x0 nào trong tập xác định cho trước
+ Bước 3.2 Gán giá trị cho biến Y (tham số):
Chúng ta cần quan sát các đáp án đã có Để gán các giá trị cụ thể vào biến Y
Các giá trị gán phải làm sao cho ta có thể loại hoặc nhận các đáp án nào đó, nhanh nhất?
Nhanh hay chậm, tùy thuộc vào tư duy của mỗi người
Cụ thể:
II Cách thực hiện:
Cách mở chức năng tính đạo hàm tại 1 điểm trong MTBT:
Trang 4Nhấn liên tiếp tổ hợp phím: SHIFT / , máy hiện:
Ta xét các ví dụ sau:
y x m x m x m luôn đồng biến, khi đó giá trị của m thỏa:
y x m x m x m vào máy tính như sau:
2X 3 Y2 X 6 Y 1 X3Y5, với giá trị cần tính x0 ta nhập X như nói trên
- Bước 3: Gán giá trị:
+ Bước 3.1 gán giá trị cho X: Vì tập xác định là toàn nên ta sẽ khéo gán giá trị cần tính là
x X (chú ý là các em có thể gán các giá trị khác, nhưng đáp án cuối cùng phải như nhau)
+ Bước 3.2 gán giá trị cho Y: Quan sát đáp án, ta thấy:
* Nếu ta gán Y 2 mà kết quả S0 thì đáp án A và D sẽ bị loại Còn nếu S0 thì Đáp án A và
D có khả năng nhận…
Thật vậy, khi CALC với X 0;Y 2 thì S180 suy ra f x đồng biến OK
* Tiếp tục, bấm CALC và lại gán X 0;Y0 thì ta được S 6 0 Cũng OK
Vậy tới đây, ta thấy là m0 , m2 nhận được thì 2 đáp án A và B lại là đáp án sai
Chỉ còn 2 đáp án có thể đúng là C hoặc D Tư duy nhé các em…
* Tiếp, để loại (hoặc nhận) được C hoặc D, ta chỉ cần gán 1 giá trị Y sao cho lệch với C hoặc D Cụ thể như gán Y 3 thì lệch với D, gán Y 1 thì lệch với C
Thật vậy, khi CALC với X 0;Y 3 thì S240 Ok Vậy thì C đúng Còn D bị loại
Kết luận C là đáp án cuối cùng
Sau ví dụ này, các ví dụ tiếp theo thầy sẽ bỏ qua bước 1 và 2 Trong bước 3 thầy cũng sẽ bỏ những câu từ dài dòng
Các em chú ý theo dõi…
Câu 7: Để hàm số 3 2
yx mx mx luôn tăng trên thì:
A 0 4
3
m
C 0 3
4
m
Giải: TXD trên nên gán X 0
Trang 5Quan sát đáp án, thấy được m0 đáp án nào cũng có Vậy m0 đúng rồi Không gán m0
Hai đáp án A và C có chiều như nhau B và D cũng vậy
Vậy nếu gán 3
4
m Y mà > 0 thì C nhận, A loại Nếu gán 3
4
m Y mà < 0 thì A, C đều loại
Tiếp tục, nếu gán 4
3
m Y mà > 0 thì B nhận, D loại Nếu < 0 thì ngược lại
Ta thu được đáp án là B
Câu 8: Cho hàm số y mx m 2
, hàm số này nghịch biến trên từng khoảng xác định thì tham số m thỏa:
A 2 m 1 B m C 0 m D Đáp án khác
Giải: Txđ: \ m nên nếu gán X 0 thì nhớ đừng gán Y 0 (hoặc các giá trị X, Y tương ứng)
Ở bài này thầy gán X 0
Quan sát đáp án, thấy nếu gán m Y 2 mà < 0 thì chỉ đáp án B đúng Nếu > 0 thì B sai
B sai Gán tiếp nếu m Y 1 mà < 0 thì C đúng Nếu > 0 thì C sai
C sai Gán m Y 1 < 0 Vậy A đúng
Ta thu được đáp án là A
Câu 9: Cho hàm số y ax 1
x a
Để hàm số luôn nghịch biến thì:
A a1 B a 1 C 1 a 1 D a 1
Giải: Txđ: \ a Gán X 0
Gán Y 2 lệch A, loại (hoặc nhận) được A Tiếp gán Y 2 lệch B, loại (hoặc nhận) được B
Tiếp, gán Y 0,5 nhận C
Ta thu được đáp án là C
Câu 10: Hàm số
2
1 1
y
x
nghịch biến trên từng khoảng xác định thì:
Giải: Txđ \ 1 Gán X 0
Gán Y0 nếu < 0 vậy chỉ B hoặc C đúng Nếu > 0 A đúng
0
Y nếu < 0, nên gán tiếp Y 1 < 0 vậy C đúng
Ta thu được đáp án là C
m
y x m x m x đồng biến trong khoảng 2;, thì m thỏa:
Trang 6Giải: Đồng biến trên 2; nên gán X 2
Gán Y0 > 0 thì loại A, D Sai loại B
0
Y > 0, nên gán tiếp Y 1 > 0 nên chọn B loại C
Ta thu được đáp án là B
Câu 12: Để hàm số 2
yx m x m đồng biến trong khoảng 1; 2 thì:
Giải: Đồng biến trên: 1; 2 Gán X 0,5
Gán Y 3 > 0 loại A Gán tiếp, Y 4 > 0 chọn B, loại C và D
Ta thu được đáp án là B
Câu 13: Để hàm số 3 2
3
x
y a x a x đồng biến trong khoảng 0;3 thì tham số a
phải thỏa:
7
7
a
Giải: Đồng biến trên 0;3 nên gán X = 1
A, C cùng chiều B, D cùng chiều
Gán y 2 < 0 loại A, gán tiếp Y 2 > 0 nhận C
Ta thu được đáp án là C
Câu 14: Cho hàm số 3 2
yx m x m x Để hàm số đồng biến trên khoảng
2; thì tham số m phải thỏa:
6
m C 5
12
12
m
Giải: Đồng biến trên 2; gán X = 3
B, D cùng chiều Gán 1
6
Y > 0 nhận B và A Gán 5
12
Y > 0 nhận C và D
Gán tiếp Y 1 > 0 nhận B loại A, C Gán tiếp Y0 > 0 nhận D loại B
Ta thu được đáp án là D
Câu 15: Cho hàm số
2
4 2
y
Để hàm số đồng biến trên 1; thì tham số m phải thỏa:
A m 1; 4 \ 1 B 1
;1 \ 0 2
m
C m1; 4 \ 2 D 4;1
2
m
Giải: Đồng biến trên 1; nên gán X 1 Vì gán x1 nên đừng dại gán m Y 1
Trang 7Gán Y 4 < 0 loại A và C Gán tiếp Y 1 < 0 loại B nhận D
Ta thu được đáp án là D
Lê Mạnh Cường – Biên Hòa, Đồng Nai
Biên Hòa, 10/09/2016
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1 Võ Hữu Phước, Quảng Đại Đạt, Chuyên đề tự luận và trắc nghiệm khảo sát hàm số 12
2 Bùi Ngọc Anh, 600 bài tập trắc nghiệm có giải đáp giải tích lớp 12 và luyện thi đại học