Tuyển tập 324 bài toán logarit chọn lọc (in lần thứ hai) Phần 2

ScanGate document LOOGARIT NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ CHƯƠNG I ĐỀ BÀI TỪ NĂM 1970 ĐẾN 1993 ĐỀ THI NĂM 1994 ĐỀ THI NĂM 1995 ĐỀ THI NĂM 1996 ĐỀ THI NĂM 1997 ĐỀ THI NĂM 1998 ĐỀ THI NĂM 1999 ĐỀ THI NĂM 2000[.]

bE THINAM 1996

Bai 104

Tìm nghiệm củo phương trình:

sin'x + cos"x = cos2x

thod man bốt phương trình:

° (sin’x + cos*x)’ — 2sin?xcos?x = cos2x

log, z+ logig x + logyg y=2

Dai hoc Giao théng (1996)

GIẢI

logs x + logy y + logy z=2 log; y + logy z+ logy x=2 logs 2 + logis x + logyg y=2

Điều kiện: x, y,Z>0

Tacó: logax= log , x= 2log,x = log,x’

4

logyy = log ¡ y= 2logay = log,y” 92

Tương tự:

165

log,z= log, 2= 2log,z = logygz”

162

Do đó hệ phương trình đã cho trở thành:

logy x? +logyy+logy z=logy4°

logo y? + logo Z + logo x = logo 9°

Chúng minh rằng, với mọi số tụ nhiên a, b, c ta cé:

Anh <a*b°c° Dếu '=' xỏy rd khi nào?

Học viện Kỹ thuột Quên sự (1996)

GIẢI

a+b+c ˆ

Giả sử: Gai <a*bĐe€ qa)

Do a, b, c € N’, logarit hai vé với cơ số e, ta có:

166

Bai 109

Gidi phuong trinh:

2

dog, 36 - log, 4+ log, 81= logy 3* ~4*-15

Đại học Dôn lộp Thăng Long (1996)

Đợi học Thuỷ lợi (1996)

Bai 112

Giải phương trình:

xlog jp 16loga xP ex? 415

Đại học Quốc gia Hò Nội (1996, B)

Phương trình này có hai nghiệm: x = 1 (loại)

x=l§

171

=nl3 + xinx| + C Vậy họ nguyên hàm của hàm số f(x) là:

Từ (1) ta suy ra: Gloga x? -2log,2 x7 >I

° 3 loe2* 3i9E; X> A why 1

log,

Vi x>O nén x £0

Chia hai vé cla (1) cho x'®2° ta duoc:

T-logy § , topy J+lopy 5

XP ORDD yg BRI ED? |

* VGi x >2, tương tự ta suy ra (2) vô nghiệm

Vậy phương trình chỉ có một nghiệm x =2

Bòi 118

Cho ham sé: y= -x” + 3x — Ì

1 Khao sốt sự biến thiên vò vẽ đồ thị hàm số

2 Biện luôn †heo m số nghiệm của phương trình:

x -3x+1= log, m

3 Đợi học Mỹ thuột Công nghiệp (1996)

175

3

; <x<27 phương trình có ba nghiệm

176

Néu log, m>l <> O<m< : phương trình có một nghiệm

Dao ham bac k + 1:

y#*Ð =(~1)F12*&- DICk).2(2x + I8

= (-1)"'(-1).28* (ck = Dt (2x + 1"

= (12 a -piax+n*

nghiệm đúng với mọi x thoẻ mỡn điều kiện 0<x<2

Dai hoc Thuong mai

Iga? +a)—Igx #0 a?+a#x

Viện Đợi học Mở Hò Nội

15x” ~ 75x + 90 <0

o 2<x%<3 5=x<] hay x > 4, thi log,(S — x) < 0, tir (1) ta có:

Tir bat phuong trình (1) ta suy ra:

log V2x? -2x-1 <log 2 p¥xo-x +1 (2)

nghiệm số của bất phương trình (1) là:

tog |x| + log>|y|=4

log,-1 |ị- log „~¡ ly|=2

loga |x| + loga|y|= 4 Q) ( logs |x| + logz|y|=2 @) Cộng (2) và (3) từng vế ta có:

2logaly| = 6 <> logsly| = 3

suyra: |y|=2°=8 <> y=+8

“hay y = +8 vao (2) <> log;|x|= 4~ loga|y|=4~ 3= 1

Điều kiện: { O<x#l

Vì y“ >0, hàm số y luôn đồng biến, do đó giá trị nhỏ nhất

của ylà: y„„=y(O)= s khí t=0

Vậy y có giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi Ig?x + 2 = 1 hay Ig”x= —1

sẽ dẫn đến kết quả (1) vô nghiệm

Nghiệm của bất phương trình là: |x>0| thoả mãn điều

Điều kiện logx>O <> x>I

Từ (1) ta suy ra: log,3 + log,x -3 flog, x +1=0

log,x -3 flog, x +2=0 (2)

t

* V6i t=1 thì flog, x =1 suyra |x=3

* V6i t=2 thi ylogyx =2 suyra [x

Như vậy phương trình (1) có hai nghiệm x = 3 và x = 81

Với những gid tri nao của m thì bốt phương trình sau đêy

được nghiệm đúng với mọi gió trị của x:

log,(7x’ + 7) 2 log,(mx’ + 4x +m)

Dai hoc An ninh (1997)

GIẢI log,(7x? + 7) > log;(mxỶ + 4x + m) @)

thức luôn đồng dấu với a

190

Bảng xét dấu cho biết miễn xác định của y là:

D=Ei-Z, -1) hoặc Li+vz, )

191

x” -3x-4>0 x” ~3x-4>0

492

Vy các nghiệm số của bất phương trình: [x>4] và [_1<x<0)

Bởi 135 —-

Cho

Tìn giớ trị của m để hèm số xóc dinh véi moi gid tri cua x

Trung tôm Bưu chính Viễn †hông (1997)

log, (3x +2y) =2

Giỏi hệ phương trình BẾP p ma +3y)=2 :

Dai học Công doan (1997)

f(x) = TT bSreÐ

(x)= x?— 6x +5

t(x)>0 Vx (1,4)

* V6i x<1 va 2<x <3 thi vé phai cua (2) <0, vé tdi > 0

nên (2) luôn thoả mãn

* Với x > 3 bình phương hai vế của (2) ta được:

Vậy miền xác định của hàm số y là:

(x<1)U(2<x¢3)U(x>3) hay (x <1) U(x>2)

197

2sin2xcosx = sin2x

sin2x(2cosx -l) =0

Vì sin2x > 0 nên 2cosx = J

1 COSX = —

2 x=+—+2km

# Với a> 1, từ (2) ta suy ra:

x -4x-5<0

Phuong trinh nay cé nghiém x: -1 <x <5

Kết hợp với điều kiện x < 4 ta suy ra nghiệm của bất

Dai hoc Dên lập Ngoại ngữ Tin học (1997)

x” ~2x-3<0 -l<x<3 Kết hợp với x<O hoặc x> ; tac6 nghiém: -1<x<0

Lexe3

3

201

Hệ phương trinh:] "8x — 2Ý #Ÿ )‡ l6Ei-y( #2 +x”)

logi+y(1 + 2y) + logi_y(1 + 2x) =2

1 0zx>-— 2

Hệ phương trình có thể biến đổi thành:

logi,„(1= y)” +logi_y(L+x)” =4

log, 4, (I+ 2y) + logy_y (1+ 2x) =2

© 5x'+2x=0 (3)

x=0 (loai vi x #0) Phương trình (3) có các nghiệm: 5

Logarit hai vế của (1) với cơ số a, ta được:

log, (« loạa (ax) ) > log, (ax)*

*VGia>I

log,(ax) log,x > 4log,(ax)

log,(ax)(log,x - 4) 20 (1 + log,x)(log,x ~ 4) 20 (2)

Giải hệ phương trình này ta có các nghiệm:

log,x < —l ta suy ra: |0<x<—

mattis Ion xua - sin œ) (0— 0—sin0 sin0”) xua (2) 2

Giải (2) ta được các nghiệm: |x <-2] và ;< <3

Biết logls|= log ; |x|= I0:

và log, v= logs |2 =+tog, lx|

Do đó (1) trở thành:

205

Cơ số z< 1 nén ham s6 logarit nghich bién Tir (1) ta c6:

Tìm miền xóc định của hàm số: y=.Íloga(3x + 4)

Đợi học Quốc gia Hà Nội (1997, ©)

=> 0<x<6

Với |x—3|>1

[x-3<~I

[x-3>1 x<2

log, ROX” = t8 +16)>loy, c§/3Ƒ (2)

* Với O< x < = © 0< x43< I thì hàm số logarit

aghich biến nên từ (2) ta có:

_ L-k- G9):

* Với t=-2 tacó: log,x = -2

Vế trái của (3) là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch

biến, suy ra (3) có nghiệm số duy nhất x = 2

Vậy phương trình có các nghiệm số:

x=-| 4 và |xz2

210

Gidi bat phương tr inh:

logy 2+ logy x log, x

Dat log,x=t voit#-1 vat+0, ti (2) tacé:

b./ Xác định cóc gié trị của m để mọi nghiệm củơ (1) cũng

x= I và x =2 đều là nghiệm của (2), nên:

22

© logd( + 1) = log;6 logget

©_ log¿(t+ 1) + logạt = log;6 logat

=> — log.(t + 1) = loggt (log,6 — 1) (3)

* Với 0<t< 1 thì vế trái của (3) lớn hơn 0, còn vế phải của (3) nhỏ hơn 0 nên (3) vô nghiệm

* Với t> I, từ (3) ta suy ra:

lops(t +1)

logøt

Xét vé tdi cla (4) 1a ham s6 chat

= log,6 — log,2 = log,3

Từ (5) ta suy ra f() = log(t+ 1) 1a ham nghịch biến khi t >1

Do đó (4) có nghiệm duy nhất t=2 hay Yx = 2 <> x= 16

Cho bết phương trình: ] + log,(X” + 1) > log(mx? + 4x + m)

Tìm tốt cả cóc gió trị của thơm số m để bốt phương trình được nghiệm đúng với mọi x

Đợi học Quốc giơ TP HCM (1997, D)

Tacó: f(x)= :Ƒ(Œ&)=0 khi x=+l

Bảng trên cho biết giá trị lớn nhất của g(x) 1a2

Do đó để (1) đúng với mọi x, ta phải có:

Bai 158

Gidi phuong trinh: 4log,x + log,3 = 3

Dai hoc Ky thuat Céng nghé TP HCM

* Với logyx = + ta có nghiệm: x 2 =

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm là x = 3 và x = v3

218

Chứng minh: logo ;a + logo s b>2Íogg s 138) dd)

Theo bất đẳng thức Côsi, với hai số dương a va b ta c6:

atb 2 2vab hay ` _ > vab (2)

Logarit hai vế của (2) với cơ số 0,5 < 1, ta được:

© loges( 2°] < logo stab)?

= logo, (22) Š 51089 s(ab)

° toeas(°<"] š 2l°tos a+ logos 9]

= 2 ha 2”) S logos a+1089.5b (dpem)

Chú ý: Khi cơ số nhỏ hơn 1 thì hàm số logarit nghịch biến

Nếu M>N, a< Ï thì loạ,M < log,N Do dé:

logs ~ 5x +6) + log (x -2)? > 5 le i & +3)

© „log(xỶ ~5x+6)— „log(œ -2)> ~zlog(x +3)

g./ Giải phương trình khi m = 0

Đ./ Tìm cóc gié trị của x nghiệm đúng phương trình đỡ cho

b./Bất phương trình nghiệm đúng với mọi m > 0 thì phải

nghiệm đúng với m = 0 Theo câu (a) thì x = 2 và x =

Từ (4) ta suy ra phương trình không đúng với mọi m, thí dụm = 1 thi 2- 12m=-10<0

* Thay x =5 vao (1), tacé:

x —| 20 (3) (3) luôn đúng với moi x

Vậy nghiệm số của bất phương trình là:

Xóc định gió trị của tham số m để phương trình:

te(mx) _ 2 cénghiém duy nhốt

Từ (1) ta suy ra:

* 3t — (og,3 + log,x) - 1 =0

© 34-(1+U)-I=0

Phuong trinh (2) c6 hai nghiémt = 1 và t=2

* V6i t=1,tacé: Jlog,x =1

Điều kiện: {

© log,x =1

224

2./ Xóc định œ để phương trình có hơi nghiệm phôn biệt x,,

Logarit hai vé vGi co s6 2, ta duge:

logz4(x — 2) loga(x — 2) = log,4 + 3log,(x = 2)

[log;4 + log,(x — 2)]log,(x — 2) = 2 + 3loga(x ~ 2)

Dat log,(x—2) = t, ta cd:

(24+ tt=2+ 3t

226

* Với t=~l,taeó: lop;(x = 2) = ~l, suy ra:

Bai 167

Gidi bết phương trình:

log,x + log,x < 1 + log,x log;x

Dai hoc Ngoai thuong (co sé 2)

Điều kiện: f no y>0

Từ hệ đã cho, ta suy ra:

Ig4(g4 + lg x) =Ig3(1g3 + lgy) (2)

Ắ Ig4(g4 Ig3 + lgy Ig4) = Iạ'3 + Ig?3 Ig

e Ie74 le3 + 12°4 Igy = 123 + 1g ley

2 1g°4 Igy — Iy3 Igy = Ip`3 - Ig34 IIg3

229

Điều kiện: 2x-1>0 hay x> 4

Bất phương trình tương đương:

Tam thức x”+ 3x + 6 có A = 9 - 24 = -15 < 0 nên luôn luôn

có giá trị dương với mọi x

Từ (2) ta suy ra:

vx? +3x+6>x-6

231

*V6i x-6<0 hay x <6 thi bat phuong trình luôn đúng

*Với x—6>0 hay x >6, bình phương hai vế của (2)

*Với x+4<0 hay x<-4 thì (3) luôn đúng

*Với x+ 4>0, bình phương hai vế của (4), rồi giải tiếp ta

(In(3x + Đ) In2x — In(3x + 1)(ln2x) 5

nếu x>0 thi x+1>0 va yx+1>1 nénlog,/x+1 >0

* VGi_ log (Vx+2 - vk) <0 hay logy (vx+2 - vx) < logal

Vay khi a> 1, thi bat phương trình có nghiệm: | L<x <4 Khi a <0 hay a = I thì bất phương trình (1) vô nghiệm Bai 176

Gidi phuong trinh:

log,(x’ + 3x + 2) + log,(x? + 7x + 12) = 3 + log,3

Đợi học Quốc gio Hò Nội (1998, A)

Phương trình (1) tương đương: *

log,(x° + 3x + 2) + log;(X? + 7x + 12) = log;8 + log;3

©_ log;[(x + 1)(x + 2)] + log,[(x + 3x + 4)] = log,24

Bai 177

=> Phuor Với điều kiện đầu b›

Vậy, phương trình , trình vô nghiệm

Khi -l <x <0, vế phải của = có giá trị dương nên bất

* Với t=1,tacó: log(5*~ 1)=1 =log;5

© 5-I=5 & x=log,6

* Với t=-2, ta có: log(S*- 1)=-2= ve,( 4]

° S-15 5 © x=-2+log26 Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là:

toga 0p, (2X) =o, ) ;Với a>0;a#l

Dai hoc Thai Nguyên (1998 , D)

16-T1324BT 241

Gidi phuong trinh:

(logy x) = log; x logs (v2x +1— )

Đại học Thuỷ lợi (1998)

242

„Iogi x-lops x.loga 2x +; )

log x(log x -2og,(V3x 41 - 1)=0

* Với logax=0suy ra x=l

* Với lopsx-2log; (Vix +1- i) =0

= log,x= log, (Vax +1- iy

x=4

xzl Phuong trình đã cho có các nghiệm số là: x= 3

243

«& log,-, x 2 log,-,(2x — 1)

* V6i O<x-I1<1 hay 1<x<2

Vay phuong trình đã cho có nghiệm: |I <x <2

244

Vế trái là hàm nghịch biến, vế phải là hằng số suy ra phương

trình có nghiệm số duy nhất t= 2, do đó Vx = 4, vậy |x=4'

Đặt logy Vx =t

245

lots ,a( Yi? +148) +iee, g(a? +1 -x]=6 ql)

Điều kiện: _ yx? +1+x>0 luôn thoả man

Biết (ve +1 oxi? + -x}F 1

w( + =)

* Với 0O<x<],tacó: em s BA ey => lx-5|<6

© -lI<x<ll Kết hợp lại ta có 0< x < I

Vậy nghiệm của bất phương trình là:

0<x<lj và |x>Il

250

Bai 189

V6i gid tri nguyén nao cua a thi bat phuong trinh:

2log, a-3+42xlog, a-x° <0

được thod man véi moi x € R

"Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông

Để (2) thoả mãn với mọi x c R, thì:

A’ = log,’a — (2logya + 3) <0

«© -l<logạa<3

« log;2'<log;a<log;2?

© <a<8

mye

Vì a là số nguyên nên a có các gid tri 1, 2, 3, 4, 5, 6 va 7 thi

bất phương trình thoả mãn với Vx e R

251

Ta có: 9x? — 4y? = (3x + 2y)(3x — 2y)=5

© log;(3x + 2y) + log;(3x - 2y) = log,5 = ]

log;(3x - 2y) = 1 — log,(3x + 2y)

Khi m = 5 thi hé phuong trinh tré thanh:

log 5(3x — 2y) = 1 — log 5(3x + 2y) (a)

Thế log;(3x - 2y) ở (a) vào (b) ta được:

log,(3x + 2y) — [1 — log,(3x + 2y)] = 1

‘Tir (c) va (d) ta suy ra: [x=1) va [y=1

2 Tìm giá trị lớn nhất của m thoả mãn 3x + 2y < 5

252

Biết 9x7-4y

đo đó hệ (1) trở thành:

5 ta suy ra log,(3x—2y) = 1-log,(3x + 2y)

log, 3x + 2y) — log (3x -2y) =1

"Ta có: log,,(3x + 2y) = log,,5 logs(3x + 2y)

log,(3x — 2y) = log, 5 log,(3x — 2y)

= log,S[1 — log,(3x + 2y)]

Hệ (2) tương đương:

logs(3x - 2y) =1 ~ logs(3x + 2y)

fee + 2y) logy, 5— log; 5[1 ~ log 5(3x + 2y)]=1

log 5 (3x — 2y) = 1 - log 5(3x + 2y)

fn +2y)flog,,, 5+ log; 5]=1+ logs 5

« lop fixe Bye te logm 5 + loga Š (3)

Khi 3x+2y < 5thì log;(3x + 2y) < 1, từ (3) ta suy ra:

1+ loga Š ent toes?

logy, 5+ log, 5 1+loga 5

=> = log, 521

Vay giá trị lớn nhất của m thoả mãn 3x + 2y < 5 là|m = 5 Bai 192

nghiệm đúng với mọi gié tri cua x

Dai hoc Giao théng Van tai (1999)

253

GIẢI

x"|2-lo, ( est +2x| 1+l ( ng) ( ~2J1+log mm —— |>0

Điều kiện: - >0 « a<-l hoặc a>0

Ab tex Glen cg 32 tax

255

(2) log 3(x - 3) >0

* Với logx=2 suy ranghiệm số: |x=9]

* Với logx=3 suy ranghiệm số: |x<27]

* Với log,.x=0 suy ra: |x=l

* Với 2-logạx=0 suy ra: |x=4

Các nghiệm số x = 1 va x = 2 thoả mãn điều kiện (2)

Từ (1) ta suy ra:

1 log ¡ x? + log 1 x* +log,3+log,x* =3

32

log ,x — 3log,x + 1 + 4log,x = 3

2log,x =2 log,x = 1

! ~log x + -=0 logạx 2 > 6

Đặt log,x =1 (1 #0), tacé:

Ady + 20

t 2 6 6-3 +2=0

Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:

logs Baya -m+ J)+log, /s_ (mx=x”)=0

Học viện Kỹ thuột Ñuôn sự (1999)