Tính ổn định của bất đẳng thức vi biến phân (LV01899)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2NGUYỄN QUANG HUY TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2016... TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2NGUYỄN QUANG HUY TÍNH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN QUANG HUY

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2016

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN QUANG HUY

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS NGUYỄN THÀNH ANH

HÀ NỘI, 2016

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Thành Anh, Thầy đãtrực tiếp giảng dạy, tận tình hướng dẫn và tạo mọi điều kiện giúp tôi hoànthành luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học Trường Đạihọc Sư phạm Hà Nội 2; các thầy giáo, cô giáo đã trực tiếp giảng dạy, giúp đỡtôi trong suốt quá trình học tập tại trường

Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã giúp đỡ vàđộng viên để tôi hoàn thành luận văn này

Hà Nội, tháng 6 năm 2016

Nguyễn Quang Huy

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan luận văn này do tôi hoàn thành dưới sự hướng dẫn của

TS Nguyễn Thành Anh

Trong quá trình hoàn thành luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa họccủa các nhà toán học với sự trân trọng và biết ơn sâu sắc Luận văn này khôngtrùng lặp với bất kỳ luận văn, luận án khác Các kết quả trích dẫn trong luậnvăn này đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, tháng 6 năm 2016

Nguyễn Quang Huy

Mục lục

Lời cảm ơn i

Lời cam đoan ii

Lời mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức cơ sở 3

1.1 Tính nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới của ánh xạ đa trị 3

1.2 Bất đẳng thức biến phân 10

1.3 Bao hàm thức vi phân 12

1.4 Một số khái niệm và kết quả khác 13

Chương 2 Tính ổn định của bất đẳng thức vi biến phân 15

2.1 Phát biểu bài toán 15

2.2 Tính ổn định của bất đẳng thức vi biến phân 17

Kết luận 31

Tài liệu tham khảo 32

Lời mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Bất đẳng thức vi biến phân (DVIs) là mô hình tổng quát của nhiều bài toántrong các lĩnh vực tài chính, kinh tế, giao thông, tối ưu hóa và khoa học kĩthuật Đến nay bất đẳng thức vi biến phân được nhiều nhà toán học nghiêncứu và đạt được nhiều kết quả phong phú bao gồm các kết quả về sự tồn tạinghiệm, tính duy nhất của nghiệm, cấu trúc và dáng điệu của tập nghiệmv.v Tuy nhiên các đề tài nghiên cứu về tính ổn định của bất đẳng thức vibiến phân còn ít Với mong muốn tìm hiểu thêm về tính ổn định của bất đẳngthức vi biến phân và dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Thành Anh, tôi đã

chọn đề tài "Tính ổn định của bất đẳng thức vi biến phân" Cụ thể tôi xét

bài toán sau:

Giả sử (Z1, d1) và (Z2, d2) là hai không gian metric Giả sử L ⊂ Rn làmột tập lồi đóng bị nhiễu bởi tham số u thay đổi trong (Z1, d1) Điều này cónghĩa: L : Z1 ⇒ Rn là một ánh xạ đa trị với giá trị lồi đóng khác rỗng

Giả sử H : Rn ⇒ Rn là ánh xạ đa trị bị nhiễu bởi tham số v thay đổi trên(Z2, d2) Điều này có nghĩa là H : Rn × Z2 ⇒ Rn

Chúng tôi xét bất đẳng thức vi biến phân DM V I(H(·, v), L(u)):

(1)

Tập nghiệm yếu Caratheodory của bài toán này được kí hiệu là S(DM V I(u, v)).Các nghiên cứu của chúng tôi chủ dựa trên sườn chính của tài liệu thamkhảo số [5]

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu tính ổn định của bất đẳng thức vi biến phân (1) Cụ thể chúngtôi nghiên cứu tính nửa liên tục trên và cả tính liên tục của S(DM V I(u, v))khi cả L và H bị nhiễu bởi hai tham số khác nhau

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu các tính chất của ánh xạ nghiệm yếu Carathéodory dưới một

số điều kiện

Thiết lập những kết quả về tính liên tục và nửa liên tục liên quan đến ánh

xạ nghiệm yếu Carathéodory khi ánh xạ và tập ràng buộc bị nhiễu bởi haitham số

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Bất đẳng thức vi biến phân có nhiễu dạng (1).Phạm vi nghiên cứu: Tính ổn định của bất đẳng thức vi biến phân (1)

5 Phương pháp nghiên cứu

Thu thập và nghiên cứu tài liệu có liên quan, đặc biệt là các bài báo mớitrong và ngoài nước về vấn đề cần nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp của giải tích đa trị, phương pháp biến phân,

6 Giả thuyết khoa học

Có thể đưa ra được một số điều kiện đảm bào tính ổn định của bất đẳngthức vi biến phân

và được gọi là ảnh của A qua F

Một ánh xạ đa trị F : X → P (Y ) là nửa liên tục trên tại một điểm x ∈ X

nếu với mỗi tập mở V ⊂ Y sao cho F (x) ⊂ V thì tồn tại một lân cận U (x)của x sao cho F (U (x)) ⊂ V

Một ánh xạ đa trị F được gọi là nửa liên tục trên nếu nó là nửa liên tụctrên tại mọi điểm x ∈ X

Mệnh đề 1.1.

Các điều kiện sau là tương đương :

(i) ánh xạ đa trị F : X → P (Y ) là nửa liên tục trên;

(ii) tập F+−1(V ) là mở với mỗi tập mở V ⊂ Y ;

(iii) tập F−−1(Q) là đóng với mỗi tập đóng Q ⊂ Y

Định nghĩa 1.3.

Ánh xạ đa trị F : X → P (Y ) được gọi là nửa liên tục dưới tại một điểm

x ∈ X nếu với mỗi tập mở V ⊆ Y sao cho F (x) ∩ V 6= ∅ thì tồn tại một lâncận U (x) của x sao cho F (x0) ∩ V 6= ∅ với mọi x0 ∈ V (x)

Một ánh xạ đa trị F được gọi là nửa liên tục dưới nếu nó là nửa liên tụcdưới tại mọi điểm x ∈ X

Định lý 1.1.

Các điều kiện sau là tương đương:

(i) ánh xạ đa trị F : X → P (Y ) là nửa liên tục dưới;

(ii) tập F−−1(V ) là mở với mỗi tập mở V ⊂ Y ;

(iii) tập F+−1(Q) là đóng với mỗi tập đóng Q ⊂ Y

Một ánh xạ đa trị F được gọi là đóng nếu đồ thị của nó ΓF = {(x, y) :

x ∈ X, y ∈ F (x)} là một tập con đóng của không gian X × Y

Mệnh đề 1.2.

Các điều kiện sau là tương đương:

(i) ánh xạ đa trị F là đóng;

(ii) với mỗi dãy suy rộng {xα} ⊂ X, {yα} ⊂ Y , sao cho yα ∈ F (xα) nếu

xα → x và yα → y thì y ∈ F (x).

Điều kiện sau cùng có thể sử dụng dãy thông thường với điều kiện X và

Y là các không gian metric

Cho Y là không gian metric Hàm số h : K(Y ) × K(Y ) → R+ xác địnhnhư sau

h(A, B) = inf{ > 0 : A ⊂ V(B), B ⊂ V(A)},

ở đây V là một  − lân cận của một tập, được gọi là metric Hausdorff trên

K(Y )

Mệnh đề 1.3.

Cho X là không gian tôpô, Y là không gian metric Ánh xạ đa trị

F : X → K(Y ) là liên tục khi và chỉ khi nó liên tục như là một ánh xạ đơn

trị từ X vào không gian metric (K(Y ), h).

Ta dễ dàng chứng minh được các khẳng định sau:

1) A là tập lồi khi và chỉ khi A = coA;

2) coA là tập lồi nhỏ nhất chứa A;

3) coA là tập lồi đóng nhỏ nhất chứa A;

4) A là tập lồi đóng khi và chỉ khi A = coA

Mệnh đề 1.5.

Giả sử A ⊂ X là một tập lồi, khi đó

i) Phần trong intA và bao đóng A là các tập lồi;

ii) Với x1 ∈ intA, x2 ∈ A thì [x1, x2) ⊂ intA;

iii) Nếu intA 6= ∅ thì A = intA, intA = intA.

Ta có một vài khái niệm sau:

Kv(Y ) = P v(Y ) ∩ K(Y ) = {D ∈ P (Y ) : D là compact và lồi}.Khi ánh xạ đa trị F nhận giá trị trong các tập C(Y ), K(Y ) hoặc P v(Y )thì ta nói F tương ứng có giá trị đóng, compact hoặc lồi.

Từ định nghĩa ta thấy rằng một ánh xạ đa trị đóng có giá trị đóng

Để xây dựng điều kiện đủ cho ánh xạ đa trị đóng trở thành nửa liên tụctrên, ta cần các định nghĩa sau

Định nghĩa 1.8.

Một ánh xạ đa trị F : X → P (Y ) được gọi là:

(i) compact nếu miền giá trị F (X) là compact tương đối trong Y , tức là

Cho F : X → K(Y ) là ánh xạ đa trị đóng và compact địa phương Khi

đó F là nửa liên tục trên.

Định nghĩa 1.9.

Cho X là không gian metric Một ánh xạ đa trị nửa liên tục trên

F : X → K(Y ), compact trên mỗi tập con bị chặn của X được gọi là nửaliên tục trên hoàn toàn

Sau đây chúng ta sẽ đề cập đến tính chất quan trọng của ánh xạ đa trị nửaliên tục trên.

Nếu các ánh xạ đa trị F0 : X → P (Y ) và F1 : Y → P (Z) là nửa liên

tục trên (nửa liên tục dưới) thì tích hợp thành F1◦ F0 : X → P (Z) được xác

định như sau

(F1 ◦ F0)(x) = F1(F0)(x))

là nửa liên tục trên (tương ứng nửa liên tục dưới).

Mệnh đề 1.9.

Nếu các ánh xạ đa trị F0 : X → K(Y ) và F1 : Y → K(Z) là nửa liên

tục trên (nửa liên tục dưới) thì tích Đề-các F0 × F1 : X → K(Y × Z) được

xác định như sau

(F0 × F1)(x) = F0(x) × F1(x)

là nửa liên tục trên (tương ứng nửa liên tục dưới).

Mệnh đề 1.10.

Cho ánh xạ đa trị F0 : X → C(Y ), ánh xạ đa trị F1 : X → K(Y ) là nửa

liên tục trên và F0(x) ∩ F1(x) 6= ∅, ∀x ∈ X Khi đó F0 ∩ F1 : X → K(Y ),

(F0 ∩ F1)(x) = F0(x) ∩ F1(x) là nửa liên tục trên.

Cho X là không gian tôpô, Y là không gian véctơ tôpô.

Mệnh đề 1.11.

Nếu các ánh xạ đa trị F0, F1 : X → K(Y ) là nửa liên tục trên (nửa liên

tục dưới) thì tổng của chúng F0 + F1 : X → K(Y ),

(F0 + F1)(x) = F0(x) + F1(x)

là nửa liên tục trên (tương ứng nửa liên tục dưới).

Mệnh đề 1.12.

Nếu ánh xạ đa trị F : X → K(Y ) là nửa liên tục trên (nửa liên tục dưới)

và hàm số f : X → R là liên tục, thì tích của chúng f · F : X → K(Y ),

Ở đây

hv, wi =

nXi=1

Cho K ⊂ Rn là đóng và lồi, F : K → Rn là liên tục Điều kiện cần và đủ

để tồn tại một nghiệm cho bài toán (1.1) là tồn tại R > 0 sao cho một nghiệm

1.3 Bao hàm thức vi phân

Định nghĩa 1.10 Giả sử I là một khoảng trên đường thẳng thực R Một hàm

số f : I → R là liên tục tuyệt đối trên I nếu với mỗi số dương ε, có một sốdương δ sao cho bất cứ khi nào một dãy các cặp rời nhau (xk, yk) của I với

xk, yk ∈ I thỏa mãn

Xk(yk− xk) < δthì

Xk

Ở đây, nghiệm yếu theo nghĩa Carathéodory là hàm x(t) liên tục tuyệt đốitrên [0, T ] thỏa mãn (1.5) và thỏa mãn (1.4) với hầu khắp nơi t ∈ [0, T ].

Định lý 1.5 (Xem [4]).

Cho h : Ω × Rm → Rm là một hàm liên tục và U : Ω ⇒ Rn là một hàm

đa trị đóng sao cho với một vài hằng số ηU > 0,

supu∈U (t,x)

kuk ≤ ηU(1 + kxk), ∀(t, x) ∈ Ω (1.6)

Giả sử v : [0, T ] → Rm là một hàm đo được và x : [0, T ] → Rm là một hàm liên tục thỏa mãn v(t) ∈ h(t, x(t), U (t, x(t))) với mọi t ∈ [0, T ] Khi

đó tồn tại một hàm đo được u : [0, T ] → Rn sao cho u(t) ∈ U (t, x(t)) và

v(t) = h(t, x(t), u(t)) với mọi t ∈ [0, T ].

1.4 Một số khái niệm và kết quả khác

Định nghĩa 1.11.

(i) Hàm da trị H : Rn ⇒ Rn được gọi là đơn điệu ngặt trên một tập lồi

L ⊂ Rn khi và chỉ khi với x, y bất kỳ thuộc L, x 6= y, (H(x)−H(y), x−y) >0;

(ii) Hàm đa trị H : Rn ⇒ Rn được gọi là ϕ−giả đơn điệu trên một tập lồi

L ⊂ Rn khi và chỉ khi với bất kỳ x, y ∈ L, x∗ ∈ H(x), y∗ ∈ H(y),

hx∗, y − xi + ϕ(y) − ϕ(x) ≥ 0 ⇒ hy∗, y − xi + ϕ(y) − ϕ(x) ≥ 0

Dễ dàng nhận thấy rằng một ánh xạ đơn điệu ngặt là ϕ−giả đơn điệu, nhưngngược lại thì chưa chắc đúng

Định nghĩa 1.12.

Một hàm đa trị H từ một tập X vào một tập Y được gọi là compact đềugần x ∈ X khi và chỉ khi tồn tại một lân cận U của x sao cho bao đóng củatập S

khi đó, với mọi t ∈ [a, b]

Z t

ae

t

R

s

u(η)dη.dv

dsds.

Chương 2

Tính ổn định của bất đẳng thức vi biến phân

Trong chương này một định lý tồn tại nghiệm yếu Caratheodory của bấtđẳng thức vi biến phân được trình bày và từ đó thiết lập những kết quả về tínhliên tục và nửa liên tục liên quan đến ánh xạ nghiệm yếu Carathéodory khiánh xạ và tập ràng buộc bị nhiễu loạn bởi hai tham số

2.1 Phát biểu bài toán

Giả sử H : Rn ⇒ Rnlà một hàm đa trị và L là một tập con đóng, lồi, khácrỗng của Rn và ϕ : Rn → (−∞, +∞] là một hàm lồi nửa liên tục dưới thực

sự, bài toán bất đẳng thức vi biến phân là phải tìm ra u ∈ L và u∗ ∈ H(u)sao cho với mọi u0 ∈ L

tại đó Ω ≡ [0, T ] × Rm, a : Ω → Rm, b : Ω → Rm×n, c : Ω → Rn là cácánh xạ cho trước

Giả sử L2[0, T ] là kí hiệu tập tất cả các hàm đo được ω : [0, T ] → Rn, thỏamãnR0tkω(t)k2dt < +∞

Định nghĩa 2.1.

Cặp (x, ω) xác định trên [0, T ] được gọi là một nghiệm yếu Carathéodorycủa DM V I(2.1) nếu x là một hàm liên tục trên [0, T ] và thỏa mãn phươngtrình vi phân với hầu hết t ∈ [0, t] và ω ∈ L2[0, T ] và

ω(t) ∈ S(L, c(t, x(t)) + H, ϕ) với mọi t ∈ [0, T ]

Tập nghiệm yếu Carathéodory của giá trị ban đầu DM V I(2.1) được kýhiệu là S(DM V I) và tập tất cả các ω được kí hiệu là S(L,R (q + H), ϕ).Giả sử (Z1, d1) và (Z2, d2) là hai không gian mêtric Giả thiết rằng tậplồi, đóng, khác rỗng L ⊂ Rn bị nhiễu bởi một tham số u, (u thay đổi trên(Z1, d1)) tức là L : Z1 ⇒ Rn là một ánh xạ đa trị với giá trị lồi, đóng và khácrỗng Cho một ánh xạ đa trị H : Rn ⇒ Rn bị nhiễu bởi một tham số v, (vthay đổi trên (Z2, d2)) tức là H : Rn× Z2 ⇒ Rn Ta xét bất đẳng thức vi biếnphân hỗn tạp tham số DM V I(H(., v), L(u)) :

(2.2)

Tập nghiệm yếu Carathéodory của DM V I(H(., v), L(u)) được kí hiệu làS(DM V I(u, v).

(B) : b bị chặn trên Ω với σb ≡ sup

2.2 Tính ổn định của bất đẳng thức vi biến phân

Trong phần tiếp theo, tính nửa liên tục trên của ánh xạ tập nghiệm yếuCarathéodory đối với bất đẳng thức vi biến phân sẽ được thiết lập trong Định

lý 2.2 Sau đó tính liên tục của ánh xạ tập nghiệm yếu Carathéodory sẽ đượcthiết lập trong Định lý 2.3

Bổ đề 2.1.

Giả thiết rằng H : Rn ⇒ Rn là ϕ− giả đơn điệu và nửa liên tục dưới với các giá trị khác rỗng compact, S(L, q + H, ϕ) 6= ∅ với mọi q ∈ c(Ω) Khi đó

S(L, q + H, ϕ) đóng và lồi với mọi q ∈ c(Ω).

Chứng minh.Đầu tiên ta chỉ ra rằng S(L, q + H, ϕ) đóng với mọi q ∈ c(Ω).Giả thiết rằng ωn ⊂ S(L, q + H, ϕ) với ωn → ω0 Khi đó tồn tại ω∗

n ∈ H(ωn)sao cho với tất cả ω ∈ L,

hq + ωn∗, ω − ωni + ϕ (ω) − ϕ(ωn) ≥ 0 (2.3)

Vì H nửa liên tục trên với các giá trị khác rỗng compact, tồn tại một dãy concủa ωn∗, ký hiệu là ωn∗, sao cho ω∗n → ω0∗ với ω0∗ ∈ H(ω0) Tính nửa liên tụcdưới của ϕ chỉ ra rằng

hq + ω1∗, ω − ω1i + ϕ(ω) − ϕ(ω1) ≥ 0

hq + ω2∗, ω − ω2i + ϕ(ω) − ϕ(ω2) ≥ 0

Tính ϕ− giả đơn điệu của H kéo theo rằng, với bất kỳ ω∗ ∈ H(ω),

hq + ω∗, ω − ω1i + ϕ(ω) − ϕ(ω1) ≥ 0và

hq + ω∗, ω − ω2i + ϕ(ω) − ϕ(ω2) ≥ 0

Do vậy

hq + ω∗, ω − (λω1 + (1 − λ)ω2)i + ϕ(ω) − (λϕ(ω1) + (1 − λ)ϕ(ω2)) ≥ 0,với mọi ω ∈ L

Tính lồi của ϕ kéo theo

ϕ(λω1 + (1 − λ)ω2) ≤ λϕ(ω1) + (1 − λ)ϕ(ω2)

và do đó

hq + ω∗, ω − (λω2 + (1 − λ)ω2)i + ϕ(ω) − ϕ(λω1+ (1 − λ)ω2) ≥ 0, (2.4)với mọi ω ∈ L

Giả thiết rằng ˜ω = λω1 + (1 − λ)ω2 và cho ω = ˜ω + µ(v − ˜ω), với v ∈ L

và µ ∈ (0, 1] Lấy ˜ω∗µ ∈ H(˜ω + µ(v − ˜ω) Khi đó (2.4) kéo theo

ωµ∗, µ(v − ˜ω) + ϕ(˜ω + µ(v − ˜ω)) − ϕ(˜ω) ≥ 0 (2.5)Tính lồi của ϕ kéo theo

ϕ(¯ω + µ(v − ¯ω)) ≤ µϕ(v) + (1 − µ)ϕ(¯ω)

Bây giờ (2.5) suy ra

ωµ∗, v − ¯ω + ϕ(ω) − ϕ(¯ω) ≥ 0 (2.6)

Cho µ → 0 Vì H nửa liên tục trên với các giá trị không rỗng compact, tồntại một dãy con của ωµ∗, ký hiệu là ω∗µ sao cho ωµ∗ → ¯ω∗ với ¯ω∗ ∈ H(¯ω) Hơnthế nữa (2.6) chỉ ra rằng

khi

k → ∞, trong đó ωk ∈ S(L, c(tk, xk) + H, ϕ) với k = 1, 2, Ta suy ra tồn

tại ωk∗ ∈ H(ωk) sao cho với mọi ω ∈ L

hc(tk, xk) + ωk∗, ω − ωki + ϕ(ω) − ϕ(ωk) ≥ 0, k = 1, 2,

Qua việc ωk bị chặn, ta biết rằng tồn tại một dãy con hội tụ của ωk với giớihạn ω0 Vì H là nửa liên tục trên với các giá trị khác rỗng compact nên tồntại một dãy con hội tụ của ωk∗, ký hiệu lại là ωk∗ sao cho ωk∗ → ω∗0 ∈ H(ω0).Tính nửa liên tục yếu của ϕ suy ra rằng ϕ(ω0) ≤ lim inf

và như vậy F đóng Theo Định lý 1.1 và 1.4 ta có thể kết luận giá trị ban đầu

DM V I(2.1) có một nghiệm yếu Điều này hoàn thành việc chứng minh 

Bổ đề 2.3 (Xem [6]).

Cho (Z1, d1) và (Z2, d2) là hai không gian mêtric, u0 ∈ Z1 và v0 ∈ Z2 là các điểm cho trước Cho X là một không gian xạ ảnh Banach, L : Z1 ⇒ X

là một hàm đa trị với các giá trị khác rỗng, đóng, lồi và Int(L(u0)) 6= ∅

Giả sử rằng tồn tại một lân cận U × X của (u0, v0 sao cho M = S

u∈UL(u),

H : M × V ⇒ X∗ là một hàm đa trị nửa liên tục dưới với các giá trị không rỗng, lồi, compact yếu Giả sử rằng

(i) với mỗi v ∈ V , ánh xạ x 7→ H(x, v) là nửa liên tục trên và ϕ−giả đơn điệu trên M

(ii) S(L(u0), H(., v0), ϕ) khác rỗng và bị chặn.

Khi đó tồn tại một lân cận U0 × V0 của (u0, v0) với U0 × V0 ⊂ U × V sao

cho, với mọi (u, v) ∈ U0 × V0, S(L(u), H(., v), ϕ) khác rỗng và bị chặn.

Trong phần tiếp theo của chương này, tính compact và compact đều đượcxác định trong không gian định chuẩn với chuẩn kxk1 = sup

t∈[0,T ]kx(t)k

Định lý 2.1.

Giả thiết rằng (a, b, c) thỏa mãn điều kiện (A) và (B), u0 ∈ Z1, v0 ∈ Z2

được cho trước và các giả thiết dưới đây đúng

(i) H : Rn× Z2⇒ Rn là một hàm đa trị liên tục với các giá trị khác rỗng, lồi, đóng và tập H(L2[0, T ] × Z2) là compact.

(ii) L : Z1⇒ Rn là một hàm đa trị liên tục với các giá trị lồi, đóng, bị chặn.

(iii) H(·, v) là ϕ−giả đơn điệu trên Rn với mọi v ∈ Z2.

(iv)S(L(u0), q + H(·, v0), ϕ) khác rỗng với mọi q ∈ c(Ω).

Khi đó S(DM V I(u, v)) đóng tại (u0, v0) ∈ Z1 × Z2.

Chứng minh.

Qua các giả thiết (ii), (iii) và (iv) và Bổ đề 2.3, ta có thể suy ra rằng tồn tạimột lân cận U × V của (u0, v0) sao cho với mọi (u, v) ∈ U × V, S(L(u), q +H(·, v), ϕ) 6= ∅ và bị chặn với mọi q ∈ c(Ω)

Từ Bổ đề 2.2 ta suy ra S(DM V I(u, v)) khác rỗng Với dãy bất kỳ cho trước(un, vn) ⊂ U × V với (un, vn) → (u0, v0), lấy (un, vn) ∈ S(DM V I(un, vn).

Ta có

(i) Tồn tại ωn∗ ∈ H(ωn, vn) sao cho với mọi t ∈ [0, T ] và ¯ωn ∈ L(un),

hc(t, xn(t)) + ωn∗(t), ¯ωn − ωn(t)i + ϕ(¯ωn) − ϕ(ωn(t)) ≥ 0; (2.7)(ii) Với mọi 0 ≤ s ≤ t ≤ T

xn(t) − xn(s) =

Z t

s[a(µ, xn(µ)) + b(µ, xn(µ))ωn(µ)]dµ; (2.8)