Định lý cwikel và bất đẳng thức cwikel lieb rozenblum

x2j Chuẩn Euclide của vectơ xF Phép biến đổi Fourier C · Tập các hàm liên tục T−1 Nghịch đảo của toán tử T T∗ Toán tử liên hợp của toán tử T trong không gian Hilbert T Bao đóng của toán

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

DƯƠNG ĐỨC THÌN

ĐỊNH LÝ CWIKEL VÀ BẤT ĐẲNG THỨC

CWIKEL - LIEB - ROZENBLUM

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS Tạ Ngọc Trí

Hà Nội - 2016

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và chân thành tới TS Tạ NgọcTrí, người đã tận tình hướng, dẫn chỉ bảo cho tôi trong quá trình làmluận văn

Thông qua luận văn này, tôi muốn gửi lời cảm ơn đến phòng sauđại học và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích -trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi suốtquá trình học tập

Tôi cũng xin chân thành cám ơn gia đình, bạn bè và các thành viêntrong lớp Toán giải tích Khóa 18 đã động viên, giúp đỡ tôi hoàn thànhluận văn này

Hà Nội, tháng 7 năm 2016

Tác giả

Dương Đức Thìn

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, luận văn này là do tôi viết dưới sự hướng dẫn của

TS Tạ Ngọc Trí Tôi cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trongluận văn này là trung thực và không trùng lặp với đề tài khác Các thôngtin trích dẫn, các tài liệu tham khảo trong luận văn đã được chỉ rõ nguồngốc Luận văn chưa được công bố trên bất kỳ tạp chí, phương tiện thôngtin nào

Hà Nội, tháng 7 năm 2016

Tác giả

Dương Đức Thìn

MỤC LỤC

1 Toán tử và phổ của toán tử 9 1.1 Toán tử tuyến tính bị chặn và phổ của toán tử tuyến tính

bị chặn 9

1.1.1 Lý thuyết phổ cho các toán tử tự liên hợp 11

1.1.2 Lý thuyết phổ cho các toán tử chuẩn tắc 24

1.2 Toán tử tuyến tính không bị chặn và phổ của toán tử tuyến tính không bị chặn 27

1.2.1 Các định nghĩa cơ bản 27

1.2.2 Các toán tử đóng 33

1.2.3 Các toán tử tự liên hợp 38

1.2.4 Toán tử tuyến tính không bị chặn 49

1.2.5 Định lý phổ 54

1.3 Toán tử Schr¨odinger 61

1.3.1 Toán tử Schr¨odinger tự do 61

1.3.2 Phổ của toán tử Schr¨odinger trong một số trường hợp khác 63

2 Định lý Cwikel và bất đẳng thức Cwikel–Lieb–Rozenblum 68

2.1 Mở đầu 68

2.2 Kết quả mở rộng của định lý Cwikel 69

2.3 Định lý Cwikel và một cách chứng minh mới 73

2.4 Một số kết quả mở rộng 75

2.5 Bất đẳng thức Cwikel–Lieb–Rozenblum cho các toán tử dạng Schr¨odinger tổng quát 78

2.6 Một số kết quả khác 82

x2j Chuẩn Euclide của vectơ x

F Phép biến đổi Fourier

C (·) Tập các hàm liên tục

T−1 Nghịch đảo của toán tử T

T∗ Toán tử liên hợp của toán tử T trong không gian Hilbert

T Bao đóng của toán tử T

ρ (T ) Tập giải được của toán tử T

RT Giải được của toán tử T

D (T ) Miền xác định của toán tử T

Ker (T ) Nhân của toán tử T

Ran (T ) Miền giá trị của toán tử T

L∞(X) Không gian Lebesgus các hàm bị chặn hầu khắp nơi

Lp(X) Không gian Lebesgus của các hàm p - khả tích

k·kLp Chuẩn trong Lp(X)

inf Cận dưới đúng

sup Cận trên đúng

suppg Giá của hàm g

σ (T ) Phổ của toán tử T

σp(T ) Phổ điểm của toán tử T

σd(T ) Phổ rời rạc của toán tử T

σess(T ) Phổ thiết yếu của toán tử T

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Bài toán ước lượng số các giá trị riêng âm của toán tử Schr¨odinger

là một bài toán rất được quan tâm Một trong các ước lượng đó là kếtquả mà ngày nay được phát biểu là định lý Cwikel–Lieb–Rozenblum(xem [3], [5]) Dạng đầu tiên của định lý Cwikel–Lieb–Rozenblum là từkết quả của M Cwikel (xem [4]), ngày nay thường được gọi là định lýCwikel Theo đánh giá trong [5] thì định lý Cwikel là một trong nhữngđịnh lý đẹp nhất trong lý thuyết phổ (among the most beautiful theo-rems in spectral theory) Bài báo gần đây của Rupert L Frank [5] đưa

ra một cách chứng minh mới, ngắn gọn hơn cho các kết quả của định

lý Cwikel và sau đó là định lý Cwikel–Lieb–Rozenblum Với mong muốntìm hiểu sâu hơn về lý thuyết phổ thông qua các kết quả của định lýCwikel và định lý Cwikel–Lieb–Rozenblum và được sự hướng dẫn củathầy Tạ Ngọc Trí, tôi đã chọn nghiên cứu đề tài: “Định lý Cwikel vàbất đẳng thức Cwikel–Lieb–Rozenblum”

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu một chứng minh về định lý Cwikel và bất đẳng thức

Cwikel–Lieb–Rozenblum và các vấn đề liên quan đến các kết quả nàyqua việc tìm hiểu và nghiên cứu bài báo trên đây của Rupert L Frank

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+ Đối tượng nghiên cứu: Một số các dạng toán tử Schr¨odinger và phổcủa chúng.

+ Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo liên quan đến định

lý Cwikel và bất đẳng thức Cwikel–Lieb-Rozenblum

5 Phương pháp nghiên cứu

+ Sử dụng các kiến thức về lý thuyết phổ, lý thuyết toán tử để tiếpcận vấn đề;

+ Tập hợp tài liệu liên quan để nghiên cứu bài báo của Rupert L.Frank;

7 Nội dung

Luận văn gồm có 2 chương:

Chương 1 Luận văn trình bày các kiến thức cơ bản để làm nền chochương chính

Chương 2 Luận văn trình bày về định lý Cwikel và bất đẳng thứcCwikel–Lieb–Rozenblum

Chương 1TOÁN TỬ VÀ PHỔ CỦA TOÁN TỬ

Trong chương này, luận văn trình bày về một số dạng toán tử và phổcủa chúng Nội dung của chương là những kiến thức cơ sở góp phần làmnền cho chương chính phía sau Nội dung của chương được trích dẫn từcác tài liệu [8], [12] và [7]

tuyến tính bị chặn

Định nghĩa 1.1.1 Cho X, Y là các không gian vectơ định chuẩn trêntrường số K, ánh xạ T : X → Y tuyến tính nếu

T (αx + βy) = α (T x) + β (T y)với mọi x, y ∈ X và α, β ∈ K

Ta nói rằng ánh xạ tuyến tính T là một toán tử tuyến tính bị chặn nếutồn tại hằng số C > 0 sao cho

kT xkY ≤ CkxkXvới mọi x ∈ X Số C nhỏ nhất thỏa mãn bất đẳng thức trên được gọi làchuẩn của T , kí hiệu là kT k Do đó,

kT k = sup

kxkX=1

kT xkY.Khi X = Y thì T gọi là toán tử trên X Khi Y = K thì toán tử tuyếntính T được gọi là phiếm hàm tuyến tính

Theo ý kiến của hội đồng bảo vệ luận văn thạc sỹ tôi xin bổ sung một

số các khái niệm cơ bản sau (nội dung trình bày được dựa theo [12]):Định nghĩa 1 Cho X là không gian Banach trên trường số C, L(X)

là tập các toán tử tuyến tính bị chặn trên X, toán tử T ∈ L(X) Toán

tử T được gọi là khả nghịch nếu tồn tại toán tử T0 ∈ L (X) sao cho

T T0 = T0T =1 Tập các toán tử khả nghịch của L(X) được ký hiệu làL(X)−1

Phổ của toán tử T ký hiệu là σ (T ) là tập tất cả các số phức λ saocho (T − λ1) /∈ L(X)−1 , trong đó 1 là toán tử đơn vị trong X

Định nghĩa 2 Cho T ∈ L (H) Tập hợp giải được của T xác địnhbởi

ρ (T ) =

n

λ ∈ C| (T − λ1)−1 ∈ L (H)oChính xác hơn, số phức λ ∈ σ (T ) khi và chỉ khi T − λ1 là song ánh vớitoán tử ngược bị chặn Phần bù của tập giải được chính là phổ Tức là

σ (T ) − C\ρ (T )Đặc biệt, λ ∈ σ (T ) nếu T − λ1 có hạt nhân không tầm thường Mộtvectơ ψ ∈ Ker (T − λ1) được gọi là vectơ riêng và λ được gọi là giá trịriêng trong trường hợp đó Hàm

RT : ρ (T ) → L (H)

λ 7→ (T − λ1)−1được gọi là giải được của T tại λ Ta có công thức sau

RT(λ)∗ =

(T − λ1)−1

∗

= ((T − λ1)∗)−1 = (T∗ − λ∗)−1 = RA∗(λ∗)Đặc biệt,

ρ (T∗) = ρ(T )∗.Định nghĩa 3 Cho T ∈ L(X)

(a) x 6= θ, x ∈ X thỏa mãn T x = λx với C được gọi là vectơ riêng của

T , λ tương ứng được gọi là giá trị riêng Nếu λ là một giá trị riêng thì

T − λ1 không là đơn ánh do đó λ thuộc phổ của T Tập các giá trị riêngđược gọi là phổ điểm của T , kí hiệu là σp(T );

(b) Nếu λ không là giá trị riêng và nếu Ran(T − λ1) không trù mật thì

1.1.1 Lý thuyết phổ cho các toán tử tự liên hợp

1 Phép toán đối với phiếm hàm liên tục cho các toán tử tự liênhợp

Phần này ta sẽ định nghĩa hàm f (T ) cho toán tử tự liên hợp T ∈ L(H)

và f ∈ C(σ(T )) Định nghĩa của hàm f (T ) sẽ được sáng tỏ như sau: nếu

com-1 ∈ A, f ∈ A ⇒ f ∈ A,

và với hai điểm bất kỳ z1, z2 ∈ X, tồn tại f ∈ A với f (z1) 6= f (z2) Khi

đó A là trù mật trong C (X) với chuẩn L∞; trong đó

kf kC(X) = max

x∈X |f (x)|

Hệ quả 1.1.3 Cho X ⊂ R là một tập compact của các số thực với tôpôcảm sinh Khi đó không gian của các hàm đa thức (giới hạn tới X) trên

X là trù mật trong C (X) với chuẩn L∞

Chứng minh Rõ ràng không gian A của các hàm đa thức trên X la mộtđại số con của C (X), chứa 1, và nó tách các điểm (các hàm đơn x 7→ xcũng như vậy, và nằm trong A) Hơn nữa, nếu

khi x = x, nghĩa là f cũng thuộc A

Hệ quả 1.1.4 Tổ hợp tuyến tính của các hàm

Chứng minh Xem [8]

Những điều này được áp dụng cho X = σ(T ) ⊂ R với T tự liên hợp,

ta biết rằng hàm f ∈ C (σ (T )) có thể xấp xỉ đều bởi các hàm đa thức.Điều này dẫn đến định nghĩa

f (T ) = lim

n→+∞pn(T ) , (1.1)

ở đây (pn) là dãy các đa thức sao cho kf − pnkC(X) → 0 Định nghĩa nàybao gồm cả chiều và tính dương, và tính chất cơ bản của cấu trúc nàyđược đưa ra trong định lý sau:

Định lý 1.1.5 (Phép toán cho các hàm liên tục) Cho H là không gianHilbert và T ∈ L(H) là một toán tử bị chặn tự liên hợp Khi đó tồn tạimột ánh xạ duy nhất

φ = φT : C (σ (T )) → L (H) ,cũng ký hiệu là f 7→ f (T ) cùng với các tính chất sau:

-(0) Điều này mở rộng định nghĩa cho các đa thức, hay với bất kỳ

-(2) Với bất kỳ f ∈ C (σ (T )), ta có φ(f )∗ = φ f
hay f (T )∗ = f (T ),

và nói riêng f (T ) là chuẩn tắc với mọi f ∈ C (σ (T )) Ngoài ra

f > 0 ⇒ φ (f ) > 0 (1.3)-(3) Nếu λ ∈ σ (T ) nằm trong điểm phổ và υ ∈ Ker (λ − T), khi đó

ta có

υ ∈ Ker (f (λ) − f (T)) -(4) Tổng quát hơn nữa, ta có định lý ánh xạ phổ:

σ (f (T )) = f (σ (T )) = σ (f ) , (1.4)

ở đây σ (f ) tính được với f ∈ C (σ (T ))

Nhận xét 1.1.6 Cho (1), tính chất (0) là bao hàm duy nhất bởi tuyến tính và bởi thực tế là φ (z 7→ z) = T

C-Chứng minh Ta thấy, thực chất việc chứng minh sự tồn tại của φ là chỉ

ra (1.1) là định nghĩa phù hợp Thực tế nếu ta có thể chứng minh (1.2)cho f = p ∈ C [X], ta có thể kết luận rằng ánh xạ

và đúng với mọi f Điều này chỉ ra rằng

Có rất nhiều tính chất quan trọng đối với phổ của các toán tử bị chặnnhưng ta chỉ bổ sung một tính chất rất quan trọng để mô tả về các toán

tử bị chặn trên không gian Hilbert Để tìm hiểu về tính chất này, ta cóđịnh nghĩa về toán tử nhân qua ví dụ sau:

Ví dụ 1.1.7 (Toán tử nhân) Cho (X, µ) là một không gian độ đo hữuhạn và cho g ∈ L∞(X, µ) là một hàm bị chặn Khi đó ta có một ánh xạtuyến tính liên tục

Với g1, g2 ∈ L∞(X, µ) ta cũng có quan hệ hiển nhiên sau

Mg1(Mg2(f )) = g1(g2f ) = g2(g1f ) = Mg2(Mg1(f )) ,

vì vậy tất cả các toán tử Mg với g ∈ L∞(X, µ) là giao hoán; nói riêng,chúng là chuẩn tắc

Ví dụ 1.1.8 Cho H = L2(X, µ) với không gian độ đo hữu hạn (X, µ),

và cho g ∈ L∞(X) là một hàm giá trị thực Toán tử nhân Mg (ví dụtrên) khi đó là tự liên hợp trên H Phổ σ (Mg) là miền thiết yếu (essentialrange) của g, được định nghĩa như sau:

σ (Mg) =x ∈ R

µ g−1(]x − ε, x + ε[)
> 0 với mọi ε > 0

Thật vậy, trước tiên ta có Mg − λ = Mg−λ; Ta có thể giải phươngtrình (Mg − λ) ϕ = ψ với ψ ∈ L2(X, µ) bằng việc đặt

ϕ = ψ

g − λ,

và đây là nghiệm như một tập-hàm lý thuyết trên X Nó chỉ ra rằng ta

có λ ∈ ρ (Mg) nếu và chỉ nếu toán tử

µ

n

x ∈ X

(g (x) − λ)−1