ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Chuyên đề luyện thi đại học năm 2016

Tìm m để phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường trên là nhỏ nhất... Gọi H là hình giới hạn bởi P, d và trục hoành.. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình H khi quay q

Chuyên đề luyện thi đại học năm 2016 ThS: Đỗ Viết Tuân

Vấn đề 4: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

I Ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng:

Dạng 1: Áp dụng trực tiếp công thức

Phương pháp: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x a, x b,y f(x), y g(x) với

ab là ( ) ( )

b

a

S  f x g x dx

Ví dụ 1: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y3 ,x y2x1

Bài 1: Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau

a) yx22x4, y 4 x b) y2x3x28x1, y6

c) yx22x2, y   x2 x 3 d) y 12x,y e x,x 1

e





e) yln ,x y0 và xe f)

4

g) Parabol y  x2 6x8, tiếp tuyến tại đỉnh của Parabol và trục tung

h) 3

3

yx  x và tiếp tuyến với đường cong tại điểm có hoành độ 1

2

x 

i) yxsin

2

4

x y x x

k) y lnx ,y 0,x 1,x e

e

l) y (e 1)x, y (e x1)x

Dạng 2: Dựa vào đồ thị để tính diện tích hình phẳng

Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

2

y x y  x x

Bài 2: Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau

a) 1 2 2 2

2

y x  x và các tiếp tuyến với đường cong xuất phát từ điểm M (5

2;-1)

c) yx2,y x 2 d) yx2,y 2 x y, 0

e)

2

8

x

x

   f) y5x2,y0,x0,y 3 x

1

yx  luôn cắt đường thẳng 2

ymx tại hai điểm phân biệt Tìm m để phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường trên là nhỏ nhất

Chuyên đề luyện thi đại học năm 2016 ThS: Đỗ Viết Tuân

yx trên đoạn  0;1 Giả sử m là một giá trị bất kì thuộc 0;1 Gọi S1 là diện tích giới hạn bởi các đường x0, 2

ym và 2

yx , S2 là diện tích giới hạn bởi các đường

,

yx ym và x1 CMR với mọi giá trị của m 0;1 ta đều có 1 1 2 2

4S S 3

II Thể tích tròn xoay

Dạng 1: Tính thể tích tròn xoay quanh trục Ox

Phương pháp: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường x a, x b,y 0,y f(x) với ab

Khi hình phẳng này quay xung quanh Ox sẽ tạo ra một vật thể tròn xoay có thể tích là

 2

( )

b

a

V  f x dx

Ví dụ 3: Tính thể tích khối trong xoay giới hạn bởi các đường sau khi quay quanh trục Ox

Ví dụ 4: Tính thể tích tròn xoay sinh bởi các đường sau khi quay quanh Ox:

Bài 5: Tính thể tích tròn xoay giới hạn bởi các đường sau khi quay quanh 0x

a) yx ln x , y0,x1,xe b) yx sin x , 0, 0,

2

2

     d) x2 y2 8,y2 2x

yx  x y  x x

Bài 6: Cho parabol (P): y = x2 Gọi (d) là tiếp tuyến của (P) tại điểm có hoành độ x = 2 Gọi (H)

là hình giới hạn bởi (P), (d) và trục hoành Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) khi quay quanh trục Ox

Dạng 2: Tính thể tích tròn xoay quanh trục Oy

Phương pháp: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = a, y = b, x = 0, x = g(y) với

ab Khi hình phẳng này quay xung quanh Oy sẽ tạo ra một vật thể tròn xoay có thể tích

là  2

( )

b

a

Bài 7: Tính thể tích tròn xoay giới hạn bởi các đường yex;y0 0   x  Khi quay quanh

Bài 8: Tính thể tích tròn xoay của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi quay quanh 0y

a) yx2;xy2; b) y x y;  2 x y; 0;

c) y2xx2;y0