Lý thuyết và bài tập phương trình lượng giác cơ bản

Lý thuyết và bài tập phương trình lượng giác cơ bản Phương trình lượng giác thường xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp và đại học.. Tuy nhiên để giải được chúng ta phải nắm vững được c

Lý thuyết và bài tập phương

trình lượng giác cơ bản

Phương trình lượng giác thường xuất hiện trong các đề thi tốt

nghiệp và đại học Mức độ của bài toán này tương đối dễ Tuy nhiên

để giải được chúng ta phải nắm vững được các dạng cơ bản nhất Khi giải mọi phương trình lượng giác ta đều đưa về các dạng này

Phương trình lượng giác cơ bản là những phương trình có dạng f(x) = a Trong đóf(x) là một trong bốn hàm số sinx, cosx, tanx, cotx và a là một số

thực Ta sẽ lần lượt xét bốn phương trình này.

Phương trình sinx = a

 Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi −1≤a≤1.

 Với a thỏa điều kiện trên, ta có công thức nghiệm của phương trình:

sinx=a⇔[x=α+k2πxx=πx−α+k2πx(k∈Z)

(với α là một góc lượng giác thỏa sinα=a)

Lưu ý: Với sinα=a và α∈[−πx2;πx2] thì ta ký hiệu α=arcsina Vậy phương trình sinx = a có công thức nghiệm:

sinx=a⇔[x=arcsina+k2πxx=πx−arcsina+k2πx(k∈Z)

Ví d ụ :

a sinx=12⇔sinx=sinπx6⇔[x=πx6+k2πxx=πx−πx6+k2πx⇔[x=πx6+k2πxx=5πx6+k 2πx(k∈Z)

b sinx=13⇔[x=arcsin13+k2πxx=πx−arcsin13+k2πx(k∈Z)

c sinx=2√ : phương trình vô nghiệm vì 2√>1.

Phương trình cosx = a

 Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi −1≤a≤1.

 Với a thỏa điều kiện trên, ta có công thức nghiệm của phương trình:

cosx=a⇔[x=α+k2πxx=−α+k2πx(k∈Z)

(với α là một góc lượng giác thỏa cosα=a)

Lưu ý: Với cosα=a và α∈[0;πx] thì ta ký hiệu α=arccosa Vậy phương trình cosx = a có công thức nghiệm:

cosx=a⇔[x=arccosa+k2πxx=−arccosa+k2πx(k∈Z)

Ví d ụ :

a cosx=−12⇔cosx=cos2πx3⇔[x=2πx3+k2πxx=−2πx3+k2πx(k∈Z)

b cosx=23⇔[x=arccos23+k2πxx=πx−arccos23+k2πx(k∈Z)

c cosx=−2√ : phương trình vô nghiệm vì −2√<−1.

Phương trình tanx = a

 Phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của a.

 Công thức nghiệm của phương trình:

x=tana+kπx(k∈Z)

Lưu ý: Với tanα=a và α∈(−πx2;πx2) thì ta ký hiệu α=arctana Vậy phương trình tanx = a có công thức nghiệm:

tanx=a⇔x=arctana+kπx(k∈Z)

Ví d ụ :

a tanx=3√⇔tanx=tanπx3⇔x=πx3+kπx(k∈Z)

b tanx=−4⇔x=arctan(−4)+kπx(k∈Z)

Phương trình cotx = a

 Phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của a.

 Công thức nghiệm của phương trình:

x=cota+kπx(k∈Z)

Lưu ý: Với cotα=a và α∈[0;πx] thì ta ký hiệu α=arccota Vậy phương trình cotx = a có công thức nghiệm:

cotx=a⇔x=arccota+kπx(k∈Z)

Ví d ụ :

a cotx=−3√⇔cotx=cot(−πx6)⇔x=−πx6+kπx(k∈Z)

b cotx=3⇔x=arccot3+kπx(k∈Z)

M

ộ t s ố l ư u ý

 Hạn chế sử dụng arcsina,arccosa,arctana,arccota nến a là giá trị lượng giác của các cung đặc biệt.

 Trong các công thức nghiệm, không được sử dụng đồng thời hai đơn vị độ và radian.

 Các công thức nghiệm cần nhớ:

sinu=sinv⇔[u=v+k2πxu=πx−v+k2πx(k∈Z)

cosu=cosv⇔[u=v+k2πxu=−v+k2πx(k∈Z)

tanu=tanv⇔u=v+kπx(k∈Z)

cotu=cotv⇔u=v+kπx(k∈Z)

Một số bài tập phương trình lượng giác cơ bản

Bài 1 Giải các phương trình lượng giác sau:

a sin2x=−2√2 b cos(x−300)=12

c tan(x4)=−3√ d cot(−3x)=2

Gi

ả i

a sin2x=−2√2⇔sin2x=sin(−πx4)⇔[2x=−πx4+k2πx2x=πx+πx4+k2πx(k∈Z)

⇔[x=−πx8+kπxx=5πx4+kπx

b cos(x−300)=12⇔cos(x−300)=cos600⇔[x−300=600+k3600x−300=

−600+k3600(k∈Z)

⇔[x=900+k3600x=−300+k3600

c tan(x4)=−3√⇔tan(x4)=tan(−πx3)⇔x4=−πx3+kπx(k∈Z)

⇔x=−4πx3+k4πx

d cot(−3x)=2⇔−3x=arccot2+kπx(k∈Z)⇔x=−13arccot2−kπx3

Bài 2 Giải các phương trình sau:

a sin(2x−πx5)=cos3x b tan(4x+200)=−cotx

Gi

ả i

a sin(2x−πx5)=cos3x⇔sin(2x−πx5)=sin(πx2−3x)

⇔[2x−πx5=πx2−3x+k2πx2x−πx5=πx−(πx2−3x)+k2πx(k∈Z) (bạn đọc tự giải tiếp)

b tan(4x+200)=−cotx⇔tan(4x+200)=−tan(900−x)

⇔tan(4x+200)=tan(x−900)⇔4x+200=x−900+k1800(k∈Z) (bạn đọc tự giải tiếp)

Bài tập đề nghị

Giải các phương trình lượng giác cơ bản sau:

1.sinx=sin(2x+πx3)2.cos(x+πx3)=cos(3πx2−2x)3.sin5x=sin7x4.tanx=tan(

πx3+3x)5.sin(πx3−3x)=sin(πx2+x)6.cos(6x+2πx3)=cosx7.tan(3x−1)=tanx8 cot(5πx6−x)=cot(πx+x)9.sin(7x3−πx2)=sin2x10.cos(2x3−πx)=cosx311.sin(x +150)=sin(300−2x)12.cos(x+450)=cosx13.tan(3x−πx4)=tanπx614.cot(x

2−300)=cot30015.sin(8x+1)=sin(x−2)16.cos(200−3x)=cos(2x+100) 17.cot(x+πx3)=cot(−x)18.sin(7x+280)=sin(x−80)19.cos(80+x)=cos2x 20.tan(x+450)=tan15021.cos4x=1222.sin(x+πx3)=3√223.sin(x−πx2)=12 4.cos3x=−3√225.2sin(4x+πx3)=126.tan(2x+3)=−3√27.cot(150−x)=12

x3+πx6)=032.sin(8x+πx2)=−1