Dáng điệu nghiệm của các phương trình vi phân hàm bị nhiễu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN BÙI TRỌNG QUY DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BỊ NHIỄU LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích M

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

BÙI TRỌNG QUY

DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BỊ NHIỄU

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

HÀ NỘI - 2015

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

BÙI TRỌNG QUY

DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BỊ NHIỄU

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

Giảng viên hướng dẫn:

PGS.TS Đặng Đình Châu

HÀ NỘI - 2015

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn trực tiếp và chỉ bảo tận tình của thầy PGS.TS Đặng Đình Châu Trước tiên, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn tới thầy, người đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ và tạo điều kiện về nhiều mặt để tôi có thể hoàn thành luận văn này

Nhân dịp này, tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới toàn thể thầy giáo, cô giáo

đã và đang công tác tại khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên

Hà Nội, những người đã giảng dạy và cung cấp những kiến thức khoa học quý báu trong suốt những năm học vừa qua để tôi có nền tảng kiến thức thực hiện luận văn này

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã luôn ở bên cạnh, động viên, nhiệt tình giúp đỡ và chia sẻ những khó khăn trong quãng thời gian tôi làm luận văn cũng như trong suốt các năm học tập tại trường

Hà Nội, ngày 16 tháng 11 năm 2015

Học viên

Bùi Trọng Quy

Lời nói đầu

Phương trình vi phân hàm lần đầu tiên được A.D Mushkic (nhà toán học Nga) nghiên cứu từ năm 1950, cho đến nay đã được phát triển một cách khá hoàn thiện Phương trình vi phân hàm có thể được xem là các phương trình vi phân trong không gian Banach với các không gian pha là những không gian các hàm liên tục trên một miền J của trục thựcR Các kết quả về lý thuyết định tính của phương trình vi phân

hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn (xem tài liệu [3], [7], [9],[12]) Nội dung luận văn chủ yếu tập trung nghiên cứu tính chất nghiệm của phương trình vi phân

có chậm Phương pháp được sử dụng chủ yếu là các phương pháp thông dụng trong

lý thuyết định tính của phương trình vi phân tuyến tính Trong phần cuối có áp dụng thêm phương pháp nửa nhóm và phương pháp họ toán tử tiến hóa trong không gian Banach

Bố cục của luận văn bao gồm 3 chương:

• Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

• Chương 2: Phương trình vi phân tuyến tính có chậm

• Chương 3: Dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân hàm bị nhiễu Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng bản luận văn khó tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và các bạn Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 16 tháng 11 năm 2015

Học viên: Bùi Trọng Quy

Mục lục

1.1 Một số khái niệm cơ bản về nửa nhóm liên tục mạnh trong không gian

Banach và toán tử sinh của nó 6

1.2 Ứng dụng của phương pháp toán tử Laplace đối với phương trình vi phân có chậm 8

1.3 Khái niệm về họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh trong không gian Banach 10 1.4 Tính chất nghiệm của các phương trình vi phân so sánh tích phân được trong không gian Banach 13

1.4.1 Tính ổn định phải và tính ổn định trái theo Lyapunov 13

1.4.2 Các phương trình so sánh tích phân được 15

1.4.3 Sự tương đương tiệm cận của các phương trình so sánh tích phân được 15

2 Phương trình vi phân tuyến tính có chậm 17 2.1 Khái niệm về phương trình vi phân hàm và phương pháp tìm nghiệm của nó 17

2.1.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 17

2.1.2 Phương pháp giải phương trình vi phân hàm 19

2.2 Phương trình vi phân tuyến tính có chậm 21

2.3 Phương pháp nửa nhóm cho phương trình vi phân có chậm 24

3 Dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân hàm bị nhiễu 26

MỤC LỤC

3.1 Họ toán tử tiến hóa phi tuyến U(t, s) và sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình tích phân Volterra có chậm 26 3.2 Các tính chất của họ toán tử tiến hóa U(t, s) 28 3.3 Sự tương đương tiệm cận của phương trình vi phân hàm bị nhiễu 31

Danh mục các kí hiệu và chữ viết tắt

X- Không gian Banach

L(X)- Không gian Banach của tất cả toán tử tuyến tính bị chặn trên X

C(ω)- Không gian các hàm liên tục trên ω

C(X, Y)- Không gian các hàm liên tục từ X đến Y

D(A)- Miền xác định của A

Ck(J)- Không gian các hàm khả vi liên tục cấp k trên J

(T(t))t≥0 - Nửa nhóm một tham số các toán tử tuyến tính

R(λ, A)- Giải của A

ρ(A)- Tập giải của A

U(t, s)- Họ hai tham số của các toán tử tuyến tính

Mn(R)- Không gian các ma trận (thực) vuông cấp n: A = (aij)n.n

l2 - Không gian các dãy số(ξn)được xác định bởi:

l2 = {ξ ∈ l2, ξ = (ξn)∞

n = 1 :

∞

∑

n = 1

|ξn|2 < +∞}

với chuẩn

||ξ|| =

s ∞

∑

n = 1

|ξn|2

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương 1 này chúng tôi sẽ trình bày một số kết quả cơ bản được sử dụng trong các chương sau Các kết quả trong chương này không có chứng minh và được trích dẫn trong các tài liệu [2],[4],[8], [10]

1.1 Một số khái niệm cơ bản về nửa nhóm liên tục mạnh

trong không gian Banach và toán tử sinh của nó

Định nghĩa 1.1 Họ các toán tử tuyến tính bị chặn (T(t))t≥0 trên không gian Banach X được gọi là nửa nhóm liên tục mạnh nếu nó thỏa mãn:

T(t+s) = T(t)T(s) với mọi t, s ≥0

T(0) = 1

và là liên tục mạnh Tức là ánh xạ quỹ đạo ξx : t 7→ ξx(t) = T(t)x là liên tục từ R+vào X với mọi x ∈ X.

Các tính chất trên thỏa mãn trên R thay vì R+ ta gọi (T(t))t∈R là nhóm liên tục mạnh trên X

Mệnh đề 1.1 Cho nửa nhóm(T(t))t≥0 trên không gian Banach X, các khẳng định sau là tương đương:

(a)(T(t))t≥0 là liên tục mạnh.

(b) lim

t → 0T(t)x= x với mọi x ∈ X.

(c) Tồn tại δ >0, M >1 và tập con trù mật D ⊂ X sao cho:kT(t)k ≤ M với mọi t ∈ [0, δ]

và lim

t → 0T(t)x= x với mọi x ∈ D

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Mệnh đề 1.2 Cho nửa nhóm liên tục mạnh(T(t))t≥0, tồn tại hằng số w ∈ R và M ≥ 1 sao

chokT(t)k ≤ Mewt với mọi t ≥0.

Định nghĩa 1.2 Cho nửa nhóm liên tục mạnh(T(t))t≥0, gọi

w0(T) = in f{w ∈ R : ∃Mw ≥ 1,kT(t)k ≤ Mwewt∀t ≥ 0}

là cận tăng trưởng hoặc kiểu tăng trưởng của nửa nhóm.

Trong định nghĩa (1.2), nửa nhóm gọi là bị chặn nếu w = 0, nửa nhóm co nếu có thể lấy w = 0 và M = 1, nửa nhóm đẳng cự nếu kT(t)xk = kxk với mọi t ≥ 0 và

x ∈ X

Định nghĩa 1.3 Toán tử sinh A : D(A) ⊆ X → X của nửa nhóm liên tục mạnh(T(t))t≥0

trên không gian Banach X là toán tử

Ax := ξ.x(0) = lim

h → 0

1

h(T(h)x−x)

xác định với mọi x trong miền

D(A) := {x ∈ X : ξxlà khả vi}

Mệnh đề 1.3 Với toán tử sinh A : D(A) ⊆ X → X của nửa nhóm(T(t))t≥0ta có các tính chất sau đây:

(a) Nếu λ ∈ C sao cho R(λ)x = R+∞

0 e−λsT(s)xds tồn tại với mọi x ∈ X thì λ ∈ ρ(A) và R( λ, A) = R( λ)

(b) Nếu Reλ> w thì λ ∈ ρ(A)và giải thức R( λ, A)xác định trong phần (a).

(c)kR(λ, A)k ≤ ReλM−w ∀λ : Reλ >w.

Khi đó R( λ, A)x =R+∞

0 e−λsT(s)xds gọi là biểu diễn tích phân của giải thức.

Định lý 1.1 (Xem tài liệu [10])( Định lý Hille- Yosida về toán tử sinh)

Đối với toán tử(A, D(A)) trên không gian Banach X các tính chất sau là tương đương: (a) (A,D(A)) sinh nửa nhóm co liên tục mạnh.

(b) (A,D(A)) là đóng, xác định trù mật và với mỗi λ >0 ta có λ∈ ρ(A)và

kλR(λ, A)k ≤1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

(c) (A,D(A)) là đóng, xác định trù mật và với mỗi λ∈ C với Reλ >0 ta có λ ∈ ρ(A)và

kR(λ, A)k ≤ 1

Reλ

1.2 Ứng dụng của phương pháp toán tử Laplace đối với phương

trình vi phân có chậm

( Xem tài liệu [2])

Định nghĩa 1.4 Hàm giá trị phức f(t) = u(t) +iv(t)của biến thực t được gọi là hàm gốc nếu nó thỏa mãn 3 điều kiện sau:

1)f(t) ≡ 0, với mọi t <0

2)f(t) liên tục (hoặc liên tục từng khúc), có đạo hàm liên tục đến cấp n (hoặc đạo hàm liên tục từng khúc đến cấp n).

3)Khi t→ +∞, hàm f(t)có bậc tăng bị chặn, tức là tồn tại các số M >0 và α >0 sao cho

với mọi t> 0 thì

|f(t)| ≤ Meαt

Tức là hàm|f(t)|tăng không nhanh hơn hàm mũ.

Định nghĩa 1.5 Giả sử f(t)là hàm gốc Khi đó hàm biến phức F(p)được xác định bởi công thức:

F(p) =

Z ∞

0 f(t)e−ptdt

được gọi là ảnh của f(t)qua phép biến đổi Laplace Phép biến đổi

L : f(t) → F(p)

được gọi là phép biến đổi Laplace Ta kí hiệu:

F(p) = L[f(t)]

Giả sử f(t)là hàm gốc và

F(p) =

Z + ∞

0 f(t)e−ptdt

Tài liệu tham khảo

[1] Nguyễn Thế Hoàn-Phạm Phu Cơ sở phương trình vi phân và lý thuyết ổn định, NXB

ĐHQG Hà Nội (2000)

[2] Nguyễn Thủy Thanh, Hàm biến phức với phép biến đổi Laplace, MS 20 KHTN,

(2000)

[3] C Travis and G Webb, Asymptotic stability for abstract nonlinear functional

differ-ential equations, Proc Amer Math Soc., in press

[4] D D Chau, On The Asymptotic Equivalence of Linear Delay Equations in Banach

Space, Acta Mathematica Vietnamica, Volume 31, Number 1, (2006), 31-38

[5] D D Chau and N B Cuong, On the asymptotic behavior of delay

differen-tial equations and its relationship with C0 −semigroup, VNU Journ of Science, Mathematics- Physic 23 (2007) 63-69

[6] J D.Murray Mathematical Biology: I.An Introduction Third Edition, Springer, (2002) [7] J K Hale and S M Verduyn Lunel, Introduction of Functional Differential

Equa-tions, New York, (1991)

[8] Ju L.Daleckii and M.G.Krein, Stability of Solutions of Differential Equations in

Ba-nach Space, American Mathematical Society Providence, Rhode Island (1974)

[9] J Wu, Introduction to Neural Dynamics and Signal Transmission Delay, Walter de

Gruyter New York, (2001)

[10] K J Engel and R Nagel, One- parametter Semigroup for Linear Evolution Equations,

Springer- Verlag , (2000)

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[11] K J Engel and R Nagel, A Short Course on Operator Semigroup, Springer , (2006) [12] Y Kuang, Delay differential equations, Boston San Diego New York, (1992).

[13] D.Guo, V Lakshmikantham and X Liu, Nolinear Integral Equations in Abstract

Spaces, Springer

[14] A.D Mushkic, Phương trình vi phân tuyến tính có chậm, Matcova, (1972), (bản tiếng

Nga)