Luận văn các hàm điều hoà, dưới điều hoà và trên điều hoà

Luận văn trìn h bày các Nguyên lý cực đại m ạnh và Nguyên lý cực đại yếu đối với các hàm điều hòa, hàm dưới điều hòa và hàm trên điều hòa.. T ừ các nguyên lý này dễ dàng suy ra được tín

1

BỘ GIÁO D Ụ C VÀ ĐÀO TẠO

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PG S TS Hà Tiến Ngoạn, người

th ầy đã định hướng chọn đề tà i và nhiệt tìn h hướng dẫn để tôi có thể hoàn

th àn h luận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân th àn h tới Phòng Sau đại học, các thầy, cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trìn h học tập tạ i trường

N hân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã cổ vũ, động viên để tôi hoàn th àn h luận văn này

Hà Nội, tháng 6 năm 2016

T ác g iả

Đ à o T h ị H ư ơ n g

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của PG S TS Hà Tiến

Ngoạn, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: " C á c h à m đ i ề u

h ò a , d ư ớ i d i ề u h ò a v à t r ê n đ i ề u h ò a " được hoàn th àn h bởi sự nhận

thức và tìm hiểu của bản th ân tác giả

Trong quá trìn h nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế th ừ a những kết quả của các nhà khoa học với sự trâ n trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 6 năm 2016

T ác g iả

Đ à o T h ị H ư ơ n g

M ụ c lục

1 C ác tín h ch ấ t củ a h àm đ iều h ò a , dưới đ iều h ò a và tr ê n đ iều

1.1 Các định lý về giá trị tru n g b ì n h 6

1.2 Các nguyên lý cực đại yếu và m ạnh 8

1.3 Bài to án Dirichlet T ính duy n h ất của n g h iệ m 10

1.4 Biểu diễn G r e e n 12

1.5 Nghiệm của bài toán Dirichlet trong hình c ầ u 16

1.6 B ất đẳng thức H arnack đối với hàm điều h ò a 19

1.7 Các đánh giá bên trong miền đối với hàm điều h ò a 20

1.8 Mở rộng lớp hàm dưới điều hòa và trên điều h ò a 21

2 T ín h g iả i đ ư ợc củ a b à i to á n D ir ic h le t đ ố i với h àm đ iều h ò a 23 2.1 Các hàm dưới đối với m ột hàm xác định trên biên Phương pháp P e r r o n 23

2.2 Hàm rào cản tạ i m ột điểm trên b i ê n 24

2.3 Điểm biên chính quy Điều kiện cần và đủ cho tín h giải được của bài to án D ir i c h l e t 25

2.4 Điều kiện đủ cho tín h giải được của bài to án Dirichlet Điều kiện hình cầu n g o à i 26

2.5 Điều kiện cần và đủ để m ột điểm trên biên là chính quy 28

i

K ế t lu ận 29

11

Luận văn trìn h bày các Nguyên lý cực đại m ạnh và Nguyên lý cực đại yếu đối với các hàm điều hòa, hàm dưới điều hòa và hàm trên điều hòa

T ừ các nguyên lý này dễ dàng suy ra được tín h duy n h ất nghiệm của bài

to án Dirichlet đối với hàm điều hòa, đồng thời cho phép chứng m inh các đánh giá độ lớn đối với hàm điều hòa và các đạo hàm của nó

Luận văn cũng trìn h bày áp dụng các hàm dưới điều hòa vào việc nghiên cứu tín h giải được của bài to án D rrichlet đối với hàm điều hòa trong một miền giới nội Cụ thể, luận văn sẽ đưa ra điều kiện cần và đủ đối với các điểm trên biên của miền để bài to án Dirichlet cho hàm điều hòa là giải được

2 M ục đích nghiên cứu

Luận văn nhằm mục đích trìn h bày m ột cách hệ thống các tín h chất định tín h như Nguyên lý cực đại m ạnh và Nguyên lý cực đại yếu đối với các hàm điều hòa, hàm dưới điều hòa và hàm trên điều hòa, đồng thời trìn h bày việc áp dụng các hàm điều hòa dưới nhằm đưa ra điều kiện cần

và đủ đối với các điểm trên biên của miền để bài toán Dirichlet cho hàm điều hòa là giải được

3 N hiệm vụ nghiên cứu

Nhiệm vụ chính của nghiên cứu là trìn h bày m ột cách hệ thống các tính chất định tín h như Nguyên lý cực đại m ạnh và Nguyên lý cực đại yếu đối với các hàm điều hòa, hàm dưới điều hòa và hàm trên điều hòa, đồng thời đưa ra điều kiện cần và đủ đối với các điểm trên biên của miền để bài toán Dirichlet cho hàm điều hòa là giải được

4 Đ ối tượng và phạm vi nghiền cứu

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu là Nguyên lý cực đại m ạnh và Nguyên

lý cực đại yếu đối với các hàm điều hòa, hàm dưới điều hòa và hàm trên điều hòa, đồng thời đưa ra điều kiện cần và đủ đối với các điểm trên biên của miền để bài toán Dirichlet cho hàm điều hòa là giải được

5 Phương pháp nghiên cứu

Luận văn dùng các công cụ của Giải tích to án học đối với hàm của một hoặc nhiều biến số và của Giải tích hàm tuyến tính

2

6 D ự kiến đóng góp mới

Luận văn là m ột tà i liệu th am khảo và bổ sung của lý thuyết định tín h đối với các hàm điều hòa, hàm dưới điều hòa và hàm trên điều hòa như các Nguyên lý cực đại m ạnh và yếu, các điều kiện cần và đủ đối với các điểm trên biên của miền để bài to án Dirichlet cho hàm điều hòa là giải được

C hương 1

C ác tín h chất của hàm đ iều hòa,

dưới đ iều hòa và trên đ iều hòa

Cho íỉ là m ột miền trong R n và u là m ột hàm trong ơ 2(íỉ) Laplacian của u , kí hiệu là A u được định nghĩa bởi:

Hàm u được gọi là hàm điều hòa (dưới điều hòa, trên điều hòa) trong íì

d u d 2u d u d 2u

X = 2x; A-A = 2 và ^ - = 4y\ ị - ị = 4

Suy ra A u = 2 + 4 = 6 > 0

b Hàm u = X 2 + 2y 2là m ột hàm dưới điều hòa vì:

c Hàm u = X 2 — 8?/2 là m ột hàm trên điều hòa vì:

A u = 0 Phương trìn h Laplace và dạng không th u ần n h ất của nó, phương trìn h Poisson, là mô hình cơ bản của phương trìn h elliptic tuyến tính.Điểm x u ất p h át của chúng ta là Định lý phân kỳ nổi tiếng trong Mn

Cho Í2 là m ột miền với c 1 biên ỡ íỉ và cho V = (ưị, Ư 2 , , Vn) là m ột vectơ

pháp tuyến đơn vị hướng ra ngoài ỚÍ2 w = (w i, W2, , wn) là trường vectơ

trên m ặt cong ịn — 1) chiều trong dQ Đặc biệt nếu u là m ột hàm trong

ơ 2(íỉ) chúng ta có, nếu lấy w = D u trong (1.3),

N h ậ n x é t 1.2

6

Với hàm điều hòa, Định lý 1.1 khẳng định rằng giá trị của hàm tại tâm

của mọi hình cầu B luôn bằng giá trị tru n g bình trên cả m ặt cầu d B và hình cầu B K ết quả này gọi là Định lý giá trị trung bình, thực ra đó là

tín h chất đặc trư ng của hàm điều hòa, dưới điều hòa và trên điều hòa

Chứng minh Lấy P G (0; R ) và áp dụng công thức (1.4) với hình cầu

và lấy tích phân hai vế theo p với p đi từ 0 đến R ta có hệ thức (1.6) được

T ừ Định lý 1.1 nguyên lý cực đại m ạnh cho hàm dưới điều hòa, hàm trên điều hòa và nguyên lý cực đại yếu cho hàm điều hòa có thể suy ra

{ x £ íỉ |w(x) = M } T ừ giả th iế t suy ra ÍI m khác rỗng Hơn nữa do u

là liên tục, Q,M là tập đóng trong íì Lấy z là m ột điểm b ất kỳ trong O.M

và ứng dụng công thức về giá trị tru n g bình (1.6) với hàm dưới điều hòa

u — M trong m ột hình cầu B = B R( z ) c c íỉ Do đó chúng ta đ ạt được

Từ đó suy ra u = M trong B R (z) Do đó ÍỈM cũng là mở tương đối trong

V (y ) = —u (y ) = — inf u = s u p ( - u ) = sup V.

Theo chứng m inh trên ta có v{x) = c o n s t , do đó u ( x ) = const □Nguyên lý cực đại m ạnh ngay lập tức kéo theo nguyên lý cực đại yếu sau đây

Đ ịn h lý 1.3 ([1]) (Nguyên lý cực đại yếu đối với hàm dưới điều hòa)

Giả sử u ẽ c 2(fỉ) n c ° ( í ỉ ) và A u > 0 trong íỉ Khi đó

Chứng minh Nếu u ( x ) = co nst th ì u ( x ) th ỏ a m ãn (1.7).

Giả sử u ( x ) không là hằng số Ta chứng m inh nó th ỏ a m ãn (1.7).

T h ậ t vậy, giả sử u ( x ) không th ỏ a m ãn (1.7), tức là:

sup u > sup u

íĩ dfi

Từ đó suy ra giá trị lớn n h ất của u ( x ) trên phải đ ạt được tại y G fỉ Khi đó theo Định lý 1.2 th ì hàm u ( x ) phải là hằng số Điều này trá i với

Đ ịn h lý 1.4 ([1]) (Nguyên lý cực đại yếu đối với hàm trên điều hòa)

Giả sử u G C 2(Q) n c ° ( í ỉ ) và A u < 0 trong Q Khi đó

Đ ịn h lý 1.5 ([1]) (Nguyên lý cực đại yếu)

Giả sử u ẽ c 2(fỉ) n c ° ( í ỉ ) và A u = 0 trong íì Khi đó

Đ ịn h lý 1.8 ([1]) (Tính duy nhất nghiệm của bài toán Dirichlet)

Giả u, V e Ơ 2(Í2) n ơ ° ( f ỉ) thỏa mãn A u = A v trong u — V trên ÔÍ2 Khi đó u = V trong íì.

Chứng minh Lấy w = u — V Khi đó A w = 0 trong n và w = 0 trên ô n

T ừ các Định lý 1.3 và 1.5, chúng ta có nếu u và V lần lượt là hàm điều

hòa và dưới điều hòa với V < u trên biên ỡn th ì V < u trong n.

Trước hết chúng ta suy ra các hệ quả của Định lý phân kỳ, cụ th ể đó là công thức Green Lấy n là miền theo đó Định lý phân kỳ được th ỏ a m ãn,

u và V là các ơ2(n) hàm Chúng ta chọn w = v D u trong công thức (1.3)

và nhận được công thức Green thứ nhất:

Phương trìn h Laplace có nghiệm đối xứng xuyên tâm r 2_n với n > 2 và

lo g r với n = 2, r là khoảng cách từ gốc tọ a độ đến m ột điểm cố định Để tiến triển xa hơn từ (1.19) chúng ta cố định m ột điểm y trong Í2 và đưa

vào nghiệm cơ bản của phương trìn h Laplace

í ĨÕZT ” y\2~n ’ n > 2

r (x - y) = r (\x - 3/1) = <Ị ” (2 “ (1.20)

ì 2 l o g | z - y | , n = 2 trong đó Lún là thể tích hình cầu đơn vị trong R n.

Rõ ràng r là hàm điều hòa khi X ^ y Vì mục đích sau này chúng ta có

T ính kỳ dị tạ i X = y ngăn cản chúng ta sử dụng r ở vị trí của V trong

công thức Green th ứ hai M ột cách để vượt qua khó khăn này là thay

bởi íỉ — Bp ở đây Bp = Bp ( y ) với p đủ nhỏ Chúng ta có thể kết luận từ

Hơn nữa để cho p dần đến 0 trong (1.23) chúng ta nhận được công thức

biểu diễn Green:

Bây giờ giả sử rằng h( x) ẽ c ^ í ỉ ) n ơ 2(íỉ) th ỏ a m ãn A h ( x ) = 0 trong Q

M ột lần nữa nhờ công thức Green th ứ hai (1.19) chúng ta đ ạ t được

G ( x — y) = 0,Vx e ô íỉ

Định lý 1.8, hàm Green là duy n h ất Sự tồn tạ i của hàm Green cho phép

biểu diễn của m ột c ^ í ỉ ) n C 2(Q) hàm điều hòa qua giá trị trên biên ỚÍ2

của nó

Khi miền íì là m ột hình cầu th ì hàm Green nói ở mục 1.4 có th ể được

xác định rõ ràng bằng phương pháp ảnh và dẫn đến tích phân Poisson nổi tiếng biểu diễn cho hàm điều hòa trong m ột hình cầu Cụ th ể là, giả sử

Vế phải của đẳng thức (1.33) được gọi là tích phân Poisson của u Phép

tín h xấp xỉ đơn giản cho th ấy rằng công thức tích phân Poisson vẫn đúng

cho u € C 2( B r) n C ° ( B r ) Chú ý rằng bằng cách lấy y = 0 chúng ta thu

được ý nghĩa giá trị định lý cho hàm điều hòa Thực ra t ấ t cả các định

lý trước đây của chương này hẳn đã suy ra như m ột hệ quả của biểu diễn (1.28) với n = B r (0).

Để th àn h lập sự tồn tạ i nghiệm của bài to án Dirichlet cổ điển cho hình cầu chúng ta cần kết quả nghịch đảo với biểu diễn (1.33) và chúng ta chứng

m inh nó ngay bây giờ

Đ ịn h lý 1.9 ([2]) Lấy B = B R {0) và (p là hàm liên tục trên ÕB thì hàm

(1.34)

thuộc C 2( B) n C ° ( B ) và thỏa mãn A u = 0 trong B

^ d G

Chứng minh Bởi vì hàm G và do đó hàm —— là điều hòa theo X , nên hàm

du

u ( x ) được xác định bởi đẳng thức (1.34) là điều hòa trong B Để chứng

m inh tín h liên tục của u trên ÕB chúng ta sử dụng công thức Poisson (1.33) cho hàm u = 1 Ta nhận được đồng n h ất thức

T ất nhiên tích phân trong (1.35) phải được tín h trực tiếp nhưng nó là tính

to án phức tạp Bây giờ lấy Xo G d B và £ là dương tù y ý Chọn ỏ > 0 sao cho \y*{x) — y>{xo)\ < £ nếu \x — X o \ < ỏ và lấy \tp\ < M trên ÕB th ì nếu

1.6 B ất đẳng thức Harnack đối với hàm điều hòa

Một hệ quả xa hơn của Định lý 1.1 là b ất đẳng thức H arnack cho hàm điều hòa

Đ ịn h lý 1 1 0 ([2]) Cho u là một hàm điều hòa không âm trong Í2 thì với

một miền con đóng tùy ý Ç}' c c Q, tồn tại hằng số c chỉ phụ thuộc n ,r y

4i? < d( r , ô í ĩ ) Từ Định lý Heine - Borel, r có th ể bị phủ bởi m ột số N

hữu hạn (chỉ phụ thuộc trên ÍT và rỉ) các hình cầu có bán kính R Áp

dụng đánh giá (1.38) trong mỗi quả cầu và kết hợp kết quả của b ấ t đẳng thức

u{ xi ) < 3nNu ( x 2)

Hơn nữa đánh giá (1.37) là đúng với hằng số c = 3nN.

Chú ý rằng hằng số trong (1.37) là b ất biến đối với phép đồng dạng và

ở đây dy = d ( y , d Q ) Nhờ áp dụng liên tiếp đánh giá (1.39) trong miền

chúng ta th u được m ột đánh giá cho đạo hàm cấp cao hơn

Đ ịn h lý 1 1 1 ([2]) Cho u là hàm điều hòa trong n và Q' là tập hợp con

compact bất kỳ của íì Khi đó với đa chỉ số a bất kỳ chúng ta có

Hệ quả của Định lý Azzela chúng ta th ấy m ột tập bị chặn b ấ t kỳ các hàm điều hòa luôn là m ột họ chuẩn tắc, tức là định lý sau là đúng.

Đ ịn h lý 1.1 2 ([2]) Mỗi dãy bị chặn của hàm điều hòa trên miền íỉ đều

chứa một dãy con hội tụ trên mọi miền compact của n tới một hàm điều hòa.

hòa

Định nghĩa trong lớp ơ 2(íl) các hàm dưới điều hòa và hàm trên điều

hòa có th ể được khái q u át rộng hơn M ột ơ ° ( íì) hàm u sẽ được gọi là dưới

điều hòa (trên điều hòa) trong íỉ nếu với mọi quả cầu B c c íì và mọi hàm

h điều hòa trong B th ỏ a m ãn u < (> ) h trên d B chúng ta có u < (> ) h

trong B Các tín h chất sau của ơ°(n) hàm dưới điều hòa sẽ dễ dàng được

th iế t lập

(i) Nếu u là dưới điều hòa trong m ột miền n, th ì nó th ỏ a m ãn nguyên lý cực đại m ạnh trong íì, và nếu V là trên điều hòa trong m ột miền bị chặn

n với V > u trên ỡ íỉ th ì hoặc V > u khắp n hoặc V = u. Để chứng minh

khẳng định trên, giả sử ngược lại th ì tạ i m ột điểm X q € chúng ta có

(■u — V) (x 0) = sup (u — v) = M > 0,

n

và chúng ta có thể giả th iết có m ột hình cầu B = B ( x o) sao cho U — V ^ M

trên d B Giả sử ũ, V kí hiệu hàm điều hòa lần lượt bằng U, V trên d B Khi

đó:

M > sup ( ũ — v) > (ũ — V) (æq) > (u — V) (æq) = M ,

d B

và do đó đẳng thức được xảy ra Bằng nguyên lý cực đại m ạnh cho hàm

điều hòa (Định lý 1.2 cho nên ũ — V = M trong B và hơn nữa U — V = M

trên d B , m âu th u ẫn với sự chọn B.