Các bài toán cơ bản của lý thuyết tổ hợp

-Lê Thị Thanh Tâm CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT TỔ HỢP Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.0113 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS... Tư duy về tổ h

-Lê Thị Thanh Tâm

CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN CỦA

LÝ THUYẾT TỔ HỢP

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60.46.0113

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS Phạm Văn Thạo

HÀ NỘI- 2014

Mục lục

1.1 Giới thiệu bài toán 6

1.2 Các phương pháp chứng minh sự tồn tại 9

1.2.1 Phương pháp chứng minh phản chứng 9

1.2.2 Nguyên lý Diriclet 16

2 Bài toán liệt kê 39 2.1 Giới thiệu bài toán 39

2.2 Thuật toán và độ phức tạp tính toán 40

2.2.1 Khái niệm thuật toán 40

2.2.2 Mô tả thuật toán bằng ngôn ngữ phỏng PASCAL 41

2.2.3 Độ phức tạp của thuật toán 43

2.3 Phương pháp sinh 45

2.4 Thuật toán quay lui 48

3 Bài toán đếm 52 3.1 Các bài toán đếm cơ bản 52

3.1.1 Giới thiệu bài toán 52

3.1.2 Các quy tắc đếm cơ bản 52

3.1.3 Tam giác Pascal và nhị thức Newton 65

3.1.4 Nguyên lý bù trừ 68

3.1.5 Hệ thức truy hồi 70

3.2 Phân loại các bài toán đếm 75

3.2.1 Bài toán đếm có sử dụng hai quy tắc đếm cơ bản 75

3.2.2 Bài toán đếm các số tự nhiên thỏa mãn điều kiện cho trước 77

3.2.3 Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và đẳng thức chứa công thức tổ hợp 80

3.2.4 Bài toán đếm các đối tượng hình học 83

3.2.5 Bài toán phân chia (hoặc lấy ra) các đồ vật vào (hoặc ra khỏi) các hộp 84

3.2.6 Hệ số ak của xk trong khai triển Newton 88

3.2.7 Bài tập nguyên lý bù trừ 90

3.2.8 Bài tập hệ thức truy hồi 91

3.2.9 Đẳng thức phương trình liên quan đến khai triển Newton 96

4 Bài toán tối ưu 108 4.1 Giới thiệu bài toán 108

4.2 Bài toán tối ưu trong đồ thị 108

4.2.1 Các khái niệm cơ bản của lý thuyết đồ thị 108

4.2.2 Biểu diễn đồ thị bằng ma trận 117

4.2.3 Bài toán tìm cây bao trùm có trọng số nhỏ nhất 120

4.2.4 Bài toán tìm đường đi có trọng số nhỏ nhất 126

Kết luận 130

Tài liệu tham khảo 131

Lời cảm ơn

Tác giả xin chân thành cảm ơn tập thể cán bộ, giảng viên trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội đã tạo mọi điều kiện

và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn tốt nghiệp

Tác giả xin được bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến TS Phạm Văn Thạo Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tác giả trong suốt quá trình tôi thực hiện đề tài

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Lãnh đạo và các đồng nghiệp trường THPT Chuyên Ngoại Ngữ - Đại học Ngoại Ngữ - ĐHQGHN đã tạo điều kiện thuận lợi và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn này

Tác giả xin cảm ơn các bạn đồng khóa, gia đình và bạn bè đã quan tâm giúp đỡ, động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song luận văn này không thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được những ý kiến chỉ dẫn, đóng góp của thầy cô và các bạn

Trân trọng!

Hà Nội, tháng 08 năm 2014

Học viên

Lê Thị Thanh Tâm

Mở đầu

Các vấn đề liên quan đến lý thuyết tổ hợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lý thú của Toán học nói chung và Toán học rời rạc nói riêng

Tư duy về tổ hợp đã xuất hiện từ rất sớm trong lịch sử phát triển của nhân loại và đến thế kỉ thứ 17 nó được hình thành như một ngành toán học bằng một loạt các công trình nổi tiếng của các nhà toán học như Pascal, Fermat, Lenibniz, Euler, Kể từ sau khi tin học ra đời, lý thuyết tổ hợp phát triển ngày càng mạnh mẽ, có nội dung phong phú và được ứng dụng nhiều trong thực tế đời sống

Trong toán học sơ cấp, tổ hợp cũng xuất hiện với nhiều bài toán hay với

độ khó cao Những ai mới bắt đầu làm quen với khái niệm tổ hợp thường khó hình dung hết độ phức tạp về về cấu trúc trên các tập đặc biệt Do vậy tôi đã chọn đề tài "bài toán cơ bản của lý thuyết tổ hợp" Luận văn đã trình bày bốn bài toán cơ bản của lý thuyết tổ hợp, xây dựng một

số bài toán áp dụng

Luận văn gồm phần mở đầu, bốn chương, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo

Chương 1: Bài toán tồn tại Trong chương này tác giả đã giới thiệu bài toán tồn tại bằng ba bài toán cổ nổi tiếng là bài toán về bẩy cây cầu của Euler, bài toán bốn màu và bài toán chọn 2n điểm trên lưới n.n điểm Trong chương này tác giả cũng nêu được hai phương pháp chứng minh sự tồn tại là phương pháp chứng minh bằng phản chứng và phương pháp sử dụng nguyên lý Diriclet

Chương 2: Bài toán liệt kê Chương 2 được trình bày theo bốn mục bao gồm: giới thiệu bài toán, thuật toán và độ phức tạp tính toán cùng với phương pháp sinh và thuật toán quay lui

Chương 3: Bài toán đếm Đây là nội dung chính của luận văn Trong chương này tác giả đã nêu được các bài toán đếm cơ bản, phân loại các

thị bằng ma trận và trình bày hai bài toán cơ bản là: Bài toán tìm cây bao trùm có trọng số nhỏ nhất và bài toán tìm đường đi có trọng số nhỏ nhất

Mặc dù bản thân đã rất cố gắng và nghiêm túc trong học tập và nghiên cứu khoa học nhưng do thời gian có hạn, kiến thức bản thân còn hạn chế nên trong quá trình thực hiện luận văn không tránh khỏi những sơ suất Rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô và các bạn

Tôi xin chân thành cảm ơn

Chương 1

Bài toán tồn tại

1.1 Giới thiệu bài toán

Trong rất nhiều bài toán tổ hợp, việc chỉ ra sự tồn tại của một cấu hình thoả mãn các tính chất cho trước là hết sức khó khăn Bài toán về bẩy cây cầu của nhà toán học Euler vào thể kỉ XVIII đã khiến người dân thành phố Konigsberg và các nhà toán học thời bấy giờ mất bao công tìm kiếm lời giải Hay đơn giản hơn, khi một kì thủ cần phải tính toán các nước đi của mình để giải đáp xem liệu có khả năng thắng hay không, hoặc là một người giải mật mã cần tìm chìa khoá giải cho một bức mật mã mà anh ta không biết liệu đây có đúng là bức điện thật được mã hoá của đối phương hay không, hay chỉ là bức mật mã giả của đối phương tung ra nhằm đảm bảo an toàn cho bức điện thật Như vậy, trong tổ hợp xuất hiện một vấn

đề rất quan trọng là xét sự tồn tại của các cấu hình tổ hợp với các tính chất cho trước Các bài toán thuộc dạng này được gọi là các bài toán tồn tại tổ hợp

Một bài toán tồn tại tổ hợp xem như giải xong nếu chỉ ra một cách xây dựng cấu hình hoặc chứng minh rằng chúng không tồn tại Tuy nhiên, cả hai khả năng đều không phải dễ Để thấy rõ được sự phức tạp của vấn đề, dưới đây xin được xét một số bài toán tồn tại cổ điển nổi tiếng

a, Bài toán về bẩy cây cầu của Euler

Thành phố Konigsberg thuộc Thổ (bây giờ gọi là Kaliningrad thuộc cộng hoà Nga), được chia thành bốn vùng bằng các nhánh sông Pregel Các vùng này gồm hai vùng bên bờ sông, đảo Kneiphof và một miền nằm giữa hai nhánh sông Pregel Vào thế kỉ XVIII, người ta xây bẩy chiếc cầu nối các vùng này với nhau Hình 1, vẽ các vùng và các cầu qua sông của

Vào chủ nhật người dân ở đây thường đi bộ dọc theo các phố Họ tự hỏi không biết có thể xuất phát tại một điểm nào đó trong thành phố đi qua tất cả các cầu, mỗi chiếc cầu đúng một lần, rồi trở về điểm xuất phát được không Nhà toán học Thụy Sĩ, Leonhard Euler, đã giải bài toán này Lời giải của ông công bố năm 1736 có thể là một ứng dụng đầu tiên của

lý thuyết đồ thị Ông đã chứng minh được rằng không có được đường đi nào thoả mãn yêu cầu bài toán (lời giải chi tiết của bài xin được trình bày

rõ ở chương IV)

b, Bài toán bốn màu

Có những bài toán mà nội dung của nó có thể giải thích cho bất kì ai, tuy lời giải của nó thì ai cũng có thể tự tìm nhưng mà khó có thể tìm được Ngoài định lý Fermat thì bài toán bốn màu là một trong những bài toán như vậy Bài toán có thể phát biểu trực quan như sau: Chứng minh rằng mọi bản đồ trên mặt phẳng đều có thể tô bằng bốn màu sao cho không

có hai nước láng giềng nào được tô bởi cùng một màu Chú ý rằng ta xem mỗi nước là một vùng liên thông và hai nước gọi là láng giềng nếu chúng

có chung biên giới là một đường liên tục

Con số 4 không phải là ngẫu nhiên, người ta đã chứng minh được rằng mọi bản đồ đều được tô với số màu lớn hơn 4, còn với số màu ít hơn 4 thì không tô được, chẳng hạn bản đồ gồm bốn nước ở hình dưới đây không thể tô được với số màu ít hơn 4

Bài toán này xuất hiện vào khoảng những năm 1850 - 1852 từ một nhà buôn người Anh là Gazri, khi tô bản đồ hành chính nước Anh đã cố gắng chứng minh rằng có thể tô bằng 4màu Sau đó, năm 1952, ông đã viết thư cho De Morgan để thông báo về giả thuyết này Năm 1878, Keli trong một bài báo đăng ở tuyển tập các công trình của Hội toán học Anh có hỏi rằng bài toán này đã được giải quyết hay chưa? Từ đó bài toán này trở thành nổi tiếng và trong hơn một thế kỉ, có rất nhiều người làm toán nghiệp

dư cũng như chuyên nghiệp đã cố gắng chứng minh giả thuyết này Tuy nhiên, mãi đến năm 1976 hai nhà toán học Mỹ là K.Appel và W.Haken mới chứng minh được giả thuyết này bằng máy tính điện tử

c, Bài toán chọn 2n điểm trên lưới n × n điểm

Chọn một lưới ô vuông gồm n × nđiểm Hỏi có thể chọn trong số chúng

2n điểm sao cho không có ba điểm được chọn nào thẳng hàng hay không? hiện nay người ta biết lời giải của bài này khi n 6 15 Hình dưới đây cho một lời giải bài toán với n = 12

1.2 Các phương pháp chứng minh sự tồn tại

1.2.1 Phương pháp chứng minh phản chứng

Phương pháp chứng minh phản chứng có lẽ là một trong những phương pháp chứng minh sớm nhất mà loài người đã biết đến, đặc biệt trong nghệ thuật diễn thuyết và tranh luận Trong toán học, phương pháp chứng minh phản chứng thường được sử dụng, đặc biệt khi cần chứng minh tính duy nhất của một đối tượng T nào đó thoả mãn điều kiện cho trước (mà sự tồn tại của T đã được chứng minh trước đó) ta thường giả sử còn ∀T0 6= T ; T0

cũng thoả mãn điều kiện đó, từ đó suy ra một điều vô lý Vậy điều giả sử của chúng ta là sai, tức là T duy nhất

a, Cơ sở lý thuyết

Giả sử ta phải chứng minh một mệnh đề có dạng P =⇒ Q với P là giả thiết, Q là kết luận Ta tiến hành như sau:

Bước 1: Giả sử Q sai

Bước 2: Từ giả sử Q sai và từ P ta dùng các lập luận, suy diễn để dẫn đến một điều vô lý

Bước 3: Từ đó ta suy ra Q đúng

Chú ý 1.1 Ta có thể dùng phương pháp chứng minh phản chứng để chứng minh nguyên lý Diriclet Do đó, với nhiều bài toán ta có thể chứng minh bằng nguyên lý Diriclet hoặc phương pháp chứng minh phản chứng

b, Phương pháp giải toán qua các ví dụ

Tài liệu tham khảo

[1] Nguyễn Văn Mậu (2008), Chuyên đề chọn lọc tổ hợp và toán rời rạc, NXB Giáo Dục

[2] Nguyễn Văn Mậu (4/2012), Các chuyên đề toán bồi dưỡng học sinh giỏi , Kỷ yếu hội nghị khoa học, Hà Nội

[3] Hoàng Chí Thành (2001), Giáo trình tổ hợp, NXB Đại học Quốc gia

Hà Nội

[4] Hoàng Chí Thành (2011), Lý thuyết đồ thị , NXB Đại học Quốc gia

Hà Nội

[5] Nguyễn Đức Nghĩa(2001), Toán học rời rạc, NXB Đại học Quốc gia

Hà Nội

[6] Ngô Đắc Tân(2004), Lý thuyết tổ hợp và đồ thị, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội

[7] Tạp chí toán học và tuổi trẻ, Tuyển tập 30 năm, NXB Giáo Dục, 1997 [8] Kenneth H Rosen, Toán học rời rạc ứng dụng trong tin học, NXB khoa học và kĩ thuật, 1998

[9] Tài liệu từ Internet