Các định lý giới hạn cho martingale

Mục đích nghiên cứu Luận án nghiên cứu sự hội tụ cũng như tốc độ hội tụ của của trường các hiệu martingale nhận giá trị trong không gian Banach, luật mạnh số lớn Kolmogorov, luật mạnh số

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

TẠ CÔNG SƠN

CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN CHO MARTINGALE

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2014

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

TẠ CÔNG SƠN

CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN CHO MARTINGALE

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học

Mã số: 62460106

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG

Hà Nội - 2014

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kì công trình nào khác

Tác giả

Tạ Công Sơn

LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới Thầy, GS TSKH Đặng Hùng Thắng vì sự định hướng và sự gợi mở vấn đề của Thầy trong nghiên cứu, sự nghiêm khắc của Thầy trong học tập và sự bao dung của Thầy trong cuộc sống dành cho tác giả

Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Khoa Toán - Cơ - Tin học, Phòng Sau đại học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, nơi tác giả đã học tập và nghiên cứu

Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới các Thầy, Cô ở Bộ môn Xác suất và thống

kê, Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường đại học Khoa học Tự nhiên, nơi tác giả đang công tác và giảng dạy, đã giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trình học tập hoàn thành luận án

Trong quá trình học tập và hoàn thành luận án, tác giả vô cùng biết

ơn khi nhận được sự quan tâm giúp đỡ và góp ý của GS.TSKH Nguyễn Duy Tiến, GS.TS Nguyễn Hữu Dư, GS.TS Nguyễn Văn Hữu, GS.TS Nguyễn Văn Quảng, PGS.TS Phan Viết Thư, PGS.TS Trần Hùng Thao, PGS.TS Hồ Đăng Phúc, TS Trần Mạnh Cường, TS Nguyễn Thịnh, TS

Lê Văn Dũng, TS Lê Văn Thành, TS Nguyễn Văn Huấn Tác giả xin chân thành cảm ơn tới anh, TS Lê Văn Dũng về nhiều sự giúp đỡ, đóng góp quý báu

Tác giả xin được gửi lời cám ơn tới tất cả thầy cô, bạn bè đã góp ý, ủng

hộ và động viên tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận án Luận án là món quà quý giá của tác giả dành tặng cha mẹ, hai em gái,

em rể và người vợ sắp cưới những người đã luôn ở bên cạnh động viên tác giả trong những lúc khó khăn

Tạ Công Sơn

MỤC LỤC

1.1 Kiến thức chuẩn bị 10

1.2 Một số dạng hội tụ của trường các biến ngẫu nhiên 13

1.3 Trường các hiệu martingale 19

1.4 Toán tử ngẫu nhiên 22

Chương 2 Luật số lớn cho trường các hiệu martingale 26 2.1 Luật mạnh số lớn cho trường hộp các α-hiệu martingale 26

2.2 Luật số lớn dạng Brunk-Prokhorov 39

2.3 Luật yếu số lớn cho trường α-tương thích mạnh 50

Chương 3 Hội tụ hoàn toàn và tốc độ hội tụ của trường các hiệu Martingale 57 3.1 Hội tụ hoàn toàn 57

3.2 Hội tụ hoàn toàn trung bình 66

3.3 Tốc độ hội tụ của chuỗi ngẫu nhiên 76

Chương 4 Sự hội tụ của dãy các martingale toán tử 88 4.1 Hội tụ của dãy martingale toán tử 88

4.2 Sự hội tụ của tích các toán tử không bị chặn độc lập 97

Danh mục các công trình khoa học của tác giả liên quan đến

NHỮNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN

k · k Chuẩn trên không gian Banach E

(Ω, F , P ) Không gian xác suất đầy đủ

i=1[mi, ni)

n  m n1 ≤ m1, n2 ≤ m2, , nd ≤ md

n ≺ m n  m và n 6= m

1 nα2

2 nαd

d với α = (α1, , αd) ∈ Rd

log(x) logarit cơ số e của x

log+(x) max{log(x), 0}

4

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

1.1 Lý thuyết martingale nghiên cứu những vấn đề liên quan đến lý thuyết trò chơi nhưng về sau được phát triển thành một lĩnh vực toán học chặt chẽ, trở thành một mô hình toán học quan trọng có nhiều ứng dụng trong thống kê, phương trình vi phân, toán kinh tế Đặc biệt, gần đây đã có nhiều ứng dụng thú vị trong chứng khoán, thu hút khá nhiều nhà toán học quan tâm Về phương diện xác suất, martingale là sự mở rộng của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập kì vọng không

1.2 Các định lý giới hạn đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết xác suất, chúng được ví như những viên ngọc của xác suất, Kolmogorov đã từng nói

"Giá trị chấp nhận được của lý thuyết xác suất là các định lí giới hạn, các kết quả chủ yếu nhất và quan trọng nhất của lý thuyết xác suất là các luật

số lớn" Ngày nay, các định lý giới hạn vẫn đang là vấn đề có tính thời sự của lý thuyết xác suất

1.3.Từ những năm 1950 trở lại đây, các định lý giới hạn đã được nghiên cứu

mở rộng cho dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach Tuy nhiên đối với trường hợp trường các hiệu martingale cũng như với các dãy martingale toán tử vẫn chưa được nghiên cứu nhiều

Với các lí do trên chúng tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu cho luận

án của mình là: Các định lý giới hạn cho martingale

2 Mục đích nghiên cứu

Luận án nghiên cứu sự hội tụ cũng như tốc độ hội tụ của của trường các hiệu martingale nhận giá trị trong không gian Banach, luật mạnh số lớn Kolmogorov, luật mạnh số lớn Marcinkiewicz - Zygmund, luật số lớn dạng Brunk-Prokhorov, luật yếu số lớn, hội tụ hoàn toàn và hội tụ hoàn

5

toàn trung bình của trường các hiệu martingale.

Luận án nghiên cứu về sự hội tụ của các dãy toán tử ngẫu nhiên, dãy martingale toán tử ngẫu nhiên cũng như tích các toán tử ngẫu nhiên độc lập trong không gian Banach

3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận án là trường các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach và dãy các toán tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Bannach

4 Phạm vi nghiên cứu

Luận án nghiên cứu các định lý giới hạn như luật mạnh số lớn, luật yếu

số lớn, các định lý về hội tụ hoàn toàn, hội tụ hoàn toàn trung bình, tốc

độ hội tụ của tổng các trường hiệu martingale, các định lý về hội tụ cho dãy các martingale toán tử ngẫu nhiên cũng như tích vô hạn của dãy toán

tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị trong không gian Banach

5 Phương pháp nghiên cứu

Luận án sử dụng các kĩ thuật của xác suất, giải tích, giải tích ngẫu nhiên, các công cụ của martingale để chứng minh các định lí hội tụ Một

số bổ đề quan trọng như: Bổ đề Borel-Cantelli, Bất đẳng thức Kolmogorov, Bất đẳng thức Doob, Bổ đề Toeplitz, lý thuyết toán tử tất định, các tính chất về thác triển toán tử, nguyên lý đồ thị đóng cũng được sử dụng để chứng minh các kết quả

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Ý nghĩa khoa học: góp phần làm phong phú thêm các kết quả và sự hiểu biết về hội tụ của chuỗi ngẫu nhiên, luật mạnh số lớn của trường các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach, cũng như các kết quả của toán tử ngẫu nhiên

Ý nghĩa thực tiễn: luận án góp phần phát triển lý thuyết về các định lí giới hạn của trường biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach trong lý thuyết xác suất

7 Tổng quan và cấu trúc luận án

7.1 Tổng quan luận án Các định lí giới hạn trong xác suất đóng vai

6

trò quan trọng trong phát triển lý thuyết, thực hành xác suất và thống

kê Chính vì vậy mà các định lý về giới hạn đã thu hút nhiều nhà khoa học nghiên cứu và mở rộng Đầu tiên phải kể đến luật số lớn: Luật số lớn đầu tiên của Bernoulli được công bố năm 1713 Về sau, kết quả này được Poisson, Chebyshev, Markov, Liapunov mở rộng Tuy nhiên, phải đến năm 1909 luật mạnh số lớn mới được Borel phát hiện Kết quả này của Borel được Kolmogorov hoàn thiện vào năm 1926, ta thường gọi là luật số lớn dạng Kolmogorov Đồng thời Kolmogorov cũng chỉ ra rằng trong trường hợp dãy các đại lượng ngẫu nhiên độc lập cùng phân bố thì điều kiện cần và đủ của luật mạnh số lớn là các biến ngẫu nhiên đó có moment tuyệt đối cấp một hữu hạn Kết quả này đã được Marcinkiewicz

và Zygmund mở rộng (gọi là luật số lớn dạng Marcinkiewicz-Zygmund) Brunk (1948) và Prokhorov (1950) đã khái quát điều kiện đủ dạng Kol-mogorov với moment bậc cao hơn và thu được luật mạnh số lớn dạng Brunk-Prokhorov Luật số lớn tiếp tục được mở rộng bởi nhiều tác giả như Tien, Quang, Hung, Thanh, Huan, Dung, Stadtmulle, Rosalsky, Volodin (xem [47],[48],[49],[16],[14],[67],[50],[30]) bằng cách làm nhẹ điều kiện độc lập của dãy biến ngẫu nhiên (như nghiên cứu trong trường hợp dãy các hiệu martingale, cho các hộp độc lập, và hộp martingale), nghiên cứu cho trường hợp chỉ số nhiều chiều, hoặc xem xét trên các không gian khác Trong luận án này chúng tôi tiếp tục nghiên cứu các định lý luật số lớn

Định lý giới hạn còn được nghiên cứu dưới dạng chuỗi ngẫu nhiên, đầu tiên được biết đến với các định lý hai chuỗi, ba chuỗi sau đó là các nghiên cứu về tốc độ hội tụ của chuỗi độc lập, chuỗi hiệu martingale, (xem [51],[52],[64]) Các khái niệm khác như hội tụ hoàn toàn, hội tụ hoàn toàn trung bình cũng được nhiều tác giả quan tâm, nghiên cứu (như [31], [34], [7],[53],[10]) Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu về hội tụ hoàn toàn, hội tụ hoàn toàn trung bình, và đánh giá tốc độ hội tụ của chuỗi các trường

7

hiệu martingale nhận giá trị trong không gian p-khả trơn.

Khái niệm toán tử ngẫu nhiên như là một mở rộng của ma trận ngẫu nhiên được giới thiệu trong các công trình của Skorokhod [56] và được khá nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu như Thắng, Thịnh, [73], [69], [74] Trong luận văn này chúng tôi tiếp tục nghiên cứu về sự hội tụ của dãy các toán tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach

Các kết quả của luận án đã được báo cáo tại Seminar bộ môn và tại các hội nghị: Hội nghị khoa học chúc mừng sinh nhật G.S Nguyễn Duy Tiến (Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường ĐH Khoa học Tự nhiên-ĐHQG

Hà Nội, 2012), hội nghị toán học toàn quốc lần thứ 10 (Nha trang, 2013), đại hội toán học thế giới (ICM) tại Seoul, Hàn Quốc (2014), hội nghị toán ứng dụng trong công nhiệp (Math-for-industry) tại Kyushu University, Nhật Bản (2014), đã được đăng và nhận đăng ở các tạp chí: Statistics and Probability Letters, Applications of Mathematics, Journal of Inequalities and Applications, Journal of the Korean Mathematical Society, Journal of Probability and Statistical Science, đang được gửi đăng tại các tạp chí: An International Journal of Probability and Stochastic Processes, Journal of bulletin of the Korean Mathematical Society

7.2 Cấu trúc luận án Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các bài báo của nghiên cứu sinh liên quan đến luận án và tài liệu tham khảo, luận

án được trình bày trong bốn chương

Chương 1 trình bày các khái niệm về kỳ vọng, kỳ vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach, khái niệm về trường các hiệu martingale, toán tử ngẫu nhiên, dãy toán tử ngẫu nhiên độc lập, dãy martingale toán tử ngẫu nhiên, một số dạng hội tụ của trường các biến ngẫu nhiên và dãy các toán tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach

lớn dạng Kolmogorov và Marcinkiewicz - Zygmund cho trường hộp các

8

luật số lớn dạng Brunk-Prokhorov cho trường các hiệu martingale Mục

Chương 3 gồm ba mục, mục 3.1 đưa ra các điều kiện cho hội tụ hoàn toàn của tổng trung bình trượt của trường các hiệu martingale, từ đó đi đến các luật mạnh số lớn cho tổng trung bình trượt cũng như đánh giá tốc

độ hội tụ của luật mạnh số lớn Mục 3.2 trình bày các kết quả về hội tụ hoàn toàn trung bình, các điều kiện của hội tụ hoàn toàn trung bình cũng như mối quan hệ giữa hội tụ hoàn toàn trung bình với hội tụ h.c.c và hội

tụ trung bình; sau đó áp dụng cho các nghiên cứu về luật số lớn, hội tụ trung bình và tốc độ hội tụ của trường các hiệu martingale E-giá trị Mục 3.3 trình bày về tốc độ hội tụ của chuỗi các trường hiệu martingale Chương 4 thiết lập các điều kiện hội tụ của dãy các toán tử ngẫu nhiên, toán tử ngẫu nhiên mở rộng, dãy hiệu martingale toán tử ngẫu nhiên bị chặn trong không gian Banach và nghiên cứu các điều kiện hội tụ của tích

vô hạn các toán tử ngẫu nhiên độc lập

9

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Adler A., Rosalsky A (1987), "On general strong laws for weighted sums of stochastically dominated random variables", Stoch Anal Appl 5 , pp.1-16

[2] Assouad P (1975), Espaces p-lisses et q-convexes, Inégalités de Burkholder, Séminaire Maruey-Schwartz, Exp ZV

[3] Borovskykh Y.V., Korolyuk V.S (1997), Martingale Approximation, VSP

[4] Brunk H.D (1948), "The strong law of large numbers", Duke Math

J 15, pp.181-195

[5] Cabrera M.O (1994), "Convergence of weighted sums of random vari-ables and uniform integrability concerning the weights", Collectanea Mathematica 45(2), pp.121-132

[6] Chattecji S.D (1986), "Martingale convergence and the Radon-Nikodym theorem in Banach spaces", Math Scand 22, pp.21-41 [7] Chen P., Hu T.C., Volodin V (2006), "A note on the rate of complete convergence for maximus of partial sums for moving average processes

in rademacher type Banach spaces", Lobachevskii J Math 21, pp.45-55

[8] Christofidesm T.C., Serfling R.J (1990)," Maximal inequalities for multidimensionally indexed submartingale arrays" Ann.Probab 45(3), pp.436-641

113

[9] Choi B.D., Sung S.H (1985), "On convergence of(Sn−ESn)/n1/r, 1 <

r < 2for pairwise independent random variables", Bull Korean Math Soc 22(2), pp.79-82

[10] Chow Y.S (1988), "On the rate of moment convergence of sample sums and extremes" Bull Inst Math.Acad.Sin (N.S.) 16, pp.177-201

[11] Chow Y S., Teicher H (1997), Probability Theory Independence, In-terchangeability, Martingale, Springer, New York

"Marcinkiewicz-type strong laws of large numbers for pairwise independent random fields", Probab Math Statist 22(1), pp.127-139

[13] Day M.M (1944), "Uniform convexity in factor and conjugate spaces", Ann.of Math 45, pp.375 -385

[14] Dung L.V (2010), "Weak laws of large numbers for double arrays

of random elements in Banach spaces" Acta Math Vietnamica 35, pp.387-398

martin-gale central limit theorems" Lithuanian Math J 54(1), pp.46-60 [16] Dung L.V., Tien N.D (2010), "Strong laws of large numbers for

(9-10), pp.756-763

[17] Edgar G.A., Louis S (1992), Stopping times and directed processes,

47, Cambridge University, England

[18] Fazekas I.; Klesov O (2000), "A general approach to the strong law

of large numbers" Theory Probab Appl 45(3), 436-449

[19] Fazekas I., Tómács T (1998), "Strong laws of large numbers for pair-wise independent random variables with multidimensional indices", Publ Math Debrecen 53(1-2), pp.149-161

114

[20] Feller W (1971), An introduction to probability theory and its appli-cations, 2, 2nd ed Wiley, New York

[21] Gaposhkin V.F (1995), "On the strong law of large numbers for block-wise independent and block-block-wise orthogonal random variables", The-ory Probab Appl 39, pp.667 - 684

[22] Gut A (2001), "Convergence rates in the central limit theorem for multidimensionally indexed random variables", Studia Sci Math Hungar 37, pp.401-418

Marcinkiewicz-Zygmund LLN for random fields", Stat Probab Lett 79, pp.1016-1020

and the central limit theorem in Banach spaces", Ann.Probability 4(4), pp.587-599

[25] Hong J.I., Tsay J (2010), "A strong law of large numbers for random elements in Banach spaces", Southest Asian Bulletin of Mathematics

34, pp.257-264

[26] Hong D.H., Volodin A.I (1999), "Marcinkewicz-type law of large num-bers for double arrays", J.Korean Math.Soc 36(6), pp.1133 - 1143 [27] Hu S., Chen G., Wang X (2008), "On extending the Brunk-Prokhorov strong law of large numbers for martingale differences", Statist Probab Lett 78, pp.3187-3194

[28] Huan N.V and Quang N.V (2012) "The Doob inequality and strong law of large numbers of multidimensional arrays in general Banach spaces" Kybernetika 48, pp.254-267

[29] Huan N.V., Quang N.V., Volodin A.(2010), "Strong laws for blockwise Martingale difference arrays in Banach spaces" Lobachevskii Journal

of Math 31(4), pp.326 - 335

115