skkn một số CÁCH GIẢI tìm GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT của một BIỂU THỨC đại số

Trường THPT Vinh Xuân Tổ Toán - TinMỘT SỐ CÁCH GIẢI TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ Lý Thuyết: Giả sửA là một biểu thức đại số một biến hoặc nhiều biến.. Số mđược gọi là g

Trường THPT Vinh Xuân Tổ Toán - Tin

MỘT SỐ CÁCH GIẢI TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ

Lý Thuyết: Giả sửA là một biểu thức đại số ( một biến hoặc nhiều biến).

Số mđược gọi là giá trị nhỏ nhất củaA nếu :

)

i A m với mọi giá trị của biến thuộc tập xác định củaA )

ii Tồn tại một giá trị của biến để A nhận giá trị m.

Kí hiệu: MinA m

Bài 1:(Trích bài tập 12 chủ đề tự chọn nâng cao SGV lớp10).

Cho các số dương x y z, , thảo mãn xyz 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

S

Cách 1 : Sử dụng bất đẳng thức cauchy cho ba số không âm.

(I)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương 1, ,x y 3 3

ta có: 1x3y3 3.3 x y3 3 3xy

Tương tự:

  (2)

  (3)

Do đó:

3

S

3

2 2 2

1

x y z

Vậy MinS 3 3 đạt được khi và chỉ khi (1), (2), (3) và (4) xảy ra dấu bằng

 x  y z 1

Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức vectơ.

(II)

Ta có:

S

Với , , a b c không âm ta có 3

3

a b c

a b c

 



Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 

Với ba vectơ , , w u v 

ta có: u v  w   u v w

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi , , w u v  



cùng hướng

21 2 x2 y2 2 21 y2 z2 2 21 z2 x2

Chọn ba vectơ: u 1 ; x; y ;v 1 ; y; z ; w 1 ; z; x

  

Áp dụng bất đẳng thức (II) ta được:

S

2

(1)

2

3

2 2 2

1

(2) vì xyz  1 Vậy Min S 3 3 đạt được khi và chỉ khi (1) và (2) đồng thời xảy ra dấu bằng

w 1

u v xyz

  



 





 

 

1 1

xyz

 







Bài 2: Cho ba số dương x,y,z thỏa mãn: xy yz zx xyz   .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P

Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức vectơ.

Ta có:

P

Chọn ba vectơ : u 2 1; ,v 2 1; , w 2 1;

Suy ra u v u 2 2 2 1 1 1;

  

Áp dụng bất đẳng thức (II) ta được:

P

yz zx xy

vì xy yz zx xyz   . Vậy MinP  3 đạt được khi và chỉ khi u kv lw (k 0,l 0)

xy yz zx xyz







Trường THPT Vinh Xuân Tổ Toán - Tin

xy yz zx xyz

 



  



 



 







xy yz zx xyz









3

Cách2: Sử dụng bất đẳng thức được suy ra từ bất đẳng thức đã biết.

Với ba số dương , , a b c ta có: a2b2 2 ,ab b2c2 2 ,bc c2a2 2ca

Suy ra  2 2 2  2 2 2

3 a b c  a b c 2ab2bc2ca

(III)

với x,y0.Áp dụng bất đẳng thức (III)

ta có

               

 

(1) 3

Tương tự: 22 12 3 2 1 (2)

3

2 2

(3) 3

Cộng vế theo vế ta được:

3

xz yz xy P

Vậy MinP  3 đạt được khi và chỉ khi (1),(2),(3) và (4) đồng thời xảy ra dấu bằng

3

xy yz zx xyz







Bài 3: (Trích đề thi ĐH năm 2007)

Cho x y z, , là ba số thực dương thay đổi.

Cách1: Sử dụng đạo hàm.

Ta có:

T

2 2 2 1 2

3

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 

xyz

T

Xét hàm số:

( ) 2

t

f t

t

  với t 0

Ta có    2 

1

f t t

'( ) 0f t   t 1 vì t2  t 1 0   t 0

Bảng biến thiên:

t 0 1 

'( )

f t  0  ( )

f t

 

3

2

Từ bảng biến thiên suy ra ( ) 3 0

2

f t   t

Do vai trò x y z, , như nhau nên ta được: 3 3 3 9

T    

2

MinT  đạt được  x  y z 1

Cách2: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy

2

MinT  đạt được  x  y z 1

Bài 4: Cho x y z, , là ba số dương thỏa mãn x y z  2.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 1

A

Trường THPT Vinh Xuân Tổ Toán - Tin

Với ba số dương , , a b c ta chứng minh được a b c 1 1 1 9

a b c

     

(IV)

Áp dụng bất đẳng thức (IV) ta được:

A

Vậy 9

8

x y z

  



Bài 5: Cho hai số thực x0,y0 thỏa mãn và thỏa mãn hệ thức 2 2

1

x y 

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  2 

2

B





Cách 1: Sử dụng phương pháp tìm miền giá trị của hàm số.

Ta có:  2   2 

B

    vì x2y2 1

Đặt y tx điều kiện t 0

Khi đó:  

2

2 1 6

t

t t



 3Bt22B 6t B  2 0  

Phương trình   có nghiệm

0 0

0 0

B B

B B











    

2

0 0

B B









 







6 B 3

   

Vậy MinB 6 đạt được 2 2

2

; 3

1

;

t

y tx

















Cách2: Sử dụng đạo hàm.

B

    vì x2y2 1

Đặt y tx điều kiện t 0

2

2 1 6

t B

t t





Suy ra: 1 1 1 9

a b c  a b c 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 

Suy ra

2

2 2

'( )

B t

t t



1 3

2 3

t

t







 



Bảng biến thiên:

  2

3

 1

3 

'( )

B t  0  0 

B

3

0 0 6

Vậy MinB 6 đạt được 2 2

2

; 3

1

;

t

y tx

















Bài tập1:(Trích đề ĐH năm 2008) Cho x y, là hai số thực không âm thay đổi

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức    

1

P



Bài tập2: Cho x y, thỏa mãn x0,y0 và x y 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

S

Bài tập3: Cho x y z, , là ba số dương thỏa mãn x y z  1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x2 12 y2 12 z2 12

Bài tập4: Cho x y z, , là ba số dương thỏa mãn x y z   2 2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 1

B

Bài tập5: Cho x y z, , là ba số thực thỏa mãn x y z  0

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q  3 4 x  3 4 y  3 4 z

MinQ 6

Kết luận:

Bài toán“tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức” là dạng toán khó trong chương trình phổ

thông

Trên đây là một số cách giải nhằm giúp cho học sinh cuối cấp THPT có thêm một số cách giải để chuẩn bị cho các kỳ thi ĐH&CĐ

Trường THPT Vinh Xuân Tổ Toán - Tin

Xin chân thành cám ơn !