Tính chính quy của không gian mầm các hàm chỉnh hình với giá trị (DF) không gian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2NGUYỄN MẠNH HÀ TÍNH CHÍNH QUY CỦA KHÔNG GIAN MẦM CÁC HÀM CHỈNH HÌNH VỚI GIÁ TRỊ DF - KHÔNG GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 20

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN MẠNH HÀ

TÍNH CHÍNH QUY CỦA KHÔNG GIAN MẦM CÁC HÀM CHỈNH HÌNH

VỚI GIÁ TRỊ (DF) - KHÔNG GIAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội, 2016

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN MẠNH HÀ

TÍNH CHÍNH QUY CỦA KHÔNG GIAN MẦM CÁC HÀM CHỈNH HÌNH

VỚI GIÁ TRỊ (DF) - KHÔNG GIAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCChuyên ngành: Toán giải tích

Mã số : 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học

TS Nguyễn Văn Hào

HÀ NỘI, 2016

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào, người đãđịnh hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thànhluận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các Thầy, Cô phòng Sauđại học, cùng các Thầy, Cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giảitích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quátrình học tập

Trong quá trình tiến hành nghiên cứu không tránh khỏi những hạn chế

và thiếu sót, tôi xin chân thành cảm ơn những ý kiến đóng góp đã nhậnđược của các Thầy giáo, Cô giáo và các bạn học viên để luận văn đượchoàn thành

Hà Nội, tháng 7 năm 2016

Tác giả

Nguyễn Mạnh Hà

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hào, luậnvăn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài

“Tính chính quy của không gian mầmcác hàm chỉnh hình với giá trị (DF) - không gian”

được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân tác giả, không trùng vớibất kỳ luận văn nào khác

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa nhữngthành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 7 năm 2016

Tác giả

Nguyễn Mạnh Hà

Mục lục

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Không gian lồi địa phương 3

1.2 Không gian Frechet 7

1.3 Đối ngẫu của không gian Frechet 11

1.3.1 Đối ngẫu và tô pô yếu 11

1.3.2 Pô la 13

1.3.3 Đa thức trên không gian lồi địa phương 16

1.3.4 Ánh xạ chỉnh hình 22

1.3.5 Tô pô trên không gian các ánh xạ chỉnh hình 27

1.3.6 Không gian mầm các hàm chỉnh hình 29

1.4 Một số bất biến tô pô tuyến tính trên không gian Frechet 31

1.4.1 Bất biến tô pô tuyến tính (DN) trên không gian 31

1.4.2 Bất biến tô pô tuyến tính Ωe 35

Chương 2 Tính chính quy của không gian mầm 38

2.1 Không gian mầm các hàm chỉnh hình 39

2.2 Không gian mầm các hàm chỉnh hình với giá trị 45

KẾT LUẬN 48

TÀI LIỆU THAM KHẢO 49

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài Trong giải tích phức, một vấn đề lớn được đặt

ra đối với lý thuyết các hàm chỉnh hình đó là tính chỉnh hình địa phươngtrên một tập con X nào đó của một không gian lồi địa phương Điều đódẫn tới khái niệm mầm hàm chỉnh hình trên tập X Ý nghĩa quan trọngcủa khái niệm này là sự địa phương hóa khái niệm phần tử, thay choviệc xét một phần tử cố định nào đó người ta xét lớp tất cả các phần tửtương đương đối với phần tử này

Một trong các vấn đề được quan tâm nhiều trên lớp không gian mầm cáchàm chỉnh hình là việc đặc trưng các tập bị chặn của nó Nhớ lại rằng,không gian mầm H(K, F ) được xây dựng từ không gian H(U, F ) cáchàm chỉnh hình trên lân cận mở U của K trong một không gian lồi địaphương E, với giá trị trong một không gian lồi địa phương F , bằng giớihạn quy nạp trong phạm trù các không gian lồi địa phương Như vậy,không gian mầm H(K, F ) được gọi là chính quy nếu giới hạn quy nạptrên là chính quy Nghĩa là, mỗi tập con bị chặn của H(K, F ) là đượcbao hàm và bị chặn trong một không gian H(U, F ) nào đó Tính chínhquy của không gian mầm H(K) = H(K, C) đã được nhiều tác giả quantâm Mở đầu cho hướng nghiên cứu này là Chae [4, 5] và Hirschowitz[11] Trong đó, các tác giả xét bài toán cho trường hợp K là một tậpcon compact của một không gian Banach Các kết quả này được tổngquát hóa và làm sâu sắc hơn bởi Mujica [14] chuyển sang lớp không gianlồi địa phương khả metric Tuy nhiên, việc nghiên cứu tính chính quy

của không gian mầm các hàm chỉnh hình với giá trị vô hướng vẫn đangcòn là vấn đề mang tính thời sự Theo hướng nghiên cứu này và được sựhướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hào, tôi đã chọn đề tài

Tính chính quy của không gian mầmcác hàm chỉnh hình với giá trị (DF) - không gian

2 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu không gian mầm các hàm chỉnhhình với giá trị trong một không gian là đối ngẫu mạnh của một khônggian Frechet thương siêu phản xạ và nghiên cứu không gian mầm cáchàm chỉnh hình với giá trị trong (DF) - không gian hạch

3 Nhiệm vụ nghiên cứu Việc nghiên cứu luận văn với nhiệm vụ hệthống, làm rõ lý thuyết về không gian mầm các hàm chỉnh hình với giátrị trong một không gian là đối ngẫu mạnh của không gian Frechet siêuphản xạ và giá trị trong (DF) - không gian hạch

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Tính chính quy của khônggian mầm hàm chỉnh hình H(K, F ) với K là tập compact trong mộtkhông gian Frechet - Schwartz và F là một (DF) - không gian hạch

5 Giả thuyết khoa học Trình bày một cách có hệ thống một số kếtquả về tính chính quy của không gian mầm các hàm chỉnh hình với miềngiá trị (DF) - không gian

6 Phương pháp nghiên cứu Đọc sách, nghiên cứu tài liệu chuyênkhảo Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 Không gian lồi địa phương

Định nghĩa 1.1.1 Cho E là một không gian vectơ và A là một tậpcon của E

(i) Tập A được gọi là lồi nếu với mọi x, y ∈ A ta có λx+(1 − λ) y ∈ A,trong đó 0 ≤ λ ≤ 1

(ii) Tập tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn

là một tập lồi chứa A và được gọi là bao lồi của A

(iii) Tập A được gọi là cân nếu với mọi x ∈ A ta có λx ∈ A khi

|λ| ≤ 1

(iv) Tập A được gọi là lồi tuyệt đối nếu nó đồng thời lồi và cân.(v) Bao tuyệt đối lồi của A là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính hữuhạn Pn

(vi) Tập A được gọi là hút nếu với mọi x ∈ X, tồn tại λ > 0 sao cho

x ∈ µA với mọi µ mà |µ| ≥ λ

Định nghĩa 1.1.2 Một không gian véc tơ có một cơ sở gồm nhữnglân cận cân lồi của điểm gốc được gọi là không gian véc tơ tô pô lồi địaphương (không gian lồi địa phương) và tô pô của nó gọi là tô pô lồi địa

Định nghĩa 1.1.3 Giả sử E là một không gian véc tơ trên trường K(K = R hoặc K = C) Một hàm p xác định trên E có giá trị thực vàkhông âm (hữu hạn) được gọi là nửa chuẩn nếu với mọi x, y ∈ E và

λ ∈ K ta có

(i) p (x) ≥ 0(ii) p (λx) = |λ| p (x)(iii) p (x + y) ≤ p (x) + p (y)Mệnh đề 1.1.1 [16] Một nửa chuẩn p tương đương với tập hợp tuyệtđối lồi và hút A được gọi là hàm cỡ của tập A

Mệnh đề 1.1.2 Trong một không gian lồi địa phương E, một nửachuẩn p là liên tục khi và chỉ khi nó liên tục tại điểm gốc

Chứng minh Nếu p liên tục tại điểm gốc và ε > 0 là một số cho trướcthì tồn tại một lân cận V sao cho p (x) < ε khi x ∈ V Do đó, với a làmột điểm tuỳ ý của E, ta có |p (x) − p (a)| ≤ p (x − a) < ε khi x ∈ a+V.Định nghĩa 1.1.4 Không gian véc tơ E được gọi là khả định chuẩnnếu tô pô của nó có thể xác định được bởi một chuẩn p

Mệnh đề 1.1.3 Không gian lồi địa phương E là khả metric khi vàchỉ khi nó là tách và có một cơ sở lân cận của điểm gốc đếm được Tô

pô của một không gian khả metric luôn có thể xác định được bởi mộtmetric, bất biến đối với các phép tịnh tiến

Chứng minh Nếu E là khả metric thì dĩ nhiên nó là tách và có một

cơ sở đếm được những lân cận của điểm gốc

Ngược lại, giả sử E có một cơ sở lân cận đếm được Khi đó, bởi vì mỗilân cận đều chứa một lân cận tuyệt đối lồi, nên tồn tại một cơ sở (un)

những lân cận tuyệt đối lồi Gọi pn là hàm cỡ của un Đặt

x = 0 Đặt d (x, y) = f (x − y) thì d là một metric và

d (x + z, y + z) = d (x, y) Như vậy d là bất biến đối với các phép tịnh tiến Trong tô pô metric,các tập hợp

Vn = 

x : f (x) < 2−n lập thành một cơ sở lân cận Nhưng Vn là mở đối với tô pô xuất phátbởi mỗi pn và cả f là liên tục Hơn nữa Vn ⊂ Un bởi vì nếu x /∈ Un thì

pn(x) ≥ 1 , vậy f (x) ≥ 2−n Thành thử d xác định tô pô xuất phát củaE

Định nghĩa 1.1.5 Một phiếm hàm dưới tuyến tính ϕ (x) (trong khônggian thực hay phức) là một sơ chuẩn nếu ϕ (αx) = |α| ϕ (x) với mọi

và nhận làm cơ sở lân cận của gốc họ tất cả các tập có dạng



x : sup

1≤i≤npi(x) < ε

(ε > 0, pi ∈ Γ)

Nó là một tô pô Hausdorff khi và chỉ khi

(x 6= 0) (∃p ∈ Γ) p (x) > 0

Chứng minh Cho B0 là họ tất cả các tập có dạng V = {x : p (x) < 1},với p ∈ Γ Khi đó, các tập V lồi, cân, hút nên có một tô pô trên X tươnghợp với cấu trúc đại số, mà trong đó mỗi tập V là một lân cận, tức làtheo mệnh đề 1.1.4 mỗi sơ chuẩn p ∈ Γ là liên tục Tô pô ấy lồi địaphương, với cơ sở lân cận là họ tất cả các tập có dạng



x : sup

1≤i≤npi(x) < ε

(ε > 0, pi ∈ Γ) là {0}, mà điều này lại tươngđương với: bất kỳ x 6= 0, tồn tại một tập

1.2 Không gian Frechet

Định nghĩa 1.2.1

a) Một không gian lồi địa phương mà tô pô được xác định bởi một

họ sơ chuẩn Γ hữu hạn hoặc đếm được, và thoả mãn điều kiện tách(x 6= 0) (∃p ∈ Γ) p (x) > 0, gọi là không gian đếm được chuẩn.

b) Một không gian đếm được chuẩn và đủ gọi là không gian Frechet.Như vậy mọi không gian Banach (Không gian định chuẩn đủ) đều làkhông gian Frechet

c) Một tập lồi, cân đối, đóng và hút trong một không gian lồi địa phươnggọi là một thùng Một không gian lồi địa phương trong đó mọi thùngđều là lân cận của điểm gốc gọi là không gian thùng với mọi không gianFrechet là không gian thùng

Định nghĩa 1.2.2 Cho I là tập chỉ số định hướng tuỳ ý Với mỗi

α ∈ I, và υα : E → Eα là một ánh xạ tuyến tính từ không gian véc tơ

E vào không gian lồi địa phương Eα Tô pô xạ ảnh trên E là tô pô yếunhất trên E sao cho tất cảc các ánh xạ υα là liên tục

Tô pô xạ ảnh trên E là tô pô lồi địa phương và một ánh xạ tuyến tính

η : G → E của một không gian véc tơ G vào E là liên tục khi và chỉ khi

υα◦ η là liên tục với mọi α ∈ I

Định nghĩa 1.2.3 Cho I là tập chỉ số định hướng Với mỗi α ∈ I, cho

Eα là một không gian lồi địa phương và giả sử rằng với mỗi α ≤ β, tồntại một ánh xạ tuyến tính liên tục uαβ : Eα → Eβ sao cho

(i) uαα là ánh xạ đồng nhất, với mỗi α ∈ I

(ii) uαβ ◦ uβγ = uαγ, với mọi α ≤ β ≤ γ

Khi đó họ các không gian và các ánh xạ tuyến tính {Eα, uαβ} được gọi

là một hệ xạ ảnh Không gian con

E = {{xα} ∈ Y

α∈I

Eα : uαβ(xβ) = xα với mọi α ≤ β}

bị chặn nên ta thấy rằng với mỗi p ∈ Γ tập p−1(0) là một không gian concủa X và p xác định một chuẩn trên không gian thương Xp = X/p−1(0).Khi ấy, gọi up là ánh xạ cho tương ứng với x ∈ X phần tử ˜x ∈ Xp (˜x

là lớp các x′ ∈ X với p (x′ − x) = 0) và theo mệnh đề 1.1.5 ta thấy Xchính là giới hạn xạ ảnh của các Xp đối với up

Mệnh đề 1.2.2 [6] Giới hạn xạ ảnh của họ các không gian lồi địaphương đầy là đầy

Mệnh đề 1.2.3 [6] Nếu E là không gian lồi địa phương Hausdorff vàđầy thì

E = lim proj

α

\E/ ker α

ở đây, α chạy trên tất cả các nửa chuẩn liên tục trên E

Mệnh đề 1.2.4 [6] Cho E là giới hạn xạ ảnh của các không gian lồiđịa phương Eα đối với các ánh xạ υα Một tập M trong E bị chặn khi

và chỉ khi υα(M) cũng bị chặn

Định nghĩa 1.2.4 Cho I là một tập chỉ số định hướng tuỳ ý Với mỗi

α ∈ I, cho υα : Eα → E là một ánh xạ tuyến tính từ không gian lồi địa

phương Eα vào không gian véc tơ E = ∪

αυα(Eα) Tô pô quy nạp trên E

là tô pô mạnh nhất trên E sao cho tất cả các ánh xạ υα là liên tục

Tô pô quy nạp trên E là tô pô lồi địa phương và một ánh xạ tuyến tính

η : E → C là liên tục khi và chỉ khi η ◦ υα là liên tục với mọi α ∈ I.Định nghĩa 1.2.5 Cho không gian véc tơ E là hợp của một họ cáckhông gian lồi địa phương {Eα} được định hướng bởi quan hệ bao hàm

và mỗi ánh xạ bao hàm Eα → Eβ là liên tục Khi đó, E được trang bịbởi tô pô quy nạp với các ánh xạ bao hàm Eα → E được gọi là giới hạnquy nạp của các không gian con Eα và được ký hiệu bởi

E = lim ind

Ví dụ 1.2.1 Ví dụ đơn giản và quan trọng về giới hạn quy nạp làkhông gian thương Cho X0 là một không gian lồi địa phương, M là mộtkhông gian tuyến tính con của X0 và X = X0/M Gọi υ là ánh xạ chínhtắc từ X0 vào X (tức là ánh xạ cho tương ứng với mỗi x ∈ X0 lớp tươngđương ˜x chứa nó), thì dễ thấy rằng tô pô thương chính là tô pô lồi địaphương mạnh nhất để η liên tục

Định nghĩa 1.2.6 Cho E = lim ind

α Eα là giới hạn quy nạp của cáckhông gian con Eα Khi đó ta nói rằng

(i) E là giới hạn quy nạp chặt nếu Eα có tô pô cảm sinh của Fβ mỗikhi Eα ⊂ Eβ

(ii) E là đầy đủ nếu mọi lưới Cauchy trong E là hội tụ

(iii) E là giới hạn quy nạp chính quy nếu mọi tập bị chặn của E là

bị chứa và bị chặn trong Eα

(iv) E là giới hạn quy nạp chính quy Cauchy nếu cho trước B ⊂ E

bị chặn thì tồn tại α sao cho B bị chứa và bị chặn trong Eα và ngoài ramọi lưới {xα} ⊂ B là E - Cauchy nếu và chỉ nếu nó là Eα - Cauchy.Mệnh đề 1.2.5 [6] Cho E = lim ind

n En là giới hạn quy nạp chặt củamột dãy các không gian con En thì

(i) Mỗi En có tô pô cảm sinh của E

(ii) Nếu En trong En+1 với mọi n thì E = lim ind

n En là giới hạn quynạp chính quy Cauchy

(iii) Nếu mỗi En là Hausdorff và đầy thì E là hausdorff và đầy

1.3 Đối ngẫu của không gian Frechet

1.3.1 Đối ngẫu và tô pô yếu

Định nghĩa 1.3.1.1 Một cặp đối ngẫu là bộ ba (E, F ; h·i) hoặc viết(E, F ) trong đó

(i) E và F là hai không gian véc tơ trên cùng một trường vô hướng.(ii) h·i : E × F → K là dạng song tuyến tính thoả mãn

DE) nếu hx, ui = 0 với mọi u ∈ F thì x = 0

DF) nếu hx, ui = 0 với mọi x ∈ E thì u = 0

Ta có h·i : E × F → K là song tuyến tính nếu

a) Với mọi u ∈ F ánh xạ x 7→ hx, ui là dạng tuyến tính trên E

b) Với mọi x ∈ E ánh xạ u 7→ hx, ui là dạng tuyến tính trên F

đó dạng (x, u) 7→ u (x) , x ∈ E, u ∈ E∗ xác định cặp đối ngẫu hE, E∗i.

3 Giả sử E là không gian lồi địa phương Hausdorff với đối ngẫu tô pô E′.Khi đó dạng (x, u) 7→ u (x) , x ∈ E, u ∈ E′ cho ta cặp đối ngẫu hE, E′i.Định nghĩa 1.3.1.2 Giả sử hE, Fi là cặp đối ngẫu Với mọi u ∈ Fxác định nửa chuẩn pu trên E

pu(x) = |hx, ui| , x ∈ E

Tô pô lồi địa phương trên E sinh bởi các nửa chuẩn {pu, u ∈ F } ký hiệu

là σ (E, F ) gọi là tô pô yếu trên E của cặp đối ngẫu hE, F i

Mệnh đề 1.3.1.1 Nếu hE, Fi là cặp đối ngẫu thì σ (E, F) là tô pôlồi địa phương Hausdorff yếu nhất trên E thoả mãn

(E, σ (E, F ))′ = F

Chứng minh Do DE, σ (E, F ) là Hausdorff Vì pu liên tục với mọi

u ∈ F, suy ra F ⊂ (E, σ (E, F ))′ Mặt khác giả sử f ∈ (E, σ (E, F ))′,khi đó tồn tại u1, u2, , un và ε > 0 sao cho

|f (x)| ≤ 1 với mọi x ∈ W (u1, u2, , un, ε) Đặc biệt

f (x) = 0; với mọi x ∈ E

Do đó u1(x) = u2(x) = = un(x) = 0 Vậy f là tổ hợp tuyến tính của

u1, u2, , un, tức là f ∈ F Từ đó suy ra σ (E, F ) là tô pô lồi địa phươngyếu nhất trên E để

(E, σ (E, F ))′ ∈ F

Định nghĩa 1.3.1.3 Giả sử hE, Fi là cặp đối ngẫu Tô pô lồi địaphương ξ trên E gọi là tô pô của cặp đối ngẫu hE, F i Nếu (E, ξ)′

= F

Mệnh đề 1.3.1.2 Nếu hE, F i là cặp đối ngẫu và A là tập con lồi của

E, thì A có cùng bao đóng trong mọi tô pô của cặp đối ngẫu hE, F i.Chứng minh Ta chỉ cần chứng tỏ

cℓξA = cℓσ(E,F )A,với mọi tô pô ξ của cặp đối ngẫu Trong đó cℓξA ký hiệu bao đóngcủa A đối với ξ Trước hết do σ (E, F ) ≤ ξ nên cℓξA ⊆ cℓσ(E,F )A.Giả sử a /∈ cℓξA, chọn lân cận lồi mở U của 0 ∈ E đối với tô pô ξsao cho (a + U) ∩ A = ∅ Do đó, tồn tại f ∈ (E, ξ)′

= F sao cho

f (a + U ) ∩ f (A) = ∅ Do đó f (U ) là mở, nên f (a) /∈ f (A) Suy ra tồntại δ > 0 để

|f (x − a)| = |f (a) − f (x)| ≥ δ, ∀x ∈ A

Vậy nếu W = {x ∈ E : |f (x)| < δ}, thì a + W là lân cận của a đối với

σ (E, F ) không giao với A

1.3.2 Pô la

Định nghĩa 1.3.2.1 Giả sử (E, E′) là một cặp đối ngẫu, A ⊂ E Khi

đó tập hợp

{x′ ∈ E′ : sup {hx, x′i ≤ 1 : x ∈ A}}

được gọi là một pôla (trong E′) của A và ký hiệu bởi A0

Mệnh đề 1.3.2.1 Giả sử (E, E′) là một cặp đối ngẫu Pôla trong E′của các tập con của E có các tính chất sau đây

(i) A0 là lồi, cân và σ (E, E′) - đóng

(ii) Nếu A ⊂ B thì B0 ⊂ A0

(iii) Nếu λ 6= 0 thì (λA)0

= |λ|−1A0.(iv)

(i) Ta có A là lồi cân trong F Mặt khác từ hệ thức

với mọi tô pô ξ của cặp đối ngẫu và M00 = MF0
0

E.Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh

M00 = cℓσ(E,F )M

Thật vậy do M ⊂ M0 và M00 là σ (E, F ) - đóng ta có cℓσ(E,F )M ⊂ M00.Mặt khác nếu a /∈ cℓσ(E,F )M nên tồn tại dạng song tuyến tính

f ∈ (E, σ (E, F ))′ = Fsao cho

|ha, f i| ≤ 1∀x ∈ M hay f ∈ M00và

ở đây PU là nửa chuẩn kết hợp với U Do PU là liên tục với ξ, suy ra

Mệnh đề 1.3.2.3 Giả sử E là không gian véc tơ Khi đó E# là đầyđối với σ E#, E

- tô pô

Chứng minh Thật vậy cho {uα}α∈I là dãy suy rộng Cauchy trong

E#, σ E#, E

Khi đó {hx, uαi} là dãy suy rộng Cauchy trong K Vì

K là đầy, dãy suy rộng này hội tụ tới hx, ui ∈ K Hiển nhiên dạng

x 7→ hx, ui xác định u ∈ E# và {uα} hội tụ tới u đối với σ E#, E

- tôpô

Mệnh đề 1.3.2.4 Nếu E là không gian lồi địa phương tách và U làmột cơ sở lân cận của 0 ∈ E thì đối ngẫu (tô pô) E′ của E là tập hợp

E′ = ∪

U0, U ⊂ u

Trong đó U0 được lấy trong đối ngẫu đại số E∗.Chứng minh Với mọi x′ ∈ E′ thì x′ là một dạng tuyến tính liêntục trên E Nên có thể tìm được U ∈ u x′ ∈ U0, U ∈ u và do đó

x′ ∈ ∪

U0, U ∈ u

Ngược lại giả sử x′ ∈ E∗ và x′ ∈ U0 với U ∈ u nào

đó, thế thì x′ liên tục trên E, Vậy x′ ∈ E

1.3.3 Đa thức trên không gian lồi địa phương

Định nghĩa 1.3.3.1 Cho E và F là hai không gian véc tơ trên trường

số phức Một ánh xạ L : En → F được gọi là n tuyến tính trên E nếu

nó tuyến tính theo từng biến, mỗi khi cố định các biến còn lại Ta kýhiệu La(nE; F ) là tập hợp tất cả các ánh xạ n tuyến tính từ E vào F

Định nghĩa 1.3.3.2 Một ánh xạ n tuyến tính L : En → F được gọi

là đối xứng nếu

L (x1, x2, , xn) = L xσ(1), xσ(2), , xσ(n)

,với mọi x1, x2, , xn ∈ E và σ là phép hoán vị bất kỳ của n số tự nhiênđầu tiên Ta ký hiệu Ls

a(nE; F ) là không gian véc tơ của tất cả các ánh

xạ n tuyến tính đối xứng từ E vào F

Một ánh xạ n tuyến tính đối xứng có thể liên kết với ánh xạ n tuyếntính bởi toàn ánh chính tắc s : La(nE; F ) → Lsa(nE; F ) được xác địnhbởi công thức

P = L ◦ ∆, trong đó ∆ (x) = xn; x ∈ E Ký hiệu Pa(nE; F ) là khônggian véc tơ của tất cả các đa thức n thuần nhất từ E vào F

Một đa thức từ E vào F là một tổng hữu hạn của các đa thức thuầnnhất từ E vào F Ta ký hiệu Pa(E; F ) là không gian véc tơ tất cả các

đa thức từ E vào F

Ví dụ 1.3.3.1 Giả sử L : Cn × Cn → C là một ánh xạ 2 tuyến tínhtrên Cn Khi đó tồn tại một ma trận A = (aij)1≤i≤n,1≤j≤n sao cho

L (z, w) = X

1≤i≤n 1≤j≤n

aijziwj,

với mọi z = (z1, z2, zn) ∈ Cn và w = (w1, w2, wn) ∈ Cn Do đó, một

đa thức 2 thuần nhất P : Cn → Cn trên Cn có dạng

P (z) = L (z, z) = X

1≤i≤n 1≤j≤n

aijzizj

Trong trường hợp tổng quát không có sự tương ứng 1-1 giữa các đa thức

n thuần nhất và các ánh xạ n tuyến tính Tuy nhiên nếu chỉ hạn chếtrên tập hợp các ánh xạ n tuyến tính đối xứng chúng ta thu được mộttương ứng duy nhất Theo định nghĩa của các đa thức n thuần nhất vàtoán tử đối xứng biểu đồ sau giao hoán

La(nE; F ) - Lsa(nE; F )

H H H H H H

HH

↓ ∧

Pa(nE; F )Như một hệ quả của bổ đề phân rã dưới đây, chúng ta chứng minh đượcánh xạ ∧ là một đơn ánh Do đó, chúng ta nhận được một song ánhchính tắc giữa không gian các ánh xạ n tuyến tính đối xứng và khônggian các đa thức n thuần nhất trên E

Định lý 1.3.3.1 (công thức phân rã) Cho E và F là hai không gianđịa phương trên C Khi đó, nếu L ∈ Ls

Chứng minh Bởi tính tuyến tính và tính đối xứng, ta có

= P

0≤m i ≤n P

ε j =±1 i≤j≤n

εm1 +1

1 εm n +1

n = 2n và các hệ sốcủa L (x1, x2, , xn) trong khai triển trên bằng 1

Nếu mi > 1 với i nào đó thì mj = 0 với j nào đó Khi đó chúng ta nhậnđược

Chứng minh Bởi công thức phân rã L ∈ Ls

a(nE; F ) đồng nhất bằng

0 nếu và chỉ nếu ˆL đồng nhất bằng 0 Do đó, ánh xạ ∧ là tuyến tính cóhạt nhân bằng 0 và là đơn ánh Như vậy, nó là một song ánh tuyến tính.Cho A là một tập con của không gian lồi địa phương E và hàm f : A → F

và β là một nửa chuẩn trên F ta đặt

C và A là một tập lồi cân trong E và β là một nửa chuẩn trên F Khi

a(nE, F )

Chứng minh Bất đẳng thức thứ nhất là tầm thường vì ˆL (A) ⊂

L (An) Theo công thức phân rã, chúng ta có

kLkβ,An = 1

2n.1n!

X

ε i =±1 1≤i≤n

X

ε i =±1 1≤i≤n



 L(x)n−r

(y)r

Bổ đề 1.3.3.2 Cho E và F là hai không gian lồi địa phương trên C.Nếu A là một tập cân trong E và x ∈ E, thì

kP kβ,A ≤ kP kβ,x+A.Hơn nữa, nếu λ 6= 0, λx ∈ E và A là một tập lồi thì

kP kβ,x+A ≤



1 + 1λ

n

kP kβ,A.Chứng minh Ta có

λA + A =



1 + 1λ

n

kP kβ,A.Không gian véc tơ của tất cả các đa thức n thuần nhất liên tục từ khônggian lồi địa phương E vào không gian lồi địa phương F được ký hiệubởi P (nE; F ) Không gian véc tơ tất cả các đa thức liên tục từ khônggian lồi địa phương E vào không gian lồi địa phương F được ký hiệu bởi

P (E; F )

Mệnh đề 1.3.3.1 Cho E và F là một không gian lồi địa phương trên

C và P ∈ Pa(nE; F ) Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương

(i) P là liên tục

(ii) P là liên tục tại gốc

(iii) P bị chặn trong lân cận nào đó của điểm gốc.

(iv) P là bị chặn địa phương (nghĩa là bị chặn trong lân cận của mỗiđiểm)

Chứng minh Các kéo theo (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) là tầm thường Theo Bổ

đề 1.3.3.2 thì ta nhận được (iii) ⇔ (iv) Vấn đề còn lại là ta chứng minh(iii) ⇒ (i) Cho A ∈ Ls(nE; F ) và giả sử ˆA = P Theo công thức phân

rã và (iii) tồn tại một lân cận lồi cân V của 0 sao cho kAkVn = M < ∞.Với x0 ∈ E tùy ý chọn α > 0 sao cho αx0 ∈ V Theo Bổ đề 1.3.3.1.chúng ta có

1.3.4 Ánh xạ chỉnh hình

Định nghĩa 1.3.4.1 Một tập con U của không gian lồi địa phương Eđược gọi là mở hữu hạn nếu U ∩ F là một tập con mở của không gianEuclide F với mỗi không gian con hữu hạn chiều F của E

Các tập con mở hữu hạn của E xác định một bất biến tô pô tf Các tf

lân cận cân lập thành một cở sở đối với tf lân cận của 0 trong E

Định nghĩa 1.3.4.2 Một hàm f xác định trên tập con mở hữu hạn

chiều U của không gian lồi địa phương E với giá trị trong không gianlồi địa phương F được gọi là Gateaux chỉnh hình (hoặc G chỉnh hình)nếu với mỗi a ∈ U, b ∈ E và φ ∈ F′ thì hàm một biến phức

f : λ 7→ φ ◦ f (a + λb)chỉnh hình trong một lân cận nào đó của điểm 0 Ta ký hiệu HG(E, F )

Định nghĩa 1.3.4.3 Giả sử E và F là các không gian lồi địa phương

và U là tập con mở hữu hạn trong E Một ánh xạ f : U → F được gọi

là chỉnh hình nếu nó G chỉnh hình và với mỗi ξ ∈ U thì hàm

Định nghĩa 1.3.4.4 Một ánh xạ f từ tập con mở U trong không gianlồi địa phương E vào không gian lồi địa phương F được gọi là bị chặn