Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC và viết phương trình đường tròn C biết B có tung độ âm.. Lời giải: Do tam giác ABC cân nên tâm I của đường tròn C thuộc trung tuyến AE.. Gọi H =
Trang 1Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
2
và trung tuyến qua đỉnh B là d1:x+ − =y 2 0;d2: 4x+5y− =9 0 Điểm 2;1
2
thuộc cạnh AB và bán
kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 15
6
R= Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình thoi ABCD có phương trình đường chéo
BD x+ − =y , gọi I là điểm thuộc đường chéo BD, đường tròn ( )C tâm I đi qua A và C cắt các đường thẳng AB và AD lần lượt tại E(3; 3− ) và 23 9;
5 5
Tìm toạ độ các đỉnh của hình thoi và viết phương trình đường tròn ( )C biết C có tung độ dương
Ví dụ 5 [Tham khảo]: Giải hệ phương trình
2 4
1
y
Lời giải:
ĐK: 1− ≤ ≤y 4;x>0
Từ phương trình (1) ta có x2−34 y+ =1 x y+ −1 3 x
4
0
3
1
>
Thay 2
1
y=x − vào phương trình (2) ta có: y 4 y x 3 1
−
−
( ) 2
2
0
2
1 5
x
x
>
+
Vậy nghiệm của hệ phương trình là ( )x y; =(2;3)
Ví dụ 6 [Tham khảo]: Giải hệ phương trình
2
2
2
x
Lời giải:
ĐK: x−2y+ ≥4 0;x≥2
Từ phương trình (1) ta có x3+ x−2y+ +4 2xy2 =4y2+2x y2 +2
( ) 2 2
0
1
2 4 2
>
RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY (phần 2)
Thầy Đặng Việt Hùng
Trang 2Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Thay x=2y vào phương trình (2) ta có 2 9 2 3 1
2
x
x + − = y+
2
2
3 2 0
9
9
y y
y y
Xét phương trình (3) ta có 4 9 0
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là ( ) {x y; = (2;1); (4; 2)}
Ví dụ 7 [Tham khảo]: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn
( ) ( )2 2
C x− +y = tâm I, trung tuyến AE và đường cao CD cắt đường tròn (C) lần lượt tại điểm thứ
2 là M(− −2; 4) và N(4; 4− ) Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC và viết phương trình đường tròn
( )C biết B có tung độ âm
Lời giải:
Do tam giác ABC cân nên tâm I của đường tròn ( )C thuộc trung
tuyến AE Do I là trung điểm của AM nên A( )4; 4
Phương trình đường thẳng AM: 4 x−3y− =4 0
Gọi H = AM∩CD là trực tâm tam giác ABC
Ta có : BAE=BCD ( cùng phụ với góc ABC) do đó BN =BM
Khi đó : BN =BM , lại có IN =IM nên IB là trung trực của MN
Phương trình IB là: ( ) 2 ( )
x= ⇒B t ⇒t = ⇒B −
Điểm C đối xứng với B qua AM nên 19; 7
5 5
4; 4 ; 1; 5 ; ;
5 5
là các điểm cần tìm
Ví dụ 8 [Tham khảo]: Giải hệ phương trình
2
4
3 6 5 2 1 2 2 2 2 1 0
Lời giải
ĐK: y+2x+ ≥3 0;x≥2
Xét phương trình (1) ta có 2x2+5x+ =4 2y+ y+2x+3
2
0
1
>
Thay ( )2
1
y= +x vào phương trình (2) ta có y− − −3x 6 5 2x− +1 2 x− −2 2 24 x− =1 0
2 2
1 3 6 5 2 1 2 2 2 2 1 0
Trang 3Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Xét hàm số f t( )= + +t2 5t 2 t với t>0
Ta có f t'( ) 2t 1 5 0
t
= + + > ∀ >t 0, suy ra hàm số f t đồng biến ( ) ∀ >t 0
=
Đối chiếu điều kiện ban đầu thấy thỏa mãn , vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là ( )x y; =(5;36)
AD với 7; 7
2 2
−
thuộc BC Gọi E, F là 2 điểm lần lượt thuộc các cạnh AB và AC sao cho AE = AF
Đường thẳng EF cắt BC tại K Biết 3; 5
2 2
−
, F có hoành độ nhỏ hơn 3 và phương trình đường thẳng
AK x− y− = Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC
Lời giải:
Gọi I là giao điểm của AD và EF Do tam giác AEF cân tại A có phân giác AI nên AI là phân giác đồng
thời là đường cao và trung tuyến
Ta có: EK AD DF AK
⊥
⊥
Do đó đương thẳng DF qua 7; 7
2 2
và vuông góc với AK Ta có
7
2
Vì F thuộc DF nên ta gọi ;7 2
2
F t t
−
Mặt khác I là trung điểm của EF nên 2 3 1 2;
Ta có: 3 2 ; 3 , 11 2 ; 4
Khi đó, IE ID = ⇔ −0 (3 2t)(11 2− t)+16(t−3)(t− =4) 0
( )
2
;
20 140 225 0
Từ đó ta có AF x: +3y+ =2 0,AE: 3x+ − =y 2 0,BC: 3x− −y 14=0
Ví dụ 10 [Tham khảo]: Giải hệ phương trình
2 2
1 4
−
y
x
x
Lời giải:
ĐK: y>0;x>0
Xét PT(1): 3 4 4 2 2
1
y
x
−
+
3x 3x 2 x 1 y 4x 4 2y 0 x 1 x 2 y 4x 4 2 x y 0
Trang 4Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
0
>
0
⇒x − = ⇔ =y y x Thế y=x2vào PT(2) ta được:
3x 3x 12 x 2 x 1 3x 3x 12 x 4x 4 x 1
Do x=0 không là nghiệm của PT(2) nên chia cả hai vế của PT cho x ta được:
2
3 0
− = ⇔ =
− + =
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 cặp nghiệm là ( ) ( ) (x y; ={1;1 , 4;16) }