tĩnh học vật rắn bồi dưỡng học sinh giỏi THPT

tĩnh học vật rắn bồi dưỡng học sinh giỏi Lý

Trường THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu

nó đòi hỏi học sinh khả năng phân tích và kiến thức tổng hợp Đồng thời thời gian để phục vụ giảng dạy phần tĩnh học không nhiều cho nên khó có thể giúp học sinh hiểu đầy đủ và trọn vẹn được phần kiến thức này Chính vì lý do đó tôi viết chuyên đề “Tĩnh học vật rắn” nhằm mục đích làm tư liệu giảng dạy cũng như để giúp các em học sinh giỏi có tài liệu để tham khảo

II MỤC ĐÍCH YÊU CẦU:

Nghiên cứu về lí thuyết và một số dạng bài tập Tĩnh học

NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 TÁC DỤNG CỦA LỰC ĐỐI VỚI MỘT VẬT RẮN

1.1 TRỌNG TÂM CỦA MỘT VẬT RẮN

1 Trọng tâm của một vật rắn là điểm đặt của trọng lực của vật, kí hiệu là G

2 Khối tâm của một cơ hệ là một điểm đặc trưng cho sự phân bố khối lượng trong cơ hệ; khi

cơ hệ chuyển động, khối tâm chuyển động như một chất điểm tại đó tập trung toàn bộ khối lương của cơ hệ Nếu hệ nằm trong trọng trường đều thì khối tâm của hệ cũng đồng thời là trọng tâm của nó

3 Khối tâm của các vật có hình đơn giản:

 như thanh có tiết diện không đổi, hình trụ, khối cầu, mặt cầu, hình hộp thì khối tâm nằm ở tâm của chúng

 như tam giác thì khối tâm nằm ở trọng tâm của nó (giao điểm ba đường trung tuyến)

1.2 TÁC DỤNG CỦA MỘT LỰC ĐỐI VỚI MỘT VẬT KHÔNG CÓ TRỤC QUAY

1 Tác dụng của lực không thay đổi nếu ta trượt vectơ lực trên giá của nó

2 Lực có giá đi qua trọng tâm sẽ làm cho vật chuyển động tịnh tiến Lực có giá không đi qua trọng tâm sẽ làm cho vật vừa tịnh tiến vừa quay

1.3 TÁC DỤNG CỦA MỘT LỰC ĐỐI VỚI MỘT VẬT RẮN CÓ TRỤC QUAY

1 Momen lực: Momen lực đối với một trục quay là đại lượng đo bằng tích của lực và cánh

tay đòn của nó

M = Fd (N.m)

Trong đó: d là cánh tay đòn của lực, là khoảng cách từ trục quay đến giá của lực không song song với trục quay

2 Lực có tác dụng làm quay vật nếu momen của lực đối với trục quay khác không (M  0)

3 Lực không làm quay vật nếu momen của lực đối với trục quay bằng không đó là:

a Trường hợp lực có giá song song với trục quay ( M = 0)

b Trường hợp lực có giá đi qua trục quay (M = 0)

1.4 TÁC DỤNG CỦA NGẪU LỰC ĐỐI VỚI MỘT VẬT RẮN KHÔNG CÓ TRỤC QUAY

1 Ngẫu lực: Hệ hai lực song song, ngược chiều, có độ lớn bằng nhau và cùng tác dụng vào

một vật gọi là ngẫu lực

2 Ngẫu lực tác dụng vào vật sẽ làm cho vật quay quanh một trục đi qua trọng tâm và vuông góc với mặt phẳng chứa ngẫu lực

M = Fd

Trường THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu

a Quy tắc tổng hợp hai lực có giá đồng quy:

Trượt hai lực trên giá của chúng đến điểm đồng quy của hai giá rồi áp dụng quy tắc hình bình hành để tìm hợp lực

b Quy tắc tổng hợp hai lực song song cùng chiều:

a Hợp lực của hai lực song song cùng chiều là một lực song song, cùng chiều và có độ lớn bằng tổng các độ lớn của hai lực ấy

b Giá của hợp lực chia khoảng cách giữa hai giá của hai lực song song thành những đoạn tỉ lệ nghịch với độ lớn hai lực ấy

2.2 ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG CHO CÁC TRƯỜNG HỢP RIÊNG:

a Điều kiện cân bằng của một vật chịu tác dụng của hai lực là hai lực đó phải cùng giá, cùng độ

lớn và ngược chiều

b Điều kiện cân bằng của một vật chịu tác dụng của ba lực không song song là:

- Ba lực đó phải có giá đồng phẳng và đồng quy

- Hợp lực của hai lực phải cân bằng với lực thứ ba

c Điều kiện cân bằng của một vật có trục quay cố định là tổng các momen lực có xu hướng làm

vật quay theo chiều kim đồng hồ bằng tổng các momen lực có xu hướng làm vật quay ngược chiều kim đồng hồ

d Điều kiện cân bằng của một vật có mặt chân đế là giá của trọng lực phải xuyên qua mặt chân

đế hay trọng tâm phải “rơi” vào mặt chân đế

2.3 ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG TỔNG QUÁT

Trong trường hợp môt vật rắn không có trục quay cố định chịu nhiều lực tác dụng thì nó sẽ vừa chuyển động tịnh tuyến vừa quay Muốn cho vật lức đầu đứng yên vẫn tiếp tục đứng yên thì hệ lực tác dụng vào vật phải không gây ra cả chuyển động tịnh tiến lẫn chuyển động quay cho vật Vì thế, điều kiện cân bằng tổng quát của vật rắn phải là sự kết hợp hai điều kiện cân bằng cho hai trường hợp riêng

ở phần trên Cụ thể là:

a Điều kiện cân bằng thứ nhất: Tổng đại số các hình chiếu của các lực lên các trục của hệ

tọa Đề-các phải bằng không:

b Điều kiện cân bằng thứ hai: Tổng đại số các momen lực đối với một trục bất kì phải bằng

không

Quy ước: Chọn một chiều quay làm chiều dương Khi ấy: M > 0 nếu lực có xu hướng làm cho

vật quay theo chiều dương và M < 0 nếu lực có xu hướng làm cho vật quay theo chiều ngược lại (chiều âm)

2.4 CÁC DẠNG CÂN BẰNG

2.4.1 Cân bằng bền:

a Vật ở dạng cân bằng bền có:

 Trọng tâm ở vị trí thấp nhất so với các vị trí lân cận

 Thế năng trọng trường cực tiểu so với các vị trí lân cận

b Khi kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng (VTCB) bền một chút thì trọng lực của vật có xu hướng kéo nó về VTCB

2.4.2 Cân bằng không bền:

a Vật ở dạng cân bằng không bền có:

 Trọng tâm ở vị trí cao nhất so với các vị trí lân cận

 Thế năng trọng trường cực đại so với các vị trí lân cận

b Khi kéo vật ra khỏi VTCB không bền thì trọng lực của vật có xu hướng kéo nó ra xa VTCB

2.4.3 Cân bằng phiếm định:

Vật ở dạng cân bằng phiếm định có:

 Trọng tâm ở cùng độ cao so với các vị trí lân cận

 Thế năng trọng trường của vật có cùng giá trị so với ở các vị trí lân cận

II PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP TỔNG QUÁT:

 Bước 1: Tìm các lực thường tác dụng vào vật rắn:

 Trọng lực tác dụng lên vật;

 Các phản lực liên kết Đó là các lực đàn hồi và các lực ma sát Đặc điểm các lực này là

độ lớn của chúng và đôi khi cả hướng tác dụng là không biết trước và phụ thuộc hình dạng của vật, vào trạng thái bề mặt tiếp xúc và phụ thuộc cả vào các lực khác tác dụng lên vật Việc xác định đúng hướng của các phản lực đóng vai trò rất quan trọng khi giải

Trường THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu

5

bài toán tĩnh học Vì vậy chúng ta hãy xét xem một số dạng phản lực liên kết có hướng như thế nào:

1 Vật đặt trên một mặt nhẵn hay giá đỡ không có ma sát : Khi mà vật tiếp xúc với giá

đỡ chỉ ở một điểm thì phản lực có điểm đặt tại điểm tiếp xúc và hướng hoặc là theo pháp

tuyến bề mặt vật (hình a) hoặc là theo pháp tuyến bề mặt của giá đỡ (hình b) Phản lực

này gọi là phản lực pháp tuyến

2 Lực liên kết thực hiện bởi một sợi dây mảnh, mềm: Phản lực của sợi dây luôn hướng

dọc theo sợi dây, từ điểm sợi dây nối vào vật (hình c)

3 Liên kết nhờ ổ trục dạng hình trụ:Trong trường hợp này trục của ổ trục vuông góc với

mặt phẳng tác dụng của lực (hình d) Phản lực của ổ trục có thể có hướng bất kỳ nằm

trong mặt phẳng vuông góc với trục của nó

4 Khi có ma sát giữa vật và mặt tiếp xúc thì ngoài phản lực pháp tuyến ra còn có một

phản lực nữa, đó là lực ma sát nghỉ F m ns (hình e) Lực ma sát nghỉ có chiều ngược chiều

dịch chuyển của vật Giá trị cực đại của lực ma sát nghỉ bằng lực ma sát trượt:F m ns max N Như vậy tùy thuộc vào các lực khác tác dụng vào vật mà lực ma sát nghỉ có thể nhận giá trị từ không đến giá trị cực đạiF m ns max

 Bước 2: Thiết lập phương trình cân bằng lực sao cho dễ nhận biết các phương trình dưới dạng

đơn giản nhất, thông thường ta nên chọn một trong các trục tọa độ vuông góc với một số nhiều nhất có thể các lực chưa biết Còn khi áp dụng quy tắc momen lực thì nên lựa chọn trục quay thích hợp để phương trình trở nên đơn giản (nên lựa chọn trục quay qua giá nhiều lực thành

 

 Phương pháp giải các bài toán bằng cách tìm cực trị của hàm thế năng:

 Xác định hàm thế năng U(x) của vật (hoặc hệ vật)

 Tìm cực trị của hàm thế năng Nếu vật ở trạng thái cân bằng bền thì thế năng U cực tiểu Vật ở trạng thái cân bằng không bền thì thế năng U cực đại Còn ở trạng thái cân bằng phiếm định thì U=const Như vậy:

d tại x0 nhỏ hơn không : ta có cân bằng không bền

III CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Bài toán 1: Cân bằng của vật rắn khi không có chuyển động quay

Phương pháp giải:

 Xác định đầy đủ các lực tác dụng vào vật (gồm điểm đặt, hướng)

 Sử dụng điều kiện cân bằng lực: F1F2 F n  0

 Từ điều kiện cân bằng trên dựa vào “tam giác lực” hoặc chiếu lên các trục tọa độ thích hợp ta có thể xác

định các đại lượng khác như lực tác dụng, góc, khối lượng vật,…

Bài 1: Viên bi khối lượng m = 100g treo vào điểm cố định A nhờ dây AB và nằm trên mặt cầu nhẵn tâm O

bán kính r = 10cm Khoảng cách từ A đến mặt cầu là AC = d = 15cm; chiều dài dây AB = l = 20cm, đoạn OA thẳng đứng Tìm lực căng của dây và lực do quả cầu nén lên mặt cầu

m

Trường THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu

Bài 2:Một mặt phẳng nghiêng chiều dài l = 13m, chiều cao h = 5m Muốn giữ một vật khối lượng m = 5kg

đứng yên trên mặt phẳng nghiêng, ta phải tác dụng lên vật một lực đẩyF Hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng là  0,1 Tìm F nếu:

a Fsong song với mặt phẳng nghiêng

b Fsong song với mặt phẳng ngang

a Fsong song với mặt phẳng nghiêng

Chiếu (1) lên hai trục tọa độ Ox và Oy ta được:

Từ (1”) suy ra: QPcosF ms Qmg.cos

Từ (1’) suy ra: F PsinF ms mg(sin  cos )

Với

2 2

h l

T

T

P

Q B C

A

r O

Chiếu (1) lên hai trục tọa độ Ox và Oy ta được:

Từ (2”) suy ra QPcosFsinF msQ(mg.cos Fsin ) (3)

Từ (2’) suy ra: F ms P.sinFcos mgsinFcos (4)

Từ (3) và (4) suy ra: (mg.cosFsin )  mgsin Fcos

Vậy: khi Fsong song với mặt phẳng ngang, để giữ được vật thì F  15, 2N

Bài 3: Hai hình trụ đông chất O1,O2 có khối lượng m 1= 10kg, m2 = 30kg tiếp xúc ở hai mặt phẳng nghiêng,

trơn, vuông góc, nghiêng 0

α

Trường THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu

2

cos 30 cossin 30 sin

 So sánh (1’) và (2’) và chú ý N=N’ ta có:

0

0 2

0 1

sin 30 3

cos 30 3

P P

N2

N1y

x

Trường THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu

 Xét vật ở trạng thái giới hạn của nghỉ và trượt nên: F1 N1

 Suy ra: 1 1sin 300 1cos 300 1(1 3)

1 1

Chú ý: Quy tắc momen lực cũng được áp dụng đối với các trục quay tức thời (được xem là trục quay

cố định tại thời điểm ta xét)

Bài 1:Thanh đồng chất AB có thể quay quanh bản lề A Hai vật có các khối lượng m1=1kg, m2=2kg được treo vào B bằng hai sợi dây như hình vẽ (C là ròng rọc nhẹ) Biết AB=AC, khối lượng thanh là 2kg Tính khi

hệ cân bằng

m2

C A

α

m1B

Giải:

 Các lực tác dụng lên thanh gồm : Trọng lực P; các lực căng dây T T T1, 2( 1P T1; 2 P2);phản lực Q tại

bản lề A

 Áp dụng quy tắc momen lực đối với trục quay A ta được:

2

22

Vậy: Khi hệ cân bằng thì   120 (0   2 )

Bài 2: Bán cầu đồng chất khối lượng 100g Trên mép bán cầu đặt một vật nhỏ khối lượng 7,5g Hỏi mặt phẳng

của bán cầu sẽ nghiêng góc bao nhiêu khi có cân bằng, biết rằng trọng tâm bán cầu ở cách mặt bán cầu một đoạn 3R

8 (R là bán kính mặt cầu)

Giải

β

H Q

Trường THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu

13

 Các lực tác dụng lên bán cầu: Trọng lực P(bán cầu), trọng lực P'(vật nhỏ), phản lực Q tại điểm tiếp

xúc (tại điểm tiếp xúc A)

A

R

GO

P'Q

Bài 3: Một khối trụ có tiết diện hình lục giác đều cạnh a bị đẩy dọc theo mặt phẳng ngang (Hình vẽ) Tìm hệ

số ma sát giữa khối trụ và mặt phẳng ngang để nó trượt trên mặt phẳng ngang mà không quay?

     

Bài 4: Trên mặt bàn nằm ngang có một bán trụ cố định bán kính R Trong mặt phẳng thẳng đứng

vuông góc với trục O của bán trụ ( mặt phẳng hình vẽ ) có một thanh đồng chất A chiều dài bằng R tựa đầu A lên bán trụ, đầu ở trên mặt bàn Trọng lượng của thanh là P Không có ma sát giữa bán

trụ và thanh Hệ số ma sát giữa mặt bàn và thanh là k =

3

3

Góc  phải thoả mãn điều kiện gì để thanh ở trạng thái cân bằng?

Giải

Thanh chịu trọng lượng P, phản lực N của bán trục ở A vuông góc với mặt trụ (đi qua 0) Phản lực Q

của mặt bàn xiên góc với phương ngang vì có ma sát, trong đó:

Trường THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu

15

Lấy mo men đối với B : P  NRsin2

2

cosR

P2

sin2

cosP

Thay vào (2) nhận được:

4

gcotP

P

4

3 tg

Bài toán 4: (Ứng dụng hợp lực song song cùng chiều để tìm trọng tâm.)

Bài 1: Thanh đồng chất ABC có tiết diện nhỏ, góc B = 600 treo cân bằng trên dây AD Tính góc tạo bởi BC

và phương ngang biết BC = 2AB

Giải

D

A

B α

C

 Các lực tác dụng lên thanh ABC: trọng lực của P của BC, trọng lực 1 P của AB, lực căng 2 Tcủa dây

AD

 Thanh treo cân bằng nên: P1  P2 T 0 (1) suy ra P  T Do đó hợp lực P phải có độ

lớnP Tvà phải có giá trùng với giá của T

 Vì thanh đồng chất nên trọng tâm O1 của P nằm ở trung điểm của BC, trọng tâm O1 2 của P nằm ở 2

trung điểm AB Gọi G là trọng tâm của cả thanh ABC, theo quy tắc hợp lực song song ta có:

P P O G O G

  (2)

 Tam giác O1A là tam giác đều nên O1O2 vuông góc với AB

 Xét tam giác vuông O1O2B cho : 1 2 1 .sin 600 1 . 3

2

O O O B O B (3)

T

Trường THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu

1 2

3

2 33

32

O B

O G GAO

Vậy : góc tạo bởi và phương ngang là   190

Bài 2: a người khiêng một khung sắt hình chữ nhật ABCD có khối tâm ở giao điểm của các đường

chéo Khung được giữ cho luôn nằm ngang, cạnh AD không có người đỡ vì mới sơn

( trừ hai đầu A và D) Một người đỡ khung ở M1 cách A một khoảng AM1=d Tìm vị trí M2 và M3 của

hai người kia để ba người cùng chịu lực bằng nhau Biện luận kết quả tìm được?

+ M1 → trung điểm AB

 M3 → D

2

a

d  do M3 không thể vượt qua D

Bài toán 3: Cân bằng tổng quát của vật rắn

Trường THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu

.cos.sin32sin

3 33P

Y X

R R T

P Ry

Rx

R β

C

22

ài giải:

Trường THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu

Bài 3 : Hai thanh cứng giống nhau dài , khối lượng m liên kết với nhau và liên kết với giá đỡ bởi các bản lề

Tác dụng lựcF không đổi theo phương ngang vào đầu B của thanh Xác định :



 1; 2 ;

 phản lực do bản lề O tác dụng lên thanh OA tại O và phản lực do thanh OA tác dụng lên thanh

AB tại bản lề A

Gọi N12 và N21 là lực tương tác của thanh AO lên thanh A và ngược lại

Theo Định luật III Niu-tơn N12 = N21 = N

Gọi No là phản lực do bản lề O tác dụng lên thanh OA tại O

Gọi P , P (P1 2 1P2 P)là các trọng lực tác dụng lên thanh OA và AB

Trường THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu

21

2 2

1

P 1

quanh các trục đi qua các đầu A, Đầu trên của hai thanh tựa vào nhau và tạo thành góc 900 Góc giữa thanh khối lượng M và phương ngang bằng , thanh còn lại khối lượng m

1- Xác định hệ số ma sát nhỏ nhất giữa hai thanh để không xảy ra sự trượt

2- Trong trường hợp M = 3m,   450 Hãy xác định các phản lực tại A và B

C

B A

Trường THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu

2 Tìm các giá trị của  để thang đứng yên không trượt trên sàn

3 Một người có khối luợng m = 40kg leo lên thang khi  450 Hỏi người này lên tới vị trí M nào trên thang thì thang sẽ bị trượt Biết thang dài l = 2m Lấy g = 10m/s2

Chiếu lên Ox: Fms = N2

Chiếu lên Oy: N1 = P

N1 = P = mg = 200N Mặt khác :

tg

Điều kiện để thang không trượt

1 2

Chiếu lên Ox: Fms = N2

Chiếu lên Oy: N1 = P +P1

AB

Thang bắt đầu trượt khi: F ms k N 1 k P 1 P2

Thay vào (*) ta tìm được x = 1,3m

Bài 6: Một khối trụ đồng chất bán kính R, chiều dài là L = R, khối lượng m1  2kg, đặt tựa lên một khối lập phương và vật cản C thẳng đứng Khối lập phương đồng chất, khối lượng m2 m1, cạnh a = L đặt vừa hết chiều dài của khối trụ Gọi  là góc lệch của OA so với phương ngang với O là trọng tâm