Hướng dẫn học sinh giải và khai thác một số bài toán về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng cho học sinh lớp 10 thpt

Mục đích nghiên cứu Mục đích của khóa luận là nghiên cứu việc hướng dẫn giải và khai thác một số bài toán về phương pháp tọa đô trong mặt phẳng cho học sinh lớp 10 - THPT.. - Điều tra t

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình hoàn thành khóa luận em luôn nhận được sự giúp đỡ và chỉ bảo tận tình của cô giáo - Thạc sĩ Nguyễn Hải Lý Đồng thời em cũng nhận được sự sự giúp đỡ tận tình của các thầy, cô giáo trong khoa Toán - Lý - Tin Phòng KH & QHQT, trung tâm thông tin thư viện trường Đại học Tây Bắc, các thầy cô trong trường THPT Vân Cốc, các em học sinh lớp 10A5, 10A8 cùng các bạn sinh viên lớp K53 ĐHSP Toán

Em xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo, các bạn sinh viên và các em học sinh đã giúp em trong quá trình hoàn thành khóa luận

Trong quá trình thực hiện khóa luận không tránh khỏi những thiếu xót, rất mong nhận được nhứng ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn để khóa luận được hòan thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn! Sơn La, tháng 5 năm 2016 Người thực hiện

Nguyễn Thị Công Dung

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 5

1 Lý do chọn khóa luận 5

2 Mục đích, nhiệm vụ của khóa luận 5

2.1 Mục đích nghiên cứu 5

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu 5

3 Đối tượng nghiên cứu 6

4 Phương pháp nghiên cứu 6

5 Đóng góp của khóa luận 6

6 Cấu trúc của khóa luận 6

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 7

1.1 Quan niệm về bài toán 7

1.2 Hướng dẫn học sinh giải bài tập toán 7

1.3 Vai trò, vị trí và chức năng của bài tập toán 9

1.3.1 Vai trò của bài tập toán trong quá trình dạy học 9

1.3.2 Vị trí của bài tập toán học 11

1.3.3 Các chức năng của bài tập toán học 12

1.4 Yêu cầu đối với lời giải một bài toán 13

1.5 Phương pháp chung để giải bài toán 14

1.5.1 Tìm hiểu nội dung đề bài 14

1.5.2 Tìm cách giải 15

1.5.3 Trình bày lời giải 17

1.5.4 Nghiên cứu sâu lời giải 17

1.6 Các bài toán về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 18

1.6.1 Vị trí, phân phối chương trình phương pháp tọa độ trong mặt 18 1.6.2 Một số dạng toán về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 18

1.6.2.1 Một số dạng toán về phương trình đường thẳng 18

1.6.2.2 Một số dạng toán về phương trình đường tròn 21

1.6.2.3 Một số dạng toán về đường elip 21

1.7 Thực trạng trong việc hướng dẫn học sinh giải và khai thác một số bài toán về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ở một số trướng THPT 23

1.7.1 Điều tra đối với giáo viên 23

1.7.2 Điều tra học sinh 23

CHƯƠNG 2: HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ KHAI THÁC MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG CHO HỌC SINH LỚP 10 THPT 25

2.1 Một số bài toán về phương trình đường thẳng 25

2.2 Một số bài toán về phương trình đường tròn 44

2.3 Một số bài toán về phương trình đường elip 49

CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 56

3.1 Mục đích thực nghiệm 56

3.2 Phương pháp thực nghiệm 56

3.3 Nội dung thực nghiệm 56

3.4 Tổ chức thực nghiệm 56

3.5 Kết quả thực nghiệm 57

3.6 Kết luận rút ra từ thực nghiệm 58

KẾT LUẬN 59

TÀI LIỆU THAM KHẢO 60

Đây cũng là hai nội dung quan trọng trong chương trình toán THPT Nội dung này thường xuất hiện trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT và các kỳ thi đại học, cao đẳng, trung học chuyên nghiệp

Tuy nhiên số tiết dạy trên lớp không đủ để giáo viên có thể đưa ra nhiều dạng toán cho học sinh mà chỉ có thể dừng lại ở một số bài toán cơ bản Vì

vậy học sinh sẽ gặp khó khăn khi giải các bài toán tổng hợp và phức tạp

Với mong muốn giúp học sinh mở rộng và khai thác sâu hơn các bài toán

về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng em chọn khóa luận:” Hướng dẫn giải

và khai thác một số bài toán về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng cho học sinh lớp 10 THPT”

2 Mục đích, nhiệm vụ của khóa luận

2.1 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của khóa luận là nghiên cứu việc hướng dẫn giải và khai thác một

số bài toán về phương pháp tọa đô trong mặt phẳng cho học sinh lớp 10 - THPT

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu một số vấn đề lý luận có liên quan đến việc hướng dẫn giải

và khai thác một số bài toán về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

- Điều tra thực trạng việc hướng dẫn giải và khai thác bài tập về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng cho học sinh lớp 10 của giáo viên ở một số

trường THPT

- Đề xuất một số bài toán được khai thác từ bài toán cơ bản về phương

pháp tọa độ trong mặt phẳng

- Tiến hành thực nghiệm sư phạm để bước đầu có kết luận cần thiết cho

việc nghiên cứu

6

3 Đối tượng nghiên cứu

Một số bài toán về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Hình học 10 – THPT

4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận

- Phương pháp quan sát - điều tra

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm

5 Đóng góp của khóa luận

Khóa luận có thể là tài liệu tham khảo cho sinh viên chuyên ngành sư phạm toán, cho học sinh và giáo viên THPT

6 Cấu trúc của khóa luận

Ngoài phần mở đầu, danh mục, tài liệu tam khảo khóa luận gồm ba chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Hướng dẫn giải và khai thác một số bài toán về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng cho học sinh lớp 10 THPT

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Theo quan niệm trên bài toán gồm ba ý chính:

- Chỉ có bài toán đối với người nào đó hay chính xác hơn là trạng thái phát triển nào đó của người giải

- Lời giải đáp phải tương thích với tình huống của bài toán

- Lời giải đáp gắn liền với tình huống như một đặc trưng của tình huống

mà người giải đã quen thuộc

1.2 Hướng dẫn học sinh giải bài tập toán

Muốn hướng dẫn học sinh giải được một bài toán cụ thể nào đó thì điều kiện cần là giáo viên phải giải được bài toán đó nhưng như vậy là chưa đủ Muốn việc hướng dẫn giải bài toán được định hướng một cách đúng đắn thì trước hết giáo viên cần hướng dẫn học sinh xác định đúng dạng bài toán dựa vào yêu cầu mà bài toán đó đòi hỏi, mỗi bài toán tuy nằm trong một dạng nhưng lại có những đặc điểm riêng của nó Dựa vào những đặc điểm cụ thể đó giáo viên phân tích bài toán để dẫn tới phương pháp giải từng bài cụ thể Mặt khác phải xuất phát từ mục đích sư phạm cụ thể của công việc cho học sinh giải bài tập để xác định kiểu hướng dẫn phù hợp Phương pháp

hướng dẫn học sinh giải một bài toán cụ thể nào đó là sử dụng tư duy trong giải toán vào việc phân tích phân tích phương pháp giải bài tập cụ thể

Các kiểu hướng dẫn học sinh giải bài tập gồm:

Hướng dẫn theo mẫu(hướng dẫn Angôrit): Sự hành động theo mẫu đã có

thường gọi là hướng dẫn theo mẫu hay hướng dẫn Angôrit Hướng dẫn theo mẫu là sự hướng dẫn chỉ rõ cho học sinh những hành động cụ thể cần thực hiện và trình tự thực hiện các hành động đó để đi tới kết quả mong muốn Những hoạt động này được học sinh hiểu một cách đơn giản và học sinh

đã nắm vững cách thực hiện không đòi hỏi học sinh phải tìm tòi xác định các hoạt động cần thực hiện để giải quyết vấn đề đặt ra mà chỉ đòi hỏi học sinh thực hiện theo trình tự đã có

8

Kiểu hướng dẫn Angôrit đòi hỏi giáo viên phải phân tích một cách lôgic các giả thiết để xác định một trình tự chính xác chặt chẽ của các hoạt động cần thực hiện để giải quyết được bài tập và phải đảm bảo các hoạt động đó học sinh có thể thực hiện được

Kiểu hướng dẫn này thường được áp dụng khi cần dạy cho học sinh phương pháp giải bài tập điển hình nào đó Người ta xây dựng các Angôrit giải cho từng loại bài tập cơ bản điển hình và luyện tâp cho học sinh kỹ năng giải bài tập đó dựa trên việc cho học sinh nắm được Angôrit giải

Hướng dẫn tìm tòi (hướng dẫn Ơrixtic): Hướng dẫn tìm tòi là kiểu

hướng dẫn mang tính chất gợi ý cho học sinh suy nghĩ, tìm tòi phát hiện cách giải quyết, không phải là giáo viên hướng dẫn cho học sinh chấp hành theo mẫu đã có, mà là giáo viên gợi mở để học sinh giải quyết

Kiểu hướng dẫn tìm tòi được vận dụng khi học sinh gặp khó khăn trong

tư duy cần giúp đỡ để giải được bài tập đồng thời vẫn đảm bảo yêu cầu phát triển tư duy của học sinh tự lực tìm tòi, giải quyết

Kiểu hướng dẫn khái quát chương trình hóa:

Đây cũng là kiểu hướng dẫn cho học sinh tự tìm tòi giải quyết vấn đề Nét đặc trưng của kiểu hướng dẫn này là giáo viên định hướng tư duy cho học sinh theo đường lối, khái quát của việc giải quyết vấn đề

Sự định hướng ban đầu đòi hỏi sự tự lực tìm tòi giải quyết của học sinh, nếu học sinh không đáp ứng được yêu cầu thì sự giúp đỡ tiếp theo của giáo viên là sự phát triển định hướng khái quát ban đầu, cụ thể hóa thêm một bước bằng gợi ý thêm cho học sinh để thu hẹp thêm phạm vi tìm tòi giải quyết cho vừa sức của học sinh, nhưng nếu học sinh vẫn không đủ năng lực tự giải quyết thì hướng dẫn của giáo viên trở thành hướng dẫn theo mẫu để đảm bảo cho học sinh hoàn thành một bước sau đó yêu cầu học sinh tự lực tìm tòi bước tiếp theo, cứ như thế cho đến khi giải quyết xong vấn đề đặt ra

Kiểu hướng dẫn này được áp dụng khi có điều kiện, tiến trình hoạt động giải bài tập của học sinh, nhằm giúp học sinh tự giải quyết được bài tập đã cho đồng thời dạy cho học sinh cách suy diễn trong quá trình giải bài tập

Ưu điểm của kiểu hướng dẫn này là kết hợp được các yêu cầu: rèn luyện

tư duy của học sinh trong quá trình giải toán và đảm bảo cho học sinh giải được bài tập đã cho

9

Tuy nhiên, sự hướng dẫn đòi hỏi phải theo sát tiến trình hoạt động giải bài tập của học sinh, không thể chỉ dựa vào những lời hướng dẫn soạn sẵn mà phải kết hợp được việc định hướng với việc kiểm tra kết quả hoạt động của học sinh để điều chỉnh sự giúp đỡ thích ứng với trình độ của học sinh

Dạy học giải Toán không chỉ làm cho học sinh nhớ mẫu rồi áp dụng mà còn phải làm cho học sinh ngày càng phát triển năng lực vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học vào giải quyết các vấn đề trong bài toán cũng như trong thực tiễn cuộc sống Để đạt được yêu cầu trên, phương pháp tốt nhất trong dạy học giải Toán là phải tạo cho học sinh tư duy độc lập, chủ động để tìm ra cách giải bài toán Giáo viên không bao giờ chỉ ra lời giải cho học sinh một cách thụ động

Chính vì thế, trong giờ dạy học giải Toán, học sinh phải được hoạt động tích cực, chủ động, còn giáo viên phải biết tổ chức điều khiển bằng nhiều cách khác nhau như: tổ chức cho học sinh thảo luận nhóm, tập trình bày các ý kiến riêng của nhóm, của cá nhân hoặc dùng hệ thống các câu hỏi vấn đáp gợi mở, vấn đáp củng cố để đi đến cách giải tốt nhất hoặc kết luận cần thiết cho mỗi giờ dạy học giải Toán hoặc mỗi bài toán cụ thể

1.3 Vai trò, vị trí và chức năng của bài tập toán

1.3.1 Vai trò của bài tập toán trong quá trình dạy học

Trong quá trình dạy học môn toán bài tập toán học chiếm một vai trò vô cùng quan trọng Trong dạy hoạt động giải toán, giải bài tập là hoạt động quan trọng được thực hiện thường xuyên liên tục trong quá trình dạy học lên lớp của giáo viên, mặt khác có thể thấy trong giải toán, hoạt động giải bài tập

là hoạt động cụ thể có tác dụng trong rèn luyện kỹ năng, bồi dưỡng năng lực giải toán của học sinh Bài tập toán và hoạt động giải bài tập toán thể hiện mối liên hệ mật thiết giữa hoạt động học của học sinh và hoạt động dạy của giáo viên với mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học Tức là thông qua bài tập toán và hoạt động giải bài tập toán người học sinh thể hiện được mức độ thông hiểu, lĩnh hội tri thức thông qua quá trình dạy học của người giáo viên

Để giải tốt được một bài tập toán tức là người học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định của việc học bao gồm hoạt động nhận dạng và thể hiện khái niệm, định nghĩa, định lý, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học, những

10

hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ Chính vì vậy mà theo quan điểm của Nguyễn Bá Kim thì bài tập có vai trò “giá mang hoạt động” của học sinh Vai trò của bài tập toán trong quá trình dạy học được thể hiện trên cả ba bình diện: mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học

+ Trên bình diện mục tiêu: Bài tập là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể hiện mức độ đạt mục tiêu Mặt khác những bài tập cũng thể hiện những chức năng khác nhau hướng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học môn Toán, cụ thể là:

- Bài tập hình thành củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở những khâu khác nhau của quá trình dạy học kể cả kỹ năng ứng dụng toán học vào thực tiễn

- Bài tập phát triển năng lực trí tuệ: Rèn luyện những hoạt động tư duy hình thành những phẩm chất trí tuệ

- Bài tập bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất đạo đức của người lao động mới

+ Trên bình diện nội dung dạy học: Bài tập là giá mang hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, là một phương tiện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó được trình bày trong phần lý thuyết

+ Trên bình diện phương pháp dạy học: Bài tập là giá mang hoạt động để người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện những mục tiêu dạy học khác nhau Khai thác tốt các bài tập như vậy sẽ góp phần tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động Bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh được thực hiện độc lập học tập trong giao lưu

[Phương pháp dạy học môn Toán, Nguyễn Bá Kim, NXB Đại học sư phạm,

tr.412413]

Ngoài dụng ý trên thì bài tập toán còn là tiêu chuẩn để kiểm tra, đánh giá mức độ, kết quả dạy của người giáo viên và kết quả học của người học sinh cũng như đánh giá khả năng làm việc một cách độc lập và trình độ phát triển

tư duy của học sinh theo hướng tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo

Việc rèn luyện, bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh chính là rèn luyện cho học sinh khả năng thực hiện, vận dụng bốn bước theo phương pháp tìm lời giải bài toán của Polya Điều này cũng phù hợp với phương pháp dạy

+ Xác lập được mối liên hệ giữa những bài tập khái quát và các kiến thức tương ứng

Đặc biệt người giáo viên cần làm rõ cho học sinh nắm bắt được đâu là các dạng bài tập ở cấp độ tri thức phương pháp được đưa ra tường minh có thuật giải và đâu là dạng bài tập ở cấp độ tri thức phương pháp đưa ra ở dạng

ẩn tàng chưa có thuật giải

Bên cạnh đó, một điểm đáng chú ý nữa là: “Trong quá trình giải một bài tập toán cho nên tìm được nhiều cách giải là luyện tập cho học sinh biết cách, cần khuyến khích cho học sinh tìm tòi nhiều cách giải cho một bài toán Mọi cách giải đều dựa vào một số đặc điểm nào đó của dữ kiện, nhìn nhận một vấn

đề theo nhiều khía cạnh khác nhau, điều đó rất bổ ích cho việc phát triển năng lực tư duy Mặt khác, tìm được nhiều cách giải thì sẽ tìm được cách giải hay

nhất, đẹp nhất…” (Theo Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy (1992), Phương pháp dạy học môn Toán (phần I), NXB Giáo dục)

1.3.2 Vị trí của bài tập toán học

“Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học Đối với học sinh có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Các bài tập toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có và không thể hiệu quả thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng kỹ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các nhiệm vụ dạy học toán ở trường phổ thông Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học

có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán” (Theo Nguyễn Bá Kim,

Vũ Dương Thụy (1992), Phương pháp dạy học môn toán (phần I), NXB Giáo Dục)

Giải bài tập toán không chỉ giúp cho học sinh củng cố một cách bền vững các kiến thức mới được tiếp cận cho học sinh mà còn nhằm phát triển tư

12

duy cho học sinh, đặc biệt là rèn luyện các thao tác trí tuệ Vì vậy, trong quá trình dạy học người thầy giáo phải chú trọng bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh Như chúng ta đã biết thì năng lực giải bài toán chính là khả năng vận dụng các quy tắc, thuật giải đối với những bài toán ở dạng tường minh cũng như khả năng xác định và ứng dụng bốn bước trong phương pháp tìm lời giải bài toán của Polya đối với những bài toán đưa ra ở dạng ẩn tàng, không

có thuật giải

1.3.3 Các chức năng của bài tập toán học

Mỗi bài tập toán học đặt ra ở một thời điểm nào đó của quá trình dạy học đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau Các chức năng đó là:

+ Chức năng dạy học

+ Chức năng giáo dục

+ Chức năng phát triển

+ Chức năng kiểm tra

Các chức năng đều hướng tới việc thực hiện các mục đích dạy học:

+ Chức năng dạy học: Bài tập toán nhằm hình thành củng cố cho học sinh

những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học

+ Chức năng giáo dục: Bài tập toán nhằm hình thành cho học sinh thế

giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, sáng tạo, có niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới

+ Chức năng phát triển: Bài tập toán nhằm phát triển năng lực tư duy

cho học sinh, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ hình thành những phẩm chất tư duy khoa học

+ Chức năng kiểm tra: Bài tập toán nhằm đánh giá mức độ kết quả dạy và

học, đánh giá khả năng độc lập học toán, khả năng tiếp thu, vận dụng kiến thức và trình độ phát triển của học sinh

Hiệu quả của việc dạy toán ở trường phổ thông phần lớn phụ thuộc vào việc khai thác và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có của các tác giả viết sách giáo khoa đã có dụng ý đưa vào chương trình Người giáo viên phải có nhiệm vụ khám phá và thực hiện dụng ý của tác giả bằng năng lực sư

phạm của mình

13

1.4 Yêu cầu đối với lời giải một bài toán

Để phát huy tác dụng của bài tập toán, trước hết cần nắm vững các yêu cầu của lời giải Nói một cách vắn tắt, lời giải phải đúng và tốt Nói như vậy

là bao hàm đủ các ý cần thiết, nhưng quá cô đọng Để thuận tiện cho việc thực hiện các yêu cầu của lời giải trong quá trình dạy học và đánh giá học sinh, có thể cụ thể hóa các yêu cầu, đương nhiên phải chấp nhận những yếu tố trùng lặp nhất định trong các yêu cầu chi tiết:

Một là: Kết quả đúng, kể cả ở bước trung gian

Kết quả cuối cùng phải là một đáp án đúng, một biểu thức, một hàm số, một hình vẽ,… thỏa mãn các yêu cầu đề ra Kết quả các bước trung gian cũng phải đúng Như vậy lời giải không chứa những sai lầm tính toán, vẽ hình, biến đổi biểu thức,…

Hai là: Lập luận chặt chẽ

Đặc biệt lời giải phải tuân thủ các yêu cầu sau:

- Luận đề phải nhất quán

- Luận cứ phải đúng

- Luận chứng phải hợp logic

Ba là: Lời giải đầy đủ

Yêu cầu này có nghĩa lời giải không được bỏ sót một trường hợp, một chi tiết cần thiết nào Cụ thể là giải phương trình không được thiếu nghiệm, phân chia trường hợp không được thiếu một khả năng nào,…

Bốn là: Ngôn ngữ chính xác

Đây là một yêu cầu giáo dục về tiếng mẹ đẻ đặt ra cho tất cả các bộ môn Việc dạy học môn Toán cũng phải tuân thủ yêu cầu này

Năm là: Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật

Yêu cầu này dặt ra đối với cả lời văn, chữ viết, hình vẽ, cách sắp xếp các yếu tố (chữ, số, kí hiệu, hình,…) trong lời giải

Sáu là: Tìm ra nhiều cách giải chọn cách giải ngắn gọn, hợp lí nhất

14

Cần khuyến khích học sinh tìm nhiều cách giải cho cùng một bài toán, phân tích so sánh các cách giải khác nhau để tìm ra các giải ngắn gọn, hợp lí nhất trong số các cách đã tìm được nhằm củng cố và rèn luyện tư duy độc lập suy nghĩ, tự giác, phát tiển tư duy tổng hợp hóa, khái quát hóa và so sánh cho học sinh

Bảy là: Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề

Cho học sinh làm quen với việc nghiên cứu giải các bài toán tương tự bằng cách mở rộng hay lật ngược vấn đề sẽ giúp học sinh có cái nhìn tổng quát đối với vấn đề Giúp củng cố, khắc sâu kiến thức cho học sinh

Sau khi cho học sinh giải xong những bài tập ở cấp độ tri thức phương pháp đưa ra ở dạng ẩn tang thì giáo viên cần phải cho học sinh khái quát lại tri thức phương pháp để học sinh có khả năng tự giải quyết những dạng bài tập tương tự, còn người giáo viên không cho học sinh khái quát lại tri thức

phương pháp sau khi giải xong bài tập thì việc giải bài tập này là vô nghĩa vì học sinh không giải được những bài toán tương tự

1.5 Phương pháp chung để giải bài toán

Trong dạy học giải toán, kỹ năng tìm kiếm lời giải là một trong những kỹ năng quan trọng, và hoạt động tư duy là một thành phần không thể thiếu trong dạy học giải toán G.Pôlya đưa ra 4 bước để tìm ra lời giải mọt bài toán như sau

1.5.1 Tìm hiểu nội dung đề bài

Tìm hiểu đề toán là việc làm trước tiên trong quá trình dạy học giải toán Muốn học sinh tự mình giải quyết được những yêu cầu đòi hỏi của bài toán người giáo viên cần phải làm cho học sinh nắm được ý nghĩa nội dung của bài toán, xác định yếu tố cơ bản của bài toán đồng thời biết thể hiện bài toán dưới một hình thức ngắn gọn dễ hiểu Có nhiều cách để tìm hiểu đề bài toán và chúng ta thấy rằng: mỗi cấp học khác nhau, mỗi bài toán cụ thể sẽ có cách tìm hiểu đề khác nhau Thông thường để tìm hiểu đề toán, người dạy toán cần hướng học sinh tới những câu hỏi: phân tích giả thiết và kết luận của bài toán: Đâu là ẩn, Đâu là dữ kiện? Đâu là điều kiện? Điều kiện và dữ kiện liên quan

15

tới điều gì? Có thể biểu diễn bài toán dưới hình thức khác không? Điều kiện này đã đủ để xác định ẩn chưa? Đối với bài toán hình học nói chung thường phải vẽ hình (nhất là đối với hình học không gian) Sau khi vẽ hình xong và thể hiện các yếu tố đã cho, yếu tố cần tìm trên hình vẽ, lúc đó học sinh sẽ hiểu

rõ bài toán hơn Điều cần lưu ý là: hình vẽ phải tổng quát, không nên vẽ trong trường hợp đặc biệt Như vậy, ngay ở bước “Tìm hiểu nội dung đề bài” ta đã thấy vai trò của tư duy sáng tạo trong việc định hướng để tìm tòi lời giải

1.5.2 Tìm cách giải

Xây dựng chương trình giải toán là xác định trình tự cho việc giải quyết những đòi hỏi của bài toán hoặc nói cách khác là dạy cho học sinh tìm ra cách giải bài toán Người dạy có thể sử dụng các câu hỏi phân tích đi lên, tổng hợp

hoặc các phép suy luận, quy nạp để học sinh tự tìm ra lời giải của bài toán

Ở bước này, chú ý phân tích bài toán đã cho thành nhiều bài toán đơn giản hơn, phải huy động kiến thức có liên quan đến những khái niệm, những quan hệ trong đề toán, rồi lựa chọn trong số những kiến thức gần gũi hơn cả với những dữ kiện của bài toán Dự đoán, thử xét một vài khả năng, kể cả một vài trường hợp đặc biệt, đôi khi còn xét một bài toán tương tự hoặc bài toán khái quát của bài toán đã cho… thông qua các kỹ năng sau bằng cách đặt câu hỏi:

- Huy động kiến thức có liên quan:

+ Bài toán này có thuật giải hay không?

+ Em đã gặp bài toán này chưa? hay bài này ở dạng khác lần nào chưa ?

Em có biết bài nào liên quan không? Một định lý có thể dùng được không ? + Thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn hay ẩn số tương tự ? + Có thể sử dụng kết quả của bài nào đó em đã từng giải không ?

- Dự đoán kết quả phải tìm:

+ Em có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan mà dễ hơn không ? Một bài toán tổng quát hơn ? Một trường hợp riêng ? Một bài toán tương tự ?

+ Em đã sử dụng mọi dữ kiện chưa ? Đã sử dụng hết điều kiện chưa ? Đã

để ý hết khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa ?

+ Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia, khi đó ẩn được xác định đến đâu và biến đổi như thế nào ?

16

- Sử dụng phép phân tích đi lên và phép phân tích đi xuống để tìm kiếm hướng giải quyết vấn đề

Trong quá trình dạy học nếu giáo viên khai thác triệt để được những gợi

ý trên thì sẽ hình thành và pháp triển ở học sinh kỹ năng tìm tòi lời giải toán Tuy nhiên để đạt được điều này giáo viên cần phải kiên trì tất cả các giờ dạy toán, đồng thời học sinh phải được tự mình áp dụng vào các hoạt động giải toán của mình

Muốn đạt được kết quả, đòi hỏi rất nhiều đến nghệ thuật hướng dẫn của người thầy và cả những điều kiện mà người học phải có đó là: những kiến thức có sẵn, những thói quen suy luận, sự tập trung, say mê trong giải toán Sau đây là sự minh họa các phương pháp giúp học sinh tìm được lời giải toán Chẳng hạn, sử dụng phương pháp phân tích đi xuống giúp học sinh tìm được lời giải bài toán

Phân tích đi xuống (suy ngược tiến) để tìm ra hướng giải quyết một bài toán là cách là xuất phát từ câu hỏi của bài toán suy ra dần đến giả thiết đã cho hoặc điều đúng nào đấy đã biết

Ví dụ 1: Hướng dẫn học sinh giải bài toán:

17

tư duy một cách tự nhiên đồng thời đem lại sự tự tin và hứng thú cho các em trong hoạt động giải toán Tuy nhiên, không phải lúc nào sử dụng phương pháp này cũng tìm ra được lời giải của bài toán Vì vậy trong dạy học giải toán, đôi khi còn phải sử dụng phương pháp phân tích đi lên (phương pháp tổng hợp) Phương pháp tổng hợp là cách suy luận từ giả thiết đã cho hoặc điều đúng nào đó dẫn đến điều cần tìm, cần chứng minh Phương pháp tổng hợp đã làm cho giả thiết và kết luận của bài toán tiến gần nhau hơn Song cần lưu ý trong quá trình suy diễn từ A đến B ở mỗi bước phải đưa ra định hướng đúng đắn có ích cho kết luận Nếu không có định hướng đúng đắn sẽ làm tăng bước suy diễn hoặc làm cho bài toán trở nên phức tạp hơn Trong dạy học giải toán, để tìm được lời giải bài toán nhiều khi cần kết hợp cả phân tích và tổng hợp

1.5.3 Trình bày lời giải

Hoạt động thực hiện kế hoạch giải toán bao gồm: việc chọn một cách giải và trình bày lời giải bài toán dễ hiểu nhất, phù hợp nhất với bậc học Lời giải bài toán được hiểu là tập hợp các thao tác sắp theo thứ tự để đi đến mục đích yêu cầu đòi hỏi của bài toán Thao tác đó có thể là phép tính cơ bản, phép dựng hình cơ bản, hoặc một dãy các suy luận,…

Cần phải lưu ý rằng: cùng một vấn đề nhưng cách trình bày lời giải ở

mỗi cấp là khác nhau Tuy nhiên, dù trình bày theo cách nào thì lời giải một bài toán không cho phép có sai lầm Yêu cầu này có nghĩa là lời giải bài toán phải đảm bảo độ chính xác về kiến thức, hợp lôgíc về quy tắc suy luận, ngôn ngữ diễn đạt trong sáng

1.5.4 Nghiên cứu sâu lời giải

Học sinh thường có thói quen khi đã tìm được lời giải của bài toán thì thỏa mãn, ít đi sâu kiểm tra lời giải xem có sai lầm thiếu sót gì không, ít quan tâm tới việc nghiên cứu cải tiến lời giải, khai thác lời giải Vì vậy trong quá trình dạy học, giáo viên cần chú ý cho học sinh thường xuyên thực hiện các

yêu cầu sau:

- Kiểm tra lại kết quả, kiểm tra lại suy luận

- Xem xét đầy đủ các trường hợp có thể xảy ra của bài toán

- Tìm cách giải khác của bài toán: một bài toán thường có nhiều cách giải, học sinh thường có những suy nghĩ khác nhau trước một bài toán, và kết quả

18

là có nhiều lời giải độc đáo và sáng tạo Vì vậy, giáo viên cần lưu ý để phát huy tính sáng tạo của học sinh trong việc tìm lời giải gọn, hay của một bài toán Tuy nhiên, cũng không nên quá thiên về lời giảng hay, làm cho học sinh

trung bình và kém chán nản

Tìm cách sử dụng kết quả hay phương pháp giải bài toán này cho một bài toán khác, đề xuất bài toán mới: Có thể yêu cầu này là quá cao đối với học sinh yếu kém, nhưng có thể coi là một phương hướng bồi dưỡng học sinh giỏi Tuy nhiên, trong một số trường hợp đơn giản, dễ hiểu, giáo viên có thể cho học sinh thấy được tác dụng của việc phân tích lời giải của bài tập toán để

áp dụng vào bài toán khác hoặc đề xuất ra bài toán mới

Nên hệ thống hóa các bài toán có liên quan với một chủ đề hay mô hình nào đấy để học sinh thấy được những tính chất đa dạng thông qua các mô hình và chủ đề đó (rất thích hợp khi tổng kết chương), cũng là cơ sở quan trọng để phát triển tư duy sáng tạo trong quá trình học tập và nghiên cứu

1.6 Các bài toán về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

1.6.1 Vị trí, phân phối chương trình phương pháp tọa độ trong mặt

phẳng

Nội dung phương pháp tọa độ trong mặt phẳng được trình bày trong

chương 3:Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng - Hình học 10 Theo phân

phối chương trình của BGD & ĐT năm 2010 – 2011 nội dung này có 12 tiết học bao gồm:

$ : Phương trình đường elip – Luyện tập (2 tiết)

- Ôn tập chương - Kiểm tra một tiết (2 tiết)

1.6.2 Một số dạng toán về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

1.6.2.1 Một số dạng toán về phương trình đường thẳng

Dạng 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng

+ Viết phương trình  theo công thức: a x( x0)b y(  y0)0

Hệ (I) vô nghiệm thì 1 // 2

Hệ (I) vô số nghiệm thì   1 2

Dạng 4: Tính khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng

+ Nửa mặt phẳng còn lại chứa các điểm M x y2( ;2 2)ax2 by2  c 0

- Nếu cho hai đường thẳng cắt nhau  1; 2 có phương trình:

+ (C) đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng tại A thì IA R

+ (C) tiếp xúc với hai đường thẳng 1 và 2 d I( ; 1) d I( ; 2) R Cách 2:

Gọi phương trình của đường tròn (C) là:

x  y  ax by c (2)

Từ điều kiện của đề bài đưa đến hệ phương trình với ẩn là a, b, c

Giải hệ phương trình tìm a, b, c thế vào (2) ta được phương trình đường

+Hai tiêu điểm: F1c;0 ,  F c2 ;0

Dạng 2: Viết phương trình chính tắc của Hypebol

23

1.7 Thực trạng việc hướng dẫn học sinh giải và khai thác một số bài

toán về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ở một số trường THPT

1.7.1 Điều tra đối với giáo viên

- Mục đích điều tra: Bước đầu điều tra việc hướng dẫn học sinh giải và khai thác một số bài toán về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

- Đối tượng điều tra: Giáo viên đang giảng dạy tại trường THPT Vân Cốc

Nhận xét:

Qua bảng điều tra trên cho thấy đa phần giáo viên có tuổi nghề còn trẻ chưa có nhiều kinh nghiệm giảng dạy mặc dù có trình độ đào tạo cao Các thầy, cô chủ yếu chỉ hướng dẫn học sinh giải những bài toán cơ bản chưa

hướng dẫn học sinh mở rộng, khai thác các bài toán để học sinh có các cách giải khác, gây khó khăn cho học sinh khi giải các bài toán không phải dạng cơ bản như đã học

1.7.2 Điều tra học sinh

- Mục đích điều tra: Bước đầu điều tra việc hướng dẫn học sinh giải và khai thác một số bài toán về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

- Đối tượng điều tra: Học sinh lớp 10A1 (38 HS), 10A3 (40 HS)

24

Nhận xét: Qua bảng điều tra cho thấy số lượng học sinh khá giỏi vẫn còn hạn chế trong khi đó số lượng học sinh trung bình,yếu kém khá nhiều Do dó cần có sự quan tâm nhiều hơn nữa để các em phát triển khả năng của mình

25

CHƯƠNG 2: HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ KHAI THÁC MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG CHO

HỌC SINH LỚP 10 THPT 2.1 Một số bài toán về phương trình đường thẳng

Bài toán 1: Viết phươg trình đường thẳng  đi qua điểm A 2;3 và

song song với đường thẳng d có phương trình x y  2 0

a) Phân tích - Tìm lời giải

Một đường thẳng được xác định khi biết một điểm thuộc đường thẳng và một vtcp hoặc một vtpt Bài toán đã biết  đi qua điểm A ta chỉ cần tìm vtcp

26

Thiết lâp bài toán tương tự bằng cách:

+ Thay tọa độ điểm A hoặc thay phương trình đường thẳng d bằng

phương trình khác hoặc thay cả hai yếu tố trên ta sẽ được bài toán tương tự bài toán 1

Bài toán 1.1: Viết phươg trình đường thẳng  đi qua điểm A 1;1 và

song song với đường thẳng d có phương trình: 2 x y  2 0

HD: Giải tương tự bài toán 1 ta được phương trình củalà 2x y  1 0

+ Thay đổi quan hệ song song bằng quan hệ vuông góc

Bài toán 1.2: Viết phươg trình đường thẳng  đi qua điểm A 2;3 và

vuông góc với đường thẳng d có phương trình: x y  2 0

Hướng dẫn:

Ta chỉ cần xác định vtpt hoặc vtcp của đường thẳng

Vì d nên u    n d 1; 1 n  1;1

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng :x y  5 0

+ Thay đổi đối tượng của bài toán

Bài toán 1.3: Lập phương trình các cạnh tam giác ABC biết B 4; 5

và hai đường cao có phương trình d1: 5x3y 4 0 và d2: 3x8y 13 0

8; 3

qua B qua B

3; 5

qua B qua B

Vậy phương trình đường thẳng AC:5x2y 1 0

Bài toán 1.4: Lập phương trình các cạnh của tam gác ABC biết đỉnh

quaC quaC

B

B

x

B y

qua A qua A

TH 2: Giải tương tự như trường hợp 1

Bài toán 1.5: Cho tam giác ABC biết A 1;3 và hai trung tuyến có phương trình

d x y  và d2:y 1 0 Lập phương trình các cạnh của tam giác

ABC

29

d2 d1

Vì A d 1, A d 2 nên ta giả sử d d là hai trung tuyến lần lượt xuất 1, 2

phát từ đỉnh C và B Gọi G là trọng tâm của ABC     G d1 d2 G  1;1

và A’ là điểm đối xứng với A qua GSuy ra

2 1

'

qua A qua A

Do đó nếu biểu diễn tọa B, C theo tham số thì khi thế vào  * ta được giá

trị của tham số suy ra tọa độ của B, C

Tương tự như trên ta được phươg trình các cạnh AB AC BC , ,

+ Tăng, giảm đối tượng

Bài toán 1.6: Cho ABC có A  1;2 ,B 3;0 , C 3; 2  Lập phương

trình tổng quát của ba đường trung tuyến của ABC

Hướng dẫn:

+ GọiAI là đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A, biết điểm A để viết phương

trình cạnh AI ta cần xác định được tọa độ điểm I Mà Ilà trung điểm của

BC nên dễ dàng xác định được điểm I, khi đó trung tuyến AI nhận AI là vtcp Gọi I là trung điểm của BC suy ra

I