Về tính lipschitz của toán tử trong không gian hibert và ứng dụng vào bài toán bất đẳng thức biến phân (LV01953)

TRIỆU THỊ XENVỀ TÍNH LIPSCHITZ CỦA TOÁN TỬ TRONG KHÔNG GIAN HIBERT VÀ ỨNG DỤNG VÀO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2016... TRIỆU THỊ XENVỀ TÍNH LIPSCHI

TRIỆU THỊ XEN

VỀ TÍNH LIPSCHITZ CỦA TOÁN TỬ

TRONG KHÔNG GIAN HIBERT VÀ ỨNG DỤNG VÀO

BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2016

TRIỆU THỊ XEN

VỀ TÍNH LIPSCHITZ CỦA TOÁN TỬ

TRONG KHÔNG GIAN HIBERT VÀ ỨNG DỤNG VÀO

BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH LÊ DŨNG MƯU

HÀ NỘI, 2016

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình và bạn bè đã cổ vũ, động viên,giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này.

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn này vẫn không tránh khỏi nhữngthiếu sót và hạn chế Tôi mong nhận được những ý kiến đóng góp và phản hồi

từ phía các thầy, các cô, các bạn để luận văn này được hoàn thiện một cách tốthơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 6 năm 2016

Người thực hiện

Triệu Thị Xen

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH Lê Dũng Mưu, luận văn

chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài Tính Lipschitz của toán tử trong không

gian Hilbert và ứng dụng vào bất đẳng thức biến phânđược hoàn thành bởi sựnhận thức và tìm hiểu của bản thân, không trùng lặp với bất cứ luận văn nàokhác

Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tôi đã kế thừa những kếtquả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 6 năm 2016

Người thực hiện

Triệu Thị Xen

Mục lục

Lời cảm ơn i

Lời cam đoan ii

Danh mục kí hiệu thường dùng iv

Mở đầu 1 1 Toán tử Lipschitz trong không gian Hilbert 3 1.1 Kiến thức chuẩn bị 3

1.1.1 Không gian metric 3

1.1.2 Không gian Hilbert 4

1.1.3 Phép chiếu metric 5

1.2 Điểm bất động của ánh xạ co 6

1.3 Điểm bất động của ánh xạ không giãn 15

2 Ứng dụng vào bất đẳng thức biến phân 27 2.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân 27

2.2 Sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân 34

2.3 Nguyên lý ánh xạ co Banach giải bất đẳng thức biến phân 36

Danh mục kí hiệu thường dùng

(X, d) Không gian metric

dC(y) Khoảng cách từy đếnCd(x, y) Khoảng cách giữa các phần tửxvà yh., i Tích vô hướng

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Giải tích hàm là một ngành Toán học được xây dựng vào khoảng đầu thế kỷ

XX Trong quá trình phát triển Giải tích hàm đã tích lũy được một nội dung hếtsức phong phú Những phương pháp và kết quả mẫu mực tổng quát của Giảitích hàm đã xâm nhập vào tất cả các ngành toán học có liên quan và sử dụngđến công cụ Giải tích và không gian vectơ Chính điều đó đã mở ra phạm vinghiên cứu lớn cho ngành toán học

Một trong hướng nghiên cứu mạnh mẽ của Giải tích hàm là lý thuyết điểmbất động Các định lý điểm bất động liên quan đến các điều kiện mà nó khẳngđịnh sự tồn tại của một điểm x∗ trong C(C ⊂ X) sao cho T x∗ = x∗ với

T : C −→ C Điểm x∗ như vậy gọi là điểm bất động của ánh xạ T Nhữngđịnh lý điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỷ 20, trong đó phải

kể đến định lý điểm bất động Brouwer (1912) và nguyên lý ánh xạ co Banach(1922) Các kết quả này đã mở rộng ra các lớp ánh xạ đặc biệt là lớp ánh xạ

có tính Lipschitz trên các không gian khác nhau, đã được ứng dụng rộng rãi

trong nhiều lĩnh vực và được tập hợp lại dưới một cái tên chung: Lý thuyết điểm

bất động Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu sắc hơn về bộ mônnày và bước đầu tiếp cận với việc nghiên cứu khoa học Dưới sự hướng dẫn của

GS.TSKH Lê Dũng Mưu tôi đã chọn đề tài :“ Tính Lipschitz của toán tử trong

không gian Hilbert và ứng dụng vào bất đẳng thức biến phân”

2 Mục đích nghiên cứu

Làm quen với công việc nghiên cứu khoa học, tìm hiểu sâu hơn về Giải tíchhàm đặc biệt về tính Lipschitz của toán tử trong không gian Hilbert Luận văntrình bày các định lý về tồn tại điểm bất động của ánh xạ có tính Lipschitz như:điểm bất động của ánh xạ không giãn và áp dụng nguyên lý ánh xạ co Banach

để giải bất đẳng thức biến phân

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về tính Lipschitz của toán tử trong không gian Hilbert

Nghiên cứu bài toán bất đẳng thức biến phân

Ứng dụng tính Lipschitz của toán tử vào bài toán Bất đẳng thức biến phân

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Tính Lipschitz của toán tử trong không gian Hilbert và ứng dụng vào Bấtđằng thức biến phân

5 Phương pháp nghiên cứu

Thu thập các tài liệu liên quan đến tính Lipschitz của toán tử trong khônggian Hilbert

Phân tích, tổng hợp và hệ thống các kiến thức liên quan tới bài toán bất đẳngthức biến phân

6 Đóng góp của luận văn

Xây dựng luận văn thành một tài liệu tổng quan tốt cho sinh viên và học viêncao học về đề tài “ Tính Lipschitz của toán tử trong không gian Hilbert và ứngdụng vào bất đẳng thức biến phân”

1.1 Kiến thức chuẩn bị

1.1.1 Không gian metric

Định nghĩa 1.1.1 Một hàmd có giá trị thực được xác định với mọi cặp phần

tửx, ycủa tập hợp X được gọi là metric trên X nếu nó thỏa mãn các điều kiệnsau ( với mọix, y, z ∈ X):

1)d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y;

2)d(x, y) = d(y, x);

3)d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, x)( bất đẳng thức tam giác)

Một tậpX cùng với metric xác định như trên được gọi là một không gian metric

vàd(x, y)được gọi là khoảng cách giữaxvà y

Các phần tử của không gian metric (X, d)được gọi là điểm.

Định nghĩa 1.1.2 Giả sửx1, x2, , xnlà dãy các điểm trong không gian metric

(X, d) Dãyxn được gọi là hội tụ đến điểm x ∈ X nếu

Định nghĩa 1.1.3 Cho hai không gian metric (X, d) và (Y, p) Một ánh xạ T

từX vàoY được gọi là liên tục tạix0 ∈ X nếu với mọiε > 0tồn tạiδ > 0saocho với mọix ∈ X thìd(x, x0) < δ kéo theoρ(T x, T x0) < ε Ánh xạT đượcgọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm x ∈ X

Định nghĩa 1.1.4 Ta nói dãy{xn}là dãy Cauchy hay dãy cơ bản trong không

gian metric X nếu với mọi ε > 0 tồn tại nε sao cho d(xn, xm) < ε với mọi

n, m ≥ nε Nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ thì X được gọi là không

gian Metric đầy đủ

Nguyên lý Cantor: Trong không gian metric đầy đủ mọi dãy hình cầu đóng

thắt dần đều có một điểm chung duy nhất

Định nghĩa 1.1.5 Ánh xạT : (X, d) → (Y, p)của các không gian metric thỏamãn:

1.1.2 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.6 (Tích vô hướng) ChoH là không gian tuyến tính trên R Một

tích vô hướng trênH là một ánh xạ, ký hiệu h·, ·i : H × H → R thỏa mãn các

điều kiện sau:

1)∀x ∈ H : hx, xi ≥ 0, hx, xi = 0 ⇔ x = 0;

2)∀x, y ∈ H : hx, yi = hy, xi;

3)∀x, y ∈ X, ∀α ∈ R : hαx, yi = α hx, yi;

4)∀x, y, z ∈ H : hx + y, zi = hx, zi + hz, yi,

Không gian tuyến tính H với tích vô hướng h·, ·i được gọi là không gian tiền

Hilbert

Định nghĩa 1.1.7 Không gian tiền Hilbert đầy đủ gọi là không gian Hilbert.

Định nghĩa 1.1.8 Ta gọi một tậpH 6= ∅là không gian Hilbert, nếu tậpH thỏamãn các điều kiện:

1) H là không gian tuyến tính trên trườngP;

2) H được trang bị một tích vô hướngh., i;

3) H là không gian Banach với chuẩnkxk = phx, xi, x ∈ H

Ta nói dC(y) là khoảng cách từ y tới C Nếu tồn tại π ∈ C sao cho dC(y) =

kx − ykthì ta nóiπ là hình chiếu củay trênC Ta kí hiệu hình chiếu củay trên

C là PC(y) Thông thường sẽ kí hiệu π = PC(y) hoặc đơn giản hơn là P (y)

nếu không cần nhấn mạnh đến tập chiếuC

Chú ý rằng, nếuy ∈ C thìdC (y) = 0 NếuC 6= ∅thìdC(y) hữu hạn vì

0 ≤ dC (y) ≤ ky − xk với ∀x ∈ C

Định nghĩa 1.1.10 ChoC là một tập con lồi, đóng của không gian Hilbert H

ánh xạ P : H → C Nếu với ∀x ∈ H tồn tại duy nhất phần tử P x ∈ C saocho:

kx − P xk = d (x, C)

thì ánh xạP như vậy được gọi là phép chiếu metric trên C

Mệnh đề 1.1.1 (Xem [2], Chương5, Mệnh đề5.1) ChoC là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian HilbertH và PC là phép chiếu metric từ H lênC Khi đó những điều kiện sau thỏa mãn:

có một điểm bất động Như vậy những điều kiện lên một toán tử hay miền xácđịnh ở định nghĩa để đảm bảo tồn tại một điểm bất động diễn giải như các định

lý về tồn tại trong giải tích

Định nghĩa 1.2.2 Ánh xạT từ không gian metric(X, d)vào không gian metric

(Y, p)được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại sốk ∈ [0, 1)sao cho:

ρ(T x, T y) ≤ kd(x, y)

với mọix, y ∈ X (k là hệ số co)

Định lý điểm bất động được sử dụng rộng rãi nhất đó là định lý ánh xạ coBanach(1922) Định lý chỉ ra sự tồn tại duy nhất điểm bất động của ánh xạ

Định lý ánh xạ co Banach ( xem [4], Chương 1) Cho (X, d) là không gianmetric đầy đủ và T : X → X là ánh xạ co trong X Khi đó tồn tại duy nhất

x∗ ∈ X màT x∗ = x∗ Ngoài ra với mọix0 ∈ X ta cóTnx0 → x∗ khin → ∞

Chứng minh. Lấy x0 là điểm tùy ý trong X và đặt xn+1 = T xn vớin ∈ N Ta

có

d(x1, x2) = d(T x0, T x1) ≤ kd(x0, x1)d(x2, x3) = d(T x1, T x2) ≤ k2d(x0, x1)

Do đó{xn}là một dãy Cauchy trong không gian metric đầy đủ vàxn → x∗ ∈

Khi đóF có duy nhất điểm bất động trongB(x0, r).

Chứng minh. Tồn tạir0 với0 ≤ r0 < r

Nhiều tác giả đã tổng quát hóa định lý ánh xạ co Banach và phát biểu với nộidung dưới đây

Định lý 1.2.2 (Xem [8], Chương 1, Định lý 1.5) Cho (X, d) là không gian metric đầy đủ vàF : X → Xlà ánh xạ (không nhất thiết liên tục) với mỗiε > 0

tồn tại δ(ε) > 0 sao cho nếu d(x, F (x)) < δ(ε) thì F (B (x, ε)) ⊆ B (x, ε)

trong đóB (x, ε) = {y ∈ X : d (x, y) < ε}

Nếu với mỗiu ∈ X ta có

lim

n→∞d Fn(u) , Fn+1(u)
= 0

Khi đó dãy{Fn(u)}hội tụ tới một điểm cố định củaF.

Chứng minh. Với mỗi u ∈ X ta lấyun = Fn(u) Ta chứng minh {un} là dãyCauchy

Với mỗi ε > 0 cho trước, chọn δ(ε) > 0 như trên Ta chọn N đủ lớn sao cho

Chứng minh. Giả sử t ≤ φ(t), t > 0 Khi đó φ(t) ≤ φ(φ(t)) và do đó t ≤

φ2(t) Theo quy nạp, ta cót ≤ φn(t), ∀n ∈ {1, 2, 3 } Điều này mâu thuẫn

Ví dụ 1.2 Cho X = [a, b] và T : X → X là khả vi và thỏa mãn |T0(x)| ≤

k < 1 với mọix ∈ (a, b) Khi đó nếux, y ∈ X, tồn tạiξ nằm giữa xvà y saocho

T x − T y = T0(ξ)(x − y)

với điều kiện ban đầux(t0) = x0 trong đót0, x0 là hai số cho trước vàT (t, u)

là hàm liên tục cho trước của hai biếnt, u, (t, u) ∈ R Giả sử rằng hàmT (t, u)

thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến u theo định nghĩa sau đây: với mỗi

số nguyên dương n, tồn tại một hằng số L = L(n) > 0 sao cho với mọi

dn(x, y) = max|t|≤ne−λL|t−t0 ||x (t) − y (t)| , x, y ∈ Cn

Lúc đódn là một metric trong không giancn Thật vậy, với mọix, y, z ∈ Cn tacó

Ta sẽ chứng tỏ rằngF là một ánh xạ co đối với metricdn Thật vậy, vớix, y ∈

Cn ta có

d (F (x) , F (y)) = max|t|≤ne−λL|t−t0 |

Như vậy, với mỗi số nguyên dươngnsao cho|t0| ≤ m, phương trình vi phân

có một nghiệm duy nhấtxn = xn(t)xác định trên đoạn[−n, n] Nếunvàm làhai số nguyên dưỡng sao cho|t0| ≤ n < m thì từ tính duy nhất của xn suy rarằngxm(t) = xn(t)khi|t| ≤ n

Vì vậy hàm x(t) = xn(t) khi |t| ≤ n được xác định với mọi t ∈ R và là

nghiệm duy nhất của phương trình vi phân trên toàn bộ đường thẳng thực

Nhận xét 1.2.1 Ánh xạ co là trường hợp riêng của ánh xạ Lipschitz và hiển

nhiên là liên tục.

Có nhiều tác giả đã chứng minh được rằng nguyên lý ánh xạ co vẫn còn đúng nếu ta thay hằng số k < 1 bằng một hàm số với biến là d(x, y), nhận giá trị trong[0, 1)và thỏa mãn một điều kiện nào đó Kết quả mạnh nhất thuộc theo hướng này thuộc về Meir và Keeler mà chúng tôi giới thiệu sau đây, nhưng trước hết chúng ta nghiên cứu định nghĩa sau

Định nghĩa 1.2.3 Ánh xạT trong không gian metric(X, d)được gọi là(ε, δ)

-co nếu với mọiε > 0đều tồn tại δ sao cho nếu ε ≤ d(x, y) < ε + δ

Lớp ánh xạ thỏa mãn điều d(T x, T y) < d(x, y) thường được gọi là " co yếu

" Hiển nhiên các ánh xạ thuộc lớp này, nếu có điểm bất động thì nó phải duynhất

Định lý 1.2.4 (Meir-Keeler,1969) (xem [4] chương 1) Cho(X, d)là một không gian metric đầy đủ và T là một ánh xạ (ε, δ)- co trong X Khi đó, T có điểm bất động duy nhấtx∗ và với mọix0 ∈ X ta có

Tnx0 → x∗ khi n → ∞

Chứng minh. Lấyx0 ∈ X tùy ý, đặtxn+1 = T xn vàCn = d(xn, xn+ 1), n =

0, 1, 2 Có thể giả thiết cn > 0 Vì T là ánh xạ co yếu nên cn là dãy không âm

và giảm, do đócn → ε Nếuε > 0thì tồn tạiδ > 0để cód(T x, T y) ≤ ε Chọn

k ∈ N sao cho nếu n ≤ k thì cn < ε + δ Do đó ta có cn+1 < ε là điều vô lý.Vậyε = 0tức làcn → 0 Ta sẽ chứng minhxnlà dãy Cauchy bằng phản chứng.Giả sử cóε > 0sao cho với mọik ∈ N, tồn tạin, m ≤ k màd(xn, xm) ≤ 2ε.Chok sao cho nếu i ≤ kthì ci ≤ α

4 vớiα = min {δ, ε}

Chọnm > n ≥ k để chod(xn, xm) ≥ 2εvà xét các số

d(xn, xn+1), d(xn, xn+2), , d(xn, xm)

khoảng cách giữa 2 số liên tiếp là

Điều này mâu thuẫn vớid(xn, xj) ≥ ε + α

2 Vậy{xn}là dãy Cauchy vàxn →

x∗ ∈ X Để ý rằng T là ánh xạ co yếu, với mọi nta có

1.3 Điểm bất động của ánh xạ không giãn

Định nghĩa 1.3.1 Ánh xạT từ không gian metric(X, d)vào không gian metric

(z, p)được gọi là không giãn nếu với mọi x, y ∈ X ta có

ρ(T x, T y) ≤ d(x, y)

Định lý 1.3.1 Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian HilbertH Ánh xạT : C → C không giãn Các mệnh đề sau tương đương 1) TậpF (T )các điểm bất động của ánh xạ T không rỗng.

2) Với mọi x ∈ C dãy {Tnx}bị chặn Hơn nữa trong trường hợp này F (T )

là lồi đóng.

Chứng minh. 1) ⇒ 2) Do F (T ) không rỗng nên tồn tại u ∈ F (T ) khi đó

u = T ukéo theo{Tnx} = {u}đo đó ta có 2)

2) ⇒1) Với mọi x ∈ C bất kỳy ∈ C doT không giãn nên

kéo theokT y − yk2 ≤ 0 HayT p = phayp ∈ F (T )hayF (T ) = ∅

Tiếp theo ta chứng minhF (t)là tập lồi, đóng Rõ ràng, F (t)là tập đóng.Vớix, y ∈ F (T ) : 0 ≤ λ ≤ 1đặt

DoT là ánh xạ co không giãn nên

Điều này vô lý Do vậyT z = z hayz ∈ F (T )Định lý đã được chứng minh

Hệ quả 1.3.1 ChoC là tập con, lồi đóng, bị chặn trong không gian HilbertH, ánh xạT : C → C không giãn Khi đó,T có một điểm bất động trongC

Định lý 1.3.2 (Xem [8], Chương 2, Định lý 2.3) ChoH là không gian Hilbert, với u, v ∈ H chor, B là các hằng số với 0 ≤ r ≤ R Nếu tồn tại x ∈ H với

Định lý 1.3.3 (Xem [8], Chương 2, Định lý 2.4) ChoH là không gian Hilbert,

C ⊆ H là tập bị chặn vàF : C → C là ánh xạ không giãn Giả sửx ∈ C, y ∈

C vàa = x + y

2 ∈ C

Kí hiệu δ(C) là đường kính của C và ε ≤ δ(C) sao chokx − F (x)k < ε và

không mất tính tổng quát ta giả sử rằng

Định lý 1.3.4 (Định lý Brouwer-Gohcle-Kirk) (Xem [8], Chương 2, Định lý

2.2) Cho C là tập bị chặn, lồi, đóng khác rỗng của không gian Hilbert H,

F : C → C là ánh xạ không giãn Khi đó, F có ít nhất một điểm bất động trongC.

Chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta giả sử rằng 0 ∈ C(F (0)) 6= 0 vớimỗin = 1, 3, ta đặt

Fn :=



1 − 1n

Ánh xạ đa trịJ : E → 2E∗ gọi là ánh xạ đối ngẫu củaE, j là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc củaE.

Định nghĩa 1.3.2 ChoT : D(T ) ⊂ X → X là một ánh xạ

1) Ánh xạ T được gọi là accretive nếu với mỗi x, y ∈ D(T )tồn tại j(x, y) ∈

J (x − y)sao cho

hT x − T y, j (x − y)i ≥ 0

2) Ánh xạ T được gọi h − accretive (hemiaccretive) nếu với mỗi x ∈ D(T )

vàq ∈ N (T ) vàq ∈ N (T ), tồn tại j(x − q) ∈ J (x − q) sao cho

Chú ý 1.3.1 Ánh xạ không giãn là ánh xạ giả co (giả co mạnh) Nhưng ngược

lại không đúng Trong thực tế, nếu T là không giãn với mọi x, y ∈ D(T ) và

j(x, y) ∈ J (x − y)chúng ta có:

hT x − T y, j (x − y)i ≤ kT x − T yk kj (x, y)k ≤ kx − yk2

Ví dụ sau chứng tỏ ánh xạ giả co không là ánh xạ không giãn.

Ví dụ 1.4 Cho H = R2 là không gian Hilbert Nếu x = (a, b) ∈ H ta địnhnghĩa

ykyk

Điều này suy ra

kT x − T yk ≤ x

kxk −

ykyk + kx − yk + kx

Do1 − 2kyk ≤ 0, ∀y ∈ C2, hx, yi/(kxkkyk) có giá trị nhỏ nhất, mọikxk và

kykcố định khihx, yi/(kxkkyk) = 1 Ta có

Γ(x, y) ≥ 2kyk2 − kyk + kxk − 2kxkkyk

= (kyk − kxk)(2kyk − 1)

≥ 0, ∀x ∈ C1, y ∈ C2

Trường hợp 3 Nếux, y ∈ C2 Ta có

hT x − T y, x − yi = kxk − kxk2 + kyk − kyk2 +



2 − 1kxk −

1kyk





32, x ∈ [0, 1]

Vì T là đơn điệu giảm T là giả co

Ta có

7

64 =

1

43 − 1

23

Suy ra T không là ánh xạ không giãn

Vậy ánh xạ giả co liên tục chưa hẳn là ánh xạ không giãn

Mệnh đề 1.3.1 (xem [5] Chương 5, Mệnh đề 5.7.7) ChoT : D(T ) ⊂ X −→

X là một ánh xạ Khi đó