Luận văn nguyên lý cực đại đối với phương trình elliptic tuyến tính cấp hai tổng quát

Trong các giáo trìn h hoặc sách chuyên khảo về phương trìn h đạo hàm riêng, nguyên lý này thường chỉ được trìn h bày cho phương trìn h Laplace, đồng thời các ứng dụng của nó cũng ít được

1

BỘ GIÁO D Ụ C VÀ ĐÀO TẠO

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn th àn h tại trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn của PG S TS Hà Tiến Ngoạn

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PG S TS Hà Tiến Ngoạn, người th ầy đã định hướng chọn đề tài và tận tìn h hướng dẫn để tác giả có

th ể hoàn th àn h luận văn này

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân th àn h tới Phòng Sau đại học, các thầy, cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trìn h học tậ p và hoàn

th àn h luận văn tố t nghiệp

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, người th ân đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện th u ận lợi cho tác giả trong quá trìn h học tậ p và hoàn th àn h luận văn

Hà Nội, tháng 6 năm 2016

T ác g iả

H à T h ị T h u H iền

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PG S TS Hà Tiến Ngoạn,

luận văn T hạc sỹ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài: " N g u y ê n lý

N eum ann 121.4.1 T ính duy n h ất nghiệm của bài to án Dirichlet 121.4.2 T ính duy n h ất nghiệm của bài to án N eum ann 13

2.1 Đ ánh giá độ lớn của ẩn hàm đối với phương trìn h không

th u ần n h ấ t 152.2 Đ ánh giá độ lớn đối với đạo hàm cấp m ột của nghiệm

phương trìn h P o i s s o n 172.3 B ất đẳng thức H arnack trong trường hợp hai biến độc lập 222.4 Nguyên lý cực đại yếu đối với nghiệm suy rộng của phương

trìn h dạng bảo to àn 27

Tài liệu th a m k h ảo 30

m à không phải là elliptic Trong các giáo trìn h hoặc sách chuyên khảo về phương trìn h đạo hàm riêng, nguyên lý này thường chỉ được trìn h bày cho phương trìn h Laplace, đồng thời các ứng dụng của nó cũng ít được đề cập.Luận văn trìn h bày các Nguyên lý cực đại m ạnh và Nguyên lý cực đại yếu đối với phương trìn h elliptic tuyến tín h cấp hai dạng tổng quát Từ các nguyên lý này dễ dàng suy ra được tín h duy n h ất nghiệm của bài toán Dirichlet và bài to án N eum ann.

Luận văn cũng trìn h bày ứng dụng của Nguyên lý cực đại vào việc nghiên cứu các tín h chất định tín h của nghiệm bài toán Dirichlet đối với phương trìn h elliptic tổng q u át không th u ần n h ất, đánh giá độ lớn của ẩn hàm , độ lớn đạo hàm cấp m ột của ẩn hàm và chứng m inh b ấ t đẳng thức Harnack đối với nghiệm của phương trìn h th u ần n h ấ t trên m ặt phẳng

2 M ục đích nghiên cứu

Luận văn nhằm mục đích trìn h bày m ột cách hệ thống các Nguyên lý cực đại m ạnh và Nguyên lý cực đại yếu đối với phương trìn h elliptic tuyến tín h cấp hai tổng q u át th u ần n h ất và các ứng dụng của chúng vào việc

nghiên cứu các tín h chất định tín h của nghiệm phương trìn h th u ần n h ất

và không th u ần nhất

3 N hiệm vụ nghiên cứu

Nhiệm vụ chính của nghiên cứu là p h át biểu và chứng m inh các Nguyên

lý cực đại m ạnh và yếu đối với nghiệm của các phương trìn h elliptic tuyến tín h cấp hai tổng q u át th u ần n h ất và các ứng dụng của chúng vào việc nghiên cứu phương trìn h không th u ần nhất

4 Đ ối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu là đánh giá độ lớn đối với nghiệm của các phương trìn h elliptic tuyến tín h cấp hai tổng q u át th u ần n h ất và không th u ần nhất

5 Phương pháp nghiên cứu

Luận văn dùng các công cụ của Giải tích to án học đối với hàm của một hoặc nhiều biến số và của Giải tích hàm tuyến tính

6 D ự kiến đóng góp mới

Luận văn là m ột tài liệu th am khảo và bổ sung đối với lý thuyết định tín h về các Nguyên lý cực đại m ạnh và yếu đối với nghiệm của các phương trìn h elliptic tuyến tín h cấp hai tổng quát th u ần n h ất và m ột số áp dụng của các nguyên lý này

X ét các toán tử vi phân elliptic tuyến tín h tổng q u át dạng

L u = (a;) D ị j U + ứ 1 (X) D ị U + c (a;) u, aĩ-i = (1.1)

trong đó X = {xi]X 2' i x n) nằm trong miền íỉ của Kn, n > 2; u = u ( x ) £

c2 ( í ì ) ở đây có quy ước phép lấy tổng theo chỉ số lặp từ 1 đến n L sẽ

luôn kí hiệu là toán tử (1.1)

Ta đưa ra các định nghĩa sau:

L là elliptic tại một điểm X £ Q nếu m a trậ n các hệ số [a^ (z)] là xác định

dương; từ đó, nếu kí hiệu A ( x ) , A (x) lần lượt là giá trị riêng cực tiểu và

giá trị riêng cực đại của [av (:r)] , thì

0 < A (z) |£|2 < aij (x) < A (x) I^Ị2 (1.2)với mọi £ = (£i; ,^n) \ {0 }

Nếu A(x) > 0 trong íỉ, th ì L là elliptic trong Í2 và là elliptic ngặt nếu

Ằ(x) > A0 > 0 với hằng số Ao nào đó Nếu A ( x ) / X ( x ) là bị chặn trong íĩ,

ta sẽ gọi L là elliptic đều trong Í2.

Ví dụ: Toán tử DII + X \ D 22 là elliptic ngặt và là elliptic đều trong các

dải có dạng (a , j3 )x R trong đ ó O < a < /ỡ < o o , nhưng không là elliptic ngặt và không là elliptic đều trong nửa m ặt phẳng X ị > 0.

T h ậ t vậy, ta có ữ11 = 1, a 22 = Xị > 0, a 12 = a 21 = 0 Vậy [a*J (a:)] là xác

định dương Lại có

A {x) + £2) < & + Xi Ổ < A (x) (Ổ + £2) , với A (a;) = m in (1, X ị ) , A (x ) = m ax (1, X i )

Từ giả th iế t Xi > 0 và cách xác định A(x) ta có A(x) > 0 trong Q, do vậy D 11 + X l D 22 là elliptic Giả sử 0 < a < Xị < Ị3 Khi đó, nếu ta chọn

Ao = m in (1, à ) suy ra D 11 + X ị D 22 là elliptic ngặt Lại có

A (x ) m a x ( l ; x i ) m a x (l;/3 )

- 7 ị = — :— JZ f < — :— JZ f Va: G S2;

A (a:j m in ( l;a :ij m i n ( l ; a )

do đó D 11 + X ị D 22 là elliptic đều

Vậy toán tử D 11 + X \ D 22 là elliptic và là elliptic ngặt và là elliptic đều

trong các dải có dạng (cc,/3) X R trong đó 0 < a < Ị3 < oo, nhưng toán

tử D \1 + X \ D 22 không là elliptic ngặt và không là elliptic đều trong nửa

m ặt phẳng X\ > 0 (vì không có Ao > 0 để A(a:) > Ao > 0 và A ( x ) / X ( x )

không bị chặn trong Í2)

Nhiều kết quả liên quan đến các toán tử elliptic có dạng (1.1), yêu cầu

thêm các điều kiện đối với các số hạng cấp dưới ƯDịU, cu Điều kiện

I ữ (a:)|

- ( < const < oo, % = 1 , , n, X € íỉ (1.3)A(a;)

sẽ được giả th iế t xuyên suốt trong luận văn Sau đó bằng việc đ ặt

L' = A- 1 L ta có thể đưa về trường hợp trong đó A(a;) = 1 và 6*(a:) là bị

chặn Nếu thêm vào đó, L là elliptic đều, ta cũng có thể lấy atJ( x ) là bị chặn Chú ý rằng nếu các hệ số ữÍJ(a:), bl(x) là liên tục trong íỉ th ì trên miền con bị chặn b ấ t kỳ í ỉ' c c fĩ, L là elliptic đều và (1.3) đúng Hệ số

c(x) cũng sẽ được hạn chế nhưng sẽ được đưa ra với các giả th iế t thích

hợp

Nguyên lý cực đại là m ột đặc điểm quan trọng của các phương trìn h elliptic cấp hai và là sự khác biệt của chúng với các phương trìn h cấp cao hơn và các hệ phương trìn h Thêm vào đó, để các ứng dụng của nó nhiều hơn, Nguyên lý cực đại tạo ra đánh giá theo từng điểm Trong luận văn

này, hầu hết các kết quả sẽ dựa duy n h ấ t vào tín h elliptic của L và không

dựa vào các tín h chất đặc biệt của hệ số (như tín h trơ n) T ính tổng quát này tạo ra tín h hữu dụng của Nguyên lý cực đại trong tiên đoán ước lượng các nghiệm, đặc biệt trong các bài to án không tuyến tính

Đ ịn h lý 1 2 1 (Nguyên lý cực đại yếu) Cho L là elliptic trong miền bị

chặn rỉ Giả sử rằng trong rỉ,

L u > 0 , c (a;) = 0 với u G ơ 2(fỉ) n ơ ° ( íỉ) Khi đó cực đại của u trong Q đạt được trên ô íỉ,

được giả th iế t là liên tục trong í ì, kết luận (1.4),(1.5) có th ể thay bởi

sup u = lim sup u (X) I inf u = lim inf u (X) ) (1.6)

n x^ dn V íí x ^ d íì J

Chứng minh Trước tiên xét trường hợp Lu > 0 trong Q Khi đó ta sẽ chỉ

ra rằng cực đại của hàm u trong Í2 không th ể đ ạt được tại m ột điểm bên trong íì T h ậ t vậy, giả sử

m a x « (X) = u (a^o), Xo G fỉ;

n

suy ra D u ( x ữ) = 0 và m a trậ n D 2u ( x o) = [Diju(xữ)] là không dương

Nhưng m a trậ n [a^ ( x ữ)] là dương do L là elliptic Do đó

L u (xo) = aij (xo) DịjU (xo) < 0, m âu th u ẫn với trường hợp đang xét là

L u ( x ) > 0 trong Q T ừ đó suy ra: Nếu Lu > 0 trong í ì th ì cực đại của

hàm u trong íỉ đ ạt được trên ỡ íỉ.

Xét trường hợp L u > 0 trong íĩ Theo giả th iế t (1.3), I ft* I /A < 6o= co n stan t,

ta có -LJ- < bo, suy ra b1 > —boX Bởi vậy, từ a11 > À, có hằng số 7 đủ lớn

C h ú ý Rõ ràng từ chứng m inh trên ta suy ra rằng Nguyên lý cực đại yếu

sẽ đúng với giả th iết yếu hơn, m à m a trậ n hệ số [ai j (a^)] là không âm và

với k nào đó tỷ số Ị (a?) Ị / a kk( x) là bị chặn địa phương.

Ta sẽ đưa vào th u ậ t ngữ sau được gợi ý từ Nguyên lý cực đại: M ột hàm

th ỏ a m ãn L u = 0 (> 0; < 0) trong íỉ là một nghiệm (nghiệm dưới, nghiệm

trên) của L u = 0 trong Í2 Khi L là Laplacian, tương ứng ta có hàm điều

hòa, hàm dưới điều hòa, hàm trên điều hòa

H ệ q u ả 1 2 1 Cho L là elliptic trong miền bị chặn Q.Giả sử rằng c (X) <

0, X ẽ rỉ; u € c ° (rĩ) Dặt u + = maa: (u; 0 ) , u~ = m in (u; 0 ) Khi đó

Chứng minh Trước tiên ta chứng m inh m ệnh đề a).

Xét tậ p con í ỉ + c f l trong đó u > 0 Nếu L u > 0 trong ri, thì

L ữu = a^DịjU + 6iDịU > —cu > 0 trong í ỉ + , nên cực đại của u trên f ỉ+

phải đ ạt được trên d Q + và từ đó cũng đ ạ t được trên dLt Vì vậy,

supw < supw + < supw +

b) Nếu L u < 0 trong ri th ì L ( —u) = —L (lí) > 0 trong íỉ, nên ta có

c) Nếu L u = 0 trong Í2 th ì áp dụng các kết quả ở bên trên ta có

sup (—ù) < sup (—u ) +,

inf u > inf ũ

díìTrước tiên ta sẽ chứng m inh

= m ax Ị sup u +, s u p (—^¿_ ) ) = m ax í sup ^¿+ , — inf u~ )

< m ax ( supw + , — inf u~ ) = m ax ( sup u +, s u p (— u ~ ) )

Trong hệ quả này, điều kiện c ( x ) < 0 trong Í2 không thể được làm yếu hơn để cho phép c(x) nhận giá trị dương trong íỉ Điều này là rõ ràng từ

sự tồn tại của giá trị riêng dương K với bài toán : A u + n u = 0, u = 0

trên d í ì có nghiệm u (X) 7^ 0 M ột ứng dụng trực tiếp và quan trọng của

Nguyên lý cực đại yếu là vào bài toán về tín h duy n h ất và tín h liên tục phụ thuộc của nghiệm trên các giá trị biên của chúng

1.3 N guyên lý cực đại mạnh

Mặc dù Nguyên lý cực đại yếu đủ cho hầu hết các ứng dụng, chúng ta thường cần có dạng m ạnh hơn để loại trừ trường hợp cực đại không tầm thường bên trong miền Ta sẽ th u được kết quả như vậy cho toán tử elliptic đều địa phương trong định lý dưới đây Miền Í2 được nói th ỏ a m ãn điều

kiện mặt cầu trong tại X q G ô íỉ nếu tồn tại m ột hình cầu B c n với

X q ẽ ÕB, (do vậy, phần bù của íỉ th ỏ a m ãn điều kiện m ặt cầu ngoài tại

Eo)

Đ ịn h lý 1 3 1 Giả sử rằng L là elliptic đều, c (x) = 0 và L u > 0 trong

Í2 Giả sử x ữ & dQ là điểm thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) u là liên tục tại x ữ;

(ii) u ( x o) > u ( x ) , Vx G íỉ;

(Ui) ỡ íỉ thỏa mãn điều kiện mặt cầu trong tại x ữ.

Khi đó đạo hàm theo hướng pháp tuyến ngoài của u tại X q , nếu nó tồn tại,

thì nó dương

Q - (x o) > 0 (1.8)

Nếu c {x ) < 0 và c { x ) / \ { x ) là bị chặn, thì kết luận trên vẫn đúng với

u (x0) > 0 ; và nếu u (x0) — 0 , kết luận nêu trên vẫn đúng mà không phụ thuộc vào dấu của c.

9

Chứng minh Từ Í2 th ỏ a m ãn điều kiện m ặt cầu trong tại Xo, tồn tạ i hình

cầu B = B R (y ) c với Xo E d B Cho 0 < p < R , ta đưa vào hàm V bởi

định nghĩa

v{x) — e — e ,

trong đó r = |x — y| > P và a là hằng số dương đã xác định T ính toán

trực tiếp với c < 0 cho trước

L v (x) = e~ar2 [4a 2aij (Xj - Vi) (Xj - yủ) - 2a (aij + ứ (Xị - i/j))] + cv

> e~ar [4 a2 A ( x ) r 2 — 2OL (aũ + l&l r + c)] , b = (b1, , hn)

Ta giả th iết aũ( x ) / A(x), |ò| (x )/A (x ) và c(x )/A (x ) là bị chặn Đại lượng a phải chọn đủ lớn để L v > 0 khắp miền vành khuyên A = B R (y ) \ B p ( y )

Từ u — u (x0) < 0 trên d B p (y) có m ột hằng số dương E > 0 mà

u — u (x0) + £V < 0 trên d B p (y ) B ất đẳng thức này cũng th ỏ a m ãn trên

Cho c có dấu tù y ý, nếu u (x0) = 0 lập luận bên trên vẫn còn đúng nếu L

Tổng q u át hơn, có th ể có hoặc không sự tồn tại của đạo hàm theo hướng pháp tuyến, ta nhận được

Mặc dù điều kiện m ặt cầu trong có thể giảm nhẹ, song không th ể đảm

bảo khẳng định (1.9) trừ khi có giả th iế t về tín h trơ n thích hợp của d í ì

tạ i X q Ví dụ cho L = A và Í2 c K2 là miền nửa phẳng phải với

u — Re ( z / log z) < 0 M ột tín h to án sơ cấp chỉ ra rằng ô íỉ c c 1 gần

z — 0 và u x (0, 0) = 0, vì th ế (1.9) là sai.

Bây giờ ta có thể dẫn tới Nguyên lý cực đại mạnh sau của E Hopf.

Đ ịn h lý 1 3 2 (Nguyên lý cực đại m ạnh) Cho L là elliptic đều, c ( x ) = 0

và L u > 0 (< 0) trong miền íì (không nhất thiết là bị chặn) Khi đó nếu

u đạt được cực đại (cực tiểu) ở bên trong Q, thì u là một hằng số Nếu

c {x ) < 0 và c { x ) / \ { x ) là bị chặn, thì u không thể đạt được cực đại không

âm (cực tiểu không dương) ở bên trong n trừ khi nó là hằng số.

K ết luận hiển nhiên vẫn còn đúng nếu L chỉ là elliptic đều địa phương

và 16® (a;) I / \ { x ) , c {x )/ \ { x ) chỉ là bị chặn địa phương.

Chứng minh Ta giả sử rằng u không là hằng số nhưng lại có cực đại M > 0

trong íì, th ì tậ p í ì - trên u < M th ỏ a m ãn í ỉ _ c íỉ và dLl~ n ÍỈ 7^ 0 Cho

X q là m ột điểm trong í ỉ _ m à đóng ổ f ỉ- với hơn ô íỉ, và xét hình cầu lớn

n h ất B c có X q là tâm Khi đó u ( y ) = M với m ột vài điểm y G d B trong đó u < M trong B Bổ đề trên dẫn tới D u ( y ) 7^ 0, m à không thể

Nếu c < 0 tại m ột điểm nào đó, th ì hằng số của định lý hiển nhiên bằng

không Cũng như, nếu u = 0 tạ i m ột điểm cực đại (cực tiểu), th ì từ chứng

m inh của định lý ta suy ra rằng u = 0 , không phụ thuộc vào dấu của c.

Có th ể chứng m inh Nguyên lý cực đại m ạnh trực tiếp qua Định lý 1.2.1

và Định lý 1.3.1

11