Kỹ thuật gán độ dài trong chứng minh hình học phẳng

Ta có QIMC là tứ giác nội tiếp... Đến đây dùng định lý hàm số cos cho tam giác ADE ta có đpcm.. Bài 3: Tam giác ABC vuông tại A đường cao AH.. Chứng minh I là trung điểm AH... Gợi ý cho

1

2

Bài 1: Hình vuông ABCD Gọi M là điểm bất kỳ trên đoạn thẳng BC IM và

AN cắt DC kéo dài tại P và N BN cắt PM tại J Chứng minh CJBN

J M

I A

B

N

Cách 1: Hình học thuần túy Menelaus:

Về định lý Menelaus mời bạn đọc xem Wikipedia hoặc Google

Ta có:

2 2 2

2 2 2

JB MC PN JB MB PC

1

JB MB AB BC

JN MB PC JN MC PN

JN

1

IC MA PN PN MN MC







Tới đây bạn đọc hoàn toàn có thể chứng minh CJBN

Cách 2: Gọi điểm phụ để chứng minh tứ giác nội tiếp:

M

J I

A

B

Lấy Q sao cho QC = BM Ta có QIMC là tứ giác nội tiếp

Do vậy MIC  MQC

Mặt khác QC BM AB BC QCM BCN

MCMCCNCN  ∽

3

Vậy MIC  MQC CBNICJB là tứ giác nội tiếp vậy CJBN

Tuy nhiên cái khó là làm sao đoán được điểm Q

Cách 3: Gán độ dài DC = x, CM = y Ta chứng minh IBJC là tứ giác nội

BC  AB BM x y 

Mặt khác:

2

IM CM CI 2CM.CI y xy

2 2

Do đó:

x

2 2 2

2 2

CI IM CM





Vậy ta có CBN  CIMJBIC là tứ giác nội tiếp vậy CJBN

Hay không các em? Tiếp nhé!

Bài 2: Hình chữ nhật ABCD có BH vuông góc AC Trên tia đối tia BH lấy E

sao cho BE = AC Chứng minh ADE 45 0

I

A

D

B

C

E

H

Về cách sử dụng bằng hình học thuần túy, xin gợi ý gọi F là trung điểm của DE Về cách gán độ dài,

đặt AD x,CD y 

Ta có: AE2EH2AH2

4

2 2

2

AB

AC

AE x 2xy 2y

Mặt khác áp dụng theo định lý hàm

số cos ta có:

2 2 2

DE BD BE 2BD.BE.cos DBE = 2 x y 

Đến đây dùng định lý hàm số cos cho tam giác ADE ta có đpcm

Bài 3: Tam giác ABC vuông tại A đường cao AH Gọi F đối xứng với H qua

A Gọi I là trực tâm tam giác FBC Chứng minh I là trung điểm AH

I

B

H

F

D

E

Đặt BH x,CH y  AH xy

2 2 2

AI AB BI 2AB.BIcos ABI

2 2 2

AI AB BI 2AB.BIcos ACF

Mặt khác IH2BI2BH2 Giả sử: AI2IH2

2 2 2

2 2 AC CF FA

AB BH 2AB.BI

2AC.CF

4

AC CF

AC 2AH

Thay: BH x,CH y,AH   xy ,AB x2xy ,AC y2xy ta thấy đẳng thức luôn đúng Vậy ta có điều phải chứng minh

Gợi ý cho các bạn thử sức chứng minh hình phẳng: Gọi thêm trung điểm của BH Quá khó lường phải không!

Bài 4: Tam giác vuông ABC vuông tại A, trung tuyến AM Lấy D trên đoạn

thẳng MC Gọi E và F là tâm ngoại tiếp các tam giác DAC và DAB Chứng minh tứ giác EIMF nội tiếp

D

G

I

A

F

E

C K

B

H

J

Trước hết dễ dàng chứng minh được AHIG là hình chữ nhật nên

0

FIE 90

  Do đó ta chỉ cần chứng minh FDE 90 0

Thật vậy, sài tích vô hướng ta có: DFDE 0 DI IF DI IE   0

DI DI.IF DI.IE 0 DI DI.JI DI.IK 0

        DI JI IK  DJ IK

Chẳng khó khăn tý nào, gán BI IC x,ID y  

Ta có: DJ BI ID x y,IK ID DK y IC ID y x y x y

Vậy ta có điều phải chứng minh

LỜI KẾT Trên đây tôi đã chứng minh 4 bài toán hay và khó, khá kinh điển trong hình học phẳng Hy vọng sau khi đọc xong bài viết này, bạn đọc sẽ trở nên tỏa sáng hơn với hình học phẳng và hình học phẳng Oxy

Thân ái – Casio Man – Đoàn Trí Dũng