3 điểm Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.. Gọi P là trung điểm của BC.. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng: SAB và SCD; SAB và SDP.. Tìm giao tuyến của ABM và SCD..
Trang 1ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ I
MÔN : TOÁN 11 (BAN CƠ BẢN)
THỜI GIAN : 90’
Câu I (2,5 điểm) Giải các phương trình sau:
1 os (2x- ) = 2
2 tan 22 x − 10 tan 2 x + = 9 0
3 sin 3 x − 3 os3x = 2 c
Câu II (2,5 điêm)
1 Cho cấp số cộng 2 , 9
2 , 7 , … a) Xác định công sai của cấp số cộng, tính u17, S17
b) Biết tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng trên là Sn = 800 Tính un.
2 Chứng minh rằng nếu ba cạnh của một tam giác lập thành một cấp số nhân thì công bội
q của cấp số đó thỏa mãn:
1 ( 5 1) 1 ( 5 1)
Câu III (2 điểm)
1 Khai triển nhị thức: P(x) = (2x – 5y)4.
2 Tìm số hạng chứa x34 trong khai triển biểu thức 2 8 20
Q x x
x
3 Tìm k sao cho các số 1 2
14k , 14k , 14k
C C + C +
theo thứ tự lập thành một cấp số cộng
Câu IV (3 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi P là trung điểm của BC.
1 Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng: (SAB) và (SCD); (SAB) và (SDP).
2 Lấy điểm M tuỳ ý thuộc SC không trùng với S và C Tìm giao tuyến của (ABM) và
(SCD) Suy ra thiết diện của hình chóp cắt bởi (ABM) Thiết diện là hình gì ?
3 Khi hình chóp có tất cả các cạnh bằng a, hãy tính diện tích thiết diện ở câu 2 theo a
và x, với x = SM (0 < x < a).
- Ghi chú: - Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Trang 2
ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ I
MÔN : TOÁN 11 (BAN CƠ BẢN)
Câu I (2,5 điểm)
1 Ta có :
os (2x- ) = 2 os (2x- ) = os
c π ⇔ c π c π (0,5 điểm)
⇔
7
k Z
(0,5 điểm)
tan 2 10 tan 2 9 0
tan 2 9
x
x
=
− + = ⇔ = (0,5 điểm)
1
2 arctan 9 + k arctan 9 + k
k Z
π π
= +
=
(0,5 điểm)
3 sin 3 3 os3x = 2 1 sin 3 3 os3x = 2
sin 3 os sin os3x = 2 sin(3 ) sin
⇔
k
k Z k
(0,25 điểm)
Câu II (2,5 điêm)
1 Cho cấp số cộng 2 , 9
2 , 7, … a) Xác định công sai của cấp số cộng, tính u17, S17
Ta có:
* Công sai của cấp số cộng: d = 9 2 5
2 − = 2 (0,5 điểm)
* 17 1
5
2
u = + u d = + = (0,25 điểm)
* 17 1 17
S = u + u = + = (0,25 điểm)
b) Ta có
Trang 3800 [2u1 ( 1) ]=800
2
n
n
S = ⇔ + − n d (0,25 điểm)
[4 ( 1) ]=800 5n 3 3200 0
n
+ − ⇔ + − = (0,25 điểm)
⇔
25 128 (loai) 5
n
n
=
= −
(0,25 điểm)
Khi đó: u25 = u1 + 24.d = 2 + 24 5
2 = 62 (0,25 điểm)
2 Gọi 3 cạnh của tam giác là x , , x qx
q (với x >0, q >0) Khi đó ta có:
2
2
2
q x
x qx
q q q
q q
qx x
q
q
<
>
< <
(0,25 điểm) (0,25 điểm)
Câu III (2 điểm)
1 Ta có:
P(x) = (2x – 5y)4 = [(2x) + (-5y)]4 =
= 0 4 1 3 2 2 2 3 1 3 4 4
4(2 ) 4(2 ) ( 5 ) 4(2 ) ( 5 ) 4(2 ) ( 5 ) 4( 5 )
C x + C x − y + C x − y + C x − y + C − y (0,5 điểm)
= 16x4 – 160x3y + 600x2y2 – 1000xy3 + 625y4 (0,25 điểm)
2 2 8 20
Q x x
x
= + Số hạng tổng quát trong khai triển Q(x) là:
2 20 40 3
8
k
x
+ = = (0,25 điểm)
Suy ra số hạng chứa x34 trong khai triển Q(x) ứng với:
40 – 3k = 34 ⇔ k = 2 (0,25 điểm)
Vậy số hạng chứa x34 trong khai triển Q(x) là:
2 2 34 34
T = C x = x (0,25 điểm)
3 Ta có: Ba số 1 2
14k , 14k , 14k
C C + C + lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi:
2 1
14k 14k 2 14k
C + C + = C + (với điều kiện k Z ∈ và 0 ≤ ≤ k 12 )
14! 14! 2 14!
!(14 )! ( 2)!(12 )! ( 1)!(13 )!
− + − + − (0,25 điểm)
Trang 4⇔ k !(12 k )!(13 1 k )(14 k ) + k k !( 1)( k 1 2)(12 k )! = k k !( 1)(12 2 k )!(13 k )
(13 k )(14 k ) ( + k 1)( k 2) = ( k 1)(13 k )
⇔ (k + 1)(k + 2) + (13 - k)(14 - k) = 2(14 - k)(k + 2)
⇔ (k2 + 3k + 2) + (182 – 27k + k2) = 2(28 + 12k – k2)
⇔ 4k2 – 48k + 128 = 0
8
4
x
x
=
⇔ = (thỏa mãn điều kiện ban đầu)
Vậy k = 4, k = 8 (0,25 điểm)
Câu IV (3 điểm).
x
d
N
B S
E
M
(Vẽ hình đúng câu a) được 0,25 điểm)
a) Ta có: Hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) có một điểm chung là S nên chúng cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng d qua S (0,25 điểm) Mặt khác hai mặt phẳng trên có chứa hai đường thẳng song song là AB và CD nên chúng cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng d qua S và song song với các đường thẳng AB, CD (0,5
điểm)
*) Trong (ABCD) hai đường thẳng AB và DP cắt nhau tại E (0,25 điểm) Hai mặt phẳng (SAB) và (SDP) có 2 điểm chung là S và E nên: (0,25 điểm)
SE = ( SAB ) ( ∩ SDP ) (0,25 điểm) b) Hai mặt phẳng (ABM) và (SCD) có một điểm chung là M nên chúng cắt nhau theo giao tuyến
là đường thẳng b qua M (0,25
điểm)
Mặt khác hai mặt phẳng trên có chứa hai đường thẳng song song là AB và CD nên chúng cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng MN với N SD∈ và MN song song với các đường thẳng AB,
CD
Suy ra thiết diện là tứ giác ABMN (0,25 điểm)
Vì MN // AB nên thiết diện là hình thang (0,25 điểm) c) Theo định lý Talét: MN SM MN SM x
CD = SC ⇒ = =
Vì hình chóp có tất cả các cạnh bằng a nên AN = BM.
Theo định lý côsin:
BM2 = SB2 + SM2 – 2SB.SM osBSM c
= a2 + x2 – 2ax.cos600
⇒ BM = a2+ − x2 ax (0,25 điểm)
Gọi MH là đường cao của hình thang ABMN Ta có:
Trang 5
AB MN a x
x
a
A
Xét tam giác MHB ta có:
a x
+
3( 2 2)
2
a x
Vậy diện tích thiết diện là:
ABMN
S = + = + + (đvdt) (0,25 điểm)