Bước đầu nghiên cứu về sự ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân

3 1 Một số kiến thức cơ bản về ph-ơng trình vi phân 5 1 Tính chất tổng quát nghiệm của hệ ph-ơng trình vi phân tuyến tính.. Lí do chọn đề tài của khóa luận Lí thuyết ổn định toán học là

Mục lục

Mở đầu 3

1 Một số kiến thức cơ bản về ph-ơng trình vi phân 5 1 Tính chất tổng quát nghiệm của hệ ph-ơng trình vi phân tuyến tính 5

2 Công thức Ostrogratski-Liouville 6

3 Ph-ơng pháp biến thiên hằng số Lagrange 8

4 Bổ đề Growall-Bellman và Bihari 10

2 Các khái niệm cơ bản về lý thuyết ổn định 13 1 Các khái niệm cơ bản về lý thuyết ổn định 13

2 Các định lý tổng quát về sự ổn định của hệ vi phân tuyến tính 15

3 Sự ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất 17

4 Sự ổn định của hệ vi phân tuyến tính với ma trận hằng 18

5 Tiêu chuẩn Hurwits 20

3 Nghiên cứu ổn định bằng số mũ Liapunov 26 1 Số mũ đặc tr-ng của hàm số 26

2 Số mũ đặc tr-ng của ma trận hàm 33

3 Phổ của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất 35

4 Hệ cơ bản chuẩn tắc 38

5 Điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận của hệ vi phân tuyến tính 44

6 Bất đẳng thức Vazevski 45

7 Bất đẳng thức Liapunov 47

8 Hệ khả quy 49

9 Tính khả quy về hệ tuyến tính với ma trận không 51

10 Hệ chính quy 53

11 §Þnh lý Perron 54

12 TÝnh chÝnh quy cña hÖ tuyÕn tÝnh tam gi¸c 57

13 LÝ thuyÕt Floquet 60

14 TÝnh kh¶ quy cña hÖ tuyÕn tÝnh tuÇn hoµn 62

Tµi liÖu tham kh¶o 66

Mở đầu

I Lí do chọn đề tài của khóa luận

Lí thuyết ổn định toán học là một lý thuyết nghiên cứu định tính ph-ơng trình vi phân th-ờng Do hầu hếtcác quá trình có tính chất biến đổi đều có thể mô tả bởi một hệ ph-ơng trình vi phân (PTVP), trong khi, về mặtlịch sử, việc giải tìm nghiệm chính xác của một hệ PTVP là điều rất khó thực hiện, kể cả khi đã có sự trợ giúpcủa máy tính điện tử Chính vì vậy, các nhà toán học đã tập trung vào giải quyết các bài toán định tính trongnghiên cứu các quá trình thông qua các hệ PTVP mô tả các quá trình đó Đó là việc nghiên cứu để biết rõcác tính chất của nghiệm của một hệ PTVP chỉ dựa trên các yếu tố đầu vào thể hiện trong bản thân hệ ph-ơngtrình Với ý nghĩa nh- vậy, lý thuyết ổn định, ban đầu đ-ợc hiểu mặc nhiên là sự ổn định của các chuyển độngcơ học thuần túy, trong quá trình phát triển nó đ-ợc hiểu một các rộng rãi là sự ổn định của các quá trình biến

đổi nói chung, bao gồm từ các quá trình vật lý đến các quá trình kinh tế, biến đổi môi tr-ờng, sinh thái học vànhiều lĩnh vực khác Với lí do đó, lý thuyết ổn định đã và đang đ-ợc nghiên cứu và phát triển mạnh cả về líthuyết và ứng dụng trong suốt nhiều thập kỷ qua

Là một sinh viên ngành S- phạm Toán học, trong quá trình học tập học phần Ph-ơng trình vi phân và lýthuyết ổn định, với thời l-ợng chủ yếu của học phần tập trung vào nghiên cứu các tính chất cơ bản của PTVP

và chỉ giới thiệu hết sức khái l-ợc về lý thuyết ổn định, nên bản thân tôi đã quyết định tìm hiểu, nghiên cứumột cách sâu sắc, có hệ thống về lý thuyết ổn định thông qua việc đăng ký làm khóa luận tốt nghiệp với tên

đề tài của khóa luận là "B-ớc đầu nghiên cứu về sự ổn định nghiệm của hệ ph-ơng trình vi phân" Bên cạnh

đó, thông qua việc thực hiện khóa luận, tôi kỳ vọng với sự h-ớng dẫn của các thầy, cô giáo, tôi có thể trang bịthêm cho mình những kỹ năng tự học, tự nghiên cứu để sử dụng nh- một công cụ hữu hiệu trong suốt quá trìnhhọc tập, công tác tiếp theo

II Mục đích và nhiệm vụ

1 Mục đích

Khóa luận đặt ra 2 mục tiêu:

1 Nghiên cứu tài liệu, hệ thống hóa các kiến thức về lý thuyết ổn định, bao gồm các khái niệm cơ vàcác định lý cơ bản về ổn định; nghiên cứu tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính bằng ph-ơng pháp số mũLiapunov, từ đó tìm hiểu các kết quả về tính ổn định của các hệ gần tuyến tính và các hệ có nhiễu tác độngth-ờng xuyên

2 Thông qua quá trình thực hiện khóa luận để có điều kiện rèn luyện kỹ năng tự học, tự nghiên cứu tàiliệu Đó là quá trình tìm hiểu, lựa chọn học liệu, nghiên cứu để tập hợp và hệ thống hóa, vận dụng và trình bàylại những kiến thức cơ bản một cách hệ thống theo mục tiêu đặt ra

2 Nhiệm vụ

Nhiệm vụ cơ bản khi thực hiện khóa luận là: Lựa chọn tài liệu, học liệu, nghiên cứu về đề tài của khóaluận; Xây dựng đề c-ơng tổng quát và đề c-ơng chi tiết; Thực hiện các nội dung nghiên cứu của khóa luận:Trình bày các khái niệm, các định lí có chứng minh chi tiết có liên quan

III Ph-ơng pháp nghiên cứu

Ph-ơng pháp nghiên cứu lí thuyết, tập hợp, s-u tầm, nghiên cứu tài liệu, so sánh, đối chiếu và sử dụng các

kiến thức toán học đã biết để nhất quán hóa và trình bày hoàn chỉnh những nội dung kiến thức liên quan trênthành một chủ đề trọn vẹn Trong quá trình thực hiện luận án có thảo luận, xin ý kiến các thầy cô giáo và thựchiện sự chỉ đạo trực tiếp của giảng viên h-ớng dẫn.

IV Cấu trúc của khóa luận Khóa luận bao gồm phần mở đầu, ba ch-ơng nội dung chính và phần kết luận.

Nội dung chính cụ thể là: Ch-ơng 1: Một số kiến thức cơ bản về ph-ơng trình vi phân: Trình bày vắn tắt nhữngkiến thức cơ bản nhất về lý thuyết PTVP có sử dụng trong ch-ơng 2 và ch-ơng 3 của Khóa luận Ch-ơng 2:Các khái niệm cơ bản về lý thuyết ổn định: Trình bày một cách hệ thống các khái niệm và các kết quả cơ bảncủa lý thuyết ổn định Ch-ơng 3: Nghiên cứu tính ổn định bằng ph-ơng pháp số mũ Liapunov: Ch-ơng nàytrình bày ph-ơng pháp thứ nhất còn gọi là ph-ơng pháp số mũ Liapunov và một số ví dụ minh họa Phần kếtluận tổng kết những kiến thức đã trình bày trong khóa luận

Trong đó a jk (t), f j (t) ∈ C(I+) với I+ = (a; +∞) Chúng ta luôn giả thiết a jk (t), f j (t) ∈ R có nghiệm

y j (t) ∈ C Với ký hiệu A(t) = [a jk (t)] nìn , y(t) = col [y1, , y n ] , f (t) = col [f1(t), , f n (t)], hệ (1.1) đ-ợc

viết d-ới dạng ma trận sau:

dy

Hệ (1.2) với A(t), f (t) ∈ C(I+) luôn thoả mãn điều kiện tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy:

Với mọi (t0, y0) ∈ I+ìKn hệ (1.2) có duy nhất nghiệm y(t) xác định trong I+ và thoả mãn y(t0) = y0.Xét hệ thuần nhất t-ơng ứng với hệ (1.2):

dx

Cho x j (t) = col [x 1j (t), x 2j (t), , x nj (t)] , j = 1, n là n nghiệm của (1.3) trên khoảng I+, khi đó:

Định nghĩa 1.1 Ma trận X(t) = [x1(t) x2(t) x n (t)] là ma trận vuông cấp n lập nên bởi n nghiệm đó sao cho mỗi cột thứ j là cột toạ độ của nghiệm x j (t) đ-ợc gọi là ma trận nghiệm của hệ (1.3) Nếu hệ nghiệm {x j (t)} là hệ nghiệm cơ bản (tức là hệ n nghiệm độc lập tuyến tính trên I+), thì X(t) đ-ợc gọi là ma trận

Thật vậy, vì các hàm số x jk (t) thoả mãn ph-ơng trình thứ j của hệ (1.3) nên:

s=1

a js (t)x sk (t)

#

≡ A(t)X(t).

Ng-ợc lại bằng cách nhân lần l-ợt hai vế của hệ (1.4) với các vector e i trong cơ sở chính tắc của Kn ta

đ-ợc: Nếu X(t) là ma trận bất kì thoả mãn ph-ơng trình (1.4), thì mỗi cột của nó là một nghiệm của hệ (1.3) Hơn nữa nếu định thức det X(t) 6= 0 thì X(t) là ma trận nghiệm cơ bản của hệ.

Giả sử x = x(t) là nghiệm thoả mãn điều kiện ban đầu x(t0) = x0 ta đ-ợc x(t0) = X(t0)c Do đó

c = X−1(t o )x(t o) Vì vậy:

x(t) = X(t)X−1(t0)x(t0) (1.7)

Định nghĩa 1.4 Ta gọi ma trận K(t, t0) = X(t)X−1(t0) là ma trận Cauchy của hệ (1.3)

Ta thấy, mọi nghiệm của hệ đều có dạng: x(t) = K(t, t0)x(t0) Đặc biệt, nếu ma trận nghiệm cơ bản X(t) chuẩn tắc tại t0 , tức X(t0) = E, thì công thức (1.7) có dạng:

Ma trận Cauchy không phụ thuộc vào việc chọn ma trận nghiệm cơ bản X(t) Thật vậy, giả sử e X (t) là một

ma trận cơ bản khác của (1.3) thì ta có eX(t) = X(t)C, trong đó C là ma trận hằng không suy biến Do đó:

e

K(t, t0) = eX(t) e X−1(t0) = X(t)CC−1X−1(t0) = K(t, t0).

Nếu y(t) là một nghiệm nào đó của hệ không thuần nhất (1.2), thì nghiệm tổng quát của hệ (1.2) có thể viết d-ới dạng: y(t) = y(t) + X(t)c, trong đóe ey(t) là một nghiệm riêng nào đó của hệ và c là ma trận cột hằng số.

Nếu ey(t0) = 0 thì c = X−1(t0)y(t0) Do đó:

y(t) = y(t) + K(t, te 0)y(t0).

2 Công thức Ostrogratski-Liouville

Giả sử X(t) = [x jk (t)] là ma trận cơ bản của hệ vi phân thuần nhất (1.3) Định thức W (t) = det X(t)

đ-ợc gọi là định thức Wronski của hệ:

.

XÐt hÖ PTVP tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt:

Định nghĩa 2.1 Ma trận Ωt0 gọi là ph-ơng trận của hệ vi phân (2.3).

Giả sử [α, β] ⊂ [t0− A, t0+ B] ⊂ I+, C = max(A, B), M = max

t0−A6t6t0+B kA(t)k Với t ∈ [α, β], ta có

Do đó nhờ dấu hiệu Weierstrass, chuỗi hàm (2.7) hội tụ đều trên [α, β] ⊂ I+ Vì vậy chuỗi ma trận (2.5)

cũng hội tụ tuyệt đối và hội tụ đều trên [α, β].

Lấy vi phân từng số hạng của chuỗi (2.5), ta nhận đ-ợc chuỗi hội tụ đều trên [α, β] :

0 là ma trận cơ bản chuẩn tắc của hệ vi phân thuần nhất (2.3) và một

nghiệm x(t) bất kì của hệ đó đ-ợc biểu diễn theo công thức:

x(t) = Ω t t

0x(t0) ≡ K(t, t0)x(t0)Nhờ tính chất duy nhất nghiệm ta nhận đ-ợc tính chất cơ bản của ph-ơng trận:

Chóng ta sÏ t×m nghiÖm cña hÖ b»ng ph-¬ng ph¸p biÕn thiªn h»ng sè Lagrange Gi¶ sö hÖ (3.1) cã nghiÖm

§Æc biÖt, khi y(0) = 0, th× hÖ kh«ng thuÇn nhÊt (3.6) cã mét nghiÖm riªng:

Chứng minh Với t > t1 điều kiện (4.4) trở thành: u(t) 6 u(t1) +

Trong (4.6) và (4.7) thay t1 bởi t0 thì khi a < t06 t < bta có điều phải chứng minh (4.5)

Bổ đề 4.3 (Bihari) Giả sử u(t), f (t) liên tục, không âm trong khoảng [t0, +∞) và thoả mãn điều kiện:

thoả mãn cho nên (4.11) cũng luôn thoả mãn

Chứng minh Xem trong [2]

Hệ quả 4.4 Nếu Φ(u) = u thì có bất đẳng thức Growall- Bellman (4.2).

Hệ quả 4.5 Nếu Φ(u) = u m

trong đó t là biến độc lập, y1, , y n là các hàm số phải tìm, f j (t, y1, , y n)là các hàm xác định trong

miền Z = I t+ì D y , I t+= (a < t < +∞), với a ∈ R hoặc a = −∞, D y là tập mở trong Kn , (K = R hoặc

Sau này ta th-ờng giả thiết rằng f (t, y) ∈ C t,y 0,1 (Z), tức là f liên tục theo t và có đạo hàm riêng cấp

một liên tục theo các biến y1, , y n trong miền Z Nếu xét hệ (1.2) với y t ∈ D y ⊂Rnthì các đạo hàm

đ-ợc hiểu theo nghĩa thông th-ờng Tr-ờng hợp y(t) ∈ D y⊂Cn thì có thể giả thiết rằng hàm f (t, y) giải tích theo các biến y1, , y n Khi đó các đạo hàm ∂f j

∂y k (t, y1, , y n)là đạo hàm hàm số phức.

Chú ý 3 Với các giả thiết đã cho hệ (1.2) thoả mãn điều kiện tồn tại duy nhất nghiệm của định lí Cauchy Sau

này chúng ta luôn giả thiết hệ (1.2) thoả mãn điều kiện tồn tại và duy nhất nghiệm

Nghiệm y = y(t) có thể xem nh- quỹ đạo của không gian R nhoặc Cn , trong đó t đóng vai trò tham số.

Nếu hệ (1.2) thoả mãn điều kiện tồn tại và duy nhất nghiệm và vế phải liên tục thì nghiệm của hệ có tính chất

liên tục tích phân, nghĩa là, nếu y(t) là nghiệm của hệ (1.2) trên khoảng (a, b) thì với mọi ε > 0 cho tr-ớc, và với mọi đoạn [α; β] ⊂ (a, b) luôn tồn tại δ > 0 sao cho mọi nghiệm z(t) trong lân cận của γ ∈ [α; β] thoả mãn

điều kiện z(γ) = z0và ||z(γ) − y(γ)|| < δ đều là nghiệm của hệ (1.2) trên [α; β] và thoả mãn ||z(t) − y(t)|| < ε với mọi t ∈ [α; β].

Định nghĩa 1.1 Nghiệm η(t) của hệ (1.2) trên (a, +∞) của hệ (1.2) đ-ợc gọi là ổn định theo Liapunov khi

t → ∞ nếu với mọi số d-ơng ε cho tr-ớc và với mọi t0 ∈ (a, +∞), đều tồn tại δ = δ(ε, t0) > 0 sao cho mọi nghiệm y(t) của hệ (1.2) đều thoả mãn điều kiện ||y(t0)−η(t0)|| < δ đều xác định trong khoảng (t06 t < +∞) (nghĩa là y(t) ∈ D y với mọi t ∈ [t0; +∞)) và thoả mãn ky(t) − η(t)k < ε với mọi t ∈ [t0; +∞)

Hình 2.1:

Nhận xét 1 Nghiệm η(t) là ổn định nếu tại bất kì thời điểm ban đầu t0 các nghiệm y(t) của hệ (1.2) đủ gần với nó đều nằm trong hình cầu B(η(t), ε)

f (t, 0) ≡ 0 trên I t+ thì hệ ph-ơng trình (1.2) có nghiệm tầm th-ờng (hay trạng thái cân bằng) η(t) ≡ 0 trên

I t+ Trong tr-ờng hợp này nghiệm tầm th-ờng η(t) ≡ 0 đ-ợc gọi là ổn định Liapunov khi t → ∞ nếu với mọi

số d-ơng ε và với mọi t0∈ (a; +∞), tồn tại số δ = δ(ε, t0) > 0 sao cho mọi nghiệm y(t) của hệ () thoả mãn

điều kiện ky(t0)k < δ xác định trong khoảng t06 t < +∞ và thoả mãn ky(t)k < ε với mọi t ∈ [t0; +∞)

Định nghĩa 1.2 Nghiệm η(t) của hệ (1.2) trong khoảng (a; +∞) đ-ợc gọi là ổn định đều theo t0khi t → +∞ nếu với mọi số d-ơng ε cho tr-ớc và với mọi t0 ∈ (a; +∞) luôn tồn tại số δ = δ(ε) > 0 sao cho mọi nghiệm

y(t) của hệ () thoả mãn điều kiện ky(t0) − η(t0)k < δ đều xác định trong khoảng t06 t < +∞ và thoả mãn

ky(t) − η(t)k < ε với mọi t ∈ [t0; +∞)

Định nghĩa 1.3 Nghiệm η(t) của hệ (1.2) trong khoảng (a; +∞) không ổn định Liapunov khi t → ∞ nếu

∃ε0> 0 và ∃t0∈ (a; +∞) sao cho với mọi δ > 0 đều tồn tại ít nhất nghiệm y(t) của hệ (1.2) và tồn tại thời

điểm t1> t0sao cho ky(t0) − η(t0)k < δ nh-ng ky(t1) − η(t1)k > ε0

Định nghĩa 1.4 Nghiệm η(t) trên khoảng (a; +∞) của hệ (1.2) gọi là ổn định tiệm cận khi t → +∞ nếu nó

ổn định theo Liapunov khi t → ∞ và thoả mãn điều kiện: Với mọi t0∈ (a; +∞) đều tồn tại ∆ = ∆(t0) > 0 sao cho mọi nghiệm y(t) trên [t0; +∞) của hệ (1.2) mà ky(t0) − η(t0)k < ∆ ta đều có ky(t) − η(t)k → 0 khi

t → ∞

Nghiệm tầm th-ờng (nếu có) η(t) ≡0 trên khoảng (a, +∞) của hệ (1.2) là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định theo Liapunov khi t → ∞ và thoả mãn điều kiện: Với mọi t0∈ (a; +∞) đều tồn tại ∆ = ∆(t0) > 0 sao cho mọi nghiệm y(t) của hệ (1.2) trên khoảng [t0; +∞) mà ky(t0)k < ∆ ta đều có ky(t)k → 0 khi t → +∞

Hình 2.2:

Định nghĩa 1.5 Giả sử hệ (1.2) xác định trong không gian Ω = I t+ìKn Khi đó nghiệm y(t) của hệ (1.2) trên khoảng (a; +∞) gọi là ổn định tiệm cận trong toàn thể nếu nó ổn định tiệm cận khi t → +∞ và mọi nghiệm

y(t) trong khoảng [t0; +∞) của hệ (1.2) đều thoả mãn ky(t) − η(t)k → 0 khi t → +∞

Xét hệ vi phân có nhiễu tác động th-ờng xuyên sau đây đồng thời với hệ (1.2):

dy

Luôn giả thiết:

f (t, y) ∈ C (t,y) (0,1) (Z), ϕ(t, y) ∈ C (t,y) (0,1) (Z).

Định nghĩa 1.6 Nghiệm η(t) trong khoảng (a; +∞) của hệ (1.2) đ-ợc gọi là ổn định với nhiễu tác động th-ờng

xuyên ϕ(t, y) nếu với mọi ε > 0 cho tr-ớc và với mọi t0 ∈ (a; +∞) đều tồn tại số δ(ε; t0) > 0 sao cho khi

ϕ(t, y) < δ thì mọi nghiệm y(t) của hệ (1.3) thoả mãn điều kiện ky(t0) − η(t0)k < δ đều xác định trong khoảng [t0; +∞) và thoả mãn điều kiện ky(t) − η(t)k < ε với mọi t ∈ [t0; +∞)

Nếu nghiệm η(t), t ∈ I t+ của hệ (1.2) với vế phải liên tục ổn định tại thời điểm t0 ∈ I t+ thì cũng ổn

định tại thời điểm t00 ∈ I t+ Do đó ta có thể giới hạn việc kiểm tra tính ổn định cũng nh- tính ổn định tiệm

cận của nghiệm chỉ đối với thời điểm ban đầu t0 đã cho nào đó Từ đó ta cũng có thể suy ra rằng nghiệm

η(t), (a < t < b) không ổn định đối với thời điểm ban đầu t0 ∈ I t+ thì nó cũng không ổn định đối với thời

Chú ý 4 Các nghiệm của hệ vi phân tuyến tính hoặc tất cả đều ổn định hoặc tất cả đều không ổn định Đối

với hệ vi phân phi tuyến có thể có cả nghiệm ổn định và nghiệm không ổn định

Định lý 2.2 Hệ (2.1) ổn định với mọi f (t) ∈ C(I+) khi và chỉ khi nghiệm tầm th-ờng η(t) ≡ 0 của hệ thuần nhất t-ơng ứng (2.2) ổn định Liapunov khi t → +∞.

Chứng minh (Điều kiện cần) Giả sử η(t) (t06 t < +∞)là nghiệm ổn định nào đó của hệ không thuần nhất

(2.1) Theo định nghĩa: Với mọi ε > 0 cho tr-ớc và với mọi t0∈ I+, ∃δ > 0 sao cho mọi nghiệm y(t) của hệ

(2.1) đều xác định trên khoảng (t06 t < +∞), nếu thoả mãn

ta đều có

Do z(t) = y(t) − η(t) là nghiệm của hệ thuần nhất (2.2) và ng-ợc lại mọi nghiệm của hệ thuần nhất (2.2)

đều biểu diễn d-ới dạng z(t) = y(t) − η(t), trong đó y(t) là nghiệm của hệ không thuần nhất (2.1), nên ta suy

ra ∀ε > 0 cho tr-ớc và với mọi t0∈ I+, ∃δ > 0 sao cho mọi nghiệm z(t) của hệ thuần nhất (2.2) nếu thoả mãn

điều kiện kz(t0)k < δ, ta đều có kz(t)k < ε, ∀t > t0 Điều này chứng tỏ nghiệm tầm th-ờng của hệ (2.2) ổn

định

(Điều kiện đủ.) Giả sử nghiệm tầm th-ờng z(t) ≡ 0 của hệ thuần nhất (2.2) ổn định Liapunov khi t → +∞ Theo định nghĩa: (∀ε > 0 cho tr-ớc , ∀t0 ∈ I+, ∃δ > 0) sao cho mọi nghiệm x(t) của hệ thuần nhất

xác định trên [t0, +∞) nếu thoả mãn kx(t0)k < δ, ta đều có kx(t)k < ε, (∀t > t0) Do hiệu hai nghiệm

bất kì của hệ không thuần nhất (2.1) là nghiệm của hệ thuần nhất (2.2) nên ta suy ra: Nếu η(t) là một nghiệm bất kì của hệ không thuần nhất (2.1) thì với mọi nghiệm y(t) của hệ đó, nếu ||y(t0) − η(t0)|| < δ thì

||y(t) − η(t)|| < ε, (∀t > t0) Điều này chứng tỏ mọi nghiệm của hệ không thuần nhất (2.1) ổn định nên hệ đó

ổn định

Chú ý 5 Trong chứng minh trên ta thấy tính ổn định của nghiệm tầm th-ờng của hệ thuần nhất đ-ợc suy ra từ

tính ổn định của ít nhất một nghiệm của hệ không thuần nhất t-ơng ứng với số hạng tự do f (t) bất kì.

Hệ quả 2.3 Hệ vi phân tuyến tính ổn định nếu có ít nhất một nghiệm ổn định, không ổn định nếu có một

nghiệm không ổn định

Hệ quả 2.4 Hệ vi phân tuyến tính không thuần nhất ổn định khi và chỉ khi hệ vi phân tuyến tính thuần nhất

t-ơng ứng ổn định

Với hệ quả trên, sau này để nghiên cứu tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính ta chỉ cần nghiên cứu tính

ổn định của nghiệm tầm th-ờng của hệ thuần nhất t-ơng ứng

Định nghĩa 2.5 Hệ PTVP tuyến tính (2.1) ổn định đều nếu tất cả các nghiệm của hệ đó ổn định đều đối với

t0∈ I t+khi t → +∞.

Định lý 2.6 Hệ PTVP tuyến tính (2.1) ổn định đều khi và chỉ khi nghiệm tầm th-ờng x(t) ≡ 0 của hệ thuần

nhất t-ơng ứng (2.2) ổn định đều khi t → +∞.

Việc chứng minh định lý (2.6) t-ơng tự chứng minh định lý (2.2)

Định nghĩa 2.7 Hệ PTVP tuyến tính (2.1) đ-ợc gọi là ổn định tiệm cận khi t → +∞ nếu tất cả các nghiệm

của hệ đó ổn định tiệm cận khi t → +∞.

Định lý 2.8 Hệ PTVP tuyến tính (2.1) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi nghiệm tầm th-ờng x(t) ≡ 0 của hệ

thuần nhất t-ơng ứng (2.2) ổn định tiệm cận khi t → +∞.

Việc chứng minh định lý (2.8) đ-ợc suy ra trực tiếp từ chú ý hiệu hai nghiệm bất kì của hệ không thuầnnhất là nghiệm của hệ thuần nhất t-ơng ứng

Hệ quả 2.9 Hệ vi phân tuyến tính không thuần nhất (2.1) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi hệ vi phân tuyến

tính thuần nhất t-ơng ứng (2.2) ổn định tiệm cận

3 Sự ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất

Xét hệ vi phân tuyến tính thuần nhất:

Chứng minh (Điều kiện đủ.) Giả sử X(t) là ma trận nghiệm cơ bản của hệ, X(t) chuẩn tắc tại t0 Do mọi

nghiệm x(t) của hệ (3.1) bị chặn nên ma trận nghiệm cơ bản X(t) bị chặn, tức tồn tại hằng số d-ơng M sao cho: k X(t) k6 M (∀t > t0) Vì X(t) là ma trận nghiệm cơ bản nên mọi nghiệm x(t) của hệ (3.1) trên khoảng (t06 t < +∞) đều biểu diễn đ-ợc d-ới dạng: x(t) = X(t)x(t0) Từ đó ta có:

kx(t)k =k X(t)x(t0) k6k X(t) k ã k x(t0) k6 M k x(t0) k Vì thế ∀ε > 0, chọn δ = εM−1thì với mọi nghiệm x(t) thoả mãn kx(t0)k < δ ta luôn có kx(t)k < ε, ∀t > t0,

nghĩa là nghiệm tầm th-ờng của hệ (3.1) ổn định Liapunov khi t → +∞ và do đó hệ ổn định.

(Điều kiện cần) Giả sử hệ (3.1) ổn định nh-ng có ít nhất một nghiệm z(t) không bị chặn trên [t0, +∞), rõ

ràng z(t0) 6= 0 Cố định hai số d-ơng ε, δ và xét nghiệm x(t) = z(t)δ

z(t0)2 thì x(t0) = δ

2 < δ Theo giả thiết z(t)

không bị chặn nên tồn tại thời điểm t1> t0 sao cho:

x(t1) = z(t1)δ

z(t0)2 > ε

Điều này chứng tỏ nghiệm tầm th-ờng x ≡ 0 của hệ (3.1) không ổn định Và do đó hệ không ổn định, trái

với giả thiết

Hệ quả 3.2 Nếu hệ vi phân tuyến tính không thuần nhất ổn định thì mọi nghiệm của nó hoặc đều bị chặn hoặc

đều không bị chặn khi t → +∞.

Ví dụ 1 Ph-ơng trình vô h-ớng dy

dt = 1 + t − y có nghiệm không bị chặn y0 = t Bởi vì mọi nghiệm của hệ

đều có dạng: y(t) = t + y(0)e −t nên |y(t) − y0(t)| → 0 khi t → +∞ Chứng tỏ nghiệm y0(t) ổn định tiệm cận khi t → +∞.

Chú ý 6 Với hệ vi phân tuyến tính thì từ tính bị chặn của các nghiệm không suy ra đ-ợc tính ổn định của hệ.

Định lý 3.3 Hệ PTVP tuyến tính thuần nhất (3.1) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi mọi nghiệm x(t) với

(t06 t < +∞) của hệ đều dần tới 0 khi t → +∞ hay lim

t→+∞ x(t) = 0.

Chứng minh (Điều kiện cần) Giả sử hệ (3.1) ổn định tiệm cận khi t → +∞, khi đó nghiệm tầm th-ờng

x0(t) ≡ 0 ổn định tiệm cận khi t → +∞, vì thế, với mọi t0∈ I t+ thì mọi nghiệm y(t) nếu thoả mãn điều kiện ky(t0)k < ∆ với ∆ > 0 nào đó ta đều có lim

(Điều kiện đủ ) Giả sử x(t) (với t0 6 t < +∞) là nghiệm bất kì thoả mãn x(t) → 0 khi t → +∞ Do

x(t) liên tục trên [t0; +∞) và x(t) → 0 khi t → +∞ nên x(t) bị chặn trên [t0; +∞) Nh- vậy mọi nghiệm của

hệ (3.1) đều bị chặn nên hệ ổn định Liapunov khi t → +∞ Hơn nữa, theo giả thiết mọi nghiệm x(t) đều thoả

mãn lim

t→+∞ kx(t) − 0k = 0 nên nghiệm tầm th-ờng của hệ ổn định tiệm cận khi t → +∞ Suy ra hệ ổn định tiệm cận khi t → +∞.

Hệ quả 3.4 Hệ vi phân tuyến tính ổn định tiệm cận thì ổn định tiệm cận trên toàn thể khi t → +∞.

Chú ý 7 Đối với hệ vi phân phi tuyến mà tất cả các nghiệm dần tới không không suy ra đ-ợc nghiệm tầm

4 Sự ổn định của hệ vi phân tuyến tính với ma trận hằng

Xét hệ vi phân tuyến tính thuần nhất với ma trận hệ số hằng A = [a jk]nìn:

dx

Định lý 4.1 Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (4.1) với ma trận hằng số A là ổn định khi và chỉ khi tất cả các

giá trị riêng λ j của ma trận A đều có phần thực Re λ j6 0và các λ j với Re λ j = 0 là nghiệm đơn của đa thức

đặc tr-ng A.

Chứng minh (Điều kiện đủ.) Giả sử λ j = α j + iβ j , j = 1, p là tất cả các nghiệm đặc tr-ng của ma trận A có

phần thực α j 6 0 và λ k = iγ k , k = 1, q là tất cả các nghiệm đặc tr-ng của ma trận A có phần thực bằng 0.

Hơn nữa p + q = m là số ô jordan chuẩn tắc của ma trận A Khi đó nghiệm x(t) bất kì của (4.1) có dạng:

t→+∞ e αjt P j (t) = 0 Ngoài ra | cos γ k t + i sin γ k t| = 1 nên từ công thức (4.2) ta

suy ra mỗi nghiệm x(t) của hệ (4.1) bi chặn trên nửa trục (t06 t < +∞) Theo định lý (3.1), hệ (4.1) ổn định.

(Điều kiện cần) Giả sử hệ (4.1) ổn định Tr-ớc hết ta chứng tỏ tất cả các nghiệm đặc tr-ng λ j của ma

trận A có phần thực không d-ơng Thật vậy, Giả sử có một giá trị riêng λ s = σ + iτ của ma trận A mà

Re λ s = σ > 0 Khi đó hệ (4.1) có nghiệm không tầm th-ờng ξ(t) = e λst c, với c 6= 0 là vector hằng Do đó

λ s = iàs là nghiệm bội e s > 1 Khi đó λ s ứng với ô jordan j s (λ s ) có hạng e s > 1 sau đây:

Một trong những ph-ơng pháp chứng minh tính ổn định tiệm cận của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (4.1)

là phải chỉ ra đ-ợc tất cả các nghiệm λ1, , λ n của ph-ơng trình đặc tr-ng det(A − λE) = 0 đều có phần

thực âm Trong mục này chúng ta sẽ đ-a ra điều kiện cần và đủ để ph-ơng trình đại số với hệ số thực có cácnghiệm với phần thực âm

Xét đa thức bậc n > 1 : f (z) = a0+ a1z + + a n z n , z = x + iy ∈ C; a0, a1, , a n∈K.

Định nghĩa 5.1 Đa thức f (z) bậc n > 1 đ-ợc gọi là đa thức Hurvits nếu tất cả các nghiệm λ1, , λ ncủa nó

đều có phần thực âm tức: Re(λ j ) < 0 ∀j = 1, , n.

Đa thức f (z) với các hệ số thực a0, a1, , a n∈R và a0> 0 đ-ợc gọi là đa thức chuẩn bậc n.

Định lý 5.2 Nếu đa thức chuẩn bậc n là đa thức Hurvits thì tất cả các hệ số của nó đều d-ơng.

Chứng minh Giả sử z j = −α j + iβ j là các nghiệm phức (β j 6= 0), j = 1, , p và z k = −γ k (k = 1, , q)

là các nghiệm thực của đa thức chuẩn Hurvits f (z) = a0+ a1z + + a n z n Vì f (z) là đa thức Hurvits nên

α j > 0, γ k > 0 Gọi σ j là bội của nghiệm z j Khi đó, do các hệ số của f (z) là thực nên nghiệm liên hợp

z j = −α j − iβ j cũng có bội là σ j Gọi s k là bội của nghiệm thực γ k Rõ ràng

Các hệ số trong khai triển vế phải của (5.1) cùng dấu với a n So sánh và đồng nhất các hệ số với vế trái

ta suy ra các hệ số a0, a1, , a n của f (z) trong vế trái của (5.1) đ-ơng nhiên phải cùng dấu và cùng dấu với

Kí hiệu H n (n = 1, 2, ) là tập hợp tất cả các đa thức chuẩn Hurwitz bậc n, H =

+∞S

n=1

H nlà tập tất cả các

đa thức chuẩn Hurwitz Chúng ta sẽ tìm tiêu chuẩn để đa thức f (z) ∈ H.

Định nghĩa 5.3 Ta gọi đa thức F (z) = (1 + αz)f (z) + f (−z) là đa thức liên kết với đa thức f (z) Kí hiệu là

Sf (z).

Bổ đề 5.4 Đa thức liên kết với đa thức chuẩn Hurwitz là đa thức chuẩn Hurwitz, tức là

f (z) ∈ H n ⇒ Sf (z) ∈ H n+1

Xem trong 2.

Bổ đề 5.5 Đối với mỗi đa thức chuẩn Hurwitz bậc n + 1 > 1 đều tồn tại một đa thức chuẩn Hurwitz bậc n

nhận đa thức đã cho là đa thức liên kết Tức là, Nếu F (z) ∈ H n+1 thì luôn có f (z) ∈ H n và số α > 0 sao cho

A0 > 0 thay vào (5.4) thì hàm số f (z) xác định bởi (5.4) rõ ràng là đa thức bậc n.

Dễ dàng kiểm tra thấy F (z) = Sf (z) Bây giờ chứng minh f (z) ∈ H n Xét đa thức:

nửa mặt phẳng bên phải Re z > 0 của mặt phẳng phức và n + 1 nghiệm z j còn lại nằm trong nửa mặt phẳng

bên trái Re z < 0 Tính chất phân bố nghiệm nh- vậy trong nửa mặt phẳng phức của Φ à (z) vẫn còn đúng với

à ∈ [0; 1] Thật vậy nếu một trong các nghiệm z j đi từ nửa mặt phẳng này sang nửa mặt phẳng kia khi à thay

đổi trên [0; 1] thì đ-ờng cong z j = z j (à) phải cắt trục ảo trong đoạn [−R i , R i ] tại điểm β i khi à = à ∈ [0; 1]bnào đó Nói cách khác với mộtà ∈ [0; 1] nào đó, đa thức ϕb bà (z) có nghiệm β i nằm trên trục ảo, tức:

−(1 − αβ i )F (β i) +àF (−βb i) = 0Vậy

|1 − αβ i | ã |F (β i)| =à|F (−βb i )|. (5.6)Mặt khác, do Φà (0) = −A0(1 − à) 6= 0 với mọi à ∈ [0; 1] và Φbà (β i ) = 0 nên β 6= 0 Lại do F (z) là đa thức chuẩn Hurwitz nên |F (β i )| = |F (−β i )| 6= 0 Vì thế từ (5.6) ta có: |1 − αβ i| =à Suy ra 1 + αb 2β2 =àb2

Điều này không thể xảy ra với α > 0, R 3 β 6= 0 và bà ∈ [0; 1] Từ công thức (5.5), ta suy ra rằng với à = 1,

đa thức Φà (z) có nghiệm không bội 2 Giả sử các nghiệm z p (à) → 0 và z q (à) → 0 khi à → 1− Theo hệ

thức đã biết giữa các nghiệm và các hệ số của đa thức với 0 6 slantà 6 1, ta nhận đ-ợc:

à→1−z n+1 (à) = 0 Lại do αA1− (1 − à)A2 → αA1 6= 0 khi à → 1− nênlim

à→(1−0) z j (à) = c j , Re c j < 0, j = (1, , n) Từ (5.4) và (5.5) với à = 1, ta có Φ1(z) = α2z2f (z), nên các

c j (j = 1, , n) là nghiệm của đa thức f (z) Điều này chứng tỏ f (z) ∈ H n

Chú ý 9 Nếu F (z) = A0+ A1z + + A n+1 z n+1 là đa thức chuẩn Hurwitz bậc n + 1 thì tồn tại một đa thức chuẩn f (z) bậc n xác định bởi công thức (5.4) và (5.5) sao cho: Sf (z) = F (z).

Từ các bổ đề trên suy ra: Tập hợp H tất cả các đa thức chuẩn Hurwitz có thể xây dựng từ tập hợp H1 các

đa thức chuẩn Hurwitz bậc 1 bằng cách áp dụng phép toán S tìm đa thức liên kết Cụ thể là:

Định lý 5.6 (Hurwitz) Muốn cho đa thức chuẩn (5.8) là đa thức chuẩn Hurwitz thì điều kiện cần và đủ là tất

cả các định thức con chéo chính của ma trận Hurwitz d-ơng

a1 a0

a3 a2

> 0

.

∆n= a n−1∆n−1

(5.10)

Chứng minh Điều kiện cần Giả sử f (z) ∈ H n , ta chứng minh bằng quy nạp theo bậc n của f (z) rằng điều

kiện Hurwitz (5.10) đ-ợc thoả mãn:

Với n = 1, ta có f (z) = a0+ a1z Vì f (z) ∈ H n nên a0 > 0, a1 6= 0 Rõ ràng điều kiện Hurwitz

∆1= a1> 0 thoả mãn.

Giả sử điều kiện Hurwitz (5.10) đúng với tất cả các đa thức chuẩn Hurwitz f (z) ∈ H n bậc n và F (z) ∈ H n+1

là đa thức chuẩn Hurwitz bậc n + 1 bất kì Ta chứng minh điều kiện Hurwitz đúng với F (z): Theo bổ đề (5.4),

F z là đa thức liên kết của đa thức f z ∈ H nnào đó, tức là:

Từ đó đ-a thừa số c ra ngoài định thức đối với cột lẻ (cột 1, cột 3, ), sau đó trừ các phần tử của cột chẵn (cột 2, cột 4, ) với các phần tử t-ơng ứng còn lại ở các cột lẻ và lại đ-a thừa số c ra ngoài dấu định thức đối

với các phần tử đã biến đổi ở các cột chẵn, ta sẽ đ-ợc:

D k+1= 2k+1 c k+1

= a k+1 a0∆k , (k = 1, n)

trong đó ∆k là định thức con chéo chính của ma trận Hurwitz M f của đa thức f (z) Vì f (z) ∈ H nnên theo giảthiết quy nạp ∆k > 0, (k = 0, 1, , n) Lại vì a0> 0, α > 0 suy ra D k+1 = a k+1 a0∆k > 0, (k = 0, 1, , n).

Nh- vậy điều kiện Hurwitz đúng với đa thức chuẩn Hurwitz bậc n + 1.

Kết luận: Mọi đa thức chuẩn Hurwitz bậc n > 1 đều thoả mãn điều kiện Hurwitz (5.10).

(Điều kiện đủ.) Giả sử f z là đa thức chuẩn thoả mãn điều kiện Hurwitz (5.10) thì f (z) ∈ H n Ta chứng

minh quy nạp theo bậc n của đa thức f z

Với n = 1, rõ ràng định lý đúng, bởi vì nếu f z = a0+ a1z, trong đó a0> 0 và ∆1= a1 > 0 thì nghiệm

của đa thức là z1= −a0

a1

Mọi nghiệm của f z có phần thực âm nên f z ∈ H1.

Bây giờ giả sử mệnh đề đúng với n: Mọi đa thức chuẩn thoả mãn điều kiện Hurwitz (5.10) đều là đa thức Hurwitz Ta chứng minh mệnh đề đúng với n + 1: Giả sử F (z) = A0+ A1z + + A n+1 z n+1là một đa thức

chuẩn bậc n + 1 nào đấy thoả mãn điều kiện Hurwitz (5.10): A0 > 0, D1 = A1 > 0, , D n+1 > 0 Theo

chứng minh của Bổ đề (5.4), ta có thể xem F (z) là đa thức liên kết của đa thức chuẩn f z bậc n nào đó:

f (z) = a0+ a1z + + a n z n , (a0> 0, a n 6= 0).

chứng minh nh- điều kiện cần của định lý ta thấy rằng: Các định thức con chéo chính ∆kcủa ma trận Hurwitz

M f thoả mãn các hệ thức D k+1 = α k+1 a0∆k , trong đó α > 0 do đó: ∆ k > 0, (k = 0, 1, , n) Tức là

đa thức chuẩn Hurwitz thoả mãn điều kiện Hurwitz Theo giả thiết quy nạp rằng định lý đúng với mọi đa

thức chuẩn bậc n nên f (z) ∈ H n Do F (z) là đa thức liên kết với đa thức Hurwitz f z nên theo Bổ đề (5.3)

f (z) ∈ H n+1

a n−1 a n

a n−3 a n−2