Rèn luyện kỹ năng giải một số bài toán về tổ hợp – xác suất cho học sinh lớp 11

Biện pháp 4: Rèn luyện kĩ năng toán học hoá các bài toán thực tiễn, và liên hệ với các môn học khác trong dạy học giải toán chủ đề Tổ hợp - Xác suất.. Ngày nay lý thuyết Xác suất đã trở

Nguyễn Triê ̣u Sơn - Phó Hiệu trưởng Trường Đa ̣i ho ̣c Tây Bắc Em xin bày tỏ lòng

biết ơn và kính tro ̣ng tới Thầy – người đã trực tiếp giúp đỡ em hoàn thành khóa luâ ̣n

Em trân tro ̣ng cám ơn sự quan tâm và giúp đỡ của các thầy cô Trường THPT Nhi ̣ Chiểu – Huyê ̣n Kinh Môn – Tỉnh Hải Dương cùng các em ho ̣c sinh lớp 11A và

11B của trường cùng sự giúp đỡ và ủng hô ̣ nhiê ̣t tình cùng các ba ̣n sinh viên lớp K53 – Đại học sư phạm Toán Trường Đa ̣i ho ̣c Tây Bắc

Em cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới ban chủ nhiê ̣m khoa Toán, các phòng ban, thư viê ̣n nhà trường đã giúp đỡ, chỉ bảo và ta ̣o điều kiê ̣n thuâ ̣n lợi về nguồn tài liê ̣u tham khảo trong quá trình nghiên cứu Khóa luâ ̣n

Đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên Khóa luâ ̣n không khỏi có những thiếu xót, em rất mong nhâ ̣n đươ ̣c các ý kiến đóng góp, phê bình của các thầy cô và các ba ̣n sinh viên để khóa luâ ̣n được đầy đủ và hoàn thiê ̣n hơn

Sơn La, tha ́ ng 5 năm 2016

TÁC GIẢ

Pha ̣m Thu Hằng

2

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 5

1 Lý do cho ̣n khóa luâ ̣n 5

2 Mu ̣c đích nghiên cứu 6

3 Nhiê ̣m vu ̣ nghiên cứu 6

4 Phương pha ́ p nghiên cứu 6

4.1 Phương pha ́ p nghiên cứu lý luâ ̣n: 6

4.2 Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn 7

5 Cấu trúc của khóa luâ ̣n 7

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 8

1.1 Ky ̃ năng giải toán và vấn đề rèn luyê ̣n kỹ năng giải toán cho ho ̣c sinh 8

1.1.1.Kỹ năng 8

1.1.2.Kỹ năng giải toán 8

1.1.3.Phân loa ̣i kỹ năng trong môn toán 9

1.1.4.Đă ̣c điểm của kỹ năng giải toán 10

1.1.5 Sư ̣ hình thành kỹ năng giải toán 10

1.2 Nô ̣i dung chủ đề Tổ hợp – Xác suất của lớp 11 11

1.2.1 Vai trò về chủ đề Tổ hợp – Xác suất của lớp 11 11

1.2.2 Ý nghĩa về chủ đề Tổ hợp – Xác suất của lớp 11 12

1.2.3 Mu ̣c đích – yêu cầu của viê ̣c rèn luyê ̣n kỹ năng giải bài toán Tổ hợp – Xác suất: 13

1.2.4 Các dạng toán Tổ hợp - Xác suất 14

1.3 Vài nét đánh giá thực tra ̣ng của học sinh khi học Tổ hợp và Xác suất 22

1.4 Kết luận chương 1 27

CHƯƠNG 2 CÁC BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN TỔ HỢP - XÁC SUẤT 28

2.1 Các định hướng đề xuất biện pháp 28

2.2 Các biện pháp rèn luyện 28

3

2.2.1 Biện pháp 1: Vận dụng các phương pháp dạy học tích cực vào dạy học giải

toán Tổ hợp - Xác suất 28

2.2.2 Biện pháp 2: Nhấn mạnh vào những dấu hiệu đặc trưng trong truyền thụ tri thức về Tổ hợp - Xác suất 35

2.2.3 Biện pháp 3: Rèn luyện kĩ năng phân chia trường hợp trong dạy học giải toán thuộc chủ đề Tổ hợp - Xác suất 39

2.2.4 Biện pháp 4: Rèn luyện kĩ năng toán học hoá các bài toán thực tiễn, và liên hệ với các môn học khác trong dạy học giải toán chủ đề Tổ hợp - Xác suất 43

2.3 Kết luận chương 2 52

CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 53

3.1 Mục đích thực nghiệm 53

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm 53

3.2.1 Tổ chức thực nghiệm 53

3.2.2 Nội dung thực nghiệm 53

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm 55

3.3.1 Đánh giá định tính 55

3.3.2 Đánh giá định lượng 55

3.4 Kết luận chương 3 58

KẾT LUẬN 59

TÀI LIỆU THAM KHẢO 60

PHỤ LỤC 61

5

MỞ ĐẦU

1 Ly ́ do cho ̣n khóa luâ ̣n

1.1 Lý thuyết xác suất là ngành Toán học nghiên cứu tìm ra các quy luật chi

phối các hiện tượng ngẫu nhiên, đưa ra các phương pháp dự báo, ước lượng, tính toán Xác suất của một biến ngẫu nhiên Sự ra đời của lý thuyết xác suất bắt đầu từ trao đổi giữa hai nhà toán học vĩ đại người Pháp là Pa-xcan (1623-1662) và Phéc-ma (1601-1665) xung quanh cách giải đáp một số vấn đề rắc rối nảy sinh trong các trò chơi cờ bạc mà một nhà quý tộc Pháp đặt ra cho Pa-xcan Ngày nay lý thuyết Xác suất đã trở thành một ngành Toán học quan trọng, được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực của khoa học tự nhiên, khoa học xã hội, công nghệ, kinh tế, y học, sinh học, …Đại số Tổ hợp xuất hiện vào thế kỉ XVII Trong một thời gian dài, nó nằm ngoài hướng phát triển chung và những ứng dụng của toán học Sau khi máy tính điện tử ra đời và tiếp sau đó là sự phát triển nhảy vọt của toán học hữu hạn Ngày nay phương pháp Tổ hợp được áp dụng rộng rãi trong lí thuyết Xác suất với vai trò là công cụ tính xác suất, trong thống kê, trong quy hoạch toán học, trong hình học hữu hạn, hình học tổ hợp, trong lý thuyết biểu diễn nhóm, lí thuyết các đại số không kết hợp, …

Ngành toán ho ̣c này rất cần thiết với đời sống của con người nhằm khám phá ra các quy luâ ̣t của tự nhiên và xã hô ̣i Mă ̣t khác, các vấn đề thuô ̣c phương pháp và kỹ thuâ ̣t tính toán về tổ hợp và xác suất áp du ̣ng rất nhiều trong giải quyết những bài toán thực tiễn phức ta ̣p của đời sống xã hô ̣i

Vì vâ ̣y lí thuyết xác suất đã được đưa và chương trình toán 11 nhằm cung cấp cho ho ̣c sinh THPT những kiến thức cơ bản về ngành toán ho ̣c quan tro ̣ng này

1.2 Môn Toán phải góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ,

hình thành khả năng suy luận đặc trưng của Toán học cần thiết cho cuộc sống, rèn luyện kĩ năng vận dụng các kiến thức đã học vào việc giải các bài toán đơn giản của thực tiễn, phát triển khả năng suy luận có lý, hợp lôgic trong những tình huống cụ thể, khả năng tiếp nhận và biểu đạt các vấn đề một cách chính xác Để có thể ho ̣c tốt chủ đề Tổ hơ ̣p – Xác suất ho ̣c sinh không những nắm được các khái niê ̣m các công thức

6

cơ bản như: không gian mẫu, biến cố, biến cố xung khắc,…biết sử du ̣ng linh hoa ̣t các quy tắc cô ̣ng, nhân, giải bài toán tính xác suất quan tro ̣ng hơn là biết vâ ̣n du ̣ng các kiến thức đó để giải quyết các bài toán, các tình huống cu ̣ thể

1.3 Trên tinh thần đó, để phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh

chúng ta cần tăng cường cho học sinh vận dụng kiến thức vào nhiều tình huống khác nhau thông qua hệ thống bài tập đa dạng, phong phú để rèn luyện kĩ năng giải toán và phát triển tư duy cho học sinh Khi đó, học sinh hiểu biết nhìn nhận mọi vấn đề dưới nhiều góc độ khác nhau Thông qua việc giải các bài tập toán còn giúp học sinh hiểu đươ ̣c bản chất của vấn đề, không còn lúng túng trong viê ̣c giải bài toán tính xác suất, hơn nữa ta ̣o cho các em hứng thú ho ̣c tâ ̣p, say mê tìm tòi sáng ta ̣o Giúp học sinh hiểu biết hơn về lĩnh vực Tổ hợp - Xác suất là góp phần cho các em say mê môn toán nói riêng và các môn khoa học khác nói chung

Với mong muốn ấy, tôi ma ̣nh da ̣n cho ̣n khóa luâ ̣n: “Rèn luyê ̣n kỹ năng giải mô ̣t số bài toán về Tổ hợp – Xác suất cho ho ̣c sinh lớp 11”

2 Mu ̣c đích nghiên cứu

Nghiên cứu đặc điểm của chủ đề Tổ hợp - Xác suất trong chương trình phổ thông và việc giải toán Tổ hợp - Xác suất, từ đó xây dựng một số biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện kĩ năng giải một số bài toán Tổ hợp - Xác suất cho học sinh lớp 11

3 Nhiê ̣m vu ̣ nghiên cứu

3.1 Tìm hiểu mô ̣t số vấn đề lý luâ ̣n kỹ năng giải bài tâ ̣p toán

3.2 Làm rõ thêm nô ̣i dung chủ đề Tổ hợp – Xác suất cho ho ̣c sinh lớp 11 và kỹ năng giải toán thuô ̣c chủ đề này

3.3 Đề xuất ra các biê ̣n pháp rèn luyê ̣n kỹ năng giải toán Tổ hợp – Xác suất cho

ho ̣c sinh lớp 11

3.4 Thử nghiê ̣m sư pha ̣m để xem tính khả thi và hiê ̣u quả của các phương pháp đề xuất

4 Phương pha ́ p nghiên cứu

4.1 Phương pháp nghiên cứu lý luâ ̣n:

7

+Đo ̣c phân tích, hê ̣ thống hóa, khái quát hóa, tài liê ̣u liên quan đến khóa luâ ̣n

+ Nghiên cứu mô ̣t số tài liê ̣u về lý luâ ̣n da ̣y ho ̣c, nghiên cứu SGK và mô ̣t số tài liê ̣u tham khảo như sách, báo ta ̣p chí liên quan đến da ̣y và ho ̣c Tổ hợp – Xác suất

4.2 Nho ́ m phương pháp nghiên cứu thực tiễn

- Phương pháp quan sát: dự giờ, chủ đô ̣ng quan sát viê ̣c ho ̣c toán Tổ hơ ̣p – Xác suất của ho ̣c sinh lớp 11

- Phương pháp điều tra: điều tra bằng hê ̣ thống câu hỏi và bài tâ ̣p chương Tổ hơ ̣p – Xác suất

- Phương pháp thử nghiê ̣m

- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia

5 Cấu tru ́ c của khóa luâ ̣n

Tên khóa luâ ̣n: Rèn luyê ̣n kỹ năng giải một số bài toán Tổ hợp – Xác suất cho học sinh lớp 11

Ngoài phần mở đầu khóa luâ ̣n có 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lý luâ ̣n và thực tiễn

Chương 2: Các biê ̣n pháp rèn luyê ̣n kỹ năng giải mô ̣t số bài toán xác suất cho

8

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Ky ̃ năng giải toán và vấn đề rèn luyê ̣n kỹ năng giải toán cho ho ̣c sinh 1.1.1 Ky ̃ năng

“Kỹ năng là khả năng vâ ̣n du ̣ng tri thức khoa ho ̣c và thực tiễn Trong đó, khả năng đươ ̣c hiểu là: Sức đã có (về mô ̣t mă ̣t nào đó) để thực hiê ̣n mô ̣t viê ̣c gì”

Theo tâm lý ho ̣c, kỹ năng là khả năng thực hiê ̣n có hiê ̣u quả mô ̣t hành đô ̣ng nào đó theo mô ̣t mu ̣c đích trong những điều kiê ̣n xác đi ̣nh Nếu ta ̣m thời tách tri thức và kỹ năng để xem xét riêng từng các tri thức thuô ̣c pham vi nhâ ̣n thức, thuô ̣c về khả năng “biết”, còn kỹ năng thuô ̣c pha ̣m vi hành đô ̣ng, thuô ̣c pha ̣m vi “biết làm”

Các nhà giáo du ̣c cho rằng: “Mo ̣i kiến thức bao gồm mô ̣t phần là thông tin kiến thức thuần túy và mô ̣t phần là kỹ năng”

Kỹ năng là mô ̣t nghê ̣ thuâ ̣t, là khả năng vâ ̣n du ̣ng những hiểu biết ở mỗi người để

đa ̣t đươ ̣c mu ̣c đích Kỹ năng còn có thể đă ̣c trưng như mô ̣t thói quen nhất đi ̣nh và cuối cùng kỹ năng là khả năng làm viê ̣c có phương pháp

“Trong toán ho ̣c, kỹ năng là khả năng giải các bài toán Kỹ năng trong toán ho ̣c quan tro ̣ng hơn nhiều so với kiến thức thuần túy, so với thông tin trơn”

“Trong thực tế da ̣y ho ̣c cho thấy, ho ̣c sinh thường gă ̣p khó khăn khi vâ ̣n du ̣ng các kiến thức đã ho ̣c vào giải quyết các bài tâ ̣p cu ̣ thể là do: ho ̣c sinh không nắm vững các khái niê ̣m, đi ̣nh lí, quy tắc, không trở thành cơ sở của kỹ năng Muốn hình thành được kỹ năng, đă ̣c biê ̣t là kỹ năng giải toán xác suất cho ho ̣c sinh, người thầy phải tổ chức cho ho ̣c sinh ho ̣c toán trong hoa ̣t đô ̣ng và bằng hoa ̣t đô ̣ng tự giác, tích cực, sáng ta ̣o để

ho ̣c sinh có thể nắm vững tri thức, có kỹ năng và sẵng sàng vâ ̣n du ̣ng vào thực tiễn Góp phần thực hiê ̣n nguyên lý của nhà trường phổ thông là: “Ho ̣c đi đôi với hành, giáo du ̣c kết hợp với lao đô ̣ng sản xuất, nhà trường gắn liền với xã hô ̣i”

1.1.2 Ky ̃ năng giải toán

“Kỹ năng giải toán là khả năng vâ ̣n du ̣ng các tri thức toán ho ̣c để giải các bài tâ ̣p toán (bằng suy luâ ̣n, chứng minh)”

9

Để thực hiê ̣n tốt môn toán trong trường THPT, mô ̣t trong những yêu cầu đă ̣t ra là:

“Về tri thức và kỹ năng, cần chú ý những tri thức, phương pháp đă ̣c biê ̣t là tri thức có tính chất thuâ ̣t toán và những kỹ năng tương ứng Chằng ha ̣n: tri thức và kỹ năng giải

bài toán tính xác suất bằng quy tắc cô ̣ng, quy tắc nhân, tri thức và kỹ năng giải bài toán tính xác suất theo đi ̣nh nghĩa cổ điển…

Cần chú ý là tùy theo nô ̣i dung kiến thức toán ho ̣c mà có những yêu cầu rèn luyê ̣n kỹ năng khác nhau

1.1.3 Phân loa ̣i kỹ năng trong môn toán

Giải một bài toán là tiến hành một hệ thống các hành động có mục đích, do đó chủ thể giải toán cần phải: nắm vững các tri thức về hành động, thực hiện hành động theo các nhu cầu cụ thể của tri thức đó, biết hành động có kết quả trong những điều kiện khác nhau Trong giải Toán thì kĩ năng của học sinh chính là khả năng vận dụng sáng tạo, có mục đích những tri thức và kinh nghiệm đã có vào giải các bài toán cụ thể, thực hiện có kết quả một hệ thống hành động giải toán để đi đến lời giải của bài toán một cách khoa học Hệ thống kĩ năng giải toán của học sinh có thể chia thành ba cấp

độ: biết làm, thành thạo và sáng tạo trong việc giải các bài toán cụ thể

Trong giải Toán, học sinh cần có nhóm kĩ năng chung sau:

+ Kĩ năng tìm hiểu nội dung bài toán;

+ Kĩ năng tìm kiếm, đề ra chiến lược giải, hướng giải bài toán;

+ Kĩ năng xây dựng và thực hiện kế hoạch giải;

+ Kĩ năng kiểm tra đánh giá tiến trình giải toán và kết quả bài toán;

+ Kỹ năng thu nhâ ̣n hợp thức hoá bài toán thành kiến thức mới của người giải toán

Ngoài ra cần chú ý rèn luyện các nhóm kĩ năng cụ thể sau:

10

+ Kĩ năng ước lượng đo đạc

+ Kĩ năng toán học hoá các tình huống thực tiễn

Nhóm kĩ năng về tư duy

+ Kĩ năng tổ chức hoạt động nhận thức trong giải Toán

+ Kĩ năng tổng hợp

+ Kĩ năng phân tích

+ Kĩ năng mô hình hoá

+ Kĩ năng sử dụng thông tin

Xét kĩ năng toán học trên 3 bình diện: Kĩ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn Toán, kĩ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn học khác, kĩ năng vận dụng Toán học vào đời sống

1.1.4 Đă ̣c điểm của kỹ năng giải toán

Khái niê ̣m kỹ năng ở trên chứa đựng những đă ̣c điểm sau:

- Bất cứ kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết đó là kiến thức

Bởi vì, cấu trúc của kỹ năng là: hiểu mu ̣c đích – biết cách thức đi đến kết quả – hiểu những điều kiê ̣n để triển khai cách thức đó

- Kiến thứ c là cơ sở của kỹ năng, khi kiến thức đó phản ánh đầy đủ các thuô ̣c tính bản chất của đối tượng, được thử nghiê ̣m trong thực tiễn và tồn ta ̣i trong ý thức với tư cách là công cu ̣ của hành đô ̣ng Cùng với vai trò cơ sở của tri thức, cần thấy rõ tầm quan tro ̣ng của kỹ năng Bởi vì: “Môn toán là môn ho ̣c công cu ̣ có đă ̣c điểm và vi ̣ trí

đă ̣c biê ̣t trong viê ̣c thực hiê ̣n nhiê ̣m vu ̣ phát triển nhân cách trong trường phổ thông” Vì vâ ̣y cần hướng ma ̣nh vào viê ̣c vâ ̣n du ̣ng tri thức và rèn luyê ̣n kỹ năng, vì kỹ năng chỉ có thể được hình thành và phát triển trong hoa ̣t đô ̣ng

- Kỹ năng giải toán phải dựa trên cơ sở tri thức toán ho ̣c, bao gồm: kiến thức, kỹ năng, phương pháp

1.1.5 Sư ̣ hình thành kỹ năng giải toán

Vi ́ du ̣: Khi rèn luyê ̣n kỹ năng giải toán xác suất bằng quy tắc cô ̣ng, cần chú ý

giúp ho ̣c sinh nhâ ̣n ra cách xác đi ̣nh biến cố đối, biến cố hợp từ đó tính xác suất của biến cố đối, biến cố hơ ̣p

Chẳng ha ̣n:

1.Một hô ̣p đựng 8 viên bi xanh, 4 viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi Tính xác suất để

a Lấy được 3 viên bi cùng màu

b Lấy được 3 viên bi khác màu

c Lấy được ít nhất 2 viên bi xanh

Những bài tâ ̣p da ̣ng này giúp ho ̣c sinh củng cố kỹ năng sử du ̣ng quy tắc cô ̣ng để tính xác suất của biến cố đối, biến cố hợp Ngoai ra còn sử du ̣ng kỹ thuâ ̣t đếm và cách xác đi ̣nh biến cố đối, biến cố hợp

Vâ ̣y viê ̣c truyền thu ̣ kiến thức, rèn luyê ̣n kỹ năng là nhiê ̣m vu ̣ quan tro ̣ng hàng đầu cuả bô ̣ môn toán trong nhà trường phổ thông nói chung và chủ đề toán Tổ hợp – Xác suất lớp 11 nói riêng

1.2 Nô ̣i dung chủ đề Tổ hợp – Xác suất của lớp 11

1.2.1 Vai tro ̀ về chủ đề Tổ hơ ̣p – Xác suất của lớp 11

Xu thế chung của giáo dục Toán học phổ thông hiện nay trên thế giới là tăng cường thực hành ứng dụng cho học sinh Vì vậy đa số các nước trên thế giới đã có sự thống

Các bài toán Tổ hợp – Xác suất “là một bộ phận quan trọng của toán học có nội dung rất phong phú và nhiều ứng dụng trong thực tiễn khoa học kĩ thuật cũng như trong đời sống hàng ngày của chúng ta” Và ngày nay, trong các kì thi quốc gia và quốc tế thường không vắng bóng các bài toán Tổ hợp – Xác suất, nhất là trong các kì thi học sinh giỏi Toán Thông thường đây là các bài toán khó không chỉ đối với học sinh Việt nam mà cả với học sinh quốc tế nói chung

1.2.2 Ý nghi ̃a về chủ đề Tổ hợp – Xác suất của lớp 11

Trong khoa ho ̣c cũng như trong cuô ̣c sống, chúng ta thường gă ̣p các bài toán xác

đi ̣nh số lượng các đối tượng có mô ̣t tính chất nào đó, ta go ̣i là bài toán đếm Tổ hợp là

mô ̣t ngành toán ho ̣c nghiên cứu các bài toán có cấu trúc như thế Nhờ nghiên cứu lý thuyết về tổ hợp mà chúng ta có thể xác đi ̣nh được số lượng các phần tử của mô ̣t tâ ̣p hợp mô ̣t cách nhanh chóng, chính xác mà không cần liê ̣t kê tất cả các phần tử vì trong nhiều trường hợp điều đó là không khả quan Từ đó mà ta thấy được rằng viê ̣c rèn luyê ̣n kỹ năng những yếu tố của tổ hợp là rất cần thiết phu ̣c vu ̣ cho nhiều ứng du ̣ng trong thực tế hơn nữa là giải toán xác suất

Bản thân mỗi chúng ta thường tiếp xúc, va cha ̣m với biến cố ngẫu nhiên, những tình huống có yếu tố may rủi, những vấn đề không thể dự đoán trước được chắc chắn xảy ra hay không xảy ra Lý thuyết xác suất là ngành toán ho ̣c nghiên cứu tìm ra các quy luâ ̣t chi phối các hiê ̣n tượng ngẫu nhiên, đưa ra các phương pháp dự báo, ước lượng tính

1.2.3 Mu ̣c đích – yêu cầu của viê ̣c rèn luyê ̣n kỹ năng giải bài toán Tổ hợp – Xác suất:

i) Phần kiến thư ́ c về Tổ hơ ̣p – Xác suất đưa vào chương trình lớp 11 nhằm cung cấp cho ho ̣c sinh những hiểu biết ban đầu, cơ bản về nô ̣i dung này Và mu ̣c đích của viê ̣c rèn luyê ̣n nô ̣i dung này là sau khi ho ̣c xong thì ho ̣c sinh đa ̣t được: a) Về kiến thư ́ c:

- Nắm được hai quy tắc đếm cơ bản là quy tắc cô ̣ng và quy tắc nhân, phân biê ̣t đươ ̣c hai quy tắc này

- Hiểu được các khái niê ̣m hoán vi ̣, chỉnh hợp, tổ hợp Đă ̣c biê ̣t thấy rõ mối liên

hê ̣ và sự khác nhau giữa tổ hợp và chỉnh hợp Nhớ các công thức tính số hoán

vi ̣, số chỉnh hợp và số tổ hợp

- Nắm được công thức tính nhi ̣ thức Niu-tơn, cách thiết lâ ̣p tam giác Pa-xcan

- Nắm được các khái niê ̣m: phép thử không gian mẫu, kết quả thuâ ̣n lợi cho mô ̣t biến cố

- Nắm vững cách tính xác suất theo đi ̣nh nghĩa cổ điển

- Nắm được quy tắc cô ̣ng và quy tắc nhân xác suất

14

- Biết vận du ̣ng quy tắc cô ̣ng và nhân xác suất để giải mô ̣t số bài toán xác suất đơn giản

ii) Re ̀n luyê ̣n kỹ năng giải toán xác suất cần đa ̣t đươ ̣c những yêu cầu sau:

1/ Giúp ho ̣c sinh hình thành nắm vững ma ̣ch kiến thức cơ bản trong chương 2 Tổ hợp – Xác suất, có thể kể tới các kiến thức sau:

- Quy tắc đếm

- Hoán vi ̣ – Chỉnh hợp – Tổ Hợp

- Nhị thức Niu-tơn

- Phép thử của biến cố

- Xác suất của biến cố

2/ Giúp ho ̣c sinh phát triển các năng lực trí tuê ̣, cu ̣ thể là:

- Tư duy logic và ngôn ngữ chính xác, trong đó có tư duy thuâ ̣t toán

- Khả năng suy đoán, tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng không gian

- Những thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa

- Các phẩm chất trí tuê ̣ như tư duy đô ̣c lâ ̣p, tư duy linh hoa ̣t và sáng ta ̣o

3/ Coi tro ̣ng viê ̣c rèn luyê ̣n kỹ năng tính toán trong khi ho ̣c giải bài toán về Tổ hợp – Xác suất

Kỹ năng giải bài tâ ̣p toán, đă ̣c biê ̣t về giải toán Tổ hợp – Xác suất bao gồm mô ̣t hê ̣ thống các thao tác tri tuê ̣ và thực hành để vâ ̣n du ̣ng tri thức (kiến thức, phương pháp) vào viê ̣c giải các bài tâ ̣p khác nhau đa ̣t được mô ̣t số yêu cầu của chủ đề giải bài tâ ̣p về Tổ hơ ̣p – Xác suất trong chương trình giải tích

1.2.4 Các dạng toán Tổ hợp - Xác suất

Khi đứng trước một bài toán có bao giờ chúng ta tự hỏi “Bài toán này thuộc kiểu gì?” Đây không hoàn toàn là một câu hỏi vô bổ mà ngược lại, nêu câu hỏi như vậy có thể có ích, bởi lẽ nếu trả lời được câu hỏi này ở một chừng mực nhất định có nghĩa là

ta đã xếp được bài toán này vào một loại nào đó, đối chiếu bài toán với đoạn này đoạn kia đã từng được biết đến trong sách giáo khoa hoặc trong quá trình giải toán, thì như

15

vậy chúng ta đã tiến thêm một bước, hãy nhớ lại phương pháp giải các bài toán kiểu

đó mà ta đã nghiên cứu trước đây

Điều này không chỉ đúng cho những bài toán giản đơn mà còn đúng với việc giải mọi bài toán ở bất kỳ độ phức tạp nào Câu hỏi nói trên sẽ dẫn đến một câu hỏi tiếp theo “Có thể sử dụng biện pháp nào để giải bài toán kiểu này?” Và những câu hỏi tương tự như thế cứ lần lượt xuất hiện cho đến khi điều bí mật được hé mở

Việc phân loại các bài toán, vạch ra sự khác biệt giữa các bài toán theo từng kiểu, có thể giúp ích ta khi giải toán Một sự phân loại tốt phải chia các bài toán thành

những kiểu sao cho mỗi kiểu bài toán quy định trước một phương pháp giải

1.2.4.1 Các dạng bài tập về chủ đề Tổ hợp

i) Bài toán đếm

Đây là các bài toán nhằm trả lời cho câu hỏi “Có bao nhiêu cấu hình thoả mãn

điều kiện đã nêu?” Phương pháp đếm thường dựa vào một số nguyên lý cơ bản và một số kết quả đếm các cấu hình đơn giản Bài toán đếm được sử dụng trong việc tính toán xác suất và một số lĩnh vực khác

 Đặc trưng của bài toán đếm:

Bài toán được cho bằng lời, các vấn đề mà bài toán nhắm đến là các vấn đề nảy

sinh trong cuộc sống hàng ngày Các đối tượng của bài toán là hữu hạn và rời rạc

 Các dạng bài toán đếm và phương pháp giải:

Bài toán 1: Đếm số phần tử của hợp các tâ ̣p hợp (quy tắc cộng)

Một công việc được hoàn thành bởi 2 (hay nhiều) phương án Nếu có m cách thực hiện phương án 1 và n cách thực hiện phương án 2 (không trùng với m cách thực hiện phương án 1) thì sẽ có m + n cách thực hiện công việc

Ba ̀i toán 2: Đếm số cấu hình được xây dựng theo nhiều bước (quy tắc nhân)

16

Một công việc được hoàn thành bởi 2 (hay nhiều) bước Nếu có m cách thực hiện bước 1 và n cách thực hiện bước 2 thì sẽ có m.n cách thực hiện công việc

Bài toán 3: Đếm số cấu hình là hoán vị

Một tập hợp có n phần tử, mỗi cách sắp xếp thứ tự của n phần tử này được gọi

là một hoán vị của n phần tử Số hoán vị của n phần tử ký hiệu là P nvà được tính bằng công thức: P nn!

Bài toán 4: Đếm số cấu hình là tổ hợp

Một tập hợp có n phần tử, mỗi cách chọn ra k trong n phần tử đó được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử Số tổ hợp chập k của n phần tử ký hiệu là k

n C

17

Một tập hợp có n phần tử, mỗi cách chọn ra k trong n phần tử đó và sắp xếp thứ tự k phần tử này được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử Số chỉnh hợp chập k của

Bài toán 6: Đếm số cấu hình là hỗn hợp của nhiều cấu hình cơ bản

Phối hợp sử dụng các kiến thức về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để giải các bài toán đươ ̣c phân theo các da ̣ng cơ bản sau:

Da ̣ng 1 Sắp xếp các đối tượng vào các vi ̣ trí

Cho A là tâ ̣p gồm m phần tử và B là tâ ̣p gồm n vi ̣ trí khác nhau Yêu cầu bài toán là sắp xếp các phần tử của tâ ̣p hợp A vào các vi ̣ trí trong tâ ̣p hợp B theo mô ̣t điều kiê ̣n nào đó

Cách giải Ta xem trong hai tâ ̣p A và B tâ ̣p nào ít phần tử hơn thì phần tử của tâ ̣p

đó được cho ̣n phần tử của tâ ̣p còn la ̣i

 Thí du ̣ 1 cho tâ ̣p hợp A={1; 2; 3; 4; 5}

Từ tâ ̣p A lâ ̣p được bao nhiêu số: Có 6 chữ số sao cho trong mỗi số đó 1 xuất hiê ̣n hai lần, còn các số khác xuất hiê ̣n đúng mô ̣t lần?

Lời giải

Tâ ̣p B gồm 6 vi ̣ trí (ô)

Ta thấy tâ ̣p A có 5 phần tử, còn số cần lâ ̣p có 6 chữ số (6 vi ̣ trí như hình vẽ trên) Như vâ ̣y các phần tử của A sẽ cho ̣n các vi ̣ trí Thực hiê ̣n các bước liên tiếp:

+ Đă ̣t số 5 vào 1 trong 6 ô trên: Có 6 cách

+ Đă ̣t số 4 vào 1 trong 5 ô còn la ̣i: Có 5 cách

18

+ Đă ̣t số 3 vào 1 trong 5 ô còn la ̣i: Có 4 cách

+ Đă ̣t số 2 vào 1 trong 5 ô còn la ̣i: Có 3 cách

+ Cuối cùng số 1 phải đă ̣t vao 2 ô cuối cùng, tức là có mô ̣t cách đă ̣t

Theo quy tắc nhân có 6.5.4.3=360 (số)

Da ̣ng 2 Phương pháp lâ ̣p bảng

 Thí du ̣ 2

Đô ̣i thanh niên xung kích của mô ̣t trường trung ho ̣c phổ thông có 12 ho ̣c sinh, gồm

5 ho ̣c sinh lớp A, 4 ho ̣c sinh lớp B, 3 ho ̣c sinh lớp C Cần cho ̣n 4 ho ̣c sinh đi làm nhiê ̣m vu ̣, sao cho mỗi lớp có ít nhất 1 ho ̣c sinh Hỏi có bao nhiêu cách cho ̣n như vâ ̣y?

Hướng dẫn giải:

Ta lâ ̣p bảng sau để phân chia các trường hợp có thể xảy ra:

Trường

hơ ̣p

Lớp A (5 hs)

Lớp B (4 hs)

Lớp C (3 hs)

Số cách cho ̣n

Da ̣ng 3: Phương pháp ta ̣o “vách ngăn”

Khi bài toán yêu cầu xếp hai hoă ̣c nhiều các phần tử không đứng ca ̣nh nhau Chúng ta có thể ta ̣o ra các “vách ngăn” các phần tử này trước khi xếp chúng

 Thí du ̣ 3 Có 6 ho ̣c sinh và 2 thầy giáo được xếp thành hàng ngang Hỏi có bao

nhiêu các sắp xếp sao cho 2 thầy giáo không đứng ca ̣nh nhau?

Lời giải Trước khi xếp, xếp 6 ho ̣c sinh thành mô ̣t hàng: Có 6! cách Khi đó mỗi

ho ̣c sinh đóng vai trò là mô ̣t vách ngăn và ta ̣o nên 7 vi ̣ trí để xếp 2 thầy giáo vào đó + Xếp 2 thầy giáo vào 2 trong 7 vi ̣ trí: Có 2

7

A cách

19

Theo quy tắc nhân có tất cả: 2

7

6!.A 30240cách sắp xếp

Da ̣ng 4 Phương pháp “buô ̣c” các phần tử

Đối ngẫu vớ i phương pháp ta ̣o “vách ngăn” là phương pháp “buô ̣c” các phần tử Các bài tâ ̣p da ̣ng này yêu cầu xếp hai hoă ̣c nhiều phần tử đứng ca ̣nh nhau Vì vâ ̣y ta

“buô ̣c” các phần tử này thành mô ̣t nhóm và coi như mô ̣t phần tử

 Thí du ̣ 7

Mô ̣t ho ̣c sinh gồm 4 ho ̣c sinh lớp A, 3 ho ̣c sinh lớp B, 5 ho ̣c sinh lớp C Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các ho ̣c sinh trên thành mô ̣t hàng ngang sao cho 4 ho ̣c sinh lớp A đứng ca ̣nh nhau, 3 ho ̣c sinh lớp B đứng ca ̣nh nhau?

Hươ ́ ng dẫn giải Ta “buô ̣c” 4 ho ̣c sinh lớp A la ̣i và coi như mô ̣t phần tử A,

“buô ̣c” 3 ho ̣c sinh lớp B la ̣i và coi như mô ̣t phần tử B Khi đó xếp 7 ho ̣c sinh (gồm 5

ho ̣c sinh lớp C và 2 phần tử A, B) thành mô ̣t hàng có 7! cách

Sau đó xếp thứ tự trong nhóm A có 4! cách; xếp thứ tự trong nhóm B có 3! cách Tóm la ̣i, có cả thảy là 7!.4!.3!=725760 cách sắp xếp

Da ̣ng 5 Phương pháp tìm gián tiếp: Xét bài toán đối

Khi giải bài toán bằng cách giải trực tiếp gă ̣p khó khăn do xảy ra quá nhiều trường

hơ ̣p, chúng ta tìm gián tiếp bằng cách xét bài toán đối

 Thí du ̣ 8 Trong hô ̣p có 20 quả cầu kích thước giống nhau gồm 10 quả xanh; 10

quả vàng Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 9 quả cầu sao cho 9 quả cầu lấy ra đó có

đủ cả hai màu?

Lời giải Lấy ra 9 quả cầu trong 20 quả cầu:

C 2.C109 = 167940 cách lấy ra 9 quả cầu thỏa mãn yêu cầu bài toán

ii) Bài toán sử dụng công thức nhị thức Niu tơn

20

Tính hệ số trong khai triển nhị thức Niu- tơn

 Thí du ̣ 9: Tìm hệ số của x101y99 trong khai triển (2x-3y)200

Giải: (2x-3y)200

= (2x+(-3y))200

y x C

y x

C x x

200 200

200 200 200

Ta có 200 101

99

k k

 

  k 99

Vậy hệ số của x101y99 trong khai triển (2x-3y)200 là 20099 99

99 99 99

2015 1

2015

(0 k 2014 )

Chứng minh một hệ thức giữa các C n kbằng cách biến đổi đại số

 Thí du ̣ 11: Chứng tỏ rằng n nguyên dương thì

1 2 2 1

1 (

) 2 2 ( )!

2 ( ) 1 )(

2 2 ( )!

2 ( 2

1 )!

1 ( )!

1 (

) 1 ( )!

2 ( )!

1 ( )!

2 ( )!

1 ( )!

1 (

)!

2 (

n n n n

n n n

n

n n n n

n n

n

n n

n

n C

C n n n n

2

1 )!

1 (

Gieo hai con xúc sắc cân đối đồng chất Mô tả không gian mẫu, tìm số phần tử của

không gian mẫu?

Cách 2: Con xúc sắc thứ nhất có 6 khả năng xảy ra, con xúc sắc thứ hai cũng có

6 khả năng xảy ra, theo quy tắc cộng ta có, 6.6 = 36 (khả năng)

Như vậy, không gian mẫu có 36 phần tử và không gian mẫu



(1,1);(1,2); ;(6,6)





ii) Bài toán tính xác suất

+ Tính xác suất theo định nghĩa cổ điển

+ Ti ́nh xác suất bằng quy tắc cô ̣ng

Cách giải: Sử dụng kĩ thuật đếm và các công thức sau để tính xác suất của biến cố

đối biến cố hợp

P A  P A P AB P A P B , nếu A  B

+ Tinh xác suất bằng quy tắc nhân

Cách giải Để tính xác suất biến cố giao của hai biến cố đô ̣c lâ ̣p A và B ta dùng công

thức P AB( ) P A P B( ) ( )

Do thời gian có ha ̣n, khóa luâ ̣n chỉ tâ ̣p trung vào mô ̣t số da ̣ng toán Tổ hợp – Xác suất tiêu biểu, gơ ̣i mở cho ho ̣c sinh hướng giải và mở rô ̣ng bài toán

1.3 Va ̀i nét đánh giá thực tra ̣ng của học sinh khi học Tổ hợp và Xác suất

Với toán Tổ hợp – Xác suất đã được đưa vào chương trình Toán phổ thông từ lâu và nội dung tương đối ổn định, nhưng các suy luận không hoàn toàn giống suy luận toán học, lần đầu tiên học sinh đươ ̣c ho ̣c các quy tắc cô ̣ng và quy tắc nhân; các khái niê ̣m hoán vi ̣, chỉnh hợp, tổ hợp Làm quen với các khái niê ̣m phép thử, không gian mẫu, các biến cố liên quan đến phép thử, các phép toán trên biến cố, các đi ̣nh nghĩa xác suất, các công thức tính xác suất Do đó các em ho ̣c sinh thường gă ̣p khó khăn và dễ mắc sai lầm khi giải các bài toán thuô ̣c chủ đề này

i) Sai lầm trong việc nắm ngữ nghĩa và cú pháp

Theo A.A.Stôliar thì, không ít học sinh còn yếu trong việc nắm cú pháp của ngôn ngữ Toán học Học sinh vẫn hay nhầm giữa kí hiệu với khái niệm được định nghĩa

Ví dụ 1: Do sự lẫn lộn giữa đối tượng được định nghĩa và kí hiệu dùng để chỉ

số đối tượng ấy nên học sinh thường hay nói “Tổ hợp chập k của n là C n k ”, hoặc

Gieo hai con súc sắc cân đối

a) Mô tả không gian mẫu

b) Gọi A là biến cố “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con xúc xắc nhỏ hơn hoặc bằng 7” Liệt kê các kết quả thuận lợi cho A, tính P(A)

Họ sinh sẽ giải như sau:

a) Không gian mẫu là    a b a b N; / ,  *,1  a 6,1  b 6, không gian mẫu có

Lời giải trên đã mắc sai lầm ở chỗ học sinh đã đồng nhất biến cố A với tậpA

mô tả biến cố A do không nắm vững bản chất các khái niệm, học sinh có cách nhìn rất hình thức Tuy nhiên kết quả vẫn đúng

ii) Sai lầm trong việc lựa chọn các khái niệm, quy tắc để vận dụng vào giải Toán

Kiến thức về Tổ hợp và Xác suất có nhiều khái niệm, quy tắc mới mà khi vận dụng vào giải Toán học sinh rất hay nhầm lẫn và dẫn đến sai lầm

Ví dụ 3: Hai quy tắc đếm cơ bản của Đại số tổ hợp là quy tắc cộng và quy tắc

nhân, trong khi vận dụng vào giải Toán học sinh vẫn thường nhầm Chẳng hạn bài toán sau:

Suy luận hợp lí: “là suy luận có bao hàm những khái niệm hoặc những khẳng định không được xác định một cách thật chính xác và đơn trị (những khái niệm hợp lí hoặc những khẳng định hợp lí), nhưng nếu áp dụng nó với độ chính xác thích hợp (trong hoàn cảnh mà nó được áp dụng vào), thì vẫn có khả năng dẫn đến kết quả chấp nhận được”

Suy luận diễn dịch (hay còn gọi là suy diễn hay suy luận chứng minh) là suy luận theo những quy tắc (quy tắc suy diễn) xác định rằng, nếu tiên đề (các tiên đề) là đúng thì kết luận ra cũng đúng Các quy tắc suy diễn nói đến ở đây là quy tắc suy diễn của Logic hình thức “Suy luận chứng minh là suy luận đáng tin cậy, không chối cãi được và dứt khoát”

Khi giải các bài toán Xác suất có nội dung thực tiễn, học sinh buộc phải sử dụng kết hợp các suy luận hợp lí và các suy luận diễn dịch trong trình bày và chứng minh các kết quả đã thu được Như đã nói kĩ năng này là hoàn toàn mới đối với học sinh, vì thế học sinh không tránh khỏi những khó khăn nhất định ta xét ví dụ sau:

25

Ví dụ 4: Một con xúc xắc cân đối đồng chất được gieo 2 lần Tính xác suất sao

cho tổng số chấm trong hai lần gieo không nhỏ hơn 10, nếu số 5 xuất hiện trong lần gieo thứ nhất

Giải bài toán này ta phải làm theo các bước sau:

Bước 1: Không gian mẫu là:    i j; /1i j, 6

Ký hiệu A : “Số 5 xuất hiện trong lần gieo thứ nhất”

B : “Tổng số chấm trong hai lần gieo không nhỏ hơn 10”

iv) Khó khăn do ở học sinh cơ sở trực giác cho việc học các yếu tố của Lí thuyết xác suất là chưa có

Trực giác toán học được hiểu với nhiều nghĩa khác nhau và trên thực tế tồn tại nhiều dạng khác nhau Trực giác có thể coi là sự bừng sáng đột ngột chưa nhận thức được, có thể

là trực quan cảm tính "nhận thức trực tiếp không phải bằng suy luận của lý trí" (Từ điển Bách khoa toàn thư Việt Nam, tr 1369), là sự "thấy trực tiếp" các khái niệm hoặc sự kiện

26

trong các tình huống toán học (được hiểu theo nghĩa rộng bao gồm cả Toán học hình thức lẫn những tình huống thực tiễn mang đặc trưng toán học) Ở mức độ cao, trực giác toán học cho khả năng định hướng nghiên cứu trong các tình huống toán học mới không quen biết, dự đoán được kết quả nghiên cứu và đường lối tìm ra kết quả đó, phát hiện những sai lầm rõ ràng, trực giác toán học là là một nhân tố quan trọng trong quá trình nhận thức logic các yếu tố của toán học, và trong quá trình vận dụng toán học vào thực tiễn

Nếu các yếu tố của Đại số và Hình học có được chỗ dựa là trực giác số và trực giác không gian tương ứng của học sinh, thì đối với các yếu tố của Lí thuyết xác suất

cơ sở tương tự là không có Chính điều này dẫn đến những khó khăn ở học sinh khi học các yếu tố của Lí thuyết xác suất

Trực giác xác suất là trực giác toán học được thể hiện trong nghiên cứu các tình huống xác suất (được hiểu theo nghĩa rộng, bao gồm cả những tình huống trong các

mô hình toán học – xác suất, lẫn những tình huống thực tiễn mang đặc trưng xác suất)

Ví dụ 5: Gieo 3 đồng xu đồng chất và đối xứng Hãy tìm xác suất của các biến

cố ngẫu nhiên sau đây:

Biến cốA1: Không có mặt sấp nào xuất hiện

Biến cốA2: Có một mặt sấp xuất hiện

Biến cốA3: Có hai mặt sấp xuất hiện

Biến cốA4: Có ba măt sấp xuất hiện

Một học sinh giải như sau:

Ở kết quả của phép thử T: “Gieo 3 đồng xu đồng chất và đối xứng”, có thể xảy

ra một và chỉ một biến cố ngẫu nhiên trong các biến cố ngẫu nhiên sau đâyA1,A A A2, ,3 4

và các biến cố này là đồng khả năng Từ đó vận dụng định nghĩa cổ điển của xác suất

27

Thật vậy, khi phân tích để đi đến lời giải đúng ta thấy:

Khi thực hiện phép thử T, biến cốA1 chỉ có thể xảy ra một trường hợp: Trong kết quả của phép thử T, ở cả 3 đồng xu đều xuất hiện mặt ngửa; còn biến cốA2có thể xảy ra trong 3 trường hợp sau đây:

- Trường hợp 1: Trong kết quả của phép thử T, ở đồng xu thứ nhất xuất hiện mặt sấp và ở hai đồng xu khác xuất hiện mặt ngửa

- Trường hợp 2: Trong kết quả của phép thử T, ở đồng xu thứ 2 xuất hiện mặt sấp và hai đồng xu còn lại xuất hiện ngửa

- Trường hợp 3: Trong kết quả của phép thử T, ở đồng xu thứ 3 xuất hiện mặt sấp, còn hai đồng xu khác xuất hiện ngửa

Vậy biến cố A2có khả năng xảy ra nhiều hơn biến cốA1 , khi phép thử T thực hiện Bởi vậy các biến cố là không đồng khả năng Như vậy việc phân tích này bước đầu cho ta thấy “trực giác” trên cuả học sinh là sai

Để khắc phu ̣c tình tra ̣ng trên, trong chương 2 của khóa luâ ̣n, tôi sẽ đưa ra các biê ̣n pháp rèn luyê ̣n kỹ năng giải toán Tổ hợp – Xác suất, giúp các em ho ̣c sinh tự tin hơn khi gă ̣p các bài toán này

28

CHƯƠNG 2 CÁC BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN TỔ HỢP

- XÁC SUẤT

2.1 Các định hướng đề xuất biện pháp

Định hướng 1: Các biện pháp sư phạm được xây dựng phải dựa trên nền tảng tri thức

chuẩn sách giáo khoa Toán hiện hành

Định hướng 2: Các biện pháp sư phạm cần bảo đảm tạo ra khó khăn đúng mức, nhằm

làm cho học sinh được tham gia vào quá trình hình thành tri thức, kĩ năng

Định hướng 3: Hệ thống các biện pháp phải đảm bảo sự kích thích hứng thú học tập,

nhằm phát huy tính tích cực và năng lực trí tuệ của học sinh

Định hướng 4: Các biện pháp sư phạm được đề xuất phải dựa trên vốn kiến thức của

học sinh và việc rèn luyện kĩ năng một cách hợp lý sẽ góp phần giải quyết các vấn đề của Toán học

Định hướng 5: Các biện pháp sư phạm được đề xuất phải đảm bảo tính khả thi và

thông qua các biện pháp, học sinh phải thấy được vai trò của việc rèn luyện kĩ năng giải toán Tổ hợp - Xác suất

Chẳng hạn, vận dụng phương pháp hợp tác nhóm trong hai bài toán đếm Phương pháp dạy học hợp tác nhóm dựa trên nguyên lí về mối liên hệ phổ biến và quan hệ biện chứng giữa cá nhân và tập thể Nguyên lý về mối liên hệ phổ biến là:

29

Mọi sự vật hiện tượng đều tồn tại trong những mối liên hệ, tác động lẫn nhau và không loại trừ một lĩnh vực nào Đây là một trong hai nguyên lý của phép duy vật biện chứng Về quan hệ biện chứng giữa cá nhân và tập thể: Cá nhân tồn tại trong tập thể với tư cách là đơn vị cấu thành của cái toàn thể, biểu hiện bản sắc của mình thông qua tập thể, nhưng không hoà tan vào trong tập thể Cá nhân không tồn tại một cách đích thực nếu không gắn với một tập thể nhất định Giữa cá nhân và tập thể cần có sự kết hợp hài hoà và toàn diện giữa lợi ích và nhu cầu, sự bình đẳng và tôn trong lẫn nhau trên cơ sở nguyên tắc, ý thức trách nhiệm về nghĩa vụ và hành vi của mỗi cá nhân trước tập thể

Nếu vận dụng được phương pháp học tập hợp tác nhóm sẽ tạo điều kiện cho học sinh được hoạt động và giao lưu nhiều hơn, kiến thức được các em tìm tòi, tiếp thu được nhiều chiều hơn: qua thầy, qua bạn, qua thành công, qua thất bại, nên nắm được vấn đề hơn Thay cho việc thuyết trình giảng giải, giáo viên có thể thiết kế nhiệm vụ học tập cho học sinh, tạo ra tình huống dạy học hợp tác nhóm Phương pháp dạy học này có thể mất nhiều thời gian Nhưng bù lại, việc bàn bạc, thảo luận sẽ giúp học sinh hiểu sâu, nhớ lâu các khái niệm và phương pháp giải toán hơn

Để dạy học hợp tác nhóm có hiệu quả, cần lưu ý một số yêu cầu sau đây:

- Các thành viên trong nhóm đều phải làm việc và phải có sự hợp tác với nhau (cùng nhau bàn bạc và thông nhất ý kiến giúp đỡ lẫn nhau…)

- Quyền lợi của mỗi cá nhân trong nhóm phải gắn liền với quyền lợi của nhóm Tránh tình trạng chỉ một, hai em khá nhất làm, các em khác chỉ biết đứng nhìn, thậm chí còn chưa hiểu gì cả Nếu quyền lợi của nhóm phụ thuộc vào một thành viên bất kì của nhóm thì các thành viên trong nhóm sẽ có trách nhiệm với nhau hơn

Phương pháp học tập hợp tác nhóm thường được áp dụng trong những trường hợp cần có sự hợp tác, chia sẽ giữa các học sinh, chẳng hạn: cần phải giúp đỡ lẫn nhau để tất cả cùng thành thạo một kĩ năng nào đó, nhiều công việc tương tự nhau phù hợp với khả năng của các nhóm cần hoàn thành trong một khoảng thời gian ngắn, công việc cần có sự bàn bạc tìm cách giải quyết, cần có sự thi đua giữa các nhóm…

30

Vận dụng vào hai bài toán đếm: Giáo viên đưa ra một số bài toán về hai quy tắc đếm (từ cụ thể đến khái quát) ghi trên phiếu học tập, phát cho từng nhóm nghiên cứu thảo luận, đề xuất lời giải

Trước hết mỗi học sinh cần độc lập nghiên cứu lời giải các bài toán được ghi trong phiếu học tập Sau đó cả nhóm thảo luận và phát hiện ra khi nào, dạng nào thì dùng quy tắc cộng, khi nào dạng nào dùng quy tắc nhân Trong mỗi bài toán nên có cả hai quy tắc, tạo điều kiến để học sinh phân biệt được hai quy tắc đếm

Một phiếu học tập có thể gồm các nhóm bài toán sau:

1) Trong hộp có 6 viên bi trắng khác nhau và 3 viên bi đen khác nhau

a) Có bao nhiêu cách chọn ra một viên bi?

b) Có bao nhiêu cách chọn ra một cặp viên bi: Trắng, đen?

2) Trên giá sách có 4 quyển sách Văn và 3 quyển Toán

a) Có bao nhiêu cách chọn một quyển sách?

b) Có bao nhiêu cách lấy ra 2 quyển sách cùng loại?

3) Hoàng có 8 đồ mặc gồm 3 kiểu quần và 5 kiểu áo

a) Có bao nhiêu cách chọn một đồ mặc?

b) Có bao nhiêu cách chọn một bộ quần áo?

Nhóm 2 gồm các bài toán khái quát từ các bài toán cụ thể trên:

1) Một công việc được hoàn thành bởi hai hoạt động: hoạt động 1 một có m cách thực hiện, hoạt động hai có n cách thực hiện Hỏi có bao nhiêu cách để hoàn thành công việc?

2) Một công việc được hoàn thành bởi hai hoạt động liên tiếp: hoạt động 1 có m cách thực hiện, hoạt động 2 có n cách thực hiện Hỏi công việc có bao nhiêu cách thực hiện?

3) Một công việc được thực hành bởi hai phương án: phương án một có m cách, phương án hai có n cách Hỏi công việc có bao nhiêu cách thực hiện?

31

4) Một công việc được hoàn thành sau hai công đoạn: công đoạn một có m cách thực hiên, công đoạn hai có n cách thực hiện Hỏi công việc có bao nhiêu cách thực hiện?

Nhóm 3 gồm các bài toán để cũng cố tiếp các bài toán khái quát ở trên

1) Một cơ quan có 4 cổng để vào, ra

a) Có bao nhiêu cách vào rồi ra cơ quan?

b) Có bao nhiêu cách vào rồi ra cơ quan đó bằng hai cổng khác nhau?

2) Một tập bài có 5 quân đỏ khác nhau và 4 quân đen khác nhau

a) Có bao nhiêu cách chọn ra một quân bài?

b) Có bao nhiêu cách chọn ra hai quân bài khác nhau?

Bằng cách này giáo viên đã trang bị cho học sinh hai quy tắc đếm theo phương pháp dạy học tích cực

Giáo viên cần tạo ra các tình huống để học sinh trao đổi, thảo luận, để học khái niệm, tự tìm ra các quy tắc, công thức, lời giải

Giáo viên nên để cho học sinh tự làm, tự xoay xở, tự đưa ra giải pháp, trên cơ

sở đó giáo viên phân tích, góp ý, qua đó học sinh có được những kinh nghiệm giải toán, thấy được đúng sai trong cách suy nghĩ, cách giải quyết vấn đề, tránh được những sai lầm Bởi lẽ, điều gì nhanh nhớ thì cũng chóng quên, kinh nghiệm do mình

tự có thì nhớ suốt đời, có thể học được nhiều điều qua sai lầm …

Ví dụ 1: Tạo ra tình huống để học sinh học khái niệm xác suất

Tình huống được xây dựng trên cơ sở 3 hoạt động được tạo thành những màn với các chức năng khác nhau

Màn 1: Giới thiệu khái niệm phép thử ngẫu nhiên, mô tả không gian mẫu

Pha 1: Uỷ thác

Yêu cầu học sinh trả lời câu hỏi sau:

1 Gieo một đồng xu và quan sát mặt xuất hiện khi đồng xu nằm im?

Câu trả lời mong đợi: {S, N}

2 Gieo một con xúc sắc và quan sát mặt xuất hiện khi con xúc sắc nằm im?