Rèn kỹ năng giải hệ pt và hình oxy phần 3

Tìm toạ độ đỉnh C của hình vuông ABCD.. Tìm toạ các đỉnh của tam giác ABC biết A có hoành độ không dương và đường thẳng AG có phương trình y+ =2 0... Đường thẳng EF cắt BC tại K.. Tìm to

Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015

Ví dụ 1:Giải hệ phương trình

2 2



 + + + = − + −



Ví dụ 2: Giải hệ phương trình

2

 + + − + = + +



 + + + + + = + +



x y x xy y x y xy

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy chohình vuông ABCD trên các cạnh AD, AB lấy lần lượt

các điểm ,E F sao cho

3

AB

AE=AF = , K là hình chiếu của F trên CD, đường thẳng AK cắt đường thẳng

BE tại 6 2;

5 5

H 

 , biết điểm F( )1; 2 Tìm toạ độ đỉnh C của hình vuông ABCD

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông cân tại A, gọi M là trung điểm của BC, G

là trọng tâm tam giác ABM, điểm 5; 1

D 

−

  là điểm thuộc đoạn MC sao cho GA=GD Tìm toạ các

đỉnh của tam giác ABC biết A có hoành độ không dương và đường thẳng AG có phương trình y+ =2 0

Ví dụ 5 [Tham khảo]:Giải hệ phương trình

2 4

2



+



 + + = + −



y y

y

Lời giải:

Từ phương trình (1) ta có

2 4

2

y y

y

−

+ ( )

0

1

0

>

y=x

Thay y=x2 vào phương trình (2) ta có y+ + =3x 6 3 xy+2y+5x+4

( 2 ) ( ) ( )( 2 )

⇔ + + + − = + + + Đặt A=x2+ +x 4;A>0và B= +x 1;B>0 ⇒A+2B=3 AB

⇔A + AB+ B = AB⇔ A B− A− B =

2

0

2

3 ( )

 = ⇔ + + = +



= ⇔ + + = + ⇔



x loai

Vậy nghiệm của hệ phương trình là ( )x y; =(0; 0)

Ví dụ 6 [Tham khảo]:Giải hệ phương trình





− + =



Lời giải:

RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY (phần 3)

Thầy Đặng Việt Hùng

Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015

ĐK:

2

0

x y

x

y

 − + ≥



≥



 ≤ ≤



Từ PT đầu ta có x3− +xy 5x+ x2+ =1 2 x+ y ⇔ x3−xy+5x−2 x = y− x2+1

1

x x y

− +

( )

2

2

1 0

y x

L

x xy x x y x

 − − =



−



= ⇒ = ± ⇒ =



= − ⇒ − = ⇒ − = ⇔ + − = ⇔

= ⇒ = ± ⇒ =

 Kết hợp ĐK ta có: ( ) (x y; ={ 3;10 ,) ( 10;11) }

Ví dụ 7 [Tham khảo]:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho tam giác ABC vuông tại B có phân giác trong

AD với 15 1;

2 2

D 

  thuộc BC Gọi E, F là 2 điểm lần lượt thuộc các cạnh AB và AC sao cho AE=AF

Đường thẳng EF cắt BC tại K Biết điểm 11 3;

2 2

F 

 , E có tung độ dương và phương trình đường thẳng

AK x− y+ = Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC

Lời giải:

Gọi I là giao điểm của AD và EF Do tam giác AEF cân tại A có

phân giác AI nên: AI là phân giác đồng thời là đường cao và trung

tuyến

AB KD

⊥





⊥

15 1

;

2 2

D 

  và vuông góc với AK Khi đó ta có phương trình

31

2

DE x+ −y = .Vì E thuộc DE nên ta gọi ;31 2

2

E t t

−

2

DE DF t  t

= ⇔ −  + − =

( )

2

;

t

= ⇒  − 





⇔ − = ⇔

 Khi đó A=AD∩AK ⇒A( )5;3 ⇒AC: 3x+ − =y 18 0;AB x: +3y− =14 0;BC: 3x− −y 22=0

5;3 ; 8; 2 ; ; 2

3

−

  là toạ độ các điểm cần tìm

Ví dụ 8 [Tham khảo]:Giải hệ phương trình ( )( )

( )

3 3

4







Lời giải

Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015

Điều kiện x≥ −1;y≤7

x +y + xy x+y + + = ⇔x y x+y + + =x y

x+ =y t⇒t + − = ⇔ −t t t + + = ⇔ =t t ⇒ y= −x

2 x+ +1 5 x+ +6 6x x+ =1 x +10

3

3

3

⇔ + − + + − = − − −

⇔ + − + + − = − + + +

+ + + +

=





⇔



x

x

2

x + x ≤ + < ∀ ≥ −

+ + + + + và ( )3

x+ + ≥ ∀ ≥ −x

x + x < + + ∀ ≥ − ⇒

Đối chiếu điều kiện ta thu được nghiệm duy nhất x=3, hệ có nghiệm x=3;y= −2

Ví dụ 9 [Tham khảo]:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có D(5; 1) Gọi M là trung điểm BC và N thuộc AC sao cho AC = 4AN Biết rằng MN: 3x − y − 4 = 0 và y M > 0 Tìm tọa độ

đỉnh C

Lời giải:

Gọi I là tâm hình vuông ABCD ta có: tan tan 1

2

NDI = MDC=

45

NDM =IDC=ICM = do đó tứ giác NDCM là tứ giác nội

tiếp suy ra DNM =900 ⇒∆DNM vuông cân tại N

Phương trình đường thẳng DN x: +3y− =8 0

( )2; 2

⇒ = ∩ ⇒ , gọi M t t( ;3 −4) ta có:

( )

3;5

Dễ thấy KD= −2KM ( với K là trọng tâm tam giác BCD)

;

K

− = − −

⇒



= ⇒ = − ⇔ − − = −  − − ⇒

 

KN

KC

Ví dụ 10 [Tham khảo]:Giải hệ phương trình ( 2 ) ( 2 )





− + = + −



Lời giải:

ĐK: 3

2

x≥

x+ + x + x+ y + −y = y

Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015

( )2 ( )2

Xét hàm số f t( )= +t2 t t2+1 với t>0⇒ f ( x+ =1) f y( )

Ta có:

2 2

2

1

t

f t t t

t

= + + + >

+ Suy ra hàm số ( )f t đồng biến với ∀ >t 0 Mặt khác: f ( x+ =1) f y( )⇒ x+ =1 y

Thay x+ =1 y vào phương trình (2) ta có

2

2

1

1

3

3 2

− + = + − ⇔ − + = + −

⇔ − + − − = ⇔ − + + − − − = ⇔ − +  + =

− + −

 = ⇒ =



⇔ = − ⇒ = −



≤ ≤







x x

x

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là ( )x y; ={(6; 7 ; 2; 3 ; 3) ( ) ( − 2; 2− 2)}