phân tích kết cấu tường cứng bằng phương pháp phần tử hữu hạn (fem)

Tính mới và sáng tạo: Trong nghiên cứu này phương pháp phần tử hữu hạn kết hợp với các giải thuật chỉnh lý lưới được sử dụng để phân tích kết cấu tường chịu cắt để nâng cao độ chính xác

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG

PHÂN TÍCH KẾT CẤU TƯỜNG CỨNG

BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN (FEM)

MÃ SỐ: T2011 - 74

Tp Hồ Chí Minh, 2011

S 0 9

S KC 0 0 3 6 5 9

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KHOA XÂY DỰNG VÀ CƠ HỌC ỨNG DỤNG

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG

PHÂN TÍCH KẾT CẤU TƯỜNG CỨNG BẰNG PHƯƠNG

PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN (FEM)

Mã số: T2011-74

Chủ nhiệm đề tài: Ths TRANG TẤN TRIỂN

TP HCM, 01/2012

KHOA XD&CHƯD

Tp HCM, ngày 15 tháng 02 năm 2012

THƠNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

1 Thơng tin chung:

- Tên đề tài: PHÂN TÍCH KẾT CẤU TƯỜNG CỨNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU

HẠN (FEM)

- Mã số: T2011-74

- Chủ nhiệm: ThS TRANG TẤN TRIỂN

- Cơ quan chủ trì: Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh

- Thời gian thực hiện:

2 Mục tiêu:

 Tìm hiểu các kết cấu tường cứng và các phương pháp tính toán cũng như khả năng ứng dụng tường cứng trong các kết cấu nhà cao tầng và công trình chống động đất

 Xây dựng mô hình toán học để phân tích tường cứng bằng phương pháp số

 Xây dựng thuật toán, viết chương trình phân tích và mô phỏng trường ứng suất, biến dạng và mode dao động của tường cứng bằng ngôn ngữ lập trình Matlab

 Viết chương trình tính tốn trường ứng suất, biến dạng và mode dao động tường cứng bằng ngôn ngữ lập trình Matlab

 Đánh giá kết quả so với các lời giải khác và đề xuất các biện pháp để nâng cao độ chính xác và tốc độ hội tụ của lời giải

1 Tính mới và sáng tạo:

Trong nghiên cứu này phương pháp phần tử hữu hạn kết hợp với các giải thuật chỉnh lý lưới được sử dụng để phân tích kết cấu tường chịu cắt để nâng cao độ chính xác và tốc độ hội tụ của lời giải

2 Kết quả nghiên cứu:

Trong đề tài này, tác giả sử dụng ngôn ngữ lập trình Matlab để xây dựng chương trình phân tích tĩnh học và động học bài toán tường cứng, chương trình này cho kết quả tin cậy so với lời giải bằng Ansys Các giải thuật chia lưới nền tự động cho các kết cấu cũng được tác giả thực hiện để có được các lời giải với mật độ lưới khác nhau

3 Sản phẩm:

Một giao diện được lập trình cho phép thay đổi các thông số để có thể khảo sát bài toán với các

thông số khác nhau

6 Hiệu quả, phương thức chuyển giao kết quả nghiên cứu và khả năng áp dụng:

Chương trình tính tốn bằng ngơn ngữ Matlab sử dụng cho giảng dạy mơn phương pháp FEM

Trưởng Đơn vị

(ký, họ và tên, đĩng dấu) Chủ nhiệm đề tài (ký, họ và tên)

MỤC LỤC

Tóm tắt i

Mục lục ii

1 Giới thiệu 1.1 Tổng quan 1

1.2 Mục tiêu của đề tài 2

1.3 Tính cấp thiết của đề tài 2

2 Lý thuyết đàn hồi 2.1 Ứng suất 4

2.1.1 Các thành phần ứng suất 4

2.1.2 Các phương trình vi phân cân bằng 5

2.1.3 Điều kiện biên 7

2.2 Biến dạng 8

2.2.1 Các thành phần biến dạng Tensor biến dạng 8

2.2.2 Quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị 9

2.3 Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng 11

2.4 Bài toán phẳng trong hệ trục tọa độ vuông góc 13

2.4.1 Khái niệm bài toán phẳng 13

2.4.2 Thiết lập các phương trình chủ đạo 14

2.5 Lý thuyết tấm 15

3 Phương pháp phần tử hữu hạn 3.1 Phương trình phần tử 22

3.2 Phần tử chữ nhật 25

3.3 Tính ứng suất và biến dạng trong FEM 34

3.4 Phương pháp tích phân số 35

4 Ví dụ số 4.1 Giới thiệu 37

4.2 Bài toán phân tích tĩnh học và động học 37

4.2.1 Mô hình và thông số phân tích 37

4.2.2 Kết quả phân tích tĩnh học 39

4.2.3 Kết quả phân tích dao động tự do 42

4.3 Phân tích độ cứng của vách cứng kết hợp với khung 43

4.4 Kết luận 46

5 Kết luận và hướng phát triển 5.1 Kết luận 48

5.2 Hướng phát triển 48

Tài liệu tham khảo 50

Một bằng chứng cụ thể, nhiều phần mềm ứng dụng ra đời dựa trên cơ sở phương pháp phần tử hữu hạn như Sap, Nastran, Abaqus, Samcef, Ansys,…

Với phương pháp PTHH các bước tiến hành để phân tích:

 Rời rạc hóa miền bài toán thành một số hữu hạn các miền con liên kết với nhau bởi các điểm nút

 Xây dựng lưới phần tử hữu hạn

 Xây dựng hệ toạ độ địa phương và toàn cục

 Định nghĩa tính chất hình học và đặc tính vật liệu cho mô hình (tọa độ nút, tiết diện mặt cắt ngang, ứng xử vật liệu,…)

 Xây dựng ma trận độ cứng cho phần tử

 Xây dựng công thức biến phân từ các phương trình vi phân chính tắc

 Chọn hàm xấp xỉ nghiệm trên phần tử

 Xác định hàm dạng cho nút của phần tử

 Thiết lập ma trận độ cứng cho phần tử

 Lắp ghép các phương trình phần tử để thu được phương trình toàn cục

 Xây dựng điều kiện liên tục giữa các biến phần tử với các biến cơ sở bằng quan hệ giữa nút địa phương với nút toàn cục

 Xây dựng điều kiện cân bằng giữa các biến thứ cấp

 Lắp ghép các phương trình phần tử dựa vào các bước trên

 Đưa vào bài toán các điều kiện biên

 Xác định bậc tự do toàn cục cho biến sơ cấp

 Xác định bậc tự do toàn cục cho biến thứ cấp

 Giải hệ phương trình đại số tuyến tính

 Phân tích và đánh giá kết quả

 Tính các đại lượng dẫn xuất

 Tính sai số và tốc độ hội tụ của lời giải

 So sánh với lời giải giải tích nếu có

Tường cứng là một bộ phận quan trọng trong các kết cấu chống động đất và nhà cao tầng Tường cứng được đặt trong các công trình để giảm chuyển vị ngang dưới tải trọng do động đất gây ra và chống lại các tải ngang Từ những năm 1960 các phương pháp tính cho tường cứng đã được các tác giả trên thế giới đưa ra Tuy nhiên, các phương pháp này sử dụng các giả thuyết trong quá trình mô hình hóa kết cấu nên các lời giải vẫn còn những hạn chế Ngày nay với sự phát triển của máy tính, các phương pháp số đã được ứng dụng rộng rãi để phân tích kết cấu tường cứng bởi hiệu quả của nó thông qua độ chính xác của lời giải và dễ dàng áp dụng cho các mô hình 2D và 3D

Trong nghiên cứu này phương pháp phần tử hữu hạn kết hợp với các giải thuật chỉnh lý lưới được sử dụng để phân tích kết cấu tường chịu cắt để nâng cao độ chính xác và tốc độ hội tụ của lời giải

1.2 MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI

 Tìm hiểu các kết cấu tường cứng và các phương pháp tính toán cũng như khả năng ứng dụng tường cứng trong các kết cấu nhà cao tầng và công trình chống động đất

 Xây dựng mô hình toán học để phân tích tường cứng bằng phương pháp số

 Xây dựng thuật toán, viết chương trình phân tích và mô phỏng trường ứng suất, biến dạng và mode dao động của tường cứng bằng ngôn ngữ lập trình Matlab

 Viết chương trình tính tốn trường ứng suất, biến dạng và mode dao động tường cứng bằng ngôn ngữ lập trình Matlab

 Đánh giá kết quả so với các lời giải khác và đề xuất các biện pháp để nâng cao độ chính xác và tốc độ hội tụ của lời giải

1.3 TÍNH CẤP THIẾT CỦA ĐỀ TÀI

Tường cứng là một bộ phận quan trọng trong các kết cấu chống động đất và nhà cao tầng Tường cứng được đặt trong các công trình để giảm chuyển vị ngang dưới tải trọng do động đất gây ra và chống lại các tải ngang Từ những năm 1960 các phương pháp tính cho tường cứng đã được các tác giả trên thế giới đưa ra Tuy nhiên, các phương pháp này sử dụng các giả thuyết trong quá trình mô hình hóa kết cấu nên các lời giải vẫn còn những hạn chế Ngày nay với sự phát triển của máy tính, các phương pháp số đã được ứng dụng rộng rãi để phân tích kết cấu

tường cứng bởi hiệu quả của nó thông qua độ chính xác của lời giải và dễ dàng áp dụng cho các mô hình 2D và 3D

Trong nghiên cứu này phương pháp phần tử hữu hạn kết hợp với các giải thuật chỉnh lý lưới được sử dụng để phân tích kết cấu tường chịu cắt để nâng cao độ chính xác và tốc độ hội tụ của lời giải

Hình 2.2 Các thành phần ứng suất

2.1.1 Các thành phần ứng suất

Khi một vật thể chịu sự tác động từ bên ngoài như tải trọng hoặc sự thay đổi của nhiệt độ, trong vật thể sẽ phát sinh ứng suất Với giả thiết vật liệu là liên tục ứng suất toàn phần tại một điểm trong vật thể trên một mặt nào đó (H.2.1) được định nghĩa bởi phương trình:

0

lim

A

F p

phần ứng suất tác động trên các mặt của

phân tố được thể hiện như hình 2.2

Có tất cả chín thành phần ứng suất:

 Ba ứng suất pháp:  x, y và z

 Sáu ứng suất tiếp:

, , , ,

     và xz

Mỗi thành phần ứng suất có hai chỉ số:

 Chỉ số thứ nhất thể hiện pháp tuyến

của bề mặt mà ứng suất đó tác dụng

Hình 2.3 Phân tố ứng suất phẳng

 Chỉ số thứ hai thể hiện phương tác dụng của nó

Trong kỹ thuật thường dùng kí hiệu  để chỉ ứng suất pháp và  để chỉ ứng suất tiếp

Theo định luật đối ứng của ứng suất tiếp: xy  yx; yz  zy; zx xz

Vì vậy, chỉ có sáu thành phần ứng suất độc lập và được viết dưới dạng ma trận như sau:

2.1.2 Các phương trình vi phân cân bằng

Trước hết xét bài toán phẳng trong hệ trục tọa độ xOy Trong hệ tọa độ này các thành phần ứng suất gồm:   x, y, xy và yx chúng là những hàm số chỉ phụ thuộc hai tọa độ x y, chứ không phụ thuộc tọa độ z Điều kiện cân bằng trong mặt phẳng xOy không phụ thuộc vào bề dày t của vật thể, vì vậy có thể chọn

1

t  để đơn giản hóa việc thiết lập các phương trình cân bằng

Xét một phân tố vô cùng bé ABCD có kích thước dx dy .1, với các thành phần ứng suất và các thành phần của lực thể tích là X và Y theo phương các trục tọa độ như hình 2.3

Vì phân tố là vô cùng bé nên mỗi mặt có thể lấy trị số ứng suất trung bình Sự thay đổi ứng suất theo tọa độ chỉ xét tới các số hạng vô cùng bé bậc một, tức là ngắt bỏ các số hạng vô cùng bé bậc cao trong phân tích chuỗi Taylor Xét một hàm f x y , bất kì, giá trị của hàm tại điểm lân cận x dx y dy ,  được khai triển theo chuỗi Taylor tại điểm x y, như sau:

Áp dụng kết quả này để tính ứng suất trên mặt CD thu được giá trị

Lấy phương trình cân bằng hình chiếu theo ba trục tọa độ dẫn tới hệ phương trình sau đây:

000

Nếu thế phương trình (2.4) vào phương trình (2.3), thu được ba phương trình chứa sáu thành phần ứng suất độc lập Như vậy, bài toán tổng quát của lý thuyết đàn hồi là siêu tĩnh Để có thể giải được cần phải bổ sung thêm các phương trình biến dạng và ứng xử của vật liệu, sẽ được xét đến trong phần tiếp theo

2.1.3 Điều kiện biên

Bề mặt của vật thể đàn hồi được gọi là biên, được chia ra biên chính (S u) và biên tự nhiên (S t)

Biên chính, là nơi có liên kết ràng buộc Ở đó điều kiện chuyển vị được xác định

Biên tự nhiên, là nơi cho trước ngoại lực là lực phân bố bề mặt

Trước hết xét bài toán phẳng có bề dày đơn vị như trên hình 2.4.a Tách một phân tố vô cùng bé trên biên tự nhiên (H.2.4b), có các cạnh là dx dy, và ds Lực bề mặt được phân tích theo phương các trục tọa độ là X và Y Côsin chỉ phương của pháp tuyến n được kí hiệu lần lượt là l và m như sau:

O

)

t S

u S

Phân tố

Trong trường hợp bài toán không gian, phân tố được tách ra là một tứ diện, có

ba mặt song song với các trục tọa độ, các côsin chỉ hướng lần lượt là l m, và n Các thành phần lực bề mặt theo phương các trục tọa độ là X Y, và Z

Thiết lập các phương trình cân bằng hình chiếu của các lực tác động trên phân tố theo ba phương:  X 0; Y 0;  Z 0 thu được các phương trình điều kiện biên tự nhiên:

2.2.1 Các thành phần biến dạng Tensor biến dạng

Một vật thể khi chịu tác động của

các nguyên nhân bên ngoài sẽ có sự

thay đổi hình dạng Nếu tách ra một

phân tố hình hộp vô cùng bé trong hệ

trục tọa độ Oxyz thì biến dạng của nó

có thể phân tích ra sáu thành phần độc

lập, gồm ba biến dạng dài  x, y và z

của các cạnh và ba biến dạng góc

,

xy yz

  và zx của các mặt phân tố

Khái niệm biến dạng dài và biến

dạng góc (biến dạng trượt) có thể minh

Hình 2.5 Ứng suất trên mặt nghiêng

x



x y



Hình 2.7 Chuyển vị và biến dạng của phân tố phẳng



u dx x





u dy y





v dy y

họa bởi phân tố phẳng như trên hình 2.6

Các cạnh của phân tố dx và dy có độ dãn dài lần lượt là dx và  Biến dạng dy

dài theo các phương x y, được định nghĩa bởi các hệ thức:

2.2.2 Quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị

Để đơn giản hóa trước hết xét phân tố biến dạng phẳng như trên hình 2.6 Trong quá trình thiết lập

công thức, ta chấp nhận

giả thuyết chuyển vị và

biến dạng bé

Kí hiệu chuyển vị

của một điểm theo ba

trục tọa độ x y z, , lần

lượt là u v w, , Trong

trường hợp biến dạng

phẳng w 0 còn u và v

là hàm của tọa độ x và

y:

Aùp dụng công thức vi

phân toàn phần của hàm

hai biến f x y , : df x y , f dx f dy

  để tính chuyển vị u và v tại các điểm B

và D so với A Chẳng hạn, sự thay đổi của chuyển vị tại B so với A là:

Biến dạng dài x của phân tố thẳng AB được xác định theo định nghĩa sau:

Hình 2.8 Phân tố ứng suất không gian

Trong trường hợp bài toán tổng quát, chuyển vị tại một điểm của vật thể gồm

ba thành phần u v w, , theo ba trục tọa độ x y z, , Cũng tiến hành tương tự như đối với bài toán phẳng, các phương trình liên hệ giữa biến dạng và chuyển vị thu được như sau:

2.3 QUAN HỆ GIỮA ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG

Định luật Hooke tổng quát: xét

một phân tố vật liệu đồng nhất, đẳng

hướng có trạng thái ứng suất không

gian trong hệ trục tọa độ xyz như hình

2.8, gồm sáu thành phần ứng suất

, , , , ,

      và sáu thành

phần biến dạng      x, y, z, xy, yz, zx

Định luật Hooke tổng quát thể hiện

quan hệ giữa các thành phần ứng suất

và các thành phần biến dạng

Trước hết, ta thiết lập quan hệ giữa một thành phần biến dạng dài (ví dụ x) với các thành phần ứng suất pháp Theo nguyên lý cộng tác dụng, ta có thể phân tích x ra ba thành phần   xx, xy, xz do lần lượt các thành phần ứng suất

Viết lại phương trình (a) và làm tương tự đối với các biến dạng dài y và  ta có zcác phương trình sau:

trong đó G là mô đun đàn hồi trượt

Từ phương trình (2.12) ta thấy rằng, với vật liệu đồng nhất và đẳng hướng, nếu các ứng suất tiếp bằng không thì các biến dạng góc cũng bằng không

Đối với vật liệu đàn hồi đẳng hướng, chỉ có hai hằng số vật liệu độc lập Vì vậy giữa ba hằng số E,  và G có một quan hệ phụ thuộc:

2 1

E G

1 232

1 232

2.4 BÀI TOÁN PHẲNG TRONG HỆ TRỤC TỌA ĐỘ VUÔNG GÓC

2.4.1 Khái niệm bài toán phẳng

Đối với bài toán không gian, việc giải các phương trình đạo hàm riêng kết hợp với các điều kiện biên là rất phức tạp, và dường như không thực hiện được trong trường hợp tổng quát do các khó khăn về mặt toán học Tuy nhiên, trong thực tế có nhiều bài toán quan trọng có thể giải được nếu bổ sung một số giả thiết nhằm đơn giản hóa mà trong một chừng mực nào đó vẫn đảm bảo tính chặt chẽ của nó Trong số đó có thể kể đến các bài toán phẳng với trường ứng suất, trường biến dạng và trường chuyển vị trong vật thể không phụ thuộc vào tọa độ z

Có hai loại bài toán phẳng: ứng suất phẳng và biến dạng phẳng

1- Bài toán ứng suất phẳng

Khi vật thể có dạng tấm mỏng,

tải trọng nằm trong mặt phẳng giữa

tấm, phân bố đều theo bề dày tấm

(H.2.9) thì ta có thể xem rằng:

 Các ứng suất

z zx zy  0

 Các ứng suất trong mặt

phẳng không đổi theo chiều

dày tấm (không phụ thuộc

vào tọa độ z)

2- Bài toán biến dạng phẳng

Khi bài toán có dạng lăng trụ dài

và có mặt cắt ngang không đổi, chịu

tải trọng vuông góc với trục z và phân

bố đều dọc theo chiều dài (H.2.8) thì

ta có thể xem rằng w 0 và do đó suy

ra:

0

z

w z

  



Ngoài ra ta cũng có: zx zy  0

Với bài toán biến dạng phẳng,

người ta thường đưa về khảo sát một

phần vật thể giữa hai mặt cắt có bề dày bằng đơn vị

Khi giải các bài toán phẳng chỉ cần quan tâm đến các phương trình cân bằng và biến dạng trong mặt phẳng xy Các phương trình này là giống nhau cho cả bài toán ứng suất phẳng và bài toán biến dạng phẳng

2.4.2 Thiết lập các phương trình chủ đạo

Bài toán phẳng có các phương trình cơ bản sau:

1- Phương trình cân bằng

00

xy x

3- Phương trình vật liệu

a- Bài toán biến dạng phẳng

Dùng điều kiện z 0 ta rút ra được:

b- Bài toán ứng suất phẳng

Dùng điều kiện z 0 ta có:

Xét một tấm mỏng chịu uốn dưới tác dụng của các lực vuông góc với mặt phẳng

tấm, hệ tọa độ Oxyz được chọn sao cho mặt phẳng Oxy trùng với mặt giữa của tấm, trục z vuông góc với mặt phẳng tấm Momen uốn, lực cắt và sự phân ứng suất được

mô tả trên, Hình 2.11 [1,9,39]

2.5.1 Quan hệ lực - ứng suất

Với giả thuyết tấm mỏng chịu uốn, các thành phần ứng suất x,y,xy quan

hệ với các thành phần momen uốn M x,M y,M xy như sau:[1,9,38]:

2 /

2 /





 h

h x

2 /

2 /





 h

h y

h h xy

M  (2.22) Tương tự, các thành phần lực cắt Q , x Q yđược xác định:

2 /

2 /





 h

h xz

h h yz

2.5.2 Lý thuyết tấm mỏng của Kirchhoff

Hình 2.11: a) Các thành phần lực và Momen trên tấm; b) Sự phân bố ứng suất

Các giả thiết của Kirchhoff[1,9,13]: Các đoạn thẳng vuông góc với mặt phẳng trung bình của tấm vẫn còn thẳng và vuông góc với mặt phẳng trung bình khi chịu uốn và độ dài chúng không đổi Nghĩa là, chúng không bị biến dạng trượt ngang,

Các thành phần chuyển vị (u,v) theo phương (x,y) tương ứng tại một điểm bất

kỳ trên tấm được biểu diễn theo độ võng w và các góc xoay x,ycủa mặt trung gian của tấm như sau, Hình 2.12:

y

w z z

v x

w z z

w z x

u y u

y

w z y u

x

w z x

y

2 2

2 ;

xy y

0 1

0 1

xy y x

k k

k E

z

2 / ) 1 ( 0 0

0 1

0 1

y x

w y

w x

w k

k k k

M

M  , , thay thế cho    T

xy y

xy y x

k k

k E

h M M M

2 / ) 1 ( 0 0

0 1

0 1

) 1 (

12 2 3

0 1

0 1

) 1 (

12 2 3

v v

v v

Eh

Như vậy, trong trường hợp tấm đẳng hướng, ta có mối quan hệ sau:

2

2 2

w D

w D

x y

w v D

3

v

Eh D



 là độ cứng chống uốn của tấm

Chúng ta thấy rằng, nghiệm của bài toán tấm đàn hồi đẳng hướng phụ thuộc

vào hàm độ võng w Hàm độ võng này được xác định từ phương trình vi phân bậc 4

chủ đạo[39]

) , (

2.5.3 Biến dạng trượt của tấm, lý thuyết tấm của Reissner – Mindlin:

Nếu chiều dày tấm không mỏng, khi đó lý thuyết tấm của Reissner - Mindlin[1,9,13,39] được áp dụng Lý thuyết này tính toán sự thay đổi góc của tiết diện ngang, hay

0 ,

Khi đó, các biến dạng trượt trung bình xz,yz đối với mặt cắt x, y tương ứng

được xác định

Hình 2.13: Đường biên và pháp vector n

Hình 2.14: Góc xoay của các pháp tuyến và biến dạng trượt của mặt cắt ngang

y xz

0 1 ) 1 (

Biến dạng trượt trung bình xz,yzđược xem là không đổi trên suốt bề dày của tấm nên hợp lực của các ứng suất tiếp này trên mặt cong của tiết diện là các lực cắt Q , x Q y quan hệ với biến dạng trượt như sau:

x

v

Eh Q

0 1 ) 1 (

Hay,

 Q  E s   (2.45) Trong đó,

 

)1(

là ma trận hệ số đàn hồi do cắt, E/(2+2v)=G là module đàn hồi trượt,  là hệ số

hiệu chỉnh trượt (shear correction factor)

Các thành phần nội lực (gồm moment uốn  M và lực cắt  Q trong trường hợp tấm chịu uốn đàn hồi đẳng hướng có thể biểu diễn theo vector độ cong  k và biến dạng trượt   như sau:

E Q

M

s T

f

0

0

So với quan hệ ứng suất – biến dạng,  []  , trong bài toán chịu uốn các nội lực, độ cong và biến dạng trượt tương ứng có thể xem tương tự như ứng suất và biến dạng Do đó, ta có thể viết lại như sau:

  t  [ ]t  t (2.48) Trong đó,

t

Q Q M M M

f t

E

E E

0

0

;

22

PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method – FEM) là một phương pháp số đặc biệt có hiệu quả trong việc giải các phương trình vi phân đạo hàm riêng, bằng cách rời rạc hóa các phương trình này theo các không gian nghiên cứu Việc rời rạc hóa sẽ chia miền khảo sát thành những miền con (phần tử) đơn giản với hình dạng tùy ý Chuyển các phương trình của bài toán thành các phương trình ma trận liên hệ giữa các điểm định sẵn trên biên phần tử (các điểm nút)

Thuật ngữ phần tử hữu hạn được xuất hiện lần đầu tiên bởi R.W Clough Tiếp sau là sự đóng góp của các nhà nghiên cứu như: O.C.Zienkiewicz, R.L Taylor, G.Strang, J.N Reddy, S.S Rao, E.L Wilson…Cùng với sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ tính toán, nhiều vấn đề lớn đã được triển khai và giải quyết bằng phương pháp phần tử hữu hạn Ngày nay, phương pháp này đã trở thành một công cụ tính toán

số mạnh mẽ và được sử dụng rộng rãi[7]

Do giới hạn của đề tài, phương pháp phần tử hữu hạn được trình bày ngắn gọn, dựa trên cơ sở lý thuyết đàn hồi cho bài toán ứng suất phẳng và lý thuyết tấm của Reissner-Mindlin cho bài toán tấm chịu uốn

2 1

2 1

00

00

v u v u

N N

N N

N x N B

i i i

i

0

0 ]

N N

x

N y N

y N x N

B

i i

i i

i i i i

0 0 0

0 0

0 0

(3 5)

Trong đó, i=1,2,3… là số nút của phần tử

Năng lượng biến dạng trong phần tử,

1

Thay công thức (3.3) vào (3.7) ta được,