Phương trình và hệ phương trình đại số

ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRỊNH THỊ HIỀN PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC... ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC QUỐC GI

ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRỊNH THỊ HIỀN

PHƯƠNG TRÌNH

VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRỊNH THỊ HIỀN

PHƯƠNG TRÌNH

VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS TS VŨ ĐỖ LONG

HÀ NỘI - NĂM 2015

Mục lục

1.1 Kiến thức bổ trợ 7

1.1.1 Tính đơn điệu của hàm số 7

1.1.2 Tính chất của hàm khả vi và ứng dụng 7

1.2 Phương pháp giải phương trình bậc ba 8

1.2.1 Phương pháp phân tích nhân tử 8

1.2.2 Phương pháp Cardano 8

1.3 Phương trình bậc cao 10

1.3.1 Phương trình đối xứng bậc n 11

1.3.2 Một số bài toán bậc cao 11

2 Phương pháp giải phương trình vô tỉ 14 2.1 Phương pháp biến đổi tương đương 14

2.1.1 Phương pháp nâng lũy thừa 14

2.1.2 Phương pháp phân tích thành nhân tử 19

2.1.3 Phương pháp nhân liên hợp 25

2.2 Phương pháp đặt ẩn phụ 39

2.2.1 Một số cách đặt ẩn phụ cơ bản 40

2.2.2 Đặt ẩn phụ đưa về phương trình tích 41

2.2.3 Đặt ẩn phụ đưa về phương trình đẳng cấp 45

2.2.4 Đặt ẩn phụ không hoàn toàn 48

2.2.5 Đặt ẩn phụ đưa về hệ 51

2.3 Phương pháp đánh giá 58

2.3.1 Phương pháp dùng hằng đẳng thức 58

2.3.2 Phương pháp dùng bất đẳng thức 59

2.4 Phương pháp hàm số 63

2.5 Phương pháp lượng giác hóa 67

3 Phương trình có chứa tham số 70 3.1 Phương pháp sử dụng đạo hàm 70

3.2 Phương pháp dùng điều kiện cần và đủ 74

3.2.1 Sử dụng tính đối xứng 74

3.2.2 Sử dụng đặc điểm thuận lợi 76

4 Hệ phương trình đại số 79 4.1 Các loại hệ phương trình cơ bản 79

4.1.1 Hệ phương trình đối xứng loại I 79

4.1.2 Hệ phương trình đối xứng loại II 80

4.1.3 Hệ phương trình đẳng cấp 82

4.2 Một số phương pháp giải hệ phương trình khác 83

4.2.1 Phương pháp đặt ẩn phụ 83

4.2.2 Phương pháp hệ số bất định 86

4.2.3 Phương pháp biến đổi đẳng thức 91

4.2.4 Phương pháp dùng tính đơn điệu 94

4.2.5 Phương pháp dùng bất đẳng thức 101

3

MỞ ĐẦU

Phương trình và hệ phương trình là một trong những phân môn quan trọng nhất của Đại số vì có những ứng dụng lớn trong các ngành khoa học và là loại toán thường gặp trong các dạng toán sơ cấp Ngay

từ đầu, sự ra đời và phát triển của phương trình và hệ phương trình đại số đã đặt dấu ấn quan trọng, chúng có sức hút mạnh mẽ đối với người yêu toán, không chỉ ở vẻ đẹp hình thức mà cả những bí ẩn nó mang đến luôn thôi thúc người làm toán phải tìm tòi, sáng tạo Ngày nay, phương trình và hệ phương trình đại số vẫn luôn chiếm một vai trò quan trọng và vẫn thường xuyên xuất hiện trong các kì thi Quốc gia, Quốc tế, Olympic Là một giáo viên THPT, tôi muốn nghiên cứu sâu hơn về phương trình và hệ phương trình nhằm nâng cao chuyên môn phục vụ cho quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi, vậy nên tôi đã chọn đề tài làm luận văn thạc sĩ của mình là:

"Phương trình và hệ phương trình đại số."

Mục đích của luận văn này là hệ thống hóa các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình đại số, giúp nhận dạng các bài toán,

đề xuất các phương pháp giải và chọn phương án tối ưu

Bản luận văn được chia làm 4 chương:

Chương 1: Đại cương về phương trình hữu tỉ

Trình bày các kiến thức chuẩn bị gồm một số cách giải phương trình bậc ba, một vài bài tập phương trình bậc cao và một số tính chất của hàm số

Chương 2: Phương pháp giải phương trình vô tỉ

Chương này trình bày các phương pháp thường gặp trong phạm

vi chương trình phổ thông

Ở mỗi phương pháp, tác giả cố gắng tổng quát hóa các dạng bài tập mà có thể sử dụng phương pháp này, có kèm theo nhận xét, tổng quát hóa dạng toán đồng thời cho một số ví dụ minh họa cùng với một số bài toán tham khảo

Chương 3: Phương trình có tham số

Đề cập đến các phương pháp giải và biện luận bài toán có tham

số, cũng như một số bài toán thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi

Chương 4: Hệ phương trình đại số

Nhắc lại các hệ phương trình cơ bản và nêu một số phương pháp giải hệ phương trình dạng khác

Mặc dù có nhiều cố gắng, xong do nhiều yếu tố khách quan và chủ quan, nên trong quá trình chọn lọc tư liệu và trình bày nội dung khó tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy tôi rất mong nhận được những ý kiến chỉ bảo của thầy cô, sự góp ý chân thành của các bạn học viên

để luận văn được hoàn thiện hơn

5

Lời cảm ơn

Tôi xin được bày tỏ lòng kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Vũ Đỗ Long, người thầy đã tận tình giảng dạy, truyền thụ những kiến thức bổ ích và tạo điều kiện để tôi hoàn thành luận văn này Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình tôi thực hiện đề tài

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô Khoa Toán - Cơ

- Tin học, Phòng sau đại học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội; các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa cao học 2013 -2015; Ban giám hiệu và các đồng nghiệp trường THPT Hồng Thái, Đan Phượng, Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn của mình

Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình đã luôn động viên tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu khoa học

Hà Nội, tháng 8 năm 2015

Học viên Trịnh Thị Hiền

Chương 1

Đại cương về phương trình hữu tỉ

1.1 Kiến thức bổ trợ

1.1.1 Tính đơn điệu của hàm số

Định nghĩa 1.1 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên (a; b) và f0(x) = 0 chỉ với một số hữu hạn điểm Khi đó

• f là hàm số tăng trên (a; b) ⇔ f0(x) ≥ 0, ∀x ∈ (a; b)

• f là hàm số giảm trên (a; b) ⇔ f0(x) ≤ 0, ∀x ∈ (a; b)

Hệ quả 1.1 Nếu hàm số y = f (x)đơn điệu trên (a; b) thì phương trìnhf (x) = 0

có tối đa một nghiệm

1.1.2 Tính chất của hàm khả vi và ứng dụng

Định lý Roll Giả sử hàm f : [a; b] → R thỏa mãn

+ f liên tục trên [a; b]

+ f khả vi trong khoảng (a; b)

+ f (a) = f (b)

Khi đó tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f0(c) = 0

Hệ quả 1.2 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm đến cấp n và phương trình

f(n)(x) = 0 có m nghiệm trong khoảng (a; b), khi đó phương trình f(n−1)(x) = 0

có nhiều nhất là (m + 1) nghiệm trong [a; b]

Định lý Lagrange Cho hàm sốy = f (x) liên tục trên[a; b]và f0(x) tồn tại trên

(a; b) thì luôn ∃c ∈ (a; b) sao cho: f0(c) = f (b) − f (a)

b − a 7

1.2 Phương pháp giải phương trình bậc ba

1.2.1 Phương pháp phân tích nhân tử

Xét phương trình bậc ba

ax3+ bx2+ cx + d = 0 (1.1) Giả sử phương trình (1.1) có nghiệm là x = r Khi đó

(1.1)⇔ (x − r)ax2+ (b + ar) x + c + br + ar2= 0

Từ đó ta đưa về giải phương trình bậc hai, có nghiệm là

x = −b − ra ±√b2− 4ac − 2abr − 3a 2 r2

2a

1.2.2 Phương pháp Cardano

Xét phương trình bậc ba

x3+ ax2+ bx + c = 0 (1.2)

Bằng cách đặt x = y − b

3a, phương trình (1.2) luôn biến đổi được về dạng chính tắc

y3+ py + q = 0 (1.3) Trong đó p = b −a

2

3 , q = c +

2a3− 9ab 27

Ta chỉ xét p, q 6= 0 vì p = 0 hay q = 0 thì đưa về trường hợp đơn giản

Đặt y = u + v thay vào (1.3), ta được

(u + v)3+ p (u + v) + q = 0

⇔ u3+ v3+ (3uv + p) (u + v) + q = 0 (∗)

Chọn u, v sao cho: 3uv + p = 0 (∗∗)

Từ (∗) và (∗∗) ta có hệ phương trình

( u3+ v3= −q

u3v3 = −p

3

Theo định lý Vi-et, u3, v3 là hai nghiệm của phương trình

X2+ qX − p

3

Đặt ∆ = q

2

4 +

p3 27

* Khi ∆ > 0, (1.4) có nghiệm

(

u3 = −q

2+

√

∆

v3 = −q

2 −√∆

Như vậy, phương trình (1.3) sẽ có nghiệm thực duy nhất

y = 3

r

−q

2 +

√

∆ + 3

r

−q

2 −√∆

* Khi ∆ = 0,(1.4) có nghiệm kép u = v = −q3 q

2

Khi đó, phương trình (1.3)có hai nghiệm thực, trong đó có một nghiệm kép

y1= 2 3

r

−q

2, y2 = y3 =

3

r

q 2

* Khi ∆ < 0, (1.4) có nghiệm phức

Gọiu0 là một nghiệm phức của (1.4), v0 là giá trị tương ứng sao chou0v0 = −p

3

Khi đó, phương trình (1.3) có ba nghiệm phân biệt

y1 = u0+ v0

y2 = −1

2(u0+ v0) + i

√ 3

2 (u0− v0)

y3 = −1

2(u0+ v0) − i

√ 3

2 (u0− v0)

Ví dụ 1.1 Giải phương trình: x3+ x2+ x = −13

Giải Phương trình không có nghiệm hữu tỉ nên không thể phân tích nhân tử Trước khi nghĩ tới công thức Cardano, ta thử quy đồng phương trình

3x3+ 3x2+ 3x + 1 = 0

9

Tài liệu tham khảo

[1] Hồ Văn Diên - Mai Văn Chinh,Chinh phục phương trình, bất phương trình

đại số, Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia Hà Nội

[2] Hoàng Kỳ (2001), Căn số và toán vô tỉ, Nhà xuất bản Giáo dục, Việt Nam [3] Nguyễn Vũ Lương - Phạm Văn Hùng - Nguyễn Ngọc Thắng, (2000),Hệ

phương trình và phương trình vô tỉ thức, NXB ĐHQG Hà Nội

[4] Nguyễn Văn Mậu (2003), Phương pháp giải phương trình và bất phương

trình, Nhà xuất bản Giáo dục, Việt Nam

[5] Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Văn Tiến (2009), Một số chuyên đề Đại số bồi

dưỡng học sinh giỏi THPT, Nhà xuất bản Giáo dục, Việt Nam

[6] Tạp chí toán học và tuổi trẻ (2004), Tuyển tập 30 năm tạp chí toán học và

tuổi trẻ, Nhà xuất bản Giáo dục, Việt Nam

[7] Tổng tập đề thi Olympic 30 tháng 4 lớp 10, (2012), Nhà xuất bản ĐH Sư

phạm Hà Nội