Các phương pháp giải phương trình và bất phương trình vô tỷ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ KIM THẢO CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60460

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ KIM THẢO

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI

PHƯƠNG TRÌNH

VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60460113

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS TS NGUYỄN ĐÌNH SANG

HÀ NỘI - NĂM 2015

Mục lục

1.1 Cách giải phương trình bậc ba 5

1.1.1 Phương pháp đạo hàm 5

1.1.2 Phương pháp biến đổi thông thường 7

1.2 Cách giải phương trình bậc bốn 8

1.2.1 Phương trình bậc bốn tổng quát 8

1.2.2 Phương trình x4 + cx2 + dx + e = 0 9

1.3 Một số bất đẳng thức 10

1.3.1 Bất đẳng thức AM - GM 10

1.3.2 Bất đẳng thức Cauchy 11

1.4 Tính chất của hàm đơn điệu, khả vi và ứng dụng 11

1.4.1 Tính đơn điệu của hàm số 11

1.4.2 Định lý Rolle 12

1.4.3 Định lý Lagrange và áp dụng 12

1.4.4 Định lý Cauchy và áp dụng 13

1.5 Giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một hàm số và của một tập hợp 15

1.5.1 Định nghĩa 15

1.5.2 Các điều kiện đủ 15

2 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ 17 2.1 Phương pháp biến đổi tương đương hoặc biến đổi hệ quả 17

2.1.1 Nâng lũy thừa bậc chẵn hai vế của phương trình 17

2.1.2 Lập phương hai vế của phương trình 21

2.1.3 Nhân liên hợp 23

2.1.4 Biến đổi đưa về phương trình tích 33

2.2 Phương pháp đặt ẩn phụ 36

2.2.1 Đặt ẩn phụ cơ bản 37

2.2.2 Đặt ẩn phụ không hoàn toàn 41

2.2.3 Đặt một hoặc nhiều ẩn phụ đưa về phương trình đẳng cấp 46

2.2.4 Đặt ẩn phụ đưa về tích 51

2.2.5 Đặt một hoặc nhiều ẩn phụ đưa về hệ phương trình 54 2.2.5.1 Đặt ẩn phụ đưa về hệ thông thường 54

2.2.5.2 Đặt ẩn phụ đưa về hệ đối xứng loại II 58

2.2.5.3 Đặt ẩn phụ đưa về hệ gần đối xứng 66

2.3 Phương pháp đánh giá 69

2.3.1 Sử dụng hằng đẳng thức 69

2.3.2 Sử dụng bất đẳng thức 70

2.3.3 Sử dụng tính chất hình học phẳng 77

2.4 Phương pháp hàm số 84

2.4.1 Sử dụng tính chất hàm liên tục và đơn điệu 84

2.4.2 Phương pháp định lý cơ bản về hàm khả vi 91

2.5 Phương pháp lượng giác hóa 94

3 GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH THÔNG QUA GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 103 3.1 Cơ sở lý thuyết 103

3.2 Bài tập áp dụng 104

MỞ ĐẦU

Phương trình và bất phương trình vô tỷ là loại toán có vị trí đặc biệt quan trọng trong chương trình toán học bậc phổ thông

Nó xuất hiện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi cũng như kì thi tuyển sinh vào đại học Học sinh phải đối mặt với rất nhiều dạng toán về phương trình và bất phương trình vô tỷ mà phương pháp giải chúng lại chưa được liệt kê trong sách giáo khoa Việc tìm phương pháp giải phương trình và bất phương trình

vô tỷ là niềm say mê của không ít người, đặc biệt là những người đang trực tiếp dạy toán Chính vì vậy, để đáp ứng nhu cầu giảng dạy và học tập, tác giả đã chọn đề tài "Các Phương Pháp Giải Phương Trình Và Bất Phương Trình Vô Tỷ" làm đề tài nghiên cứu của luận văn

Mục đích của luận văn này là hệ thống hóa các phương pháp giải phương trình và bất phương trình vô tỷ, giúp nhận dạng các bài toán, đề xuất các phương pháp giải và chọn phương pháp tối ưu

Nội dung của luận văn được chia làm 3 chương:

Chương 1: Trình bày các kiến thức chuẩn bị

Gồm một số cách giải phương trình bậc ba, phương trình bậc bốn, một số tính chất của hàm số đơn điệu, khả vi và ứng dụng

để giải một số phương trình đồng thời cũng nhắc lại một số bất đẳng thức được sử dụng về sau

Chương 2: Trình bày các phương pháp giải phương trình vô

tỷ trong phạm vi chương trình phổ thông

Mỗi phương pháp, tác giả cố gắng tổng quát hóa các dạng

mà có thể sử dụng phương pháp này, nhận xét về cách giải của bài toán, tổng hợp hóa dạng toán, nêu cách giải khác của bài toán nếu có, cách sáng tạo ra các bài toán khác, đồng thời cho một số ví dụ minh họa cùng với một số bài toán tham khảo Chương 3: Trình bày về phương pháp giải bất phương trình

vô tỷ thông qua giải phương trình vô tỷ tương ứng

Trong chương này trình bày cách giải phương tình tương ứng

và lập bảng xét dấu để kết luận nghiệm trên cơ sở tính liên tục của hàm sơ cấp

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn trực tiếp của PGS.TS Nguyễn Đình Sang Em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đối với người Thầy của mình, người đã nhiệt tình hướng dẫn, chỉ bảo em trong suốt quá trình làm luận văn Em cũng xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong Ban giám hiệu, Phòng đào tạo Đại học và sau Đại học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, cùng quý thầy cô tham gia giảng dạy khóa học đã tạo mọi điều kiện, giúp

đỡ em trong suốt quá trình học tập để em hoàn thành khóa học

và hoàn thành bản luận văn này

Trong quá trình làm, đề tài không tránh khỏi những thiếu sót Kính mong quý thầy cô và các bạn góp ý xây dựng

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà nội, ngày 12 tháng 9 năm 2015

Học viên

Nguyễn Thị Kim Thảo

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1.1 Phương pháp đạo hàm

Xét phương trình:

f (x) = x3 + ax2 + bx + c = 0 (1.1) Phương trình này luôn luôn có ít nhất một nghiệm

Ta có:

f0(x) = 3x2 + 2ax + b

Nếu a2 − 3b ≤ 0 thì (1.1) có đúng một nghiệm

Nếu a2 > 3b thì (1.1) có 3 nghiệm khi fmaxfmin ≤ 0

Dùng khai triển Taylor tại x = α

f (x) = f (α) + f

0(α) 1! (x − α) +

f00(α) 2! (x − α)

2 + (x − α)3 (1.2)

Nếu f (α) = 0 thì f (x) = 0 ⇔

" x = α (x − α)2 + f

00(α)

2 (x − α) + f

0(α) = 0

Nếu f00(α) = 0 đưa (1.2) về dạng:

Để giải (1.3) ta tìm nghiệm dưới dạng t = u + v dẫn đến hệ:







u3v3 = −p

3

27

u3 + v3 = −q

Xét phương trình X2 + qX − p

3

27 = 0 có ∆ = q

2 + 4p

3

27

Nếu ∆ ≥ 0 tìm nghiệm t = u + v = 3

s

−q −√∆

3

s

−q +√∆ 2

Nếu ∆ < 0:

u3 = −q −p

|∆|i

2 = r(cosϕ + isinϕ)

v3 = −q +p|∆|i

2 = r(cosϕ − isinϕ)

Khi đó 3 nghiệm thực:

t1 = 2√3

rcosϕ

3, t2 = 2

3

√ rcosϕ + 2π

3 , t3 = 2

3

√ rcosϕ + 4π

3

Định lí 1.1 Điều kiện cần và đủ để đồ thị hàm số (1.1) nhận điểm

(α; f (α)) làm tâm đối xứng là f00(α) = 0

Chứng minh:

Điều kiện đủ: Giả sử f00(α) = 0 Từ khai triển Taylor ta có:

y − f (α) = (x − α)3 + f0(α)(x − α)

Đặt



X = x − α

Y = y − f (α)

Ta đưa hàm số y = x3 + ax2 + bx + c về dạng:

Y = X3 + f0(α)X

Đây là hàm lẻ nên tâm đối xứng là:



X = 0

Y = 0 hay (x = α; y = f (α)) là

tâm đối xứng

Điều kiện cần:

y − f (α) = f0(α)(x − α) + f

00(α)

2 (x − α)

2 + (x − α)3

Đặt



X = x − α

Y = y − f (α)

Ta được:

Y = X3 + f

00(α)

2 X

2

+ f0(α)X

Hàm số này nhận (X = 0; Y = 0)là tâm đối xứng nên F (−X) + F (X) =

0 ⇔ f00(α) = 0

Định lí 1.2 Điều kiện cần và đủ để đồ thị hàm số (1.1) cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ lập thành một cấp số cộng là



f (α) = 0

f00(α) = 0 1.1.2 Phương pháp biến đổi thông thường

Nhận thấy mọi phương trình bậc ba có dạng:

a1x3 + b1x2 + c1x + d = 0, a 6= 0

đều đưa được về dạng:

x3 + ax2 + bx + c = 0 (1.4) Cách 1: Nhẩm nghiệm rồi phân tích đa thức:

Nếu x = α là một nghiệm của phương trình f (x) = 0 thì ta luôn có sự phân tích f (x) = (x − α)g(x)

Cách 2: Bằng phép đặt y = x − a

3 phương trình (1.4) trở thành :

với p = a

3

3 − b, q = −2a

3

27 +

ab

3 − c Xét phương trình (1.5):

• Nếu p = 0 thì phương trình (1.5) có nghiệm duy nhất x = √3

q

• Nếu p > 0, đặt y = 2t

r

p

3 thì phương trình (1.5) trở thành:

4t3 − 3t = m với m =

√ 3q 2p√

- Nếu m = 1 thì phương trình (1.6) có nghiệm đơn t = 1 và nghiệm kép t = −1

2

- Nếu m = −1 thì phương trình (1.6) có nghiệm đơn t = −1 và nghiệm kép t = 1

2

- Nếu |m| < 1, đặt m = cosα, phương trình (1.6) có ba nghiệm

t = cosα

3, t = cos

α ± 2π 3

- Nếu |m| > 1, đặt m = 1

2(d

3 + 1

d3)(∗), với d được xác định là nghiệm của phương trình (∗), tức là d3 = m +√

m2 − 1 (hoặc d3 =

m −√

m2 − 1) Khi đó phương trình có nghiệm duy nhất:

t = 1

2(d −

1

d)

1.2.1 Phương trình bậc bốn tổng quát

Xét phương trình:

x4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 (1.7) Đặt f (x) = x4 + bx3 + cx2 + dx + e

Hướng giải quyết là đưa về phương trình tích

Cách 1: Nhẩm nghiệm rồi phân tích đa thức:

Nếu x = α là một nghiệm của phương trình f (x) = 0 thì ta luôn có sự phân tích f (x) = (x − α)g(x)

Để dự đoán nghiệm ta dựa vào các chú ý sau:

• Nếu đa thức f (x) = x4 + bx3 + cx2 + dx + e có nghiệm thì nghiệm

đó phải là ước của e, với điều kiện b, c, d, e ∈ Z

• Nếu đa thức f (x) = x4 + bx3 + cx2 + dx + e có tổng các hệ số bằng

0 thì đa thức có một nghiệm x = 1

• Nếu đa thức f (x) = x4 + bx3 + cx2 + dx + e có tổng các hệ số của bậc chẵn bằng tổng các hệ số của bậc lẻ thì đa thức có một nghiệm

x = −1

Cách 2: Đưa phương trình (1.7) về phương trình đặc biệt:

Một số dạng đặc biệt của phương trình (1.7):

Xét khai triển Taylor tại x = x0 của đa thức f (x):

f (x) = f (x0)+f0(x0)(x−x0)+1

2f

00(x0)(x−x0)2+1

6f

000(x0)(x−x0)3+(x−x0)4

• Phương trình dạng:

x4 + bx2 + c = 0 (1.8)

Hệ phương trình



f0(x) = 0

f000(x) = 0 có nghiệm x = x0

Bằng phép đặt x − x0 = t đưa phương trình (1.7) về dạng (1.8)

• Phương trình dạng:

x4 + cx2 + dx + e = 0 (1.9)

Phương trình f000(x) = 0 có nghiệmx0 = −b

4, bằng phép đặt x−x0 =

t đưa phương trình (1.7) về phương trình (1.9)

• Phương trình dạng đối xứng:

x4 + ax3 + bx2 ± ax + 1 = 0 (1.10)

Đặt t = x ± 1

x đưa phương trình (1.7) về dạng t

2 + at + b0 = 0

1.2.2 Phương trình x4 + cx2 + dx + e = 0

Xét phương trình:

x4 + cx2 + dx + e = 0 (1.11) Cách 1: Biến đổi phương trình (1.11) về dạng:

x4 = −cx2 − dx − e

⇔ x4 + 2mx2 + m2 = (2m − c)x2 − dx + (m2 − e)

⇔ (x2 + m)2 = (2m − c)x2 − dx + (m2 − e) (∗)

Chọn m sao cho VP(∗) là bình phương của một nhị thức, tức là:

∆ = d2 − 4(2m − c)(m2 − e) = 0

Tài liệu tham khảo

[1] Ban Tổ Chức Kỳ Thi (2012), Tổng tập đề thi Olympic 30 tháng 4 Toán học 10, NXB Đại học Sư phạm

[2] Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn (2000), Giáo trình giải tích tập 1, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội

[3] Nguyễn Văn Mậu (2010), Phương pháp giải phương trình và bất phương trình, NXB Giáo dục

[4] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Văn Tiến (2010), Một số chuyên đề Đại số bồi dưỡng học sinh giỏi, NXB Giáo dục

[5] Đoàn Quỳnh, Doãn Minh Cường, Trần Nam Dũng, Đặng Hùng Thắng (2010), Tài liệu chuyên toán Đại số 10, NXB Giáo dục