Điều khiển ổn định một số hệ phương trình có chậm

ĐIỀU KHIỂN ỔN ĐỊNH MỘT SỐHỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHẬM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2014... Để giảm thiểu ảnh hưởng của yếu tố không chắc chắn người ta thường đưa thêm vào hệ thống một th

ĐIỀU KHIỂN ỔN ĐỊNH MỘT SỐ

HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHẬM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội, 2014

————– o0o

————-TÔ THỊ PHƯƠNG

ĐIỀU KHIỂN ỔN ĐỊNH MỘT SỐ

HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHẬM

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn PGS.TS NGUYỄN SINH BẢY

Hà Nội, 2014

Mục lục

1.1 Hệ điều khiển không có chậm 7

1.1.1 Hệ điều khiển không có chậm 7

1.1.2 Một vài định tính 10

1.2 Hệ điều khiển có chậm 11

1.2.1 Phương trình vi phân có chậm 11

1.2.2 Sự ổn định của các phương trình vi phân có chậm 14

1.2.3 Hệ tuyến tính không dừng và phương trình Riccati 18

2 Bài toán điều khiển có nhớ 25 2.1 Giới thiệu bài toán 25

2.2 Dấu hiệu ổn định hóa được 26

2.2.1 Trường hợp hệ có bộ phận điều khiển dạng phi tuyến 26

2.2.2 Trường hợp hệ có bộ phận điều khiển dạng tuyến tính 30

3 Bài toán điều khiển H∞ 34 3.1 Kiến thức chuẩn bị 34

3.1.1 Giới thiệu bài toán 34

3.1.2 Một số định nghĩa, mệnh đề 35

3.2 Dấu hiệu để bài toán có nghiệm 38

Bảng các ký hiệu, chữ viết tắt

R - tập các số thực

R+ - tập các số thực không âm

X - không gian Banach của các trạng thái

U - không gian Banach của các điều khiển

Rn - không gian véc tơ n-chiều

(A, B) - một cặp ma trận điều khiển

Φ(t, s) - ma trận cơ bản của ˙x(t) = Ax(t)

GC - điều khiển được hoàn toàn

GR - đạt được hoàn toàn

GNC - điều khiển được hoàn toàn về 0

ROE - phương trình toán tử Riccati

Mở Đầu

Các hệ thống có mặt ở khắp nơi Độ phức tạp của các hệ thống nói chung là không có giới hạn Mỗi hệ thống hoạt động theo một cơ chế riêng của mình nếu như không có các tác động ngoại lai (thường gọi là nhiễu hay là yếu tố không chắc chắn) Tính không chắc chắn có thể làm cho hệ thống sa vào các tình huống ngoài mong muốn Để giảm thiểu ảnh hưởng của yếu tố không chắc chắn người ta thường đưa thêm vào hệ thống một thành phần gọi là bộ phận điều khiển Với các tác động thích hợp và đúng lúc, hiệu quả hoạt động của hệ thống sẽ cao hơn Điều đó được đảm bảo bởi một tính chất quan trọng gọi là tính ổn định của hệ thống

Lý thuyết ổn định các phương trình vi phân là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của Toán học Ngày nay, việc nghiên cứu không chỉ dừng lại trên các phương trình vi phân thường mà còn được mở rộng sang các phương trình vi phân có chậm

Luận văn này nghiên cứu chủ yếu về tính ổn định của các phương trình vi phân

có chậm Tính ổn định được duy trì nhờ các tác động điều khiển nên bài toán có tên gọi là "ổn định hoá" các hệ điều khiển Một vài định tính khác của các hệ điều khiển và một số kiến thức cơ bản về hệ không có chậm cũng được nhắc tới, tuỳ theo mức độ liên quan

Luận văn gồm phần mở đầu, một chương chuẩn bị kiến thức, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo

Chương một trình bày một số kiến thức cơ sở về hệ điều khiển và về các phương trình vi phân không có chậm và có chậm

Chương hai trình bày một kết quả về ổn định hóa hệ có chậm với hàm điều khiển được xây dựng từ các thông tin chậm về trạng thái hệ thống cũng như thông tin về các hành vi điều khiển đã có trong quá khứ

Chương ba trình bày một kết quả cho bài toán điều khiển H∞ Kết quả nhận được từ giả thiết điều khiển được hoàn toàn về không của hệ thống xuất phát (chưa kể nhiễu và điều khiển)

Bản luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS TS Nguyễn Sinh Bảy Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy về sự hướng dẫn, giúp đỡ, kiểm tra để tôi có thể hoàn thành bản luận văn

Tôi xin cám ơn các thầy cô trong khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội về các kiến thức và những điều tốt đẹp mang lại cho tôi trong thời gian học tập tại trường Tôi xin cảm ơn tới phòng Sau Đại học về những điều kiện thuận lợi trong việc hoàn thành thủ tục học tập và bảo vệ luận văn

Cám ơn ban giám hiệu trường THPT Diêm Điền huyện Thái Thụy, tỉnh Thái Bình về sự tạo điều kiện thuận lợi cho tôi có thể hoàn thành khoá học

Cuối cùng, tôi muốn nói lời cám ơn gia đình, người thân - chỗ dựa về tinh thần

và vật chất cho tôi trong cuộc sống và trong học tập

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng bản luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy, cô và các bạn

Hà Nội, tháng 11 năm 2014

Tô Thị Phương

Full name : To Thi Phuong

Specialization: Analysis

Spec code : 60 46 01 02

Supervisor : Ass Prof Nguyen Sinh Bay

The systems are everywhere In general, the complexity of the systems has not the limit Every system is operating under one of their own mechanisms if there are not exotic impacts from outside (often referred noise or perturbation or uncertain factor) There may be that, under perturbations the system can gradually away from the best designed state To decrease damages due this exotic impacts from outside there are often supplied an additional inside component which is called con-trol unit By timely and efficient concon-trol operation, in general the system should be considered better It is ensured by a critical property, which is called “the stability”

of this system

Stability theory of differential equations is one important research area of Math-ematics Today, the researchers not only to stop again on the ordinary differential equations, but also deal many attention on delayed equations For the delayed dif-ferential equations, the state spaces much be considered as the functional spaces This thesis deals on illustration on stability of delayed differential equations The stability of systems is supported by control, therefore the problem is referred by the term “stabilization control systems” Some other properties of control systems are also reminded, depending on the relevant level

The dissertation consists of the introduction, a preparation outline of the basic knowledge, two chapters of main contents, conclusion and list of references

Chapter one presents some basic knowledge of control systems and on the equa-tions without delay and with delay

Chapter two presents the results of memory stabilization on delayed systems with control functions built from the late information about status and from in-formation about the driver behavior in the past

Chapter three presents the results for the problem control H∞ Results received from assuming complete control of the system is not derived (excluding interference and control)

In the total, this thesis presents the concept of control systems without delay and with delay, some of the basic properties of the control system The thesis also presents the sufficient conditions for the stabilizability of delayed control systems

by feedback control functions built from delayed information of systems and infor-mation about previous behavior control Finally, the thesis presents condition for existence of solution for problem strong H∞ stabilization for the delayed systems with uncertain from outside impacts Feedback control function is formed on the basis of the test operator Riccati equation

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Mỗi hệ điều khiển có thể chứa nhiều biến, trong đó hai biến cơ bản là biến trạng thái, kí hiệu là x và biến điều khiển, kí hiệu là u Biến x nhận giá trị trong một không gian Banach X nào đó được gọi là không gian trạng thái Biến u nhận giá trị trong không gian Banach U nào đó, gọi là không gian điều khiển Trong nhiều trường hợp bài toán được xét trong không gian đặc biệt hơn, đó là các không gian Hilbert hoặc đơn giản: X=Rn,U=Rm

1.1.1 Hệ điều khiển không có chậm

Hệ điều khiển dạng tổng quát

Xét hệ thống được mô tả bởi một phương trình vi phân thường (xem [1], [2]):

˙x(t) = f (t, x(t), u(t)), t ≥ 0 (1.1) trong đó t ∈R+ := [0; +∞), x(t) ∈Rn, u(t) ∈ Ω ⊆ Rm, f :R+×Rn × Ω → Rn, x(t)

là trạng thái (state) của hệ thống tại thời điểm t, u(t) là hàm điều khiển tại t Nếu Ω 6=Rm thì hệ điều khiển là bị hạn chế

Nếu Ω =Rm thì hệ điều khiển là không bị hạn chế

Hàm điều khiển được xây dựng như một hàm của trạng thái

u(t) = ϕ(x(t))

gọi là hàm điều khiển phản hồi (hoặc điều khiển feedback) Trong trường hợp đó

ta có phương trình

˙x(t) = f (t, x(t), ϕ(x(t))) := h(t, x(t)).

Hệ điều khiển dạng tuyến tính

Xét hệ điều khiển (xem [2])

˙x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t).

trong đó A(t) là ma trận cỡ n × n, B(t) là ma trận cỡ n × m, u(t) là véc tơ m-chiều Trong trường hợp A, B là các ma trận hằng ta có hệ điều khiển tuyến tính dừng

˙x(t) = Ax(t) + Bu(t). (1.2) Khi đó, với bất kì trạng thái ban đầu x(t0) = x0 và điều khiển u(t) thì nghiệm của

hệ được xác định bởi công thức

x(t) = x(t0, x0, t) = S(t − t0)x0+

Z t

t 0

S(t − s)Bu(s)ds,

trong đó, S(t) = eAt.

Trường hợp hệ không dừng, nghĩa là khiA(t), B(t) là các ma trận phụ thuộc t:

˙x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)

với điều kiện ban đầu(t0, x0), công thức Cauchy (xem [1],[2]) cho nghiệm thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0) = x0 của phương trình là

x(t) = Φ(t, t0)x0+

Z t

t 0

Φ(t, s)B(s)u(s)ds.

Ở đây:

Φ(t, s) là ma trận cơ bản của hệ thuần nhất ˙x(t) = A(t)x(t) Ma trận này có các tính chất:

(i) Φ(t, s) = A(t)Φ(t, s),˙

(ii) Φ(t, t) = I,

(iii) Φ(t, r)Φ(r, s) = Φ(t, s)

Trường hợp hàm điều khiển có dạng phi tuyến:

˙x(t) = f (t, x(t), u(t)), t ≥ 0. (1.3) Nghiệm của hệ này với hàm điều khiển u và điểm xuất phát (t0, x0) được cho bởi

x(t) = x(t0, x0, u, t) = x0+

Z t t

f (s, x(s), u(s))ds.

Tài liệu tham khảo

[1] Nguyễn Thế Hoàn và Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân và lý thuyết

ổn định, NXB Giáo dục (2000)

[2] Vũ Ngọc Phát, Nhập môn Lý thuyết điều khiển Toán học, NXB Đại học Quốc gia Hà nội (2001)

[3] N S Bay, Stability and stabilization of nonlinear time-varying delay systems with non-autonomous kernels, Advances in Nonlinear Variational Inequalities,

13, 2 (2010), 59-69

[4] Nguyen S Bay, Stabilization of nonlinear nonautonomous time-delay sys-tems with the memory of the past control, AMS, 4, 57 (2010), 2829-2841 [5] Nguyen S Bay, Nguyen M Linh and Vu N Phat, Robust H∞ control of linear time-varying systems with mixed delays in the Hilbert space, Optimal Control Appllication and Methods, 32 (2011), 545-557

[6] B A Francis and J C Doyle, Linear control theory with an H∞ optimality criterion, SIAM J Control Optim.,25(1987), 815-832

[7] J Hale and S.M V Lunel Introduction to Functional Differential Equations, Springer - Verlag, New York (1993)

[8] B van Keulen,H∞ Control for Distributed Parameter Systems: A State-Space Approach Birkhauser, Boston, 1993

[9] V.N Phat, Nonlinear H∞ optimal control in Hilbert spaces via Riccati oper-ator equations Nonl Funct Anal Appl., 9(2004), 79-92

[10] V.N Phat, D.Q Vinh and N S Bay, L2−stabilization and H∞ control for linear non-autonomous time-delay systems in Hilbert spaces via Riccati equa-tions, Adv in Nonl Var Ineq., 11(2008), 75-86

[11] T Yoshizawa, Stability theory by Lyapunov’s second method, Math Soc of Japan (1966)

[12] J.Zabczyk, Introduction to Mathematical Control Theory, Berlin, Birkhauzer, 1992