Một số phương pháp nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ tăng

HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Thu Hà MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ TĂNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2009... Lý thuyết này tìm được

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Thu Hà

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG

CỦA ÁNH XẠ TĂNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2009

LỜI CẢM ƠN

PGS TS Nguyễn Bích Huy đã tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện luận văn này

Quí thầy cô của trường đã nhiệt tình giảng dạy trong quá trình em học tập tại trường và đã tạo điều kiện cho em hoàn thành luận văn này

Tp HCM, tháng 10 năm 2009

Nguyễn Thị Thu Hà

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự được hình thành từ những năm 1940, tiếp tục được phát triển và hoàn thiện cho đến ngày nay Lý thuyết này tìm được những ứng dụng đa dạng trong việc chứng minh sự tồn tại và nghiên cứu tính chất của nghiệm của các phương trình vi phân, tích phân phát sinh trong Toán học, Vật lí, Sinh học, … cũng như trong nghiên cứu các mô hình phát triển xuất phát từ kinh tế học, …

Trong lí thuyết phương trình trong không gian có thứ tự thì lớp phương trình với toán tử tăng đóng vai trò quan trọng Các kết quả về toán tử dạng này cho phép nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và xấp xỉ nghiệm của các phương trình chứa các toán tử không liên tục vốn xuất hiện tự nhiên từ các bài toán thực tế Đã có nhiều định lí về điểm bất động của ánh xạ tăng, được chứng minh bằng các phương pháp khác nhau trong các bài báo của Krasnoselskii, Bakhtin, Carl, Heikkila, Nguyễn Bích Huy, … Để có thể tìm ra các định lí dạng mới về điểm bất động của ánh xạ tăng hoặc để nghiên cứu các lớp ánh xạ gần với ánh xạ tăng thì cần có sự nhìn lại, phân tích các phương pháp đã được áp dụng để nghiên cứu ánh xạ tăng

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn là trình bày bốn phương pháp nghiên cứu điểm bất động của ánh xạ tăng mà chúng tôi tìm hiểu được qua các bài báo khoa học

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là điểm bất động của ánh xạ tăng

Phạm vi nghiên cứu: luận văn trình bày bốn phương pháp nghiên cứu điểm bất động của ánh xạ tăng Đó là: phương pháp áp dụng nguyên lí đệ qui mở rộng; phương pháp áp dụng dãy qui nạp siêu hạn; phương pháp áp dụng nguyên lí Entropy; phương pháp sử dụng mêtric đặc biệt và ánh xạ co

4 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu

Lý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự được ứng dụng trong việc chứng minh sự tồn tại và nghiên cứu tính chất của nghiệm của các phương trình vi phân, tích phân phát sinh trong Toán học, Vật lí, Sinh học, … cũng như trong nghiên cứu các mô hình phát triển xuất phát từ kinh tế học, …

5 Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm có bốn chương

Chương 1: trình bày nguyên lí đệ qui mở rộng, ứng dụng của nó trong việc

tìm điểm bất động của ánh xạ tăng

Chương 2: tìm hiểu ứng dụng của số siêu hạn vào bài toán điểm bất động

của ánh xạ tăng

Chương 3: trình bày nguyên lí Entropy và ứng dụng của nó vào bài toán

điểm bất động

Chương 4: ứng dụng của ánh xạ co suy rộng trong bài toán điểm bất động;

khảo sát sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ có tính chất lõm

Vì khả năng và thời gian có hạn nên bản luận văn này chắc có thể thiếu sót,

em rất mong nhận được sự góp ý của quí thầy cô và độc giả

Chương 1

PHƯƠNG PHÁP ÁP DỤNG NGUYÊN LÍ ĐỆ QUI MỞ RỘNG

1.1 Nguyên lí đệ qui mở rộng

Định nghĩa 1.1.1

Cho tập P  , khi đó P, được gọi là tập sắp thứ tự một phần nếu trên P có 

quan hệ thứ tự  thỏa:

i Phản xạ: x x   x P

ii Đối xứng: Nếu x  và y x y  thì x y x y,  P

iii Bắc cầu: Nếu x  và y z y  thì xz x y z, ,  P

Ta kí hiệu x  nếu x y y  và x y

Ví dụ  , , , , , là các tập được sắp thứ tự 

Định nghĩa 1.1.2

Tập hợp P có thứ tự gọi là sắp thứ tự tốt nếu mọi tập con khác rỗng của nó đều có

phần tử đầu tiên

 Với CP x,  , ta kí hiệu P x  

C  yC yx

Mệnh đề 1.1.1 (Nguyên lí đệ qui)

Cho D là tập hợp các tập con của tập sắp thứ tự P,   và ánh xạ , D

:

F D P

Khi đó, tồn tại duy nhất tập sắp tốt C của P sao cho:

2) Nếu C D thì F C không phải là cận trên chặt của C (**)  

Chứng minh

Đặt x0 F  P Gọi M là tập tất cả các xích sắp tốt C' của P có tính chất:

'

x C thì x F C  'x

Ta có M   vì C' x0 M Ta sẽ chứng minh

' '

Bổ đề 1.1.1

Nếu C C1, 2 M và C2  C1 thì C C1  2x với x  min  C C2 \ 1

Chứng minh

 Vì x  min  C C2 \ 1 nên C2x  C1

Thật vậy, lấy y C  2x thì y C  2 và y x

Mà x min  C C2 \ 1 nên y C C  2 \ 1 Suy ra y C  1

 Giả sử C C1 \ 2x  

Đặt y minC C1 \ 2x Khi đó, ta có

C  C  C  C (do C2x  C1)

Ta sẽ chứng minh C1y  C2x

Giả sử C1y  C2x Khi đó tồn tại z  min  C C2x \ 1y nên  2 1

z

Suy ra C2z  C1y (vì z x  ) (1)

Mặt khác 2  1 2

x

z C   C  C nên z C  1

Mà z C  1y Do đó y z  Suy ra C2y  C2z

Ta có C1y  C2x nên C1y  C2y (Lấy z C  1y  C2x   z C z y2,    z C2y)

Do đó C1y  C2z (2)

Từ (1) và (2) suy ra C2z  C1y

Hay    2 1

z F C   F C  y, mâu thuẫn vì z C  2x và y C  2x

Vậy C1y  C2x hay    1 2

y F C F C x, mâu thuẫn vì y C  1 và x C  1 Vậy C C  1\ 2x

 Ta đã chứng minh được

2x 1

C  C và C C  1 \ 2x Do đó C C1  2x

Bổ đề 1.1.2

Giả sử x F C  x , x y C M  

Khi đó x C 

Chứng minh

 Vì y C M  nên y F C  y

Do x y nên ta có C x C y

Hơn nữa dấu “=” không xảy ra vì x F C  x  y F C y

Như vậy  z minC C y \ x

 Ta sẽ chứng minh x z  thì sẽ có x C

Trước tiên, ta chứng minh C x C z

Do zmin C C y \ x nên C z C x (Thật vậy, lấy u C z, ta có u C u z y ,  

Mà zmin C C y \ x suy ra u C C y \ x  u C x)

Giả sử dấu “=” không xảy ra Khi đó  t C C x \ z

Vì t và z thuộc C nên chúng so sánh được với nhau Và từ cách chọn t, ta có

z t x 

Tức là z C x, mâu thuẫn vì zminC C y \ x Do đó C x C z

Suy ra x F C    x F C z z Vậy x C

Chứng minh mệnh đề 1.1.1

Theo bổ đề 1.1.1 thì hai xích bất kì thuộc M đều chứa nhau

Đặt

' '

C M



 

 Chứng minh C sắp tốt

Lấy tập con A C A ,   Ta sẽ chứng minh  x minA

Chọn C M1 sao cho A C  1  

Do C1 sắp tốt nên  x min A C 1

Ta chứng minh x minA

Lấy y bất kì thuộc A Ta chứng minh x y y A  ,

Khi đó,   C2 M sao cho y C  2

Nếu y C 1 thì y C 1 A do đó x y 

Nếu y C  1 thì C2  C1 nên theo bổ đề 1.1.1 ta có C C1  2k với k min C C2 \ 1

Có y C y C 2,  1 nên y C C 2 \ 1 do đó k y

Suy ra C2k C2y tức là C C1  2k C2y

Do x C 1C2y nên x y  Vậy x y y A  ,

Suy ra x minA tồn tại hay C là xích sắp tốt

 Chứng minh C thỏa (*)

/

 Lấy x C thì tồn tại C M1 sao cho x C 1

Lấy y C x thì tồn tại C2 M sao cho y C 2x

Nếu C2  C1 thì C2x C1x do đó y C 1x

Nếu C2  C1 thì theo bổ đề 1.1.1 ta có C C k1  2k, min C C2 \ 1

Do x C C C 1, 1 2k nên x C 2k Suy ra x k 1  2 2

x

  

Mà y C  2x nên y C  1x Tức là y C  1x,   y Cx hay Cx  C1x

Hiển nhiên ta có C1x  Cx Do đó C1x  Cx

Suy ra    1

x F C  F C (do C M1 ) Vậy C M 

/

 Giả sử x F C   x Cần chứng minh x C 

Giả sử trái lại x C 

Ta đã chứng minh C M  nên từ bổ đề 1.1.2, ta phải có x  y y C ,   (1) Hiển nhiên C  x vì nếu không, ta có x F       x0 C

x

C C   x Chứng minh C1 sắp tốt Với D C D  1,   , D    x thì ta có minD minC xD nên theo định nghĩa 1.1.2 ta có C1 sắp tốt (minC x D tồn tại vì Cx   D Cx  C C , sắp tốt và theo định nghĩa 1.1.2)

Do (1) nên C1y  Cy,   y C1

Thật vậy, lấy 1  

x

y C C    x

Nếu y x thì 1 1    

x

Nếu y C x thì y x nên ta có 1    

y

Do đó C M1

Thật vậy, lấy y C  1, chứng minh  1

y

y F C

Nếu y x thì      1

y x F C  F C  F C

Nếu y C x thì y C mà C M nên    1

y F C  F C

Suy ra x C , mâu thuẫn Ta có điều phải chứng minh

 Chứng minh C thỏa (**)

Thật vậy, nếu C D và a F C   là một cận trên chặt của C, thì C a C

Suy ra F C a F C a

Do (*) nên ta cĩ a C (mâu thuẫn vì a là cận trên chặt của C)

Vậy C thỏa (**)

Kết luận: Mệnh đề được chứng minh hồn tồn

1.2 Tập xấp xỉ liên tiếp từ một điểm đối với một ánh xạ

Bổ đề 1.2.1

Cho tập cĩ thứ tự P , , ánh xạ G P: P và a P

Khi đĩ tồn tại duy nhất xích sắp tốt C của P sao cho

min

a C và a x C   x supG C x   I

Chứng minh

 Xét D    A P supG A tồn tại

và ánh xạ f D: P xác định bởi

 

f  a và f A supG A  với   A D

Rõ ràng f được định nghĩa tốt

 Theo mệnh đề 1.1.1 (nguyên lí đệ qui) thì tồn tại duy nhất xích sắp tốt C của P

sao cho 1) x C  x f C x

2) Nếu C D thì f C  khơng phải là cận trên chặt của C

 Ta kiểm tra C thỏa  I

Đặt x0 minC (vì C sắp tốt nên tồn tại min)

Ta cĩ x0C nên theo 1) ta cĩ  0  

0

x

x  f C  f  a tức là aminC Với a x thì C   x Do đĩ x C  x f C x supG C x (định nghĩa f ) Vậy C chính là xích sắp tốt duy nhất của P thỏa điều kiện  I

Định nghĩa 1.2.1

Xích C được xây dựng như trên gọi là xích sắp tốt (w.o) của phép lặp G từ a

Định lí 1.2.1

Cho tập có thứ tự P , , ánh xạ G P: P a P, 

Giả sử C là xích sắp tốt của phép lặp G từ a

Nếu a Ga và x* supG C  tồn tại thì x* maxC và Gx* x*

Chứng minh

Giả sử a Ga và x* supG C  tồn tại

Ta chứng minh x* maxC

 Lấy x C

Nếu x a thì do a Ga supG C x* nên x x *

Nếu a x C  ta có x supG C x supG C  x*

Suy ra x x *,  x C

 Giả sử x C*

Khi đó ta có x x *, x C hay C x* C

x  G C  G C

Suy ra x C* (mâu thuẫn) Do đó x C*

Vậy ta đã chứng minh được x*  max C

Và Gx*supG C x*

Bổ đề 1.2.2

Nếu A và B là tập con của P và nếu sup , supA B tồn tại thì

sup A B sup sup , supA B

Chứng minh

Dễ thấy hai tập hợp A B và  sup , supA B có cận trên giống nhau, từ đó suy ra điều phải chứng minh

Định nghĩa 1.2.2

Cho C là xích sắp tốt Với mỗi x C x , maxC, sẽ có một phần tử tiếp sau Sx

trong C, ta có Sx: min y C x y /  

Mệnh đề 1.2.1

Cho G P: P là ánh xạ tăng và a Ga

Gọi C là xích sắp tốt của phép lặp G từ a

Khi đó:

a Nếu x C thì x Gx và Gx C

b Sa tồn tại khi và chỉ khi a Ga và do đó Sa Ga

c Nếu a x C  thì Sx tồn tại khi và chỉ khi Gx x và sup , x Gx tồn tại,

và do đó Sxsup , x Gx

d Nếu a x C  thì x supC x khi và chỉ khi x không là phần tử tiếp sau

e G C  là xích sắp tốt của P

Chứng minh

a Lấy x C , chứng minh x Gx

Nếu x a thì x Gx (do giả thiết a Ga )

Nếu a x C  ta có  y C x thì y x mà G tăng nên Gy Gx

Suy ra supG C x Gx hay x Gx Vậy x C thì x Gx

 Chứng minh Gx C

Ta chỉ cần xét trường hợp x Gx

Ta sẽ chứng minh CGx  Cx    x Thật vậy

Hiển nhiên có C x  x C Gx (do x Gx ) (1)

Lấy y C Gx thì y C và y Gx

Nếu x y thì x C y

Nên GxsupG C y  y (mâu thuẫn vì y Gx )

Suy ra y x hay y C x  x , y C Gx hay C Gx C x  x (2)

Từ (1) và (2) suy ra CGx  Cx    x

Do đó supG C Gx supG C x  x Gx do G tăng Vậy Gx C

b Nếu Sa tồn tại thì do Sa a , Sa C khi và chỉ khi

 

sup Sa

Sa G C (theo  I )

Mà C Sa C a    a  a (vì aminC nên C   a )

nên SasupG a    Ga và a Sa Ga 

 Đảo lại, giả sử a Ga Chứng minh Sa tồn tại

Ta có C Ga  a Thật vậy

Hiển nhiên  a C Ga do a Ga

Ta chứng minh CGa    a Lấy x C Ga ta có x C và x Ga

Nếu a x thì a C xnên GasupG C x  x (do  I )

mâu thuẫn vì x Ga Vậy x a , mà aminC nên x a hay x a

tức là C Ga  a

Vậy C Ga  a

Khi đó: supG C Ga supG a    Ga do  I nên Ga C

Ta có a Ga C  nên amaxC

Theo định nghĩa ta có Sa tồn tại

c Giả sử a x C  và Sx tồn tại

Áp dụng  I , định nghĩa 1,2,2 và bổ đề 1.2.2 ta có

 

 

sup sup

x

      

 

    

Vì x Sx   sup ,  x Gx  nên Gx x 

 Đảo lại, giả sử a x C   và Gx x  và z  sup ,  x Gx  tồn tại

Ta chứng minh Sx tồn tại

Ta có Cz  Cx    x (tương tự a)

Theo bổ đề 1.2.2 và ( ) I , ta có

       

 

sup , sup

x

    

Suy ra z C  do ( ) I

Như vậy ta có x z C   nên x  max C

Theo định nghĩa 1.2.2 ta có Sx tồn tại

d Giả sử a x C   và x không là phần tử tiếp sau

Rõ ràng x là một cận trên của Cx Lấy w là một cận trên khác của Cx Với y C  x thì a y x  

Do y C và y maxC nên tồn tại Sy

y a thì do b) ta có a Sa Ga  

y a thì do c) Sy  sup ,  y Gy 

Vậy với y C  x ta luôn có Sy  sup ,  y Gy 

Suy ra Gy Sy C   x (do y x và x Sy  nên Sy x  )

Do đó Gy w  ,   y Cx Suy ra supG C x w hay x w (do ( ) I )

Như vậy theo định nghĩa sup ta có x  sup Cx

 Giả sử x là phần tử tiếp sau, tức là x Sy  với y nào đó thuộc C

Khi đó y Sy x   y C x

Ta chứng minh z y z C    , x Thật vậy

Nếu tồn tại z C  x và y z thì x Sy z   mâu thuẫn vì z C  x

Khi đó Sy x   sup Cx  y, mâu thuẫn

Suy ra điều phải chứng minh

Các kết quả trên kéo theo các hệ quả sau

Hệ quả 1.2.1

Nếu C là xích sắp tốt của phép lặp G từ a P  thì

a a  max C khi và chỉ khi a Ga 

b Nếu a x  thì x  max C khi và chỉ khi Gx x  hoặc sup ,  x Gx  không tồn tại

Chứng minh

a Suy ra từ mệnh đề 1.2.1.b)

b Suy ra từ mệnh đề 1.2.2.c)

Hệ quả 1.2.2

Cho C là xích sắp tốt của phép lặp G từ a P  Ta có

Nếu x C  thì Gx Sx  khi và chỉ khi x Gx 

Chứng minh

/

 Hiển nhiên Gx Sx x  

/

 Ta có x C  và x Gx 

Theo mệnh đề 1.2.1.a) x C  nên Gx C 

Khi đó tồn tại sup ,  x Gx   Gx do x Gx 

Theo mệnh đề 1.2.1.c) ta có tồn tại Sx  sup ,  x Gx   Gx (đpcm)

1.3 Điểm bất động của ánh xạ tăng

Định lí 1.3.1

Cho tập sắp thứ tự P, ánh xạ tăng G P :  P

a là một cận dưới của G P  

Giả sử tồn tại x*  sup G C   với C là xích sắp tốt của phép lặp G từ a Khi đó x* Gx* maxC mina x Gx x  

Đặc biệt x* là điểm bất động bé nhất của G

Chứng minh

 Vì a là cận dưới của G P  nên a Ga

Mà theo giả thiết ta có x* supG C  tồn tại

Nên theo định lí 1.2.1 thì x* maxC và Gx* x*

Mặt khác theo mệnh đề 1.2.1 thì x C* nên x* Gx*

Suy ra x*  Gx*  max C

 Chứng minh x* mina x Gx x /  

Đặt Da x Gx x /  

Lấy y D , ta cần chứng minh x*  y Thật vậy

Giả sử x* y Ta có Ax C x y /    vì x*A

Đặt zminA ta có z y

Mà a y nên z a hay C   z

Với t C z thì t y theo định nghĩa z

Suy ra zsupG C z Gy y do y D Mâu thuẫn

Vậy x*    y y D, a x Gx x /   hay x* min a x Gx x /  

(do x* maxC a và Gx* x* nên x*D)

Kết luận: x* Gx* maxC min a x Gx x /  

 Đặc biệt D chứa tất cả các điểm bất động của G

Mà x* minD nên x* là điểm bất động bé nhất của G

Do sự tương tự, nếu ta xét tập với quan hệ thứ tự  thì các kết quả ở 1.1, 1.2, 1.3 vẫn còn đúng Đặc biệt ta có kết quả sau

Định lí 1.3.2

Cho ánh xạ F P: P và b P Khi đó tồn tại duy nhất xích sắp tốt nghịch đảo

'

C của phép lặp F từ b thỏa

 I' bmax 'C

 

b x C   x F C

Nếu b Fb , F tăng và x* inf F C  ' tồn tại thì

min ' max

x Fx  C  b x Fx x 

và x

là điểm bất động lớn nhất của F

Từ các định lí 1.3.1, 1.3.2 ta có hệ quả sau

Hệ quả 1.3.1

Cho P là tập sắp thứ tự một phần và ánh xạ tăng G P: P

a Nếu G P  có một cận dưới và mọi xích sắp tốt của G P  đều có sup thì G

có điểm bất động bé nhất x* và x* min x Gx x/  

b Nếu G P  có một cận trên và mọi xích sắp tốt của G P  đều có inf thì G

có điểm bất động lớn nhất x* và x* max x Gx x/  

Chứng minh

Ta chỉ chứng minh a), trường hợp b) hoàn toàn tương tự

Gọi a là cận dưới của G P , ta có a Ga