cực trị cơ học bồi dưỡng học sinh giỏi Lý THPT

tài liệu word cực trị cơ học bồi dưỡng học sinh giỏi lý

CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ

TRONG PHẦN ĐỘNG HỌC VÀ ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIÊM

I Đặt vấn đề

Khi trong một bài toán vật lý yêu cầu tìm cực trị - cực đại hoặc cực tiểu – của một đại lượng vật lý, các bạn học sinh thường nghĩ ngay đến việc dùng đạo hàm, cụ thể là lấy đạo hàm của đại lượng đó rồi cho bằng không Việc biết tính thành thạo đạo hàm thì tất nhiên là rất có lợi, nhưng điều đó chỉ có được đối với các học sinh ở lớp cuối cấp THPT, nhưng ngay cả các HS lớp dưới cũng hay gặp các bài toán về cực trị, đặc biệt là trong các

kì thi học sinh giỏi, mà học sinh thường chưa được học đạo hàm Hơn nữa, lời giải dùng đạo hàm không phải bao giờ cũng là đơn giản nhất và đẹp nhất

Trong bài này tôi sẽ giới thiệu các bạn “một số phương pháp tìm cực trị” mà không dùng đạo hàm

- Sử dụng đạo hàm ẩn có ý nghĩa vật lý Ví dụ, cực trị của tọa độ đạt được khi hình chiếu của vật tốc bằng không; cực trị của vận tốc đạt được khi gia tốc bằng không…

- Khảo sát tam thức bậc hai, công thức có sẵn về đỉnh của parabol, tìm nghiệm tam thức

- Sử dụng biến đổi lượng giác và các cực trị của hàm lượng giác Ví dụ, nếu hàm khảo sát dẫn đến hàm số sin của một biến góc, thì cực đại đạt được khi sin bằng 1

- Nếu:  > 0: phương trình có hai nghiệm phân biệt: x =

2

b a

  

- Nếu  = 0: phương trình có nghiệm kép: x = -

2

b a

- Nếu  < 0: phương trình vô nghiệm

* Cực trị của tam thức bậc hai

* Định lí Vi-ét: Nếu phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 và

- b/2a

cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb

tan(a - b) = 1 + tana.tanbtana - tanb sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb

tan(a + b) = tana + tanb

1 - tana.tanb sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb

b Công thức nhân đôi :

sin2x = 2sinxcosx cos2x = cos2x – sin2x = 2cos2x - 1 = 1 – 2sin2x

tan2x = 2 2

1

tanx tan x

212

cot x cotx

cosx + cosy = 2 cos



cos

sin x y xcosy



sin

sin x y xsiny



sin

sin y x xsiny



f Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:

Dạng: asinx + bcosx = c Điều kiện để phương trình có nghiệm là 2 2 2

II Các bài toán minh họa

A Một số bài toán phần động học chất điểm

* Bài toán 1: Một xe ô tô tới gần điểm A với tốc độ v1 = 80m/s Tại thời điểm khi còn đi

L = 10km nữa, thì từ A một xe tải đi ra theo phương vuông góc với tốc độ v2 =60m/s

Hỏi khoảng cách ngắn nhất giữa xe ô tô và xe tải bằng bao nhiêu?

Gợi ý hướng giải

- Dễ dàng thấy rằng khoảng cách giữa ô tô và xe tải có một cực tiểu - ban đầu khoảng cách đó giảm khi xe ô tô tới gần A thì khoảng cách đó tăng lên Sự phụ thuộc của khoảng cách (mà đúng hơn là bình phương khoảng cách) giữa ô tô và xe tải vào thời gian

có dạng

s2 = (L - v1t)2 + (v2t)2 = (v1 + v2 )t2 - 2Lv1t + L2

- Đơn giản hơn cả là xét cực tiểu của hàm này nhờ đạo hàm Lấy đạo hàm rồi cho

bằng 0, ta được:

t = , s = = 6km

- Hoặc có thể tách riêng phần có chứa t thành dạng bình phương một tổng, ta có

s2 = (

- Thấy ngay s2 cực tiểu khi biểu thức trong ngoặc thứ hai bằng 0 Từ đó ta nhận lại

được các kết quả trên

- Ta cũng có thể dùng tam thức bậc 2 Xét phương trình

(Nếu s là cực tiểu cố định thì phương trình trên phải có nghiệm duy nhất, tức là biệt thức Δ của nó phải bằng 0 Kết quả ta sẽ nhận được giá trị của s đúng như đã tìm được ở trên (bạn hãy thử kiểm tra xem!)

- Tuy nhiên, lời giải đẹp và ngắn gọn nhất là

dựa trên sự chuyển HQC về hệ gắn với một trong

hai xe, ví dụ là xe ô tô Khi đó trong HQC này xe tải

chuyển động với vận tốc không đổi bằng

tức là theo đường thẳng đứt nét vẽ trong H.1

Khoảng cách cực tiểu giữa o tô đứng yên (trong

HQC này) và xe tải có thể tìm được bằng cách dựng

s = Lsinα =

* Bài toán 2: Hai chất điểm chuyển động đều với vận tốc v1 và v2 dọc theo hai đường thẳng vuông góc với nhau và về giao diểm O của hai đường ấy Tại thời điểm t 0 hai

chất điểm cách điểm O các khoảng l1 và l2 Sau thời gian bao nhiêu khoảng cách giữa hai

chất điểm là cực tiểu và khoảng cách cực tiểu ấy bằng bao nhiêu ?

Gợi ý hướng giải

- Chọn gốc tọa độ O tại giao điểm của 2 đường

- Khoảng cách giữa hai chất điểm: d2 = x1 + x2 = (l1 – v1.t)2 + (l2 – v2.t)2

a Tìm điều kiện để hai vật đến O cùng một lúc

b Cho l1 = 100 m, v1 = 4 m/s, l2 = 120 m, v2 = 3 m/s Tìm khoảng cách giữa hai vật tại thời điểm t = 10 s

c Với các dữ kiện như câu b Tìm khoảng cách nhỏ nhất giữa hai vật? Xác định vị

trí của vật 1 khi đó ?

Gợi ý hướng giải

a Hai vật đến O cùng một lúc thì thời gian chuyển động của chúng phải bằng nhau:

* Bài toán 4: Hai chiếc tàu biển chuyển động cùng vận tốc hướng tới điểm O trên hai đường thẳng hợp nhau góc  = 600 Hãy xác định khoảng cách nhỏ nhất giữa hai con tàu

Biết ban đầu chúng cách O những khoảng là a = 60 km, b = 40 km

Gợi ý hướng giải

* Phương pháp hình học: ( lời giải đẹp)

- Hệ qui chiếu B đứng yên:

- Vì v1 = v2 = v và α = 600 nên ΔOAC là tam

cách đó, biết khoảng cách ban đầu là l Biết một động tử xuất phát từ giao điểm của hai đường thẳng

Gợi ý hướng giải

* Cách 1: Tam thức bậc 2 ( phương pháp đại số)

Thời gian để đạt được d' = dmin : t = =



x

y

dmin 2

= =

 cosβ =

Biện luận:

- Nếu α = 900 dmin = Giống bài trước t

- Nếu α > 900 : để bài toán có nghĩa thì

t > 0 v1cosα + v2 > 0 v2 ≥ v1 |cosα|

* Bài toán 6: Một ô tô chuyển động từ A đến B dài L = 800 m Khởi hành từ A, ô tô chuyển động nhanh dần đều, tiếp sau đó ô tô chuyển động chậm dần đều và dừng lại ở B Biết độ lớn gia tốc của xe không vượt quá ao = 2 m/s2

Hãy tính thời gian ngắn nhất mà ô tô chạy từ A đến B

Gợi ý hướng giải

- Gọi a1, a2 là độ lớn gia tốc của ô tô trong hai giai đoạn

- Vậy t cực tiểu khi: a1 a2 = a0 tmin = 2

0

L a

* Bài toán 7: Một xe buýt chuyển động thẳng đều trên đường với vận tốc v1 = 12m/s Một hành khách đứng cách đường một đoạn b = 80m

Người này nhìn thấy xe buýt vào thời điểm xe cách

người một khoảng a = 450m

a Hỏi người này phải chạy theo hướng nào để đến

được đường cùng lúc hoặc trước khi xe buýt đến đó?

Thời gian hai xe gặp nhau là bao nhiêu? biết rằng người ấy chuyển động với vận tốc đều

là v2 = 4m/s

b Nếu muốn gặp xe với vận tốc nhỏ nhất thì người phải chạy theo hướng nào ? Vận tốc nhỏ nhất bằng bao nhiêu ?

Gợi ý hướng giải

* Bài toán chuyển HQC

- Theo đề người đón xe buýt cùng lúc hoặc trước: t1 t2:

- Áp dụng định lí hàm sin trong tam giác:

 29,61 (s)  t  53,41(s)

b v = 1

Sin

v

 .sin vmin khi sin = 1  vmin = 2,13m/s

* Bài toán 8: Hãy xác định vận tốc cực tiểu phải truyền cho quả bóng chuyền để khi nảy

từ chính mặt đất nó có thể bay qua lưới với độ cao h = 2,5m, đặt cách nơi bóng đập vào đất s = 6m

Gợi ý hướng giải

- Ta viết phương trình chuyển động của quả bóng tại thời điểm nó sượt qua điểm cao nhất của lưới chiếu trên trục nằm ngang và thẳng đứng

s = (v0cosα)t, h = (v0sinα)t -

- Rút t từ phương trình thứ nhất, rồi thay vào phương trình thứ hai, ta được

h = s.tanα - = s.tanα - (tan2α +1)

- Nếu từ đó rút ra v0 và phân tích cực tiểu như hàm của tanα thì tính toán sẽ rất cồng kềnh Bởi vậy chúng ta sẽ dùng phương pháp đã chứng tỏ là có hiệu quả mà ta đã trình bày ở trên, cụ thể là xét công thức của v0 như phương trình đối với tanα với v0 đã

cho Đối với giá trị cực tiểu của vận tốc v 0 = v min , phương trình phải chỉ có 1 nghiệm:

- Đối với v2

min, ta nhận được phương trình bậc hai, giải ra ta được:

v2 min = g

- Thay số vào, ta có vmin = ≈ 9,5m/s

* Bài toán 9: Một người ở độ cao h so với mặt đất ném một hòn đá theo phương hợp với phương ngang một góc α Tìm α để tầm bay xa trên mặt đất là lớn nhất

- Theo Ox: v = v0t cos (1)

- Theo Oy: y = h0 + v0t - (2)

* Khi chạm đất thì x = Lmax lúc đó t =

- Thay t vào (2) ta được y = h0 + L tan - = 0

- Phương trình phải có nghiệm với tan

Phương trình (*) có nghiệm kép

* Bài toán 10: Từ một điểm trên mặt đất người ta ném đồng thời hai vật với các vận tốc ban đầu có cùng độ lớn v0 Vật A được ném lên thẳng đứng, vật B được ném xiên lên trên hợp với phương ngang một góc  Bỏ qua sức cản không khí

a Lập biểu thức tính khoảng cách giữa hai vật tại thời điểm t kể từ lúc ném

b Để trong thời gian hai vật chuyển động khoảng cách giữa hai vật lớn nhất thì phải bằng bao nhiêu?

Gợi ý hướng giải

b Từ điều kiện về thời gian ta có:

 dmax =

2 0

4 69

v g

- Vậy: (

2 0

8v

g sin2( 1 - sin)  = 41,80

B Một số bài toán phần động lực học chất điểm

* Bài toán 11: Hai máng nhẵn AB và CE trong cùng một mặt phẳng thẳng đứng, cùng tạo nên góc  so với phương ngang Từ A và C đồng

thời thả hai vật trượt không vận tốc đầu Thời gian trượt

từ A đến B và từ C đến E là t1 và t2 Hỏi sau thời gian

nào kể từ lúc bắt đầu chuyển động, khoảng cách giữa

hai vật là ngắn nhất?

Gợi ý hướng giải

- Theo định luật II Niu-tơn: P + N = m a (1)

- Chiếu (1) lên phương chuyển động: a1 = a2 = a = g.sin

- Chọn gốc tọa độ O  C, chiều dương là chiều chuyển động, v0 = 0, AC = b;

t t

* Bài toán 12: Người ta phóng một vật từ dưới lên trên theo một tấm ván nghiêng với vận tốc nhỏ nhất đủ để vật lên được tới mép trên của tấm ván Hỏi với góc nghiêng của

tấm ván bằng bao nhiêu thì thời gian chuyển động của vật là nhỏ nhất? Tính thời gian đó

Biết hệ số ma sát của vật và tấm ván là μ = 0,75, và chiều dài tấm ván là l = 4m

Gợi ý hướng giải



x

y

- Ta tìm được a = g(sinα + μcosα)

- Để tìm cực đại của a, ta có thể dùng đạo hàm, ta được: tan = 1/

 a = g

- Mà cũng có thể dùng biến đổi, sau đó biện luận dựa trên giá trị của sin hoặc cos:

- Cực đại của biểu thức trên bằng , đạt được khi sin(α+β) = 1 Do đó gia tốc cực đại bằng amax = g

- Và do đó thời gian cực tiểu: tmin = = = 0,8 s

- Cũng có thể dựa vào bất đẳng thức Bunhia – cốp ki, gia tốc a cực đại khi:

sinα + μcosα (sinα + μcosα)max khi tan = 1/

 a = g Và do đó thời gian cực tiểu: tmin = = 0,8 s

Và theo tôi đây cũng là lời giải đẹp nhất cho loại bài toán cực trị này

* Bài toán 13: Một vật có khối lượng m, được kéo đi với vận tốc không đổi bởi một lực

F trên mặt phẳng nghiêng góc α so với mặt ngang Hệ số ma sát giữa vật và mặt nghiêng

là k Xác định góc β giữa F với mặt phẳng nghiêng để cho lực F nhỏ nhất Khi đó F có

độ lớn bằng bao nhiêu?

Gợi ý hướng giải

- Vật trượt đều nên: P + F + N + F ms = 0 (*)

- Chiếu (*) lên Ox, Oy ta được: F.cosβ - mg.sinα –k.N = 0

→ F = (sin os )

cos sin

k c mg k

* Bài toán 14: Một hộp chứa cát ban đầu đứng yên, được kéo trên sàn bằng một sợi dây với lực kéo F = 1000N, hệ số ma sát giữa hộp và sàn là 0,35 Lấy g = 10m/s2

a Hỏi góc giữa dây và phương ngang là bao nhiêu để kéo được lượng cát lớn nhất?

b Khối lượng cát và hộp trong trường hợp đó bằng bao nhiêu?

Gợi ý hướng giải

- Chọn hệ trục tọa độ xOy như hình vẽ

- Định luật II Niu-tơn: N + P + F + F ms = m a (1)

- Chiếu ( 1) lên Oy: N = P - F.sin

- Chiếu (1) lên Ox: F.cos - Fms = ma  a = F c( os .sin ) mg





- Để mmax thì (cos + .sin)max

+ Áp dụng đất đẳng thức Bunhia- cốp ki: cos + .sin 2

1 

 (cos + .sin)max khi dấu “ =” xảy ra, khi: tan =  = 19,30

- Vậy khối lượng bao cát và hộp khi đó: m  303 kg

* Bài toán 15: Cho cơ hệ như hình vẽ: Cho biết: Hệ số ma sát giữa M và sàn là k2, giữa

M và m là k1.Tác dụng một lực Flên M theo phương hợp với phương ngang một góc  Hãy tìm Fmin để m thoát khỏi M và tính góc  tương ứng?

Gợi ý hướng giải

* Xét vật m: P1N1F ms21ma (1)

1

mn F a m

- Chiếu lên Oy: N1 – P1 = 0  N1 = P1  Fms21= k1.N1 = k1.mg

C Một số bài toán tham khảo thêm

Bài 1 Một con bọ dừa đậu ở đầu B của một thanh cứng

mảnh AB có chiều dài L đang dựng đứng cạnh một bức

tường thẳng đứng như hình vẽ Vào thời điểm mà đầu B

của thanh bắt đầu chuyển động sang phải theo sàn ngang

với tốc độ không đổi v thì con bọ bắt đầu bò dọc theo

A

thanh với vận tốc không đổi u đối với thanh Trong quá trình bò trên thanh, con bọ đạt được độ cao cực đại là bao nhiêu đối với sàn Cho đầu A của thanh luôn tỳ lên tường thẳng đứng

ĐS: 90m

Bài 3 Hai xe chuyển động thẳng đều từ A và B cùng hướng về điểm O với cùng vận tốc

v Biết AO = 20km, BO = 30km, góc α = 600 Hãy xác định khoảng cách ngắn nhất giữa chúng trong quá trình chuyển động?

ĐS: 5 3km

Bài 4 (Olympic 30/04 – Đắc Lắk 2015)

Một người cần bơi qua một con sông rộng AB = d = 750m với tốc độ

chảy của dòng nước là u = 1m/s Biết tốc độ chạy bộ của người đó trên

bờ là v = 2,5m/s, tốc độ bơi đối với nước là v’ = 1,5m/s Tìm lộ trình của

người xuất phát từ A để đến B nhanh nhất và tính khoảng thời gian đó

ĐS: tmin = 632s

Bài 5 ( Olympic 30/04 - Chuyên Hùng Vương – Gia Lai 2015)

Từ một điểm trên sườn núi lập một góc 30o so với mặt phẳng ngang, người ta ném đồng thời hai vật với cùng vận tốc ban đầu 20m/s nằm trong cùng một mặt phẳng thẳng đứng Một vật được ném lên phía trên, vật còn lại được ném xuống phía dưới với những góc nào đó Hỏi điểm rơi của hai vật trên sườn núi cách nhau một khoảng tối đa bao nhiêu?

Phía trên mặt phẳng nghiêng góc α = 300, tại điểm O cách mặt

phẳng nghiêng một đoạn OC = h, người ta đặt một máng trượt

thẳng và nhẵn, tựa vào mặt phẳng nghiêng tại điểm P Để một

chất điểm từ O trượt không vận tốc đầu, theo máng đến điểm P

của mặt phẳng nghiêng trong thời gian ngắn nhất thì góc β giữa

phương thẳng đứng và máng trượt phải bằng bao nhiêu? Tìm

thời gian trượt ngắn nhất đó theo h và gia tốc rơi tự do g Biết

mặt phẳng nghiêng đặt cố định

ĐS: tmin 1,86h

g



Bài 7 Một tấm gỗ có khối lượng M được đặt trên một mặt phẳng

nghiêng cố định trên mặt bàn có góc nghiêng α Phía trên tấm gỗ

người ta đặt một chiếc xe đồ chơi có khối lượng m, chạy bằng dây

cót Cho hệ số ma sát trượt giữa xe và tấm gỗ là µ1, giữa tấm gỗ và

mặt phẳng nghiêng là µ2 Lên dây cót cho xe và thả xe chạy xuống

dưới Tìm gia tốc chuyển động lớn nhất của xe để tấm gỗ trượt đều lên phía trên theo mặt phẳng nghiêng Nêu nhận xét kết quả tìm được Cho gia tốc trọng trường g

a Bỏ qua mọi ma sát ở các mặt tiếp xúc Hỏi với giá trị nào của  thì gia tốc của nêm đạt giá trị cực đại? Tính giá trị cực đại của gia tốc của nêm khi đó?

b Bề mặt của các mặt tiếp xúc có ma sát và cùng hệ số ma sát  và biết góc nghiêng của nêm  =300 Tìm

điều kiện về để khối lập phương

không trượt đối với nêm khi nêm



 ; dmax = 5 3khi l = 0

Bài 10 Hai vật nhỏ cùng lúc được ném lên với vận tốc có cùng độ lớn v0 nhưng các hướng khác nhau Góc hợp bởi hai vận tốc của hai vật tùy ý Biết hai vật chạm đất cùng một vị trí và khoảng cách xa nhất trên không của chúng là Lmax = 19m Lấy g = 10m/s2 Hãy xác định vận tốc ban đầu v0 của hai vật

thì con bọ đi được l = u.t

- Độ cao mà con bọ đạt được:

h = l.sinα = ut.sinα với sinα =

( )

L v t L

- Vậy độ cao mà con kiến đạt được là: hmax = .

2

u L v

 

- Nhận xét: dmin  sin

2

  = 1 → dmin = 5 3(km)

Bài 4

- Hình vẽ 1

- Người chạy bộ trên bờ một đoạn AC rồi bơi theo hướng

CD (CD tạo với AB một góc  ) sao cho đối với bờ người

chuyển động theo hướng CB

v u

AC



cos'

sin'